9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: D

Soruda istenen değer, aşağıdaki ifadenin mod değeridir: 2 2025 + 5 2025 Mod hesabında üslü ifadeler için periyot bulmak amacıyla, 9 ile aralarında asal olan tabanlarda Euler teoremini kullanabiliriz. Önce: φ ( 9 ) = 6 Üsleri 6 ile sadeleştirelim: 2025 = 6 · 337 + 3 2025 ≡ 3  (mod  6 ) Şimdi ayrı ayrı kalanları bulalım. Birinci terim: 2 2025 ≡ 2 3  (mod  9 ) 2 3 = 8 2 2025 ≡ 8  (mod  9 ) İkinci terim: 5 2025 ≡ 5 3  (mod  9 ) 5 3 = 125 125 ≡ 8  (mod  9 ) 5 2025 ≡ 8  (mod  9 ) Toplayıp son kalanı bulalım: 2 2025 + 5 2025 ≡ 8 + 8  (mod  9 ) 16 ≡ 7  (mod  9 ) Kalan 7 çıkar. Bu nedenle doğru seçenek D667 ’dir. 7

1. Çözüm: Soruda istenen değer, aşağıdaki ifadenin mod değeridir: 2 2025 + 5 2025 Mod hesabında üslü ifadeler için periyot bulmak amacıyla, 9 ile aralarında asal olan tabanlarda Euler teoremini kullanabiliriz. Önce: φ ( 9 ) = 6 Üsleri 6 ile sadeleştirelim: 2025 = 6 · 337 + 3 2025 ≡ 3  (mod  6 ) Şimdi ayrı ayrı kalanları bulalım. Birinci terim: 2 2025 ≡ 2 3  (mod  9 ) 2 3 = 8 2 2025 ≡ 8  (mod  9 ) İkinci terim: 5 2025 ≡ 5 3  (mod  9 ) 5 3 = 125 125 ≡ 8  (mod  9 ) 5 2025 ≡ 8  (mod  9 ) Toplayıp son kalanı bulalım: 2 2025 + 5 2025 ≡ 8 + 8  (mod  9 ) 16 ≡ 7  (mod  9 ) Kalan 7 çıkar. Bu nedenle doğru seçenek D667 ’dir. 7

