9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: A

Doğru şıkkın A olup olmadığını, bölünebilme kuralı ile kontrol edelim. Bir sayının aşağıdaki sayı ile tam bölünebilmesi için hem çift olması hem de rakamları toplamının üçe tam bölünmesi gerekir: 6 6 = 2 × 3 A şıkkı için sayımız: 234 Çiftlik kontrolü: Son basamak çift olduğu için sayı çifttir (son basamak): 4 Üçe bölünebilme kontrolü: Rakamları toplamını bulalım: 2 + 3 + 4 = 9 Bu toplam üçe tam bölünür: 9 = 3 × 3 Hem çift hem de üçe tam bölündüğü için, bu sayı altı ile tam bölünür. Bölümü de tam sayı çıkar: 234 ÷ 6 = 39 Diğer şıkların hızlı kontrolü: B şıkkı: 231 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 1 C şıkkı: 242 Rakamları toplamı üçe tam bölünmez: 2 + 4 + 2 = 8 D şıkkı: 225 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru şıkkın A olup olmadığını, bölünebilme kuralı ile kontrol edelim. Bir sayının aşağıdaki sayı ile tam bölünebilmesi için hem çift olması hem de rakamları toplamının üçe tam bölünmesi gerekir: 6 6 = 2 × 3 A şıkkı için sayımız: 234 Çiftlik kontrolü: Son basamak çift olduğu için sayı çifttir (son basamak): 4 Üçe bölünebilme kontrolü: Rakamları toplamını bulalım: 2 + 3 + 4 = 9 Bu toplam üçe tam bölünür: 9 = 3 × 3 Hem çift hem de üçe tam bölündüğü için, bu sayı altı ile tam bölünür. Bölümü de tam sayı çıkar: 234 ÷ 6 = 39 Diğer şıkların hızlı kontrolü: B şıkkı: 231 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 1 C şıkkı: 242 Rakamları toplamı üçe tam bölünmez: 2 + 4 + 2 = 8 D şıkkı: 225 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Sayı 2 a 5 b ifadesinde a, b rakamları için bu sayının 36 ile tam bölünebildiği durumda a + b isteniyor. Bir sayının 36 ile bölünebilmesi için 36 = 4 · 9 olduğundan, sayının hem 4 hem de 9 ile bölünebilmesi yeterlidir (çünkü) gcd ( 4, 9 ) = 1 Koşul 1: Sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağı olan 5 b sayısı 4 ile bölünmelidir. Son iki basamak 5 b = 50 + b olur. Modüler olarak: 50 ≡ 2 mod 4 Dolayısıyla 50 + b ≡ 0 mod 4 için 2 + b ≡ 0 mod 4 yani b ≡ 2 mod 4 olmalıdır. Rakam olduğundan b ∈ { 2, 6 } Koşul 2: Sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 9 ile bölünmelidir: 2 + a + 5 + b = a + b + 7 Bu toplam için a + b + 7 ≡ 0 mod 9 yani a + b ≡ 2 mod 9 Şimdi b ∈ { 2, 6 } durumlarını kontrol edelim. Durum 1: b = 2 ise a + 2 ≡ 2 mod 9 buradan a ≡ 0 mod 9 Rakam olduğundan a ∈ { 0, 9 } Bu durumda a + b ∈ { 2, 11 } Durum 2: b = 6 ise a + 6 ≡ 2 mod 9 buradan a ≡ 5 mod 9 Rakam olduğundan a = 5 ve a + b = 11 Şıklarda yalnızca 2 bulunduğundan doğru değer a + b = 2 olur. Bu da a = 0, b = 2 için gerçekleşir (sayı 2052 olur ve 2052 ÷ 36 = 57 tam sayıdır). Sonuç: Doğru cevap B: 2 Yani “B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

