9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

1) Eşitsizlik | x - 1 | + | x - 4 | ≤ | 2 x - 5 | + 3 2) Sol tarafı parçalara ayıralım Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: x = 1, x = 4 Buna göre: | x - 1 | + | x - 4 | = { 5 - 2 x    x ≤ 1 3    1 ≤ x ≤ 4 2 x - 5    x ≥ 4 3) Sağ tarafı parçalara ayıralım Mutlak değerin işaret değiştirdiği nokta: 2 x - 5 = 0   ⇒   x = 5 2 Buna göre: | 2 x - 5 | + 3 = { 8 - 2 x    x ≤ 5 2 2 x - 2    x ≥ 5 2 4) Aralık aralık karşılaştıralım 4.1) x ≤ 1 Bu aralıkta: 5 - 2 x ≤ 8 - 2 x İki taraftan da aynı ifadeyi çıkarınca: 5 ≤ 8 Bu her zaman doğru olduğu için bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 4.2) 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: 3 ≤ 8 - 2 x Düzenleyelim: 2 x ≤ 5   ⇒   x ≤ 5 2 Bu da seçilen aralıkla zaten uyumlu olduğu için bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 4.3) 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta: 3 ≤ 2 x - 2 Düzenleyelim: 2 x ≥ 5   ⇒   x ≥ 5 2 Bu da seçilen aralıkla zaten uyumludur; bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 4.4) x ≥ 4 Bu aralıkta: 2 x - 5 ≤ 2 x - 2 Düzenleyelim: - 5 ≤ - 2 Bu her zaman doğru olduğu için bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 5) Sonuç Dört bölgenin tamamında eşitsizlik doğru çıktığı için çözüm kümesi tüm gerçek sayılardır: ℝ Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

1. Çözüm: 1) Eşitsizlik | x - 1 | + | x - 4 | ≤ | 2 x - 5 | + 3 2) Sol tarafı parçalara ayıralım Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: x = 1, x = 4 Buna göre: | x - 1 | + | x - 4 | = { 5 - 2 x    x ≤ 1 3    1 ≤ x ≤ 4 2 x - 5    x ≥ 4 3) Sağ tarafı parçalara ayıralım Mutlak değerin işaret değiştirdiği nokta: 2 x - 5 = 0   ⇒   x = 5 2 Buna göre: | 2 x - 5 | + 3 = { 8 - 2 x    x ≤ 5 2 2 x - 2    x ≥ 5 2 4) Aralık aralık karşılaştıralım 4.1) x ≤ 1 Bu aralıkta: 5 - 2 x ≤ 8 - 2 x İki taraftan da aynı ifadeyi çıkarınca: 5 ≤ 8 Bu her zaman doğru olduğu için bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 4.2) 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: 3 ≤ 8 - 2 x Düzenleyelim: 2 x ≤ 5   ⇒   x ≤ 5 2 Bu da seçilen aralıkla zaten uyumlu olduğu için bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 4.3) 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta: 3 ≤ 2 x - 2 Düzenleyelim: 2 x ≥ 5   ⇒   x ≥ 5 2 Bu da seçilen aralıkla zaten uyumludur; bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 4.4) x ≥ 4 Bu aralıkta: 2 x - 5 ≤ 2 x - 2 Düzenleyelim: - 5 ≤ - 2 Bu her zaman doğru olduğu için bu aralıktaki tüm değerler çözüm olur. 5) Sonuç Dört bölgenin tamamında eşitsizlik doğru çıktığı için çözüm kümesi tüm gerçek sayılardır: ℝ Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

Doğru cevap: A

Doğru cevap: Bir olayın başka bir olay gerçekleşmişkenki olasılığıdır.

1. Çözüm: Doğru cevap: Bir olayın başka bir olay gerçekleşmişkenki olasılığıdır.

