9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: D

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: B

Mod, veri grubunda en sık tekrar eden değerdir.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: D

1) Alış fiyatını bir değişkenle gösterelim: P Nakliye masrafı, alış fiyatının yüzde beşidir. Bu nedenle toplam maliyet: P + 5 100 P = 105 100 P 2) Etiket fiyatı, alış fiyatı üzerinden yüzde otuz kârla belirleniyor: 130 100 P 3) Etikete yüzde indirim oranı uygulanınca satış fiyatı: 130 100 P ⁢ ( 1 - d 100 ) 4) Ayrıca satış bedelinin yüzde dördü komisyon olarak ödeniyor. Bu, esnafın eline geçen net parayı yüzde doksan altıya düşürür: 96 100 ⁢ 130 100 P ⁢ ( 1 - d 100 ) 5) Tüm işlemlerden sonra kâr, toplam maliyete göre yüzde on iki olduğuna göre net gelir: 1 + 12 100 ⁢ 105 100 P = 112 100 ⁢ 105 100 P = 1176 1000 P 6) Net gelirleri eşitleyelim: 96 100 ⁢ 130 100 P ⁢ ( 1 - d 100 ) = 1176 1000 P Her iki taraftan alış fiyatını sadeleştirip çarpımları düzenleyelim: 96 100 ⁢ 130 100 = 1248 1000 1248 1000 ⁢ ( 1 - d 100 ) = 1176 1000 Paydaları sadeleştirip indirimli kısmı yalnız bırakalım: ( 1 - d 100 ) = 1176 1248 1176 1248 = 49 52 7) Buradan indirim oranını bulalım: d 100 = 1 - 49 52 = 3 52 d = 100 ⁢ 3 52 = 300 52 = 75 13 Sonuç: Doğru cevap D1105 seçeneğidir. 75 13 %

1. Çözüm: 1) Alış fiyatını bir değişkenle gösterelim: P Nakliye masrafı, alış fiyatının yüzde beşidir. Bu nedenle toplam maliyet: P + 5 100 P = 105 100 P 2) Etiket fiyatı, alış fiyatı üzerinden yüzde otuz kârla belirleniyor: 130 100 P 3) Etikete yüzde indirim oranı uygulanınca satış fiyatı: 130 100 P ⁢ ( 1 - d 100 ) 4) Ayrıca satış bedelinin yüzde dördü komisyon olarak ödeniyor. Bu, esnafın eline geçen net parayı yüzde doksan altıya düşürür: 96 100 ⁢ 130 100 P ⁢ ( 1 - d 100 ) 5) Tüm işlemlerden sonra kâr, toplam maliyete göre yüzde on iki olduğuna göre net gelir: 1 + 12 100 ⁢ 105 100 P = 112 100 ⁢ 105 100 P = 1176 1000 P 6) Net gelirleri eşitleyelim: 96 100 ⁢ 130 100 P ⁢ ( 1 - d 100 ) = 1176 1000 P Her iki taraftan alış fiyatını sadeleştirip çarpımları düzenleyelim: 96 100 ⁢ 130