Doğru cevap: A

Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Sekiz ve dokuz aralarında asal olduğundan sayı, yetmiş iki ile tam bölünebilmek için hem sekiz hem dokuz ile tam bölünmelidir. Sayının basamak değeri ile yazılışı: N = 7000 + 100 a + 20 + b Dokuz ile bölünebilme: 7 + a + 2 + b = 9 + a + b 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam oldukları için toplamın alabileceği uygun değerleri kontrol edersek: a + b = 0, 9, 18 Koşul: a > b Bu koşulla birlikte yalnızca şu durum kalır: a + b = 9 Sekiz ile bölünebilme (son üç basamak): 100 a + 20 + b ≡ 0 ( mod 8 ) Burada b = 9 - a yazıp yerine koyalım: 100 a + 20 + 9 - a = 99 a + 29 Şimdi a + b = 9 ve a > b koşullarından olası çiftler: ( a, b ) = ( 9, 0 ), ( 8, 1 ), ( 7, 2 ), ( 6, 3 ), ( 5, 4 ) Sekiz ile bölünebilme için son üç basamağı kontrol edelim: 920 ÷ 8 = 115 Bu çift sağlıyor. Diğer çiftlerde son üç basamak sekize tam bölünmez, dolayısıyla tek çözüm: a = 9, b = 0 İstenen çarpım: a ⋅ b = 0 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Sekiz ve dokuz aralarında asal olduğundan sayı, yetmiş iki ile tam bölünebilmek için hem sekiz hem dokuz ile tam bölünmelidir. Sayının basamak değeri ile yazılışı: N = 7000 + 100 a + 20 + b Dokuz ile bölünebilme: 7 + a + 2 + b = 9 + a + b 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam oldukları için toplamın alabileceği uygun değerleri kontrol edersek: a + b = 0, 9, 18 Koşul: a > b Bu koşulla birlikte yalnızca şu durum kalır: a + b = 9 Sekiz ile bölünebilme (son üç basamak): 100 a + 20 + b ≡ 0 ( mod 8 ) Burada b = 9 - a yazıp yerine koyalım: 100 a + 20 + 9 - a = 99 a + 29 Şimdi a + b = 9 ve a > b koşullarından olası çiftler: ( a, b ) = ( 9, 0 ), ( 8, 1 ), ( 7, 2 ), ( 6, 3 ), ( 5, 4 ) Sekiz ile bölünebilme için son üç basamağı kontrol edelim: 920 ÷ 8 = 115 Bu çift sağlıyor. Diğer çiftlerde son üç basamak sekize tam bölünmez, dolayısıyla tek çözüm: a = 9, b = 0 İstenen çarpım: a ⋅ b = 0 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Soruda istenen: Aşağıdaki seçeneklerden hangisi kalansız olarak belirtilen sayıya bölünür? Bunun için sayının şu çarpanlara aynı anda bölünebilmesi gerekir: 36 = 4 × 9 Yani bir sayı, hem dörde hem de dokuza bölünüyorsa, otuz altıya da bölünür. A şıkkını kontrol edelim: 1620 Dörde bölünebilme: Son iki basamak kontrol edilir. 20 ÷ 4 = 5 Son iki basamak dörde bölündüğü için sayı dörde bölünür. Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmelidir. 1 + 6 + 2 + 0 = 9 Rakamlar toplamı dokuza bölündüğü için sayı dokuza bölünür. Hem dörde hem dokuza bölündüğünden, otuz altıya da bölünür: 1620 ÷ 36 = 45 Diğer seçeneklere hızlı kontrol: B şıkkı: 1530 Son iki basamak: 30 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. C şıkkı: 1680 Rakamlar toplamı: 1 + 6 + 8 + 0 = 15 Dokuza bölünmediği için otuz altıya bölünmez. D şıkkı: 1710 Son iki basamak: 10 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A ve “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Soruda istenen: Aşağıdaki seçeneklerden hangisi kalansız olarak belirtilen sayıya bölünür? Bunun için sayının şu çarpanlara aynı anda bölünebilmesi gerekir: 36 = 4 × 9 Yani bir sayı, hem dörde hem de dokuza bölünüyorsa, otuz altıya da bölünür. A şıkkını kontrol edelim: 1620 Dörde bölünebilme: Son iki basamak kontrol edilir. 20 ÷ 4 = 5 Son iki basamak dörde bölündüğü için sayı dörde bölünür. Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmelidir. 1 + 6 + 2 + 0 = 9 Rakamlar toplamı dokuza bölündüğü için sayı dokuza bölünür. Hem dörde hem dokuza bölündüğünden, otuz altıya da bölünür: 1620 ÷ 36 = 45 Diğer seçeneklere hızlı kontrol: B şıkkı: 1530 Son iki basamak: 30 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. C şıkkı: 1680 Rakamlar toplamı: 1 + 6 + 8 + 0 = 15 Dokuza bölünmediği için otuz altıya bölünmez. D şıkkı: 1710 Son iki basamak: 10 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A ve “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: A

