9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: B

Depo kapasitesi x litre olsun (başlangıçta depo dolu kabul edilir). Önce suyun 1 3 ’ü kullanılırsa kalan su: x − 1 3 x = 2 3 x Sonra kalan suyun 2 5 ’i kullanılır. Bu durumda kalan, önceki kalan miktarın 1 − 2 5 = 3 5 katıdır. Yeni kalan su: 3 5 · 2 3 x = 2 5 x Depoya 10 litre su eklenince depo 1 2 dolu oluyorsa denklem: 2 5 x + 10 = 1 2 x Çözelim: 10 = 1 2 x − 2 5 x 10 = ( 1 2 − 2 5 ) x 10 = 1 10 x x = 100 Depo kapasitesi 100 litredir; doğru seçenek B441 ’dir.

1. Çözüm: Depo kapasitesi x litre olsun (başlangıçta depo dolu kabul edilir). Önce suyun 1 3 ’ü kullanılırsa kalan su: x − 1 3 x = 2 3 x Sonra kalan suyun 2 5 ’i kullanılır. Bu durumda kalan, önceki kalan miktarın 1 − 2 5 = 3 5 katıdır. Yeni kalan su: 3 5 · 2 3 x = 2 5 x Depoya 10 litre su eklenince depo 1 2 dolu oluyorsa denklem: 2 5 x + 10 = 1 2 x Çözelim: 10 = 1 2 x − 2 5 x 10 = ( 1 2 − 2 5 ) x 10 = 1 10 x x = 100 Depo kapasitesi 100 litredir; doğru seçenek B441 ’dir.

Doğru cevap: A

İfade: 1 5 + 2 × 6 - 1 5 - 2 × 6 Kök içlerini tam kare biçiminde yazalım. Şu eşitliği kullanırız: ( a + b ) 2 = a + b + 2 a b Buradan a + b = 5, a b = 6 Bu koşulları sağlayan a = 2, b = 3 Dolayısıyla kökleri sadeleştirelim: 5 + 2 6 = 2 + 3 5 - 2 6 = 3 - 2 İfadeyi bu şekilde yazalım: 1 2 + 3 - 1 3 - 2 Paydaları eşlenikle rasyonelleştirelim: 1 2 + 3 = 3 - 2 ( 2 + 3 ) ( 3 - 2 ) ( 2 + 3 ) ( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1 Buna göre: 1 2 + 3 = 3 - 2 İkinci kesir için: 1 3 - 2 = 3 + 2 ( 3 - 2 ) ( 3 + 2 ) = 3 + 2 Şimdi çıkaralım: ( 3 - 2 ) - ( 3 + 2 ) = - 2 2 Sonuç: - 2 2 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: İfade: 1 5 + 2 × 6 - 1 5 - 2 × 6 Kök içlerini tam kare biçiminde yazalım. Şu eşitliği kullanırız: ( a + b ) 2 = a + b + 2 a b Buradan a + b = 5, a b = 6 Bu koşulları sağlayan a = 2, b = 3 Dolayısıyla kökleri sadeleştirelim: 5 + 2 6 = 2 + 3 5 - 2 6 = 3 - 2 İfadeyi bu şekilde yazalım: 1 2 + 3 - 1 3 - 2 Paydaları eşlenikle rasyonelleştirelim: 1 2 + 3 = 3 - 2 ( 2 + 3 ) ( 3 - 2 ) ( 2 + 3 ) ( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1 Buna göre: 1 2 + 3 = 3 - 2 İkinci kesir için: 1 3 - 2 = 3 + 2 ( 3 - 2 ) ( 3 + 2 ) = 3 + 2 Şimdi çıkaralım: ( 3 - 2 ) - ( 3 + 2 ) = - 2 2 Sonuç: - 2 2 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: A

Verilen denklem: | x - 2 | + | x + 4 | = | 2 x - 1 | + 5 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 2 x = - 4 x = 1 2 Bu yüzden ekseni şu aralıklarda inceleyeceğiz: x < - 4 - 4 ≤ x < 1 2 1 2 ≤ x < 2 x ≥ 2 1) Aralık: x < - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = - x - 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 4 ) = ( - 2 x + 1 ) + 5 - 2 x - 2 = - 2 x + 6 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. 2) Aralık: - 4 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Sol taraf: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( - 2 x + 1 ) + 5 6 = - 2 x + 6 x = 0 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 3) Aralık: 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Sol taraf yine: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( 2 x - 1 ) + 5 6 = 2 x + 4 x = 1 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 4) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 4 ) = ( 2 x - 1 ) + 5 2 x + 2 = 2 x + 4 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. Reel çözümler: x = 0 x = 1 Çözümlerin toplamı: 0 + 1 = 1 Doğru seçenek A1185 ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: | x - 2 | + | x + 4 | = | 2 x - 1 | + 5 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 2 x = - 4 x = 1 2 Bu yüzden ekseni şu aralıklarda inceleyeceğiz: x < - 4 - 4 ≤ x < 1 2 1 2 ≤ x < 2 x ≥ 2 1) Aralık: x < - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = - x - 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 4 ) = ( - 2 x + 1 ) + 5 - 2 x - 2 = - 2 x + 6 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. 2) Aralık: - 4 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Sol taraf: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( - 2 x + 1 ) + 5 6 = - 2 x + 6 x = 0 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 3) Aralık: 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Sol taraf yine: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( 2 x - 1 ) + 5 6 = 2 x + 4 x = 1 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 4) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 4 ) = ( 2 x - 1 ) + 5 2 x + 2 = 2 x + 4 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. Reel çözümler: x = 0 x = 1 Çözümlerin toplamı: 0 + 1 = 1 Doğru seçenek A1185 ’dir.