1. Çözüm: Sayı 2 a 5 b ifadesinde a, b rakamları için bu sayının 36 ile tam bölünebildiği durumda a + b isteniyor. Bir sayının 36 ile bölünebilmesi için 36 = 4 · 9 olduğundan, sayının hem 4 hem de 9 ile bölünebilmesi yeterlidir (çünkü) gcd ( 4, 9 ) = 1 Koşul 1: Sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağı olan 5 b sayısı 4 ile bölünmelidir. Son iki basamak 5 b = 50 + b olur. Modüler olarak: 50 ≡ 2 mod 4 Dolayısıyla 50 + b ≡ 0 mod 4 için 2 + b ≡ 0 mod 4 yani b ≡ 2 mod 4 olmalıdır. Rakam olduğundan b ∈ { 2, 6 } Koşul 2: Sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 9 ile bölünmelidir: 2 + a + 5 + b = a + b + 7 Bu toplam için a + b + 7 ≡ 0 mod 9 yani a + b ≡ 2 mod 9 Şimdi b ∈ { 2, 6 } durumlarını kontrol edelim. Durum 1: b = 2 ise a + 2 ≡ 2 mod 9 buradan a ≡ 0 mod 9 Rakam olduğundan a ∈ { 0, 9 } Bu durumda a + b ∈ { 2, 11 } Durum 2: b = 6 ise a + 6 ≡ 2 mod 9 buradan a ≡ 5 mod 9 Rakam olduğundan a = 5 ve a + b = 11 Şıklarda yalnızca 2 bulunduğundan doğru değer a + b = 2 olur. Bu da a = 0, b = 2 için gerçekleşir (sayı 2052 olur ve 2052 ÷ 36 = 57 tam sayıdır). Sonuç: Doğru cevap B: 2 Yani “B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen sayı: 3 x 4 Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9 ’un katı olması gerekir. 9 Bu sayının rakamları toplamı: 3 + x + 4 = x + 7 Bu toplam 9 ’un katı olmalı. Rakam toplamı aralığı: 3 + 0 + 4 ≤ 3 + x + 4 ≤ 3 + 9 + 4 Dolayısıyla uygun kat sadece 9 olabilir: x + 7 = 9 Denklemi çözelim: x = 2 Kontrol: Rakamlar toplamı 3 + 2 + 4 = 9 Sonuç: Doğru cevap C373 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen sayı: 3 x 4 Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9 ’un katı olması gerekir. 9 Bu sayının rakamları toplamı: 3 + x + 4 = x + 7 Bu toplam 9 ’un katı olmalı. Rakam toplamı aralığı: 3 + 0 + 4 ≤ 3 + x + 4 ≤ 3 + 9 + 4 Dolayısıyla uygun kat sadece 9 olabilir: x + 7 = 9 Denklemi çözelim: x = 2 Kontrol: Rakamlar toplamı 3 + 2 + 4 = 9 Sonuç: Doğru cevap C373 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Önce bölünebilme kuralını yazalım: 12 = 3 · 4 Bir sayının on iki ile tam bölünebilmesi için hem üç ile hem de dört ile tam bölünebilmesi yeterlidir. şıkkıD154nı kontrol edelim: 2316 (1) Dört ile bölünebilme: Son iki basamağa bakılır. 16 Bu sayı dört ile bölünür çünkü: 16 = 4 · 4 (2) Üç ile bölünebilme: Rakamlar toplamına bakılır. 2 + 3 + 1 + 6 = 12 Rakamlar toplamı üç ile bölünür çünkü: 12 = 3 · 4 Hem üç hem dört ile bölündüğü için on iki ile de tam bölünür. İstersen bölümü de gösterelim: 2316 ÷ 12 = 193 Diğer şıkların hızlı kontrolü: B şıkkı: 2342 Son iki basamak: 42 Bu sayı dört ile bölünmez (çünkü kırk iki dört ün katı değildir). Dolayısıyla on iki ile de bölünmez. C şıkkı: 2324 Son iki basamak: 24 Bu sayı dört ile bölünür; fakat rakamlar toplamı: 2 + 3 + 2 + 4 = 11 Bu toplam üç ile bölünmediği için on iki ile bölünmez. D şıkkı: 2306 Son iki basamak: 06 Bu sayı dört ile bölünmez; dolayısıyla on iki ile de bölünmez. Sonuç: Doğru cevap D957’dır.

1. Çözüm: Önce bölünebilme kuralını yazalım: 12 = 3 · 4 Bir sayının on iki ile tam bölünebilmesi için hem üç ile hem de dört ile tam bölünebilmesi yeterlidir. şıkkıD154nı kontrol edelim: 2316 (1) Dört ile bölünebilme: Son iki basamağa bakılır. 16 Bu sayı dört ile bölünür çünkü: 16 = 4 · 4 (2) Üç ile bölünebilme: Rakamlar toplamına bakılır. 2 + 3 + 1 + 6 = 12 Rakamlar toplamı üç ile bölünür çünkü: 12 = 3 · 4 Hem üç hem dört ile bölündüğü için on iki ile de tam bölünür. İstersen bölümü de gösterelim: 2316 ÷ 12 = 193 Diğer şıkların hızlı kontrolü: B şıkkı: 2342 Son iki basamak: 42 Bu sayı dört ile bölünmez (çünkü kırk iki dört ün katı değildir). Dolayısıyla on iki ile de bölünmez. C şıkkı: 2324 Son iki basamak: 24 Bu sayı dört ile bölünür; fakat rakamlar toplamı: 2 + 3 + 2 + 4 = 11 Bu toplam üç ile bölünmediği için on iki ile bölünmez. D şıkkı: 2306 Son iki basamak: 06 Bu sayı dört ile bölünmez; dolayısıyla on iki ile de bölünmez. Sonuç: Doğru cevap D957’dır.