Verilen sayı a 7 b 2 c ‾ şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a ≠ 0 tır. Sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): a + 7 + b + 2 + c Bu toplam a + b + c + 9 olduğundan, 9 ile bölünebilmesi için a + b + c ≡ 0 ( mod 9 ) yani a + b + c ifadesi 9 ’un katı olmalıdır. 2) 11 ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam): a - 7 + b - 2 + c Bu ifade a + b + c - 9 olur. 11 ile bölünebilmesi için a + b + c - 9 ifadesi 11 ’in katı olmalıdır. Şimdi a + b + c toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla 9 + 8 + 7 yani 24 civarındadır (zaten 27 ’yi geçemez). Bu yüzden a + b + c - 9 ifadesi yaklaşık - 9 ile 18 arasında kalır. Bu aralıkta 11 ’in katları yalnızca - 11 0 11 olabilir. Dolayısıyla a + b + c - 9 ∈ { - 11, 0, 11 } buradan a + b + c ∈ { - 2, 9, 20 } elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için a + b + c ∈ { 9, 20 } kalır. Ayrıca 9 ile bölünebilme için a + b + c ∈ { 0, 9, 18, 27 } olmalıydı. İki koşulun kesişimi: { 9, 20 } ∩ { 0, 9, 18, 27 } = { 9 } Demek ki mutlaka a + b + c = 9 olmalıdır. Şimdi a, b, c birbirinden farklı rakamlar, a ≠ 0 ve a + b + c = 9 şartını sağlayan üçlüleri sayalım. Toplamı 9 olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler: ( 0, 1, 8 ) ( 0, 2, 7 ) ( 0, 3, 6 ) ( 0, 4, 5 ) ( 1, 2, 6 ) ( 1, 3, 5 ) ( 2, 3, 4 ) Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani a, b, c yerleşimini) bulalım: 0 içeren üçlüler: Örneğin ( 0, x, y ) için toplam permütasyon sayısı 6 dır. Ancak a ≠ 0 olmalı. a ’nın 0 seçildiği durum sayısı 2 (kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her 0 içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi 6 - 2 = 4 tür. Böyle üçlü sayısı 4 olduğundan katkı 4 · 4 = 16 dır. 0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten a ≠ 0 kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı 6 dır. Böyle üçlü sayısı 3 olduğundan katkı 3 · 6 = 18 dir. Toplam farklı sayı adedi: 16 + 18 = 34 Sonuç olarak doğru seçenek 34 olur; yani şıkkıA1994 doğrudur.

1. Çözüm: Verilen sayı a 7 b 2 c ‾ şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a ≠ 0 tır. Sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): a + 7 + b + 2 + c Bu toplam a + b + c + 9 olduğundan, 9 ile bölünebilmesi için a + b + c ≡ 0 ( mod 9 ) yani a + b + c ifadesi 9 ’un katı olmalıdır. 2) 11 ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam): a - 7 + b - 2 + c Bu ifade a + b + c - 9 olur. 11 ile bölünebilmesi için a + b + c - 9 ifadesi 11 ’in katı olmalıdır. Şimdi a + b + c toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla 9 + 8 + 7 yani 24 civarındadır (zaten 27 ’yi geçemez). Bu yüzden a + b + c - 9 ifadesi yaklaşık - 9 ile 18 arasında kalır. Bu aralıkta 11 ’in katları yalnızca - 11 0 11 olabilir. Dolayısıyla a + b + c - 9 ∈ { - 11, 0, 11 } buradan a + b + c ∈ { - 2, 9, 20 } elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için a + b + c ∈ { 9, 20 } kalır. Ayrıca 9 ile bölünebilme için a + b + c ∈ { 0, 9, 18, 27 } olmalıydı. İki koşulun kesişimi: { 9, 20 } ∩ { 0, 9, 18, 27 } = { 9 } Demek ki mutlaka a + b + c = 9 olmalıdır. Şimdi a, b, c birbirinden farklı rakamlar, a ≠ 0 ve a + b + c = 9 şartını sağlayan üçlüleri sayalım. Toplamı 9 olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler: ( 0, 1, 8 ) ( 0, 2, 7 ) ( 0, 3, 6 ) ( 0, 4, 5 ) ( 1, 2, 6 ) ( 1, 3, 5 ) ( 2, 3, 4 ) Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani a, b, c yerleşimini) bulalım: 0 içeren üçlüler: Örneğin ( 0, x, y ) için toplam permütasyon sayısı 6 dır. Ancak a ≠ 0 olmalı. a ’nın 0 seçildiği durum sayısı 2 (kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her 0 içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi 6 - 2 = 4 tür. Böyle üçlü sayısı 4 olduğundan katkı 4 · 4 = 16 dır. 0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten a ≠ 0 kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı 6 dır. Böyle üçlü sayısı 3 olduğundan katkı 3 · 6 = 18 dir. Toplam farklı sayı adedi: 16 + 18 = 34 Sonuç olarak doğru seçenek 34 olur; yani şıkkıA1994 doğrudur.

