9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Tanım gereği $0!=1$ kabul edilir.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: B

Aşağıdaki ifadenin sonucunu bulalım: ( - 5 12 ÷ ( 3 8 ) ) - ( 7 18 + ( - 1 6 ) ) İlk parantezde bölme işlemini, ters çarpma olarak yazalım: ( - 5 12 ÷ 3 8 ) = - 5 12 ⋅ 8 3 Çarpıp sadeleştirelim: - 5 12 ⋅ 8 3 = - 40 36 = - 10 9 İkinci parantezde toplama yapalım: 7 18 + - 1 6 = 7 18 - 1 6 Ortak payda ile yazalım: 1 6 = 3 18 Toplamı (çıkarma) hesaplayalım: 7 18 - 3 18 = 4 18 = 2 9 Şimdi iki sonucu birbirinden çıkaralım: - 10 9 - 2 9 = - 12 9 = - 4 3 Sonuç - 4 3 olur. Bu değer şıklardan A ile aynıdır; yani doğru cevap B536 ’dır.

1. Çözüm: Aşağıdaki ifadenin sonucunu bulalım: ( - 5 12 ÷ ( 3 8 ) ) - ( 7 18 + ( - 1 6 ) ) İlk parantezde bölme işlemini, ters çarpma olarak yazalım: ( - 5 12 ÷ 3 8 ) = - 5 12 ⋅ 8 3 Çarpıp sadeleştirelim: - 5 12 ⋅ 8 3 = - 40 36 = - 10 9 İkinci parantezde toplama yapalım: 7 18 + - 1 6 = 7 18 - 1 6 Ortak payda ile yazalım: 1 6 = 3 18 Toplamı (çıkarma) hesaplayalım: 7 18 - 3 18 = 4 18 = 2 9 Şimdi iki sonucu birbirinden çıkaralım: - 10 9 - 2 9 = - 12 9 = - 4 3 Sonuç - 4 3 olur. Bu değer şıklardan A ile aynıdır; yani doğru cevap B536 ’dır.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık kontrolü: Verilenlere göre sonuç B çıkıyor. Mavi bilye sayısını şöyle tanımlayalım: m Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının iki katından üç fazlaymış: k = 2 m + 3 Toplam bilye sayısını yazalım: T = m + k = m + ( 2 m + 3 ) = 3 m + 3 Mavi seçilme olasılığı verilmiş: m T = 1 4 Toplamı yerine yazalım ve çözelim: m 3 m + 3 = 1 4 İçler-dışlar çarpımı: 4 m = 3 m + 3 Buradan mavi bilye sayısı: m = 3 Toplam bilye sayısı: T = 3 m + 3 = 3 × 3 + 3 = 12 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Verilenlere göre sonuç B çıkıyor. Mavi bilye sayısını şöyle tanımlayalım: m Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının iki katından üç fazlaymış: k = 2 m + 3 Toplam bilye sayısını yazalım: T = m + k = m + ( 2 m + 3 ) = 3 m + 3 Mavi seçilme olasılığı verilmiş: m T = 1 4 Toplamı yerine yazalım ve çözelim: m 3 m + 3 = 1 4 İçler-dışlar çarpımı: 4 m = 3 m + 3 Buradan mavi bilye sayısı: m = 3 Toplam bilye sayısı: T = 3 m + 3 = 3 × 3 + 3 = 12 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Üç basamaklı sayının rakamlarını sırasıyla yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olacak şekilde tanımlayalım. N = 100 a + 10 b + c Rakamlar toplamı koşulundan: a + b + c = 12 Rakamları ters çevrilince oluşan sayı: 100 c + 10 b + a Verilen koşula göre ters çevrilmiş sayı, N sayısından iki yüz eksi iki fazla olduğundan: 100 c + 10 b + a = N + 198 Burada N yerine açılımı yazalım ve sadeleştirelim: 100 c + 10 b + a = 100 a + 10 b + c + 198 Onlar basamakları gider; kalanları toplayalım: 99 c - 99 a = 198 Her iki tarafı doksan dokuza bölelim: c - a = 2 Buradan: c = a + 2 Bunu rakamlar toplamı denkleminde yerine yazalım: a + b + ( a + 2 ) = 12 Düzenleyelim: 2 a + b = 10 Buradan: b = 10 - 2 a Şimdi N sayısını yalnızca a cinsinden yazalım: N = 100 a + 10 ( 10 - 2 a ) + ( a + 2 ) Açalım ve toplayalım: N = 81 a + 102 Verilen bölüm-kalan koşulu: N ≡ 3 ( mod   7 ) N yerine 81a+102 yazıp mod alalım: 81 a + 102 ≡ 3 ( mod   7 ) Şimdi katsayıları yediye göre sadeleştirelim: 4 a + 4 ≡ 3 ( mod   7 ) Her iki taraftan dört çıkaralım: 4 a ≡ 6 ( mod   7 ) Dördün yediye göre tersi iki olduğundan (çünkü 4·2 yediye göre bir yapar), iki ile çarpalım: a ≡ 12 ≡ 5 ( mod   7 ) Yüzler basamağı olduğundan a bir ile dokuz arasında olmalı; ayrıca b=10-2a bir rakam olmalı. Bu koşullarda uygun değer: a = 5 Buna göre b ve c: b = 10 - 2 ⋅ 5 = 0 c = a + 2 = 7 Son olarak N: N = 100 ⋅ 5 + 10 ⋅ 0 + 7 = 507 Seçeneklerde bu değer A şıkkıdır; dolayısıyla A doğru cevaptır.