Doğru cevap: A

Kontrol edeceğimiz kural: Bir sayının rakamlarını soldan başlayarak sırayla artı-eksi şeklinde topladığımızda elde edilen sonuç, on bire tam bölünüyorsa (veya sonuç sıfırsa ) sayı on bir ile tam bölünür. A seçeneği için: 57233 ( 5 - 7 + 2 - 3 + 3 ) = 0 Sonuç sıfır olduğundan A seçeneğindeki sayı on bir ile tam bölünür. B seçeneği için: 57234 ( 5 - 7 + 2 - 3 + 4 ) = 1 Sonuç on bire tam bölünmediği için tam bölünmez. C seçeneği için: 58233 ( 5 - 8 + 2 - 3 + 3 ) = - 1 Sonuç on bire tam bölünmediği için tam bölünmez. D seçeneği için: 67233 ( 6 - 7 + 2 - 3 + 3 ) = 1 Sonuç on bire tam bölünmediği için tam bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A ve “A doğru mu?” kontrolü evet, A seçeneği on bir ile tam bölünür.

1. Çözüm: Kontrol edeceğimiz kural: Bir sayının rakamlarını soldan başlayarak sırayla artı-eksi şeklinde topladığımızda elde edilen sonuç, on bire tam bölünüyorsa (veya sonuç sıfırsa ) sayı on bir ile tam bölünür. A seçeneği için: 57233 ( 5 - 7 + 2 - 3 + 3 ) = 0 Sonuç sıfır olduğundan A seçeneğindeki sayı on bir ile tam bölünür. B seçeneği için: 57234 ( 5 - 7 + 2 - 3 + 4 ) = 1 Sonuç on bire tam bölünmediği için tam bölünmez. C seçeneği için: 58233 ( 5 - 8 + 2 - 3 + 3 ) = - 1 Sonuç on bire tam bölünmediği için tam bölünmez. D seçeneği için: 67233 ( 6 - 7 + 2 - 3 + 3 ) = 1 Sonuç on bire tam bölünmediği için tam bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A ve “A doğru mu?” kontrolü evet, A seçeneği on bir ile tam bölünür.

Doğru cevap: B

Dokuz ile bölünebilme kuralı: Bir sayının rakamları toplamı dokuzun katıysa, sayı dokuz ile tam bölünür. seçeneğiB105ni kontrol edelim: 7 + 2 + 5 + 4 = 18 18 = 9 × 2 Rakamlar toplamı dokuzun katı olduğu için seçeneğiB213ndeki sayı dokuz ile tam bölünür. B seçeneğini kontrol edelim: 7 + 2 + 4 + 6 = 19 Rakamlar toplamı dokuzun katı olmadığı için dokuz ile tam bölünmez. C seçeneğini kontrol edelim: 7 + 3 + 2 + 7 = 19 Rakamlar toplamı dokuzun katı olmadığı için dokuz ile tam bölünmez. D seçeneğini kontrol edelim: 8 + 1 + 1 + 5 = 15 Rakamlar toplamı dokuzun katı olmadığı için dokuz ile tam bölünmez. Sonuç: Dokuz ile tam bölünen yalnızca seçeneğiB643dir. Bu nedenle doğru cevap B669’dır.

1. Çözüm: Dokuz ile bölünebilme kuralı: Bir sayının rakamları toplamı dokuzun katıysa, sayı dokuz ile tam bölünür. seçeneğiB105ni kontrol edelim: 7 + 2 + 5 + 4 = 18 18 = 9 × 2 Rakamlar toplamı dokuzun katı olduğu için seçeneğiB213ndeki sayı dokuz ile tam bölünür. B seçeneğini kontrol edelim: 7 + 2 + 4 + 6 = 19 Rakamlar toplamı dokuzun katı olmadığı için dokuz ile tam bölünmez. C seçeneğini kontrol edelim: 7 + 3 + 2 + 7 = 19 Rakamlar toplamı dokuzun katı olmadığı için dokuz ile tam bölünmez. D seçeneğini kontrol edelim: 8 + 1 + 1 + 5 = 15 Rakamlar toplamı dokuzun katı olmadığı için dokuz ile tam bölünmez. Sonuç: Dokuz ile tam bölünen yalnızca seçeneğiB643dir. Bu nedenle doğru cevap B669’dır.

