9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Önce tanım koşullarını yazalım (paydalar sıfır olamaz): x ≠ 0 1 3 + 1 x ≠ 0 x ≠ - 3 Verilen denklem: 3 2 - 1 x 1 3 + 1 x = 2 Her iki tarafı payda ile çarpalım: 3 2 - 1 x = 2 ⋅ ( 1 3 + 1 x ) Sağ tarafı dağıtalım: 3 2 - 1 x = 2 3 + 2 x 1 x içeren terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: 3 2 - 2 3 = 2 x + 1 x Sol tarafı ortak paydada toplayalım: 3 2 - 2 3 = 9 6 - 4 6 = 5 6 Sağ tarafta benzer terimleri toplayalım: 2 x + 1 x = 3 x Denklem: 5 6 = 3 x Çapraz çarpım yapalım: 5 ⋅ x = 6 ⋅ 3 5 x = 18 x değerini bulalım: x = 18 5 Bulunan değer tanım koşullarını sağlar: 18 5 ≠ 0 18 5 ≠ - 3 Sonuç olarak doğru cevap C675 şıkkıdır. x = 18 5

1. Çözüm: Önce tanım koşullarını yazalım (paydalar sıfır olamaz): x ≠ 0 1 3 + 1 x ≠ 0 x ≠ - 3 Verilen denklem: 3 2 - 1 x 1 3 + 1 x = 2 Her iki tarafı payda ile çarpalım: 3 2 - 1 x = 2 ⋅ ( 1 3 + 1 x ) Sağ tarafı dağıtalım: 3 2 - 1 x = 2 3 + 2 x 1 x içeren terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: 3 2 - 2 3 = 2 x + 1 x Sol tarafı ortak paydada toplayalım: 3 2 - 2 3 = 9 6 - 4 6 = 5 6 Sağ tarafta benzer terimleri toplayalım: 2 x + 1 x = 3 x Denklem: 5 6 = 3 x Çapraz çarpım yapalım: 5 ⋅ x = 6 ⋅ 3 5 x = 18 x değerini bulalım: x = 18 5 Bulunan değer tanım koşullarını sağlar: 18 5 ≠ 0 18 5 ≠ - 3 Sonuç olarak doğru cevap C675 şıkkıdır. x = 18 5

Doğru cevap: C

Verilen tanım: g ( n ) = { n 2 n çift ise 3 n + 1 2 n tek ise İstenen koşul: g ( g ( n ) ) = n Durum 1: Başlangıç değeri çift olsun. n = 2 k Bu durumda ilk uygulama: g ( n ) = k Koşul için ikinci uygulama sonucu: g ( k ) = 2 k Burada k çift olamaz; çünkü k çift olsaydı ikinci uygulama yarıya indirip daha da küçültürdü. O hâlde k tek olmalı ve tek durum formülü kullanılmalıdır: 3 k + 1 2 = 2 k Çözülür: 3 k + 1 = 4 k k = 1 Dolayısıyla: n = 2 Durum 2: Başlangıç değeri tek olsun. İlk uygulama: g ( n ) = 3 n + 1 2 Bu değere a diyelim: a = 3 n + 1 2 Koşul: g ( a ) = n Alt durum 2a: a çift ise ikinci uygulama yarıya indirir: a 2 = n Buradan: a = 2 n Ama a aynı zamanda ilk uygulamadan geliyordu: 3 n + 1 2 = 2 n Çözülür: 3 n + 1 = 4 n n = 1 Alt durum 2b: a tek ise ikinci uygulama tek durum formülünü kullanır: 3 a + 1 2 = n Burada a yerine ilk adımdaki değeri yazalım: 3 3 n + 1 2 + 1 2 = n Düzenlenince: 9 n + 5 4 = n Buradan: 9 n + 5 = 4 n n = − 1 Bu değer pozitif olmadığı için kabul edilmez. Yani tek başlangıç için yalnızca: n = 1 Koşulu sağlayan pozitif tamsayılar: n ∈ { 1, 2 } Toplamları: 1 + 2 = 3 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

