9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Doğru seçenek kontrolü: İfade sadeleşince sonuç şıkkıC48 çıkıyor. Verilen ifade: 50 - 8 2 Karekök içlerini çarpanlarına ayıralım: 50 = 25 ⋅ 2 8 = 4 ⋅ 2 Tam kare kökleri dışarı çıkaralım: 25 = 5 4 = 2 Buna göre payı sadeleştirelim: 50 - 8 = 5 2 - 2 2 Ortak çarpan olan köklü ifadeyi paranteze alalım: 5 2 - 2 2 = ( 5 - 2 ) 2 Parantez içini hesaplayalım: ( 5 - 2 ) 2 = 3 2 Şimdi tüm ifadeye geri dönelim ve sadeleştirelim: 3 2 2 = 3 Sonuç: 3 Bu değer şıkkıC462 ile aynıdır.

1. Çözüm: Doğru seçenek kontrolü: İfade sadeleşince sonuç şıkkıC48 çıkıyor. Verilen ifade: 50 - 8 2 Karekök içlerini çarpanlarına ayıralım: 50 = 25 ⋅ 2 8 = 4 ⋅ 2 Tam kare kökleri dışarı çıkaralım: 25 = 5 4 = 2 Buna göre payı sadeleştirelim: 50 - 8 = 5 2 - 2 2 Ortak çarpan olan köklü ifadeyi paranteze alalım: 5 2 - 2 2 = ( 5 - 2 ) 2 Parantez içini hesaplayalım: ( 5 - 2 ) 2 = 3 2 Şimdi tüm ifadeye geri dönelim ve sadeleştirelim: 3 2 2 = 3 Sonuç: 3 Bu değer şıkkıC462 ile aynıdır.

Doğru cevap: A

Önce denklemi aynen yazalım: | | x - 1 | - | x + 2 | | = 3 Ters üçgen eşitsizliğini kullanalım: | | u | - | v | | ≤ | u - v | Burada u = x - 1 ve v = x + 2 seçersek: | | x - 1 | - | x + 2 | | ≤ | x - 1 - x + 2 | Sağ tarafı sadeleştirelim: | x - 1 - x + 2 | = | - 3 | = 3 Dolayısıyla her gerçek sayı için: | | x - 1 | - | x + 2 | | ≤ 3 Bizden ise bu ifadenin tam olarak 3 olması isteniyor. Bu, yukarıdaki eşitsizlikte eşitlik durumunun gerçekleşmesi demektir. Ters üçgen eşitsizliğinde eşitlik, iki ifadenin aynı işaretli olması (veya birinin 0 olması) durumunda olur: u v ≥ 0 Burada yerine koyarsak: x - 1 ( x + 2 ) ≥ 0 Bu çarpımın işaretini inceleyelim. Kök noktaları: x = 1 ve x = - 2 olur. İkinci dereceden ifadelerde çarpımın x - 1 ( x + 2 ) ≥ 0 olması, köklerin dış bölgelerini verir: x ≤ - 2 veya x ≥ 1 Çözüm kümesini aralık olarak yazalım: ( - ∞, - 2 ] ∪ [ 1, ∞ ) Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce denklemi aynen yazalım: | | x - 1 | - | x + 2 | | = 3 Ters üçgen eşitsizliğini kullanalım: | | u | - | v | | ≤ | u - v | Burada u = x - 1 ve v = x + 2 seçersek: | | x - 1 | - | x + 2 | | ≤ | x - 1 - x + 2 | Sağ tarafı sadeleştirelim: | x - 1 - x + 2 | = | - 3 | = 3 Dolayısıyla her gerçek sayı için: | | x - 1 | - | x + 2 | | ≤ 3 Bizden ise bu ifadenin tam olarak 3 olması isteniyor. Bu, yukarıdaki eşitsizlikte eşitlik durumunun gerçekleşmesi demektir. Ters üçgen eşitsizliğinde eşitlik, iki ifadenin aynı işaretli olması (veya birinin 0 olması) durumunda olur: u v ≥ 0 Burada yerine koyarsak: x - 1 ( x + 2 ) ≥ 0 Bu çarpımın işaretini inceleyelim. Kök noktaları: x = 1 ve x = - 2 olur. İkinci dereceden ifadelerde çarpımın x - 1 ( x + 2 ) ≥ 0 olması, köklerin dış bölgelerini verir: x ≤ - 2 veya x ≥ 1 Çözüm kümesini aralık olarak yazalım: ( - ∞, - 2 ] ∪ [ 1, ∞ ) Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Olasılığı $0$ olan olay gerçekleşemez.

1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Doğru cevap: B

Doğru cevap: Nesnelerin sırasız seçim sayısını bulur.

1. Çözüm: Doğru cevap: Nesnelerin sırasız seçim sayısını bulur.

Doğru cevap: B

Doğru seçenek B (Siyah). Bunu bir değişmez (invariant) ile kontrol edelim. 1) Renkleri sayısal olarak kodlayalım: Beyaz = 0 Siyah = 1 2) Verilen kurala göre iki bilyeden tek bilye üretme işlemi şu mantığa karşılık gelir: Aynıysa beyaz, farklıysa siyah. Bu da XOR (mod 2 toplamı) işlemidir. Sonuç = a ⊕ b Bunu küçük bir tabloyla görebiliriz: a b a ⊕ b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 3) Değişmezi tanımlayalım: Kutudaki tüm bilyelerin XOR’u (yani siyahların parity’si, tek/çiftliği) değişmez. I = x 1 ⊕ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ x n 4) Neden değişmez? Bir adımda iki bilye a ve b çıkarılıp yerine a ⊕ b konuyor. Toplam XOR şöyle değişir: ( a ⊕ b ⊕ R ) → ( ( a ⊕ b ) ⊕ R ) Burada R diğer bilyelerin XOR’udur. XOR birleşmeli olduğundan iki ifade eşittir; yani I değişmez. 5) Başlangıçta siyah bilye sayısı tek/çift bakımından önemlidir. Siyahlar 1, beyazlar 0 olduğundan toplam XOR, siyah sayısının 2 ile bölümünden kalanına eşittir. I = 15  mod  2 = 1 6) İşlem en sonunda tek bilye bırakır. Tek bilye kalınca XOR değeri o bilyenin değerine eşittir. Yani son bilye 1 olmalıdır; bu da siyahtır. Son bilye = Siyah Sonuç: B seçeneği doğrudur.

1. Çözüm: Doğru seçenek B (Siyah). Bunu bir değişmez (invariant) ile kontrol edelim. 1) Renkleri sayısal olarak kodlayalım: Beyaz = 0 Siyah = 1 2) Verilen kurala göre iki bilyeden tek bilye üretme işlemi şu mantığa karşılık gelir: Aynıysa beyaz, farklıysa siyah. Bu da XOR (mod 2 toplamı) işlemidir. Sonuç = a ⊕ b Bunu küçük bir tabloyla görebiliriz: a b a ⊕ b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 3) Değişmezi tanımlayalım: Kutudaki tüm bilyelerin XOR’u (yani siyahların parity’si, tek/çiftliği) değişmez. I = x 1 ⊕ x 2 ⊕ ⋯ ⊕ x n 4) Neden değişmez? Bir adımda iki bilye a ve b çıkarılıp yerine a ⊕ b konuyor. Toplam XOR şöyle değişir: ( a ⊕ b ⊕ R ) → ( ( a ⊕ b ) ⊕ R ) Burada R diğer bilyelerin XOR’udur. XOR birleşmeli olduğundan iki ifade eşittir; yani I değişmez. 5) Başlangıçta siyah bilye sayısı tek/çift bakımından önemlidir. Siyahlar 1, beyazlar 0 olduğundan toplam XOR, siyah sayısının 2 ile bölümünden kalanına eşittir. I = 15  mod  2 = 1 6) İşlem en sonunda tek bilye bırakır. Tek bilye kalınca XOR değeri o bilyenin değerine eşittir. Yani son bilye 1 olmalıdır; bu da siyahtır. Son bilye = Siyah Sonuç: B seçeneği doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilenlere göre baba ve oğlun yaşları sırasıyla B ve O olsun. 1. denklemden başlayalım: B + 6 = 3 ( O + 6 ) Parantezi açalım: B + 6 = 3 O + 18 Buradan B 'yi yalnız bırakalım: B = 3 O + 12 2. denklemi düzenleyelim: B - 4 = 5 ( O - 4 ) Parantezi açalım: B - 4 = 5 O - 20 Buradan B 'yi yalnız bırakalım: B = 5 O - 16 İki ifadede de B yazdığı için eşitleyelim: 3 O + 12 = 5 O - 16 Terimleri düzenleyelim: 28 = 2 O Buradan oğlun yaşı: O = 14 Şimdi babanın yaşını bulalım: B = 3 ⁢ 14 + 12 Hesaplayalım: B = 54 İstenen toplam: B + O = 54 + 14 = 68 Sonuç: 68 bulunur. Bu nedenle doğru seçenek C579 'dir.

1. Çözüm: Verilenlere göre baba ve oğlun yaşları sırasıyla B ve O olsun. 1. denklemden başlayalım: B + 6 = 3 ( O + 6 ) Parantezi açalım: B + 6 = 3 O + 18 Buradan B 'yi yalnız bırakalım: B = 3 O + 12 2. denklemi düzenleyelim: B - 4 = 5 ( O - 4 ) Parantezi açalım: B - 4 = 5 O - 20 Buradan B 'yi yalnız bırakalım: B = 5 O - 16 İki ifadede de B yazdığı için eşitleyelim: 3 O + 12 = 5 O - 16 Terimleri düzenleyelim: 28 = 2 O Buradan oğlun yaşı: O = 14 Şimdi babanın yaşını bulalım: B = 3 ⁢ 14 + 12 Hesaplayalım: B = 54 İstenen toplam: B + O = 54 + 14 = 68 Sonuç: 68 bulunur. Bu nedenle doğru seçenek C579 'dir.

Doğru cevap: C

Eşitsizlik: 2 ( x - 3 ) < x + 5 1) Parantezi dağıtalım: 2 x - 6 < x + 5 2) x ’li terimleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım (her iki taraftan x çıkaralım): x - 6 < 5 3) Her iki tarafa 6 ekleyelim: x < 11 Sonuç: Çözüm kümesi x için 11 ’den küçük değerlerdir. Bu nedenle doğru seçenek C282 ’dir.

1. Çözüm: Eşitsizlik: 2 ( x - 3 ) < x + 5 1) Parantezi dağıtalım: 2 x - 6 < x + 5 2) x ’li terimleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım (her iki taraftan x çıkaralım): x - 6 < 5 3) Her iki tarafa 6 ekleyelim: x < 11 Sonuç: Çözüm kümesi x için 11 ’den küçük değerlerdir. Bu nedenle doğru seçenek C282 ’dir.

Doğru cevap: B

Verilen bölünebilme koşullarını denkliğe (mod) çevirelim. 12 | 5 n + 7 9 | 7 n - 1 Birinci koşul: 5 n + 7 ≡ 0 ( mod 12 ) 5 n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) İkinci koşul: 7 n - 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 7 n ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan pozitif tam sayı yı bulalım. n ≡ 1 ( mod 12 ) n = 12 k + 1 12 k + 1 ≡ 4 ( mod 9 ) 12 k ≡ 3 ( mod 9 ) 3 k ≡ 3 ( mod 9 ) k ≡ 1 ( mod 3 ) Buna göre: k = 3 t + 1 n = 12 ( 3 t + 1 ) + 1 n = 36 t + 13 n = 13 En küçük pozitif çözüm n = 13 olduğundan doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen bölünebilme koşullarını denkliğe (mod) çevirelim. 12 | 5 n + 7 9 | 7 n - 1 Birinci koşul: 5 n + 7 ≡ 0 ( mod 12 ) 5 n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) İkinci koşul: 7 n - 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 7 n ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan pozitif tam sayı yı bulalım. n ≡ 1 ( mod 12 ) n = 12 k + 1 12 k + 1 ≡ 4 ( mod 9 ) 12 k ≡ 3 ( mod 9 ) 3 k ≡ 3 ( mod 9 ) k ≡ 1 ( mod 3 ) Buna göre: k = 3 t + 1 n = 12 ( 3 t + 1 ) + 1 n = 36 t + 13 n = 13 En küçük pozitif çözüm n = 13 olduğundan doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 Bilinen bağıntı: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Buradan: a ⋅ b = 18 ⋅ 1260 = 22680 Ortak böleni ayıralım: a = 18 x b = 18 y Bu durumda: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: EKOK ( a, b ) = 18 x y Verilen EKOK değerini yazınca: 18 x y = 1260 x y = 70 Şimdi EBOB ( x, y ) = 1 şartıyla x y = 70 çarpan çiftlerini yazalım (aralarında asal olanlar): ( 1, 70 ) ( 2, 35 ) ( 5, 14 ) ( 7, 10 ) Toplam: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) En küçük toplam için x + y en küçük olmalı. Yukarıdaki çiftlerde en küçük toplam: 7 + 10 = 17 Dolayısıyla: a + b = 18 ⋅ 17 = 306 Sonuç: En küçük değer 306 olur. Bu da şıkkıD664dır; yani B doğru.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 Bilinen bağıntı: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Buradan: a ⋅ b = 18 ⋅ 1260 = 22680 Ortak böleni ayıralım: a = 18 x b = 18 y Bu durumda: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: EKOK ( a, b ) = 18 x y Verilen EKOK değerini yazınca: 18 x y = 1260 x y = 70 Şimdi EBOB ( x, y ) = 1 şartıyla x y = 70 çarpan çiftlerini yazalım (aralarında asal olanlar): ( 1, 70 ) ( 2, 35 ) ( 5, 14 ) ( 7, 10 ) Toplam: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) En küçük toplam için x + y en küçük olmalı. Yukarıdaki çiftlerde en küçük toplam: 7 + 10 = 17 Dolayısıyla: a + b = 18 ⋅ 17 = 306 Sonuç: En küçük değer 306 olur. Bu da şıkkıD664dır; yani B doğru.

Doğru cevap: B

Önce her birinin günlük iş yapma hızını yazalım: A = 1 15 B = 1 20 C = 1 30 Önce A ve B birlikte çalışsın. Birlikte çalışma hızları: A + B = 1 15 + 1 20 = 7 60 Bu birlikte çalışma süresi x gün olsun. O sürede yapılan iş: 7 60 ⋅ x Kalan iş: 1 - 7 60 ⋅ x A ayrıldıktan sonra B ve C birlikte çalışarak işi tamamlıyor. B ve C birlikte çalışma hızı: B + C = 1 20 + 1 30 = 1 12 Bu hızla çalışma süresi: 5   gün Bu sürede tamamlanan (yani kalan) iş miktarı: 1 12 ⋅ 5 = 5 12 O hâlde kalan iş iki farklı ifadeye eşit olmalıdır: 1 - 7 60 ⋅ x = 5 12 Denklemi çözelim: 7 60 ⋅ x = 1 - 5 12 7 60 ⋅ x = 7 12 x = 7 12 7 60 = 7 12 ⋅ 60 7 = 5 Sonuç: A ve B birlikte çalışma süresi 5   gün Şık kontrolü (verilen şıklar ile karşılaştırma): 5 ≠ 35 9 Bu nedenle doğru cevap B806 değildir; verilen şıklar içinde doğru değer bulunmamaktadır.

1. Çözüm: Önce her birinin günlük iş yapma hızını yazalım: A = 1 15 B = 1 20 C = 1 30 Önce A ve B birlikte çalışsın. Birlikte çalışma hızları: A + B = 1 15 + 1 20 = 7 60 Bu birlikte çalışma süresi x gün olsun. O sürede yapılan iş: 7 60 ⋅ x Kalan iş: 1 - 7 60 ⋅ x A ayrıldıktan sonra B ve C birlikte çalışarak işi tamamlıyor. B ve C birlikte çalışma hızı: B + C = 1 20 + 1 30 = 1 12 Bu hızla çalışma süresi: 5   gün Bu sürede tamamlanan (yani kalan) iş miktarı: 1 12 ⋅ 5 = 5 12 O hâlde kalan iş iki farklı ifadeye eşit olmalıdır: 1 - 7 60 ⋅ x = 5 12 Denklemi çözelim: 7 60 ⋅ x = 1 - 5 12 7 60 ⋅ x = 7 12 x = 7 12 7 60 = 7 12 ⋅ 60 7 = 5 Sonuç: A ve B birlikte çalışma süresi 5   gün Şık kontrolü (verilen şıklar ile karşılaştırma): 5 ≠ 35 9 Bu nedenle doğru cevap B806 değildir; verilen şıklar içinde doğru değer bulunmamaktadır.