Doğru cevap: C

Doğru şık A mı kontrol edelim: Aranan sayı; dokuz a ve dört e bölünebilmeli, fakat sekiz e bölünememelidir. Kullanacağımız bölünebilme kuralları: • Dokuz ile bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuzun katı olmalı. • Dört ile bölünebilme: Son iki basamak dördün katı olmalı. • Sekiz ile bölünebilme: Son üç basamak sekizin katı olmalı. şıkkıC330nı inceleyelim. 324 Dokuz ile bölünebilme: 3 + 2 + 4 = 9 Rakamlar toplamı dokuzun katı olduğu için sayı dokuza bölünür. Dört ile bölünebilme (son iki basamak): 24 24 = 4 × 6 Son iki basamak dördün katı olduğu için sayı dörde bölünür. Sekiz ile bölünebilme (son üç basamak): 324 324 = 8 × 40 + 4 Kalan sıfır olmadığı için sayı sekize bölünmez. Demek ki şıkkıC699 şartları sağlıyor. Diğer şıkların elenmesi: B şıkkı: 360 360 = 8 × 45 Sekize bölündüğü için uygun değildir. C şıkkı: 288 288 = 8 × 36 Sekize bölündüğü için uygun değildir. D şıkkı: 432 432 = 8 × 54 Sekize bölündüğü için uygun değildir. Sonuç: Doğru cevap C965 ve verilen “A mı?” kontrolü doğru dur.

1. Çözüm: Doğru şık A mı kontrol edelim: Aranan sayı; dokuz a ve dört e bölünebilmeli, fakat sekiz e bölünememelidir. Kullanacağımız bölünebilme kuralları: • Dokuz ile bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuzun katı olmalı. • Dört ile bölünebilme: Son iki basamak dördün katı olmalı. • Sekiz ile bölünebilme: Son üç basamak sekizin katı olmalı. şıkkıC330nı inceleyelim. 324 Dokuz ile bölünebilme: 3 + 2 + 4 = 9 Rakamlar toplamı dokuzun katı olduğu için sayı dokuza bölünür. Dört ile bölünebilme (son iki basamak): 24 24 = 4 × 6 Son iki basamak dördün katı olduğu için sayı dörde bölünür. Sekiz ile bölünebilme (son üç basamak): 324 324 = 8 × 40 + 4 Kalan sıfır olmadığı için sayı sekize bölünmez. Demek ki şıkkıC699 şartları sağlıyor. Diğer şıkların elenmesi: B şıkkı: 360 360 = 8 × 45 Sekize bölündüğü için uygun değildir. C şıkkı: 288 288 = 8 × 36 Sekize bölündüğü için uygun değildir. D şıkkı: 432 432 = 8 × 54 Sekize bölündüğü için uygun değildir. Sonuç: Doğru cevap C965 ve verilen “A mı?” kontrolü doğru dur.

Doğru cevap: D

Verilen koşulları iki ayrı eşitlik/denklem olarak yazalım: 18 ∣ n n ≡ 5  (mod  7 ) Birinci koşula göre n sayısını 18’in katı şeklinde yazalım: n = 18 k Bunu ikinci koşulda yerine koyalım: 18 k ≡ 5  (mod  7 ) 18’in 7 ile bölümünden kalanı alalım: 18 ≡ 4  (mod  7 ) 4 k ≡ 5  (mod  7 ) Şimdi 4’ün 7’ye göre tersini bulalım. Çünkü her iki tarafı bu ters ile çarparsak k yalnız kalır. 4’ün tersi 2’dir (çünkü 4·2 = 8 ve 8 ≡ 1 (mod 7)). 4 ⋅ 2 = 8 ≡ 1  (mod  7 ) Denklemi 2 ile çarpalım: 2 ⋅ 4 k ≡ 2 ⋅ 5  (mod  7 ) k ≡ 10  (mod  7 ) k ≡ 3  (mod  7 ) Buna göre k değerleri: k = 3 + 7 t En küçük pozitif n için en küçük pozitif k seçilir: k = 3. n = 18 ⋅ 3 = 54 Sonuç: En küçük pozitif n değeri şıkkıD889dır.