1. Çözüm: Verilen tanım: g ( n ) = { n 2 n çift ise 3 n + 1 2 n tek ise İstenen koşul: g ( g ( n ) ) = n Durum 1: Başlangıç değeri çift olsun. n = 2 k Bu durumda ilk uygulama: g ( n ) = k Koşul için ikinci uygulama sonucu: g ( k ) = 2 k Burada k çift olamaz; çünkü k çift olsaydı ikinci uygulama yarıya indirip daha da küçültürdü. O hâlde k tek olmalı ve tek durum formülü kullanılmalıdır: 3 k + 1 2 = 2 k Çözülür: 3 k + 1 = 4 k k = 1 Dolayısıyla: n = 2 Durum 2: Başlangıç değeri tek olsun. İlk uygulama: g ( n ) = 3 n + 1 2 Bu değere a diyelim: a = 3 n + 1 2 Koşul: g ( a ) = n Alt durum 2a: a çift ise ikinci uygulama yarıya indirir: a 2 = n Buradan: a = 2 n Ama a aynı zamanda ilk uygulamadan geliyordu: 3 n + 1 2 = 2 n Çözülür: 3 n + 1 = 4 n n = 1 Alt durum 2b: a tek ise ikinci uygulama tek durum formülünü kullanır: 3 a + 1 2 = n Burada a yerine ilk adımdaki değeri yazalım: 3 3 n + 1 2 + 1 2 = n Düzenlenince: 9 n + 5 4 = n Buradan: 9 n + 5 = 4 n n = − 1 Bu değer pozitif olmadığı için kabul edilmez. Yani tek başlangıç için yalnızca: n = 1 Koşulu sağlayan pozitif tamsayılar: n ∈ { 1, 2 } Toplamları: 1 + 2 = 3 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Doğru cevap: C

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: A

Soru: İrrasyonel sayı, kesirli biçimde yazılamayan (ondalık açılımı sonsuz ve devirsiz olan) sayıdır. Seçenekleri bu açıdan kontrol edelim. A seçeneği: 2 Karekök içindeki sayı tam kare olmadığı için bu değer rasyonel değildir; irrasyoneldir. B seçeneği: 3 7 İki tam sayının oranı olduğundan rasyoneldir. C seçeneği: - 5 Bir tam sayı olduğundan rasyoneldir. D seçeneği: 0.25 Sonlu ondalık olduğundan rasyoneldir. Sonuç: Yalnız A seçeneği irrasyonel olduğundan doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Soru: İrrasyonel sayı, kesirli biçimde yazılamayan (ondalık açılımı sonsuz ve devirsiz olan) sayıdır. Seçenekleri bu açıdan kontrol edelim. A seçeneği: 2 Karekök içindeki sayı tam kare olmadığı için bu değer rasyonel değildir; irrasyoneldir. B seçeneği: 3 7 İki tam sayının oranı olduğundan rasyoneldir. C seçeneği: - 5 Bir tam sayı olduğundan rasyoneldir. D seçeneği: 0.25 Sonlu ondalık olduğundan rasyoneldir. Sonuç: Yalnız A seçeneği irrasyonel olduğundan doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: D

İşlem: 2 3 ⋅ 2 -5 2 -1 1) Aynı tabanlı üslerde çarpma kuralı: 2 3 ⋅ 2 -5 = 2 3 + ( -5 ) 2) Üstleri toplayalım: 2 3 + ( -5 ) = 2 -2 3) Bölme kuralını kullanalım: 2 -2 2 -1 = 2 -2 - ( -1 ) 4) Üstü sadeleştirelim: 2 -2 + 1 = 2 -1 5) Negatif üs kuralı: 2 -1 = 1 2 Sonuç: Doğru seçenek = B

1. Çözüm: İşlem: 2 3 ⋅ 2 -5 2 -1 1) Aynı tabanlı üslerde çarpma kuralı: 2 3 ⋅ 2 -5 = 2 3 + ( -5 ) 2) Üstleri toplayalım: 2 3 + ( -5 ) = 2 -2 3) Bölme kuralını kullanalım: 2 -2 2 -1 = 2 -2 - ( -1 ) 4) Üstü sadeleştirelim: 2 -2 + 1 = 2 -1 5) Negatif üs kuralı: 2 -1 = 1 2 Sonuç: Doğru seçenek = B

Doğru cevap: D

1) Cevabın C olup olmadığını kontrol edelim. Verilen bilgi: Ayşe’nin yaşı, Mehmet’in yaşının iki katı; beş yıl sonra yaşları toplamı elli beş olacak. 2) Şu anki yaşları için değişken tanımlayalım: m = Mehmet’in şu anki yaşı a = Ayşe’nin şu anki yaşı 3) “Ayşe’nin yaşı, Mehmet’in yaşının iki katıdır” bilgisini denkleme çevirelim: a = 2 m 4) “Beş yıl sonra yaşları toplamı elli beş olacaktır” bilgisini yazalım: ( a + 5 ) + ( m + 5 ) = 55 5) Toplayıp sadeleştirelim: a + m + 10 = 55 a + m = 45 6) yerine yazıp çözelim: 2 m + m = 45 3 m = 45 m = 15 7) Ayşe’nin yaşını bulalım: a = 2 m = 2 × 15 = 30 8) Sonuç: Ayşe’nin şu anki yaşı aşağıdaki değerdir; bu da şıkkıD662na karşılık gelir. 30