Doğru cevap: D

Bölünebilme koşulunu parçalayalım: 72 = 8 × 9 Dolayısıyla sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Sayıyı açık yazalım: N = a 4 8 a 6 N = a × 10000 + 4 × 1000 + 8 × 100 + a × 10 + 6 Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakılır: 8 a 6 Bu üç basamaklı sayı: 8 a 6 = 806 + 10 a Sekize bölünebilme koşulu (modüler aritmetik ile): 806 + 10 a ≡ 0 ( mod 8 ) 6 + 2 a ≡ 0 ( mod 8 ) 2 a ≡ 2 ( mod 8 ) a ≡ 1 ( mod 4 ) Buna göre rakam olan a için olası değerler: a ∈ { 1, 5, 9 } Şimdi dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmeli. S = a + 4 + 8 + a + 6 S = 2 a + 18 Dokuza bölünebilme koşulu: 2 a + 18 ≡ 0 ( mod 9 ) 2 a ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğu için buradan: a ∈ { 0, 9 } İki koşulun ortak çözümü: { 1, 5, 9 } ∩ { 0, 9 } = { 9 } Sonuç: a = 9 Dolayısıyla doğru seçenek D881 ’dır.

1. Çözüm: Bölünebilme koşulunu parçalayalım: 72 = 8 × 9 Dolayısıyla sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Sayıyı açık yazalım: N = a 4 8 a 6 N = a × 10000 + 4 × 1000 + 8 × 100 + a × 10 + 6 Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakılır: 8 a 6 Bu üç basamaklı sayı: 8 a 6 = 806 + 10 a Sekize bölünebilme koşulu (modüler aritmetik ile): 806 + 10 a ≡ 0 ( mod 8 ) 6 + 2 a ≡ 0 ( mod 8 ) 2 a ≡ 2 ( mod 8 ) a ≡ 1 ( mod 4 ) Buna göre rakam olan a için olası değerler: a ∈ { 1, 5, 9 } Şimdi dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmeli. S = a + 4 + 8 + a + 6 S = 2 a + 18 Dokuza bölünebilme koşulu: 2 a + 18 ≡ 0 ( mod 9 ) 2 a ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğu için buradan: a ∈ { 0, 9 } İki koşulun ortak çözümü: { 1, 5, 9 } ∩ { 0, 9 } = { 9 } Sonuç: a = 9 Dolayısıyla doğru seçenek D881 ’dır.

Doğru cevap: C

Doğru şık kontrolü: Bulunan kalan, verilen seçeneklerde C şıkkına karşılık gelir. Verilen koşulları kongruens (kalan) biçiminde yazalım: n ≡ 2 ( mod 3 ) n ≡ 4 ( mod 5 ) İkinci koşula göre sayı şu biçimdedir: n = 5 k + 4 Bu ifadeyi birinci koşulda kullanalım: 5 k + 4 ≡ 2 ( mod 3 ) Modül içinde sadeleştirelim: 5 ≡ 2 ( mod 3 ) 4 ≡ 1 ( mod 3 ) 2 k + 1 ≡ 2 ( mod 3 ) Buradan: 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Mod 3 içinde 2 sayısının tersi yine 2 ’dir; çünkü: 2 · 2 = 4 ≡ 1 ( mod 3 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 2 ( mod 3 ) O hâlde: k = 3 t + 2 Bunu n = 5 k + 4 içinde yerine yazalım: n = 5 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 15 t + 14 Bu da demektir ki n sayısı 15 ile bölündüğünde kalan: 14 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Bulunan kalan, verilen seçeneklerde C şıkkına karşılık gelir. Verilen koşulları kongruens (kalan) biçiminde yazalım: n ≡ 2 ( mod 3 ) n ≡ 4 ( mod 5 ) İkinci koşula göre sayı şu biçimdedir: n = 5 k + 4 Bu ifadeyi birinci koşulda kullanalım: 5 k + 4 ≡ 2 ( mod 3 ) Modül içinde sadeleştirelim: 5 ≡ 2 ( mod 3 ) 4 ≡ 1 ( mod 3 ) 2 k + 1 ≡ 2 ( mod 3 ) Buradan: 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Mod 3 içinde 2 sayısının tersi yine 2 ’dir; çünkü: 2 · 2 = 4 ≡ 1 ( mod 3 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 2 ( mod 3 ) O hâlde: k = 3 t + 2 Bunu n = 5 k + 4 içinde yerine yazalım: n = 5 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 15 t + 14 Bu da demektir ki n sayısı 15 ile bölündüğünde kalan: 14 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) Birinci koşulu çözelim: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ −1 ( mod 7 ) −1 ≡ 6 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ 6 ( mod 7 ) Burada 6 ’nın yediye göre tersi yine 6 ’dır; çünkü: 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: n ≡ 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) İkinci koşulu çözelim: 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ −2 ( mod 9 ) −2 ≡ 7 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ 7 ( mod 9 ) Dokuz’a göre 5 ’in tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 2 ⋅ 7 = 14 ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birleştirelim: n ≡ 1 ( mod 7 ) ve n ≡ 5 ( mod 9 ) Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar): 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer: n = 50 Sonuç: Doğru seçenek A858 ’dir.