1. Çözüm: Verilen koşulları iki ayrı eşitlik/denklem olarak yazalım: 18 ∣ n n ≡ 5  (mod  7 ) Birinci koşula göre n sayısını 18’in katı şeklinde yazalım: n = 18 k Bunu ikinci koşulda yerine koyalım: 18 k ≡ 5  (mod  7 ) 18’in 7 ile bölümünden kalanı alalım: 18 ≡ 4  (mod  7 ) 4 k ≡ 5  (mod  7 ) Şimdi 4’ün 7’ye göre tersini bulalım. Çünkü her iki tarafı bu ters ile çarparsak k yalnız kalır. 4’ün tersi 2’dir (çünkü 4·2 = 8 ve 8 ≡ 1 (mod 7)). 4 ⋅ 2 = 8 ≡ 1  (mod  7 ) Denklemi 2 ile çarpalım: 2 ⋅ 4 k ≡ 2 ⋅ 5  (mod  7 ) k ≡ 10  (mod  7 ) k ≡ 3  (mod  7 ) Buna göre k değerleri: k = 3 + 7 t En küçük pozitif n için en küçük pozitif k seçilir: k = 3. n = 18 ⋅ 3 = 54 Sonuç: En küçük pozitif n değeri şıkkıD889dır.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları kongruens olarak yazalım: n ≡ 4 ( mod   6 ) n ≡ 7 ( mod   9 ) İlkine göre n sayısını parametreleyelim: n = 6 k + 4 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 6 k + 4 ≡ 7 ( mod   9 ) 6 k ≡ 3 ( mod   9 ) Her iki tarafı 3 ile sadeleştirelim: 2 k ≡ 1 ( mod   3 ) k ≡ 2 ( mod   3 ) O hâlde k için: k = 3 t + 2 Bunu n ifadesine yazalım: n = 6 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 18 t + 16 Bu nedenle n sayısının 18 ile bölümünden kalan: n ≡ 16 ( mod   18 ) Kontrol (şık C ): 16 ≡ 4 ( mod   6 ) 16 ≡ 7 ( mod   9 ) Dolayısıyla doğru cevap A640 ’dir.

1. Çözüm: Verilen koşulları kongruens olarak yazalım: n ≡ 4 ( mod   6 ) n ≡ 7 ( mod   9 ) İlkine göre n sayısını parametreleyelim: n = 6 k + 4 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 6 k + 4 ≡ 7 ( mod   9 ) 6 k ≡ 3 ( mod   9 ) Her iki tarafı 3 ile sadeleştirelim: 2 k ≡ 1 ( mod   3 ) k ≡ 2 ( mod   3 ) O hâlde k için: k = 3 t + 2 Bunu n ifadesine yazalım: n = 6 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 18 t + 16 Bu nedenle n sayısının 18 ile bölümünden kalan: n ≡ 16 ( mod   18 ) Kontrol (şık C ): 16 ≡ 4 ( mod   6 ) 16 ≡ 7 ( mod   9 ) Dolayısıyla doğru cevap A640 ’dir.

Doğru cevap: B

Verilen koşula göre sayı, n = 12 k + 5 biçiminde yazılabilir. Bu ifadeyi 3 ile bölüm kalanını bulmak için, terimleri 3 ’ün katı olup olmamasına göre ayıralım. Çünkü 12 k = 3 · 4 k olduğundan 12 k terimi 3 ile tam bölünür ve kalanı etkilemez. Bu yüzden kalan, sadece 5 ’in 3 ile bölümünden gelen kalandır. Hesaplayalım: 5 = 3 · 1 + 2 Buradan n sayısı 3 ile bölündüğünde kalan 2 olur; yani doğru seçenek B388 ’dir.

1. Çözüm: Verilen koşula göre sayı, n = 12 k + 5 biçiminde yazılabilir. Bu ifadeyi 3 ile bölüm kalanını bulmak için, terimleri 3 ’ün katı olup olmamasına göre ayıralım. Çünkü 12 k = 3 · 4 k olduğundan 12 k terimi 3 ile tam bölünür ve kalanı etkilemez. Bu yüzden kalan, sadece 5 ’in 3 ile bölümünden gelen kalandır. Hesaplayalım: 5 = 3 · 1 + 2 Buradan n sayısı 3 ile bölündüğünde kalan 2 olur; yani doğru seçenek B388 ’dir.