Doğru cevap: A

$C(8,2)=8\cdot7/2=28$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: A

Doğru seçeneğin A olduğunu kontrol edelim. Bunun için işlemin değiştirmediği (invariant) bir özelliği bulacağız. Tahtadaki sayıların toplamını başlangıçta S = 1 + 2 + ⋯ + 2026 olarak tanımlayalım. Bir adımda seçilen sayılar a, b olsun. Bu iki sayı silinip yerlerine | a − b | yazılıyor. Bu adımdan sonra toplam S ′ = S − a − b + | a − b | olur. Şimdi toplamın tek-çiftliğini inceleyelim. Modül 2 altında | a − b | ≡ a − b ≡ a + b ( mod 2 ) çünkü − b ≡ b ( mod 2 ) dir. Bu durumda S ′ = S − a − b + | a − b | ≡ S − a − b + a + b ≡ S ( mod 2 ) yani toplamın tek-çiftliği her adımda değişmez. Başlangıç toplamını hesaplayalım: S = 2026 · 2027 2 = 1013 · 2027 Burada 1013 ve 2027 tek olduğu için çarpımları da tektir; yani S ≡ 1 ( mod 2 ) olur. İşlem tek sayı kalana kadar sürdüğünde tahtada kalan son sayıya x diyelim. O anda toplam da S = x olacağından, toplamın tek-çiftliği değişmediği için x ≡ S ≡ 1 ( mod 2 ) yani son kalan sayı kesinlikle tektir. Şıklardaki sayıların tek-çiftliği: 1 tek 2 çift 2026 çift 0 çift Son sayı tek olmak zorunda olduğundan verilen şıklar içinde kesin olan tek değer A şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru seçeneğin A olduğunu kontrol edelim. Bunun için işlemin değiştirmediği (invariant) bir özelliği bulacağız. Tahtadaki sayıların toplamını başlangıçta S = 1 + 2 + ⋯ + 2026 olarak tanımlayalım. Bir adımda seçilen sayılar a, b olsun. Bu iki sayı silinip yerlerine | a − b | yazılıyor. Bu adımdan sonra toplam S ′ = S − a − b + | a − b | olur. Şimdi toplamın tek-çiftliğini inceleyelim. Modül 2 altında | a − b | ≡ a − b ≡ a + b ( mod 2 ) çünkü − b ≡ b ( mod 2 ) dir. Bu durumda S ′ = S − a − b + | a − b | ≡ S − a − b + a + b ≡ S ( mod 2 ) yani toplamın tek-çiftliği her adımda değişmez. Başlangıç toplamını hesaplayalım: S = 2026 · 2027 2 = 1013 · 2027 Burada 1013 ve 2027 tek olduğu için çarpımları da tektir; yani S ≡ 1 ( mod 2 ) olur. İşlem tek sayı kalana kadar sürdüğünde tahtada kalan son sayıya x diyelim. O anda toplam da S = x olacağından, toplamın tek-çiftliği değişmediği için x ≡ S ≡ 1 ( mod 2 ) yani son kalan sayı kesinlikle tektir. Şıklardaki sayıların tek-çiftliği: 1 tek 2 çift 2026 çift 0 çift Son sayı tek olmak zorunda olduğundan verilen şıklar içinde kesin olan tek değer A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Ali’nin şimdiki yaşına A, babanın şimdiki yaşına F diyelim. “Üç yıl önce baba, Ali’nin yaşının dört katıydı” bilgisini denklemleştirelim: F − 3 = 4 · ( A − 3 ) Bu denklemi açıp sadeleştirelim: F − 3 = 4 A − 12 F = 4 A − 9 “Beş yıl sonra baba, Ali’nin yaşının iki katı olacak” bilgisini denklemleştirelim: F + 5 = 2 · ( A + 5 ) Bu denklemi açıp sadeleştirelim: F + 5 = 2 A + 10 F = 2 A + 5 İki ifadede de F yazdığına göre eşitleyelim: 4 A − 9 = 2 A + 5 Çözümü tamamlayalım: 2 A = 14 A = 7 Ali’nin şimdiki yaşı 7 çıkar. Bu nedenle B şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Ali’nin şimdiki yaşına A, babanın şimdiki yaşına F diyelim. “Üç yıl önce baba, Ali’nin yaşının dört katıydı” bilgisini denklemleştirelim: F − 3 = 4 · ( A − 3 ) Bu denklemi açıp sadeleştirelim: F − 3 = 4 A − 12 F = 4 A − 9 “Beş yıl sonra baba, Ali’nin yaşının iki katı olacak” bilgisini denklemleştirelim: F + 5 = 2 · ( A + 5 ) Bu denklemi açıp sadeleştirelim: F + 5 = 2 A + 10 F = 2 A + 5 İki ifadede de F yazdığına göre eşitleyelim: 4 A − 9 = 2 A + 5 Çözümü tamamlayalım: 2 A = 14 A = 7 Ali’nin şimdiki yaşı 7 çıkar. Bu nedenle B şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: A

1) Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım ve tanım dışı değeri belirtelim: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 x ≠ 4 4) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 5) Aralıklarda işaret testi yapalım: • Aralık: ( - ∞, 2 ) x = 0: ( - 2 ) ( - 3 ) - 4 < 0 • Aralık: ( 2, 3 ) x = 5 2: ( 1 2 ) ( - 1 2 ) - 3 2 > 0 • Aralık: ( 3, 4 ) x = 7 2: ( 3 2 ) ( 1 2 ) - 1 2 < 0 • Aralık: ( 4, ∞ ) x = 5: ( 3 ) ( 2 ) 1 > 0 6) Eşitliğin sağlandığı yerler: Pozitif olduğu aralıklar ve payın sıfır olduğu noktalar dâhil edilir; paydanın sıfır olduğu nokta dâhil edilmez. x = 2 ⇒ ( 0 ) ( - 1 ) - 2 = 0 x = 3 ⇒ ( 1 ) ( 0 ) - 1 = 0 7) Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) 8) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım ve tanım dışı değeri belirtelim: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 x ≠ 4 4) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 5) Aralıklarda işaret testi yapalım: • Aralık: ( - ∞, 2 ) x = 0: ( - 2 ) ( - 3 ) - 4 < 0 • Aralık: ( 2, 3 ) x = 5 2: ( 1 2 ) ( - 1 2 ) - 3 2 > 0 • Aralık: ( 3, 4 ) x = 7 2: ( 3 2 ) ( 1 2 ) - 1 2 < 0 • Aralık: ( 4, ∞ ) x = 5: ( 3 ) ( 2 ) 1 > 0 6) Eşitliğin sağlandığı yerler: Pozitif olduğu aralıklar ve payın sıfır olduğu noktalar dâhil edilir; paydanın sıfır olduğu nokta dâhil edilmez. x = 2 ⇒ ( 0 ) ( - 1 ) - 2 = 0 x = 3 ⇒ ( 1 ) ( 0 ) - 1 = 0 7) Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) 8) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen koşulları modüler denklem olarak yazalım: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 5 (mod 8 ) İlk denkleme göre n sayısını parametreleyelim: n = 4 + 9 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 4 + 9 k ≡ 5 (mod 8 ) Her iki taraftan 4 çıkaralım: 9 k ≡ 1 (mod 8 ) Mod 8 'de 9 ≡ 1 olduğundan: k ≡ 1 (mod 8 ) Buradan k için genel çözüm: k = 1 + 8 t Bunu n = 4 + 9k ifadesinde yerine koyalım: n = 4 + 9 ( 1 + 8 t ) n = 4 + 9 + 72 t n = 13 + 72 t Dolayısıyla n sayısının 72 ile bölümünden kalan: n ≡ 13 (mod 72 ) Sonuç: Kalan 13 olur. Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Verilen koşulları modüler denklem olarak yazalım: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 5 (mod 8 ) İlk denkleme göre n sayısını parametreleyelim: n = 4 + 9 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 4 + 9 k ≡ 5 (mod 8 ) Her iki taraftan 4 çıkaralım: 9 k ≡ 1 (mod 8 ) Mod 8 'de 9 ≡ 1 olduğundan: k ≡ 1 (mod 8 ) Buradan k için genel çözüm: k = 1 + 8 t Bunu n = 4 + 9k ifadesinde yerine koyalım: n = 4 + 9 ( 1 + 8 t ) n = 4 + 9 + 72 t n = 13 + 72 t Dolayısıyla n sayısının 72 ile bölümünden kalan: n ≡ 13 (mod 72 ) Sonuç: Kalan 13 olur. Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: A