1. Çözüm: Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) Birinci koşulu çözelim: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ −1 ( mod 7 ) −1 ≡ 6 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ 6 ( mod 7 ) Burada 6 ’nın yediye göre tersi yine 6 ’dır; çünkü: 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: n ≡ 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) İkinci koşulu çözelim: 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ −2 ( mod 9 ) −2 ≡ 7 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ 7 ( mod 9 ) Dokuz’a göre 5 ’in tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 2 ⋅ 7 = 14 ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birleştirelim: n ≡ 1 ( mod 7 ) ve n ≡ 5 ( mod 9 ) Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar): 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer: n = 50 Sonuç: Doğru seçenek A858 ’dir.

Doğru cevap: B

Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım. lcm ( 8, 9 ) = 72 Bu yüzden n sayısı 72 ’nin katıdır. n = 72 k Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım. 72 k ≡ 5 ( mod 7 ) Önce 72 ’yi 7 ’ye göre sadeleştirelim. 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 k ≡ 5 ( mod 7 ) Burada 2 ’nin 7 ’ye göre tersi 4 ’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım. 4 ⋅ 2 k ≡ 4 ⋅ 5 ( mod 7 ) k ≡ 20 ≡ 6 ( mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 7 t + 6 Bunu n=72k içinde yerine yazalım. n = 72 ( 7 t + 6 ) n = 504 t + 432 Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım. n ≡ 2 ( mod 5 ) Bizde n=504t+432 olduğuna göre: 504 t + 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Katsayıları 5 ’e göre sadeleştirelim. 504 ≡ 4 ( mod 5 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 4 t + 2 ≡ 2 ( mod 5 ) 4 t ≡ 0 ( mod 5 ) Buradan t ’nin 5 ’in katı olması gerekir. t ≡ 0 ( mod 5 ) En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim. t = 0 n = 504 ⋅ 0 + 432 = 432 Hızlı kontrol: 432 ÷ 8 = 54 432 ÷ 9 = 48 432 ≡ 5 ( mod 7 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. n = 432

1. Çözüm: Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım. lcm ( 8, 9 ) = 72 Bu yüzden n sayısı 72 ’nin katıdır. n = 72 k Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım. 72 k ≡ 5 ( mod 7 ) Önce 72 ’yi 7 ’ye göre sadeleştirelim. 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 k ≡ 5 ( mod 7 ) Burada 2 ’nin 7 ’ye göre tersi 4 ’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım. 4 ⋅ 2 k ≡ 4 ⋅ 5 ( mod 7 ) k ≡ 20 ≡ 6 ( mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 7 t + 6 Bunu n=72k içinde yerine yazalım. n = 72 ( 7 t + 6 ) n = 504 t + 432 Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım. n ≡ 2 ( mod 5 ) Bizde n=504t+432 olduğuna göre: 504 t + 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Katsayıları 5 ’e göre sadeleştirelim. 504 ≡ 4 ( mod 5 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 4 t + 2 ≡ 2 ( mod 5 ) 4 t ≡ 0 ( mod 5 ) Buradan t ’nin 5 ’in katı olması gerekir. t ≡ 0 ( mod 5 ) En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim. t = 0 n = 504 ⋅ 0 + 432 = 432 Hızlı kontrol: 432 ÷ 8 = 54 432 ÷ 9 = 48 432 ≡ 5 ( mod 7 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. n = 432