1. Çözüm: 1) Cevabın C olup olmadığını kontrol edelim. Verilen bilgi: Ayşe’nin yaşı, Mehmet’in yaşının iki katı; beş yıl sonra yaşları toplamı elli beş olacak. 2) Şu anki yaşları için değişken tanımlayalım: m = Mehmet’in şu anki yaşı a = Ayşe’nin şu anki yaşı 3) “Ayşe’nin yaşı, Mehmet’in yaşının iki katıdır” bilgisini denkleme çevirelim: a = 2 m 4) “Beş yıl sonra yaşları toplamı elli beş olacaktır” bilgisini yazalım: ( a + 5 ) + ( m + 5 ) = 55 5) Toplayıp sadeleştirelim: a + m + 10 = 55 a + m = 45 6) yerine yazıp çözelim: 2 m + m = 45 3 m = 45 m = 15 7) Ayşe’nin yaşını bulalım: a = 2 m = 2 × 15 = 30 8) Sonuç: Ayşe’nin şu anki yaşı aşağıdaki değerdir; bu da şıkkıD662na karşılık gelir. 30

Doğru cevap: A

1) Şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Başlangıç fiyatına bir değişken diyelim: x 2) Fiyat önce %20 artırılıyor. Bu, başlangıç fiyatının %20’si kadar eklemek demektir: y = x + 20 100 x 3) Ortak çarpan olan x parantezine alalım: y = x ( 1 + 20 100 ) 4) Parantez içini hesaplayalım: y = x ( 1 + 0. 2 ) = 1. 2 x 5) Sonra yeni fiyat üzerinden %20 indirim yapılıyor. İndirim, fiyatı %80’ine düşürmek demektir: z = 80 100 y 6) y yerine 1.2x yazalım: z = 80 100 · 1. 2 x 7) Çarpımı hesaplayalım: z = 0. 8 · 1. 2 x = 0. 96 x 8) Yüzde değişimi bulmak için, son fiyatın ilk fiyata göre oranını inceleyelim: z x = 0. 96 x x = 0. 96 9) Bu, fiyatın başlangıcın %96’sı olduğu anlamına gelir. Değişim oranı: 0. 96 − 1 = − 0. 04 10) Yüzdeye çevirirsek: − 0. 04 = − 4 100 = − 4 % Sonuç: Son fiyat, ilk fiyata göre %4 azalmıştır. Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Başlangıç fiyatına bir değişken diyelim: x 2) Fiyat önce %20 artırılıyor. Bu, başlangıç fiyatının %20’si kadar eklemek demektir: y = x + 20 100 x 3) Ortak çarpan olan x parantezine alalım: y = x ( 1 + 20 100 ) 4) Parantez içini hesaplayalım: y = x ( 1 + 0. 2 ) = 1. 2 x 5) Sonra yeni fiyat üzerinden %20 indirim yapılıyor. İndirim, fiyatı %80’ine düşürmek demektir: z = 80 100 y 6) y yerine 1.2x yazalım: z = 80 100 · 1. 2 x 7) Çarpımı hesaplayalım: z = 0. 8 · 1. 2 x = 0. 96 x 8) Yüzde değişimi bulmak için, son fiyatın ilk fiyata göre oranını inceleyelim: z x = 0. 96 x x = 0. 96 9) Bu, fiyatın başlangıcın %96’sı olduğu anlamına gelir. Değişim oranı: 0. 96 − 1 = − 0. 04 10) Yüzdeye çevirirsek: − 0. 04 = − 4 100 = − 4 % Sonuç: Son fiyat, ilk fiyata göre %4 azalmıştır. Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Eşitsizliği adım adım çözelim: 1) Verilen eşitsizlik: - 1 ≤ 2 x + 3 < 7 2) Her tarafa 3 çıkaralım (orta ifadeden sabiti yok etmek için): - 1 - 3 ≤ 2 x + 3 - 3 < 7 - 3 3) Sadeleştirelim: - 4 ≤ 2 x < 4 4) Her tarafı 2 ’ye bölelim (pozitif olduğu için eşitsizlik yönleri değişmez): - 2 ≤ x < 2 5) Bulunan çözüm kümesi şıklardan şıkkıB337 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B370 ’dır.

1. Çözüm: Eşitsizliği adım adım çözelim: 1) Verilen eşitsizlik: - 1 ≤ 2 x + 3 < 7 2) Her tarafa 3 çıkaralım (orta ifadeden sabiti yok etmek için): - 1 - 3 ≤ 2 x + 3 - 3 < 7 - 3 3) Sadeleştirelim: - 4 ≤ 2 x < 4 4) Her tarafı 2 ’ye bölelim (pozitif olduğu için eşitsizlik yönleri değişmez): - 2 ≤ x < 2 5) Bulunan çözüm kümesi şıklardan şıkkıB337 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B370 ’dır.

Doğru cevap: B

Bir sayının hem 12 hem de 25 ile tam bölünebilmesi için, bu iki sayının EKOK 'u ile tam bölünmesi gerekir. Önce asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 ⋅ 3 25 = 5 2 EKOK, asal çarpanların en büyük üsleri alınarak bulunur: EKOK ( 12, 25 ) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 = 300 O hâlde aranan sayı 300 'ün katı olmalıdır. Şıkları kontrol edelim: A şıkkı: 200 ÷ 12 = 50 3 Tam sayı çıkmadığı için elenir. B şıkkı: 300 ÷ 12 = 25 300 ÷ 25 = 12 İkisi de tam sayı olduğundan uygundur. C şıkkı: 325 ÷ 25 = 13 325 ÷ 12 = 325 12 12 ile tam bölünmediği için elenir. D şıkkı: 450 ÷ 25 = 18 450 ÷ 12 = 75 2 12 ile tam bölünmediği için elenir. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. 300

1. Çözüm: Bir sayının hem 12 hem de 25 ile tam bölünebilmesi için, bu iki sayının EKOK 'u ile tam bölünmesi gerekir. Önce asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 ⋅ 3 25 = 5 2 EKOK, asal çarpanların en büyük üsleri alınarak bulunur: EKOK ( 12, 25 ) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 = 300 O hâlde aranan sayı 300 'ün katı olmalıdır. Şıkları kontrol edelim: A şıkkı: 200 ÷ 12 = 50 3 Tam sayı çıkmadığı için elenir. B şıkkı: 300 ÷ 12 = 25 300 ÷ 25 = 12 İkisi de tam sayı olduğundan uygundur. C şıkkı: 325 ÷ 25 = 13 325 ÷ 12 = 325 12 12 ile tam bölünmediği için elenir. D şıkkı: 450 ÷ 25 = 18 450 ÷ 12 = 75 2 12 ile tam bölünmediği için elenir. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. 300

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 EBOB ve EKOK ilişkisini kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 18 · 1260 = 22680 EBOB 18 olduğuna göre: a = 18 x b = 18 y ve EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisini kullanalım. EBOB(x,y)=1 iken: EKOK ( a, b ) = 18 x y 18 x y = 1260 x y = 70 70’in asal çarpanlarına ayıralım: 70 = 2 · 5 · 7 Şartlarımız: x y = 70 EBOB ( x, y ) = 1 EBOB(x,y)=1 olması için 2, 5, 7 asal çarpanları iki sayı arasında paylaşılmalı ve aynı asal çarpan hem x’te hem y’de olmamalıdır. Her bir asal çarpanın (2, 5, 7) x’e mi y’ye mi gideceğine karar veririz: Her asal için 2 seçim vardır, toplam seçim sayısı: 2 3 = 8 Bu, (x,y) için 8 farklı (sıralı) çifttir. Dolayısıyla x için de 8 farklı değer oluşur. a değerleri: a = 18 x x’in 8 farklı değeri olduğundan a da 8 farklı değer alır. Sonuç: Doğru seçenek C830. 8

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 EBOB ve EKOK ilişkisini kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 18 · 1260 = 22680 EBOB 18 olduğuna göre: a = 18 x b = 18 y ve EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisini kullanalım. EBOB(x,y)=1 iken: EKOK ( a, b ) = 18 x y 18 x y = 1260 x y = 70 70’in asal çarpanlarına ayıralım: 70 = 2 · 5 · 7 Şartlarımız: x y = 70 EBOB ( x, y ) = 1 EBOB(x,y)=1 olması için 2, 5, 7 asal çarpanları iki sayı arasında paylaşılmalı ve aynı asal çarpan hem x’te hem y’de olmamalıdır. Her bir asal çarpanın (2, 5, 7) x’e mi y’ye mi gideceğine karar veririz: Her asal için 2 seçim vardır, toplam seçim sayısı: 2 3 = 8 Bu, (x,y) için 8 farklı (sıralı) çifttir. Dolayısıyla x için de 8 farklı değer oluşur. a değerleri: a = 18 x x’in 8 farklı değeri olduğundan a da 8 farklı değer alır. Sonuç: Doğru seçenek C830. 8