Verilenlere göre iki sayı gcd (EBOB) ve lcm (EKOK) ilişkisiyle yazılır. Sayıları, EBOB ortak çarpan olacak şekilde yazalım: x = 12 a y = 12 b Burada a ve b aralarında asal olmalıdır. EBOB ( a, b ) = 1 Aralarında asal oldukları için EKOK: EKOK ( x, y ) = 12 a b Verilen EKOK değeri ile eşitleyelim: 12 a b = 420 Buradan a ile b çarpımı: a b = 420 12 = 35 a ve b aralarında asal olacak şekilde 35 ’in çarpan çiftlerini yazalım: a, b ∈ { 1, 35 } a, b ∈ { 5, 7 } Toplamı en küçük yapmak için a ve b birbirine en yakın seçilir: a = 5, b = 7 Bu durumda sayılar: x = 12 · 5 = 60 y = 12 · 7 = 84 Toplam: x + y = 60 + 84 = 144 Kontrol: Diğer aralarında asal çift (1,35) olursa toplam daha büyük olur. 12 · 1 + 12 · 35 = 12 · 36 = 432 Sonuç: En küçük toplam 144 olur. Bu nedenle doğru seçenek A769 ’dir.

1. Çözüm: Verilenlere göre iki sayı gcd (EBOB) ve lcm (EKOK) ilişkisiyle yazılır. Sayıları, EBOB ortak çarpan olacak şekilde yazalım: x = 12 a y = 12 b Burada a ve b aralarında asal olmalıdır. EBOB ( a, b ) = 1 Aralarında asal oldukları için EKOK: EKOK ( x, y ) = 12 a b Verilen EKOK değeri ile eşitleyelim: 12 a b = 420 Buradan a ile b çarpımı: a b = 420 12 = 35 a ve b aralarında asal olacak şekilde 35 ’in çarpan çiftlerini yazalım: a, b ∈ { 1, 35 } a, b ∈ { 5, 7 } Toplamı en küçük yapmak için a ve b birbirine en yakın seçilir: a = 5, b = 7 Bu durumda sayılar: x = 12 · 5 = 60 y = 12 · 7 = 84 Toplam: x + y = 60 + 84 = 144 Kontrol: Diğer aralarında asal çift (1,35) olursa toplam daha büyük olur. 12 · 1 + 12 · 35 = 12 · 36 = 432 Sonuç: En küçük toplam 144 olur. Bu nedenle doğru seçenek A769 ’dir.

Doğru cevap: D

Bir işin tamamını 1 kabul edelim. A, B, C kişilerin bir günde yaptıkları iş miktarlarını sırasıyla a, b, c ile gösterelim. Verilen bilgilere göre günlük iş denklemleri: a + b = 1 10 b + c = 1 12 a + c = 1 15 Bu üç denklemi taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c ) = 1 10 + 1 12 + 1 15 Sol tarafı düzenleyelim: 2 ( a + b + c ) = 1 10 + 1 12 + 1 15 Sağ tarafı toplayalım: 1 10 + 1 12 + 1 15 = 6 + 5 + 4 60 = 15 60 = 1 4 Buna göre: 2 ( a + b + c ) = 1 4 Her iki tarafı 2 ’ye bölelim: a + b + c = 1 8 Üçü birlikte çalışınca bir günde yapılan iş miktarı yukarıdaki değerdir. O hâlde işin bitme süresi: Süre = 1 a + b + c = 1 1 8 = 8 Sonuç: Doğru cevap D653 şıkkıdır. B = 8

1. Çözüm: Bir işin tamamını 1 kabul edelim. A, B, C kişilerin bir günde yaptıkları iş miktarlarını sırasıyla a, b, c ile gösterelim. Verilen bilgilere göre günlük iş denklemleri: a + b = 1 10 b + c = 1 12 a + c = 1 15 Bu üç denklemi taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c ) = 1 10 + 1 12 + 1 15 Sol tarafı düzenleyelim: 2 ( a + b + c ) = 1 10 + 1 12 + 1 15 Sağ tarafı toplayalım: 1 10 + 1 12 + 1 15 = 6 + 5 + 4 60 = 15 60 = 1 4 Buna göre: 2 ( a + b + c ) = 1 4 Her iki tarafı 2 ’ye bölelim: a + b + c = 1 8 Üçü birlikte çalışınca bir günde yapılan iş miktarı yukarıdaki değerdir. O hâlde işin bitme süresi: Süre = 1 a + b + c = 1 1 8 = 8 Sonuç: Doğru cevap D653 şıkkıdır. B = 8

Doğru cevap: A

Doğru cevap: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.

1. Çözüm: Doğru cevap: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.