Doğru cevap: A

Verilen koşulları modüler eşitlik olarak yazalım: n + 12 ≡ 0 ( mod 35 ) n ≡ - 12 ( mod 35 ) n ≡ 23 ( mod 35 ) n - 8 ≡ 0 ( mod 27 ) n ≡ 8 ( mod 27 ) Şimdi bu iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif n değerini bulalım (Çin Kalan Teoremi mantığıyla). Birinci koşuldan: n = 23 + 35 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 23 + 35 k ≡ 8 ( mod 27 ) Taraf tarafa düzenleyelim: 35 k ≡ 8 - 23 ( mod 27 ) 35 k ≡ - 15 ( mod 27 ) Mod 27’de -15, 12 ile denktir: - 15 ≡ 12 ( mod 27 ) 35 k ≡ 12 ( mod 27 ) Şimdi 35 sayısını mod 27 ’de sadeleştirelim: 35 ≡ 8 ( mod 27 ) 8 k ≡ 12 ( mod 27 ) Mod 27’de 8’in tersini bulalım. Çünkü: 8 ⋅ 17 = 136 = 27 ⋅ 5 + 1 Buradan: 8 ⋅ 17 ≡ 1 ( mod 27 ) Yani 8’in mod 27’ye göre tersi 17’dir. Her iki tarafı 17 ile çarpalım: k ≡ 12 ⋅ 17 ( mod 27 ) k ≡ 204 ( mod 27 ) 204 = 27 ⋅ 7 + 15 k ≡ 15 ( mod 27 ) En küçük uygun değer için k ’yi 15 alabiliriz. O zaman: n = 23 + 35 ⋅ 15 n = 23 + 525 n = 548 Sonuç: En küçük pozitif n değeri 548 ’dir. Bu nedenle doğru seçenek A’dır.

1. Çözüm: Verilen koşulları modüler eşitlik olarak yazalım: n + 12 ≡ 0 ( mod 35 ) n ≡ - 12 ( mod 35 ) n ≡ 23 ( mod 35 ) n - 8 ≡ 0 ( mod 27 ) n ≡ 8 ( mod 27 ) Şimdi bu iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif n değerini bulalım (Çin Kalan Teoremi mantığıyla). Birinci koşuldan: n = 23 + 35 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 23 + 35 k ≡ 8 ( mod 27 ) Taraf tarafa düzenleyelim: 35 k ≡ 8 - 23 ( mod 27 ) 35 k ≡ - 15 ( mod 27 ) Mod 27’de -15, 12 ile denktir: - 15 ≡ 12 ( mod 27 ) 35 k ≡ 12 ( mod 27 ) Şimdi 35 sayısını mod 27 ’de sadeleştirelim: 35 ≡ 8 ( mod 27 ) 8 k ≡ 12 ( mod 27 ) Mod 27’de 8’in tersini bulalım. Çünkü: 8 ⋅ 17 = 136 = 27 ⋅ 5 + 1 Buradan: 8 ⋅ 17 ≡ 1 ( mod 27 ) Yani 8’in mod 27’ye göre tersi 17’dir. Her iki tarafı 17 ile çarpalım: k ≡ 12 ⋅ 17 ( mod 27 ) k ≡ 204 ( mod 27 ) 204 = 27 ⋅ 7 + 15 k ≡ 15 ( mod 27 ) En küçük uygun değer için k ’yi 15 alabiliriz. O zaman: n = 23 + 35 ⋅ 15 n = 23 + 525 n = 548 Sonuç: En küçük pozitif n değeri 548 ’dir. Bu nedenle doğru seçenek A’dır.