Doğru cevap: A

Doğru cevap: 0 ile 1 arasında bir sayı olmalıdır.

1. Çözüm: Doğru cevap: 0 ile 1 arasında bir sayı olmalıdır.

Doğru cevap: D

Sıra önemli değildir; $C(6,2)=15$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: B

İşlemi ortak paydada toplayalım. - 3 5 + 7 10 - 1 2 Paydaların ortak katı olarak on seçelim ve kesirleri bu paydada yazalım. - 3 5 = - 6 10 7 10 = 7 10 1 2 = 5 10 Şimdi paydalar eşit olduğuna göre payları toplayıp çıkaralım. - 6 10 + 7 10 - 5 10 = - 6 + 7 - 5 10 - 6 + 7 - 5 10 = - 4 10 Sonucu sadeleştirelim. - 4 10 = - 2 5 Bulunan sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B369’dır. - 2 5

1. Çözüm: İşlemi ortak paydada toplayalım. - 3 5 + 7 10 - 1 2 Paydaların ortak katı olarak on seçelim ve kesirleri bu paydada yazalım. - 3 5 = - 6 10 7 10 = 7 10 1 2 = 5 10 Şimdi paydalar eşit olduğuna göre payları toplayıp çıkaralım. - 6 10 + 7 10 - 5 10 = - 6 + 7 - 5 10 - 6 + 7 - 5 10 = - 4 10 Sonucu sadeleştirelim. - 4 10 = - 2 5 Bulunan sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B369’dır. - 2 5

Doğru cevap: A

Koşulları bölünebilme (kalan) biçiminde yazalım: 1) İlk koşul: 2 ∣ ( n − 1 ) ⇒ n ≡ 1 ( m o d 2 ) 2) Diğerleri benzer şekilde: n ≡ 2 ( m o d 3 ), n ≡ 3 ( m o d 4 ), n ≡ 4 ( m o d 5 ), n ≡ 5 ( m o d 6 ) Burada dikkat edersek her birinde kalan, moddan 1 eksik: n ≡ − 1 ( m o d 2 ), n ≡ − 1 ( m o d 3 ), …, n ≡ − 1 ( m o d 6 ) Bu yüzden n+1 sayısı 2,3,4,5,6 sayılarına ayrı ayrı tam bölünmelidir: 2 ∣ ( n + 1 ), 3 ∣ ( n + 1 ), 4 ∣ ( n + 1 ), 5 ∣ ( n + 1 ), 6 ∣ ( n + 1 ) O halde n+1, bu sayıların EKOK’una eşit olursa en küçük pozitif çözüm elde edilir: n + 1 = E K O K ( 2, 3, 4, 5, 6 ) EKOK hesabı: E K O K ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 Dolayısıyla: n + 1 = 60 ⇒ n = 59 Şıklarda 59 seçeneği A olduğundan doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Koşulları bölünebilme (kalan) biçiminde yazalım: 1) İlk koşul: 2 ∣ ( n − 1 ) ⇒ n ≡ 1 ( m o d 2 ) 2) Diğerleri benzer şekilde: n ≡ 2 ( m o d 3 ), n ≡ 3 ( m o d 4 ), n ≡ 4 ( m o d 5 ), n ≡ 5 ( m o d 6 ) Burada dikkat edersek her birinde kalan, moddan 1 eksik: n ≡ − 1 ( m o d 2 ), n ≡ − 1 ( m o d 3 ), …, n ≡ − 1 ( m o d 6 ) Bu yüzden n+1 sayısı 2,3,4,5,6 sayılarına ayrı ayrı tam bölünmelidir: 2 ∣ ( n + 1 ), 3 ∣ ( n + 1 ), 4 ∣ ( n + 1 ), 5 ∣ ( n + 1 ), 6 ∣ ( n + 1 ) O halde n+1, bu sayıların EKOK’una eşit olursa en küçük pozitif çözüm elde edilir: n + 1 = E K O K ( 2, 3, 4, 5, 6 ) EKOK hesabı: E K O K ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 Dolayısıyla: n + 1 = 60 ⇒ n = 59 Şıklarda 59 seçeneği A olduğundan doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: A

Verilen bilgiye göre bir sayıyı ile gösterelim. x “Sayı ile altının toplamı, aynı sayının dört katına eşittir” cümlesini denklem olarak yazalım: x + 6 = 4 x Bilinmeyen terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım: 6 = 4 x - x Sağ tarafı sadeleştirelim: 6 = 3 x Her iki tarafı üçe bölelim: x = 2 Bulunan değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen bilgiye göre bir sayıyı ile gösterelim. x “Sayı ile altının toplamı, aynı sayının dört katına eşittir” cümlesini denklem olarak yazalım: x + 6 = 4 x Bilinmeyen terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım: 6 = 4 x - x Sağ tarafı sadeleştirelim: 6 = 3 x Her iki tarafı üçe bölelim: x = 2 Bulunan değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: n ∈ ℤ, 8 ∣ ( n 2 − 1 ) Önce ifadeyi çarpanlarına ayıralım: n 2 − 1 = ( n − 1 ) ( n + 1 ) Eğer n çift olsaydı, n² çift ve n²−1 tek olurdu; tek bir sayı 8 'e bölünemez. Bunu MathML ile yazarsak: n = 2 k ⇒ n 2 − 1 = 4 k 2 − 1   (tek) ⇒ 8 ∤ ( n 2 − 1 ) Dolayısıyla verilen koşulun sağlanması için n kesinlikle tek olmalıdır: 8 ∣ ( n 2 − 1 ) ⇒ 2 ∤ n Hatta ters yönde de doğrudur: n tek ise koşul sağlanır. Çünkü: n = 2 k + 1 ⇒ n 2 − 1 = ( 2 k + 1 ) 2 − 1 = 4 k ( k + 1 ) Ardışık iki sayıdan biri çift olduğundan k(k+1) çifttir: 2 ∣ ( k ( k + 1 ) ) ⇒ 4 k ( k + 1 ) = 8 m Yani: 8 ∣ ( n 2 − 1 ) Şimdi şıkları kontrol edelim. Koşuldan kesin çıkan sonuç: 2 ∤ n Bu da C şıkkıdır. (Yani “doğru cevap C mi?”: Evet.) Diğer şıkların “kesin” olmadığını örnekle gösterelim (örneklerin hepsi koşulu sağlar): A şıkkı her zaman doğru değildir: n = 3 ⇒ n 2 − 1 = 8, 4 ∤ ( n − 1 ) B şıkkı her zaman doğru değildir: n = 5 ⇒ n 2 − 1 = 24, 4 ∤ ( n + 1 ) D şıkkı her zaman doğru değildir: n = 3 ⇒ 8 ∤ ( n − 1 ) Sonuç: Doğru cevap = C

1. Çözüm: Verilen koşul: n ∈ ℤ, 8 ∣ ( n 2 − 1 ) Önce ifadeyi çarpanlarına ayıralım: n 2 − 1 = ( n − 1 ) ( n + 1 ) Eğer n çift olsaydı, n² çift ve n²−1 tek olurdu; tek bir sayı 8 'e bölünemez. Bunu MathML ile yazarsak: n = 2 k ⇒ n 2 − 1 = 4 k 2 − 1   (tek) ⇒ 8 ∤ ( n 2 − 1 ) Dolayısıyla verilen koşulun sağlanması için n kesinlikle tek olmalıdır: 8 ∣ ( n 2 − 1 ) ⇒ 2 ∤ n Hatta ters yönde de doğrudur: n tek ise koşul sağlanır. Çünkü: n = 2 k + 1 ⇒ n 2 − 1 = ( 2 k + 1 ) 2 − 1 = 4 k ( k + 1 ) Ardışık iki sayıdan biri çift olduğundan k(k+1) çifttir: 2 ∣ ( k ( k + 1 ) ) ⇒ 4 k ( k + 1 ) = 8 m Yani: 8 ∣ ( n 2 − 1 ) Şimdi şıkları kontrol edelim. Koşuldan kesin çıkan sonuç: 2 ∤ n Bu da C şıkkıdır. (Yani “doğru cevap C mi?”: Evet.) Diğer şıkların “kesin” olmadığını örnekle gösterelim (örneklerin hepsi koşulu sağlar): A şıkkı her zaman doğru değildir: n = 3 ⇒ n 2 − 1 = 8, 4 ∤ ( n − 1 ) B şıkkı her zaman doğru değildir: n = 5 ⇒ n 2 − 1 = 24, 4 ∤ ( n + 1 ) D şıkkı her zaman doğru değildir: n = 3 ⇒ 8 ∤ ( n − 1 ) Sonuç: Doğru cevap = C

Doğru cevap: C

Verilen ifade: 2 3 × 2 5 2 4 Payda ve payda aynı tabanlı üslü ifadeler olduğundan önce payı birleştirelim: 2 3 + 5 2 4 Üstleri toplayalım: 2 8 2 4 Bölmede üsler çıkarılır: 2 8 − 4 Çıkarma işlemini yapalım: 2 4 Sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap C260 ’dır.

1. Çözüm: Verilen ifade: 2 3 × 2 5 2 4 Payda ve payda aynı tabanlı üslü ifadeler olduğundan önce payı birleştirelim: 2 3 + 5 2 4 Üstleri toplayalım: 2 8 2 4 Bölmede üsler çıkarılır: 2 8 − 4 Çıkarma işlemini yapalım: 2 4 Sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap C260 ’dır.