1. Çözüm: Üç basamaklı sayının rakamlarını sırasıyla yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olacak şekilde tanımlayalım. N = 100 a + 10 b + c Rakamlar toplamı koşulundan: a + b + c = 12 Rakamları ters çevrilince oluşan sayı: 100 c + 10 b + a Verilen koşula göre ters çevrilmiş sayı, N sayısından iki yüz eksi iki fazla olduğundan: 100 c + 10 b + a = N + 198 Burada N yerine açılımı yazalım ve sadeleştirelim: 100 c + 10 b + a = 100 a + 10 b + c + 198 Onlar basamakları gider; kalanları toplayalım: 99 c - 99 a = 198 Her iki tarafı doksan dokuza bölelim: c - a = 2 Buradan: c = a + 2 Bunu rakamlar toplamı denkleminde yerine yazalım: a + b + ( a + 2 ) = 12 Düzenleyelim: 2 a + b = 10 Buradan: b = 10 - 2 a Şimdi N sayısını yalnızca a cinsinden yazalım: N = 100 a + 10 ( 10 - 2 a ) + ( a + 2 ) Açalım ve toplayalım: N = 81 a + 102 Verilen bölüm-kalan koşulu: N ≡ 3 ( mod   7 ) N yerine 81a+102 yazıp mod alalım: 81 a + 102 ≡ 3 ( mod   7 ) Şimdi katsayıları yediye göre sadeleştirelim: 4 a + 4 ≡ 3 ( mod   7 ) Her iki taraftan dört çıkaralım: 4 a ≡ 6 ( mod   7 ) Dördün yediye göre tersi iki olduğundan (çünkü 4·2 yediye göre bir yapar), iki ile çarpalım: a ≡ 12 ≡ 5 ( mod   7 ) Yüzler basamağı olduğundan a bir ile dokuz arasında olmalı; ayrıca b=10-2a bir rakam olmalı. Bu koşullarda uygun değer: a = 5 Buna göre b ve c: b = 10 - 2 ⋅ 5 = 0 c = a + 2 = 7 Son olarak N: N = 100 ⋅ 5 + 10 ⋅ 0 + 7 = 507 Seçeneklerde bu değer A şıkkıdır; dolayısıyla A doğru cevaptır.

Doğru cevap: A

Verilenler: a, b ∈ Z ∧ a > b a + b = 12 a b = 35 Kimlik kullanılır: a + b 2 = a − b 2 + 4 a b Yerine yazalım: 12 2 = a − b 2 + 4 × 35 Düzenleyelim: a − b 2 = 144 − 140 a − b 2 = 4 Karekök alalım: a − b = ± 2 a > b olduğundan: a − b = 2 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenler: a, b ∈ Z ∧ a > b a + b = 12 a b = 35 Kimlik kullanılır: a + b 2 = a − b 2 + 4 a b Yerine yazalım: 12 2 = a − b 2 + 4 × 35 Düzenleyelim: a − b 2 = 144 − 140 a − b 2 = 4 Karekök alalım: a − b = ± 2 a > b olduğundan: a − b = 2 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Verilen eşitlik: 2 x + 1 ⋅ 8 2 x - 1 4 x - 2 = 2 15 Tabanları 2 cinsinden yazalım: 8 = 2 3, 4 = 2 2 Yerine yazıp üslü ifadeleri düzenleyelim: 2 x + 1 ⋅ 2 3 2 x - 1 2 2 x - 2 = 2 15 Üsleri çarpalım: 2 3 2 x - 1 = 2 3 ⋅ 2 x - 1 = 2 6 x - 3 Payı tek kuvvet olarak toplayalım: 2 x + 1 ⋅ 2 6 x - 3 = 2 x + 1 + 6 x - 3 = 2 7 x - 2 Paydayı da tek kuvvet yapalım: 2 2 x - 2 = 2 2 ⋅ x - 2 = 2 2 x - 4 Bölme işleminde üsler çıkarılır: 2 7 x - 2 2 2 x - 4 = 2 7 x - 2 - 2 x - 4 = 2 5 x + 2 Eşitlik: 2 5 x + 2 = 2 15 Tabanlar eşit olduğundan üsler eşittir: 5 x + 2 = 15 Çözelim: 5 x = 13 x = 13 5 Sonuç: Doğru cevap D592 şıkkıdır. x = 13 5

1. Çözüm: Verilen eşitlik: 2 x + 1 ⋅ 8 2 x - 1 4 x - 2 = 2 15 Tabanları 2 cinsinden yazalım: 8 = 2 3, 4 = 2 2 Yerine yazıp üslü ifadeleri düzenleyelim: 2 x + 1 ⋅ 2 3 2 x - 1 2 2 x - 2 = 2 15 Üsleri çarpalım: 2 3 2 x - 1 = 2 3 ⋅ 2 x - 1 = 2 6 x - 3 Payı tek kuvvet olarak toplayalım: 2 x + 1 ⋅ 2 6 x - 3 = 2 x + 1 + 6 x - 3 = 2 7 x - 2 Paydayı da tek kuvvet yapalım: 2 2 x - 2 = 2 2 ⋅ x - 2 = 2 2 x - 4 Bölme işleminde üsler çıkarılır: 2 7 x - 2 2 2 x - 4 = 2 7 x - 2 - 2 x - 4 = 2 5 x + 2 Eşitlik: 2 5 x + 2 = 2 15 Tabanlar eşit olduğundan üsler eşittir: 5 x + 2 = 15 Çözelim: 5 x = 13 x = 13 5 Sonuç: Doğru cevap D592 şıkkıdır. x = 13 5

Doğru cevap: D

1) Değişkenleri tanımlayalım: E = x K = 4 3 x A = M 2) Çocukların bugünkü yaşları toplamını bulalım: E + K = x + 4 3 x = 7 3 x 3) 4 yıl önceki durumu yazalım: A - 4 = 3 [ ( E - 4 ) + ( K - 4 ) ] 4) Köşeli parantezin içini düzenleyelim: ( E - 4 ) + ( K - 4 ) = ( E + K ) - 8 ( E + K ) - 8 = 7 3 x - 8 5) Annenin yaşını x cinsinden bulalım (1. denklem): A - 4 = 3 ( 7 3 x - 8 ) A - 4 = 7 x - 24 A = 7 x - 20 6) 5 yıl sonraki durumu yazalım: A + 5 = 2 [ ( E + 5 ) + ( K + 5 ) ] 7) Parantezin içini düzenleyelim: ( E + 5 ) + ( K + 5 ) = ( E + K ) + 10 ( E + K ) + 10 = 7 3 x + 10 8) Annenin yaşını x cinsinden bulalım (2. denklem): A + 5 = 2 ( 7 3 x + 10 ) A + 5 = 14 3 x + 20 A = 14 3 x + 15 9) İki ifadeyi eşitleyip x 'i bulalım: 7 x - 20 = 14 3 x + 15 21 x - 60 = 14 x + 45 7 x = 105 x = 15 10) Annenin bugünkü yaşını bulalım: A = 7 x - 20 A = 7 × 15 - 20 = 85 11) Sonuç: Annenin bugünkü yaşı şıkkıD899dır. A = 85

1. Çözüm: 1) Değişkenleri tanımlayalım: E = x K = 4 3 x A = M 2) Çocukların bugünkü yaşları toplamını bulalım: E + K = x + 4 3 x = 7 3 x 3) 4 yıl önceki durumu yazalım: A - 4 = 3 [ ( E - 4 ) + ( K - 4 ) ] 4) Köşeli parantezin içini düzenleyelim: ( E - 4 ) + ( K - 4 ) = ( E + K ) - 8 ( E + K ) - 8 = 7 3 x - 8 5) Annenin yaşını x cinsinden bulalım (1. denklem): A - 4 = 3 ( 7 3 x - 8 ) A - 4 = 7 x - 24 A = 7 x - 20 6) 5 yıl sonraki durumu yazalım: A + 5 = 2 [ ( E + 5 ) + ( K + 5 ) ] 7) Parantezin içini düzenleyelim: ( E + 5 ) + ( K + 5 ) = ( E + K ) + 10 ( E + K ) + 10 = 7 3 x + 10 8) Annenin yaşını x cinsinden bulalım (2. denklem): A + 5 = 2 ( 7 3 x + 10 ) A + 5 = 14 3 x + 20 A = 14 3 x + 15 9) İki ifadeyi eşitleyip x 'i bulalım: 7 x - 20 = 14 3 x + 15 21 x - 60 = 14 x + 45 7 x = 105 x = 15 10) Annenin bugünkü yaşını bulalım: A = 7 x - 20 A = 7 × 15 - 20 = 85 11) Sonuç: Annenin bugünkü yaşı şıkkıD899dır. A = 85

Doğru cevap: A

Doğru şık kontrolü: Son fiyatın başlangıç fiyatına geri dönüp dönmediğini hesaplayalım. Adım 1: Başlangıç fiyatı 200 TL Adım 2: Yüzde yirmi beş zam demek, fiyatı katına çıkarmaktır. 1 + 25 100 = 1.25 Adım 3: Zamlı fiyat 200 × 1.25 = 250 TL Adım 4: Yüzde yirmi indirim demek, fiyatı katına düşürmektir. 1 - 20 100 = 0.8 Adım 5: İndirimli (son) fiyat 250 × 0.8 = 200 TL Sonuç: Son fiyat olduğundan doğru cevap A396 şıkkıdır. 200 TL

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Son fiyatın başlangıç fiyatına geri dönüp dönmediğini hesaplayalım. Adım 1: Başlangıç fiyatı 200 TL Adım 2: Yüzde yirmi beş zam demek, fiyatı katına çıkarmaktır. 1 + 25 100 = 1.25 Adım 3: Zamlı fiyat 200 × 1.25 = 250 TL Adım 4: Yüzde yirmi indirim demek, fiyatı katına düşürmektir. 1 - 20 100 = 0.8 Adım 5: İndirimli (son) fiyat 250 × 0.8 = 200 TL Sonuç: Son fiyat olduğundan doğru cevap A396 şıkkıdır. 200 TL

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x 2 - 4 x ≤ x + 2 Sol taraf mutlak değer olduğu için her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu nedenle sağ tarafın negatif olduğu durumda eşitsizlik sağlanamaz. Önce: x + 2 ≥ 0 buradan: x ≥ - 2 Şimdi mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - x + 2 ≤ x 2 - 4 x ≤ x + 2 Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: x 2 - 4 x ≤ x + 2 Düzenleyelim: x 2 - 5 x - 2 ≤ 0 Kökler: x = 5 ± 33 2 Parabol yukarı yönlü olduğundan çözüm kökler arasındadır: x ∈ [ 5 - 33 2, 5 + 33 2 ] Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - x + 2 ≤ x 2 - 4 x Düzenleyelim: x 2 - 4 x + x + 2 ≥ 0 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0 Çarpanlara ayıralım: ( x - 1 ) ( x - 2 ) ≥ 0 Parabol yukarı yönlü olduğundan çözüm dış aralıklardır: x ≤ 1 ∪ x ≥ 2 Tüm koşulları birleştirelim (kesişim): 1) Sağ tarafın negatif olmaması: x ≥ - 2 2) Birinci eşitsizlikten gelen aralık: [ 5 - 33 2, 5 + 33 2 ] 3) İkinci eşitsizlikten gelen birleşim: ( - ∞, 1 ] ∪ [ 2, ∞ ) Kesişim sonucu: [ 5 - 33 2, 1 ] ∪ [ 2, 5 + 33 2 ] Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: B1160 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 4 x ≤ x + 2 Sol taraf mutlak değer olduğu için her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu nedenle sağ tarafın negatif olduğu durumda eşitsizlik sağlanamaz. Önce: x + 2 ≥ 0 buradan: x ≥ - 2 Şimdi mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - x + 2 ≤ x 2 - 4 x ≤ x + 2 Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: x 2 - 4 x ≤ x + 2 Düzenleyelim: x 2 - 5 x - 2 ≤ 0 Kökler: x = 5 ± 33 2 Parabol yukarı yönlü olduğundan çözüm kökler arasındadır: x ∈ [ 5 - 33 2, 5 + 33 2 ] Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - x + 2 ≤ x 2 - 4 x Düzenleyelim: x 2 - 4 x + x + 2 ≥ 0 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0 Çarpanlara ayıralım: ( x - 1 ) ( x - 2 ) ≥ 0 Parabol yukarı yönlü olduğundan çözüm dış aralıklardır: x ≤ 1 ∪ x ≥ 2 Tüm koşulları birleştirelim (kesişim): 1) Sağ tarafın negatif olmaması: x ≥ - 2 2) Birinci eşitsizlikten gelen aralık: [ 5 - 33 2, 5 + 33 2 ] 3) İkinci eşitsizlikten gelen birleşim: ( - ∞, 1 ] ∪ [ 2, ∞ ) Kesişim sonucu: [ 5 - 33 2, 1 ] ∪ [ 2, 5 + 33 2 ] Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: B1160 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen dört basamaklı sayı: a 6 b 3 Bu sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 9 ’un katı olmalıdır: a + 6 + b + 3 Toplayalım: a + b + 9 Bu toplam 9 ’un katı ise, buradan: a + b ≡ 0 (mod 9) Yani olası değerler: a + b = 9   veya   a + b = 18 Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Dört basamaklı sayıda: (1. ve 3. basamakların toplamı) − (2. ve 4. basamakların toplamı) değeri 11 ’in katı olmalıdır. Burada 1. ve 3. basamaklar a ve b, 2. ve 4. basamaklar 6 ve 3: ( a + b ) - ( 6 + 3 ) Düzenleyelim: a + b - 9 Bu ifadenin 11 ’in katı olması gerekir, yani: a + b - 9 = 11 k Şimdi a + b için bulduğumuz adayları deneyelim: 1) Eğer a + b = 9 ise a + b - 9 = 0 ve bu değer 11 ’in katıdır. 2) Eğer a + b = 18 ise a + b - 9 = 9 ve bu değer 11 ’in katı değildir. Dolayısıyla tek mümkün değer: a + b = 9 Bu sonuç şıklarda 9 olduğu için doğru seçenek A ’dır. (Yani A şıkkı doğrudur.)

1. Çözüm: Verilen dört basamaklı sayı: a 6 b 3 Bu sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 9 ’un katı olmalıdır: a + 6 + b + 3 Toplayalım: a + b + 9 Bu toplam 9 ’un katı ise, buradan: a + b ≡ 0 (mod 9) Yani olası değerler: a + b = 9   veya   a + b = 18 Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Dört basamaklı sayıda: (1. ve 3. basamakların toplamı) − (2. ve 4. basamakların toplamı) değeri 11 ’in katı olmalıdır. Burada 1. ve 3. basamaklar a ve b, 2. ve 4. basamaklar 6 ve 3: ( a + b ) - ( 6 + 3 ) Düzenleyelim: a + b - 9 Bu ifadenin 11 ’in katı olması gerekir, yani: a + b - 9 = 11 k Şimdi a + b için bulduğumuz adayları deneyelim: 1) Eğer a + b = 9 ise a + b - 9 = 0 ve bu değer 11 ’in katıdır. 2) Eğer a + b = 18 ise a + b - 9 = 9 ve bu değer 11 ’in katı değildir. Dolayısıyla tek mümkün değer: a + b = 9 Bu sonuç şıklarda 9 olduğu için doğru seçenek A ’dır. (Yani A şıkkı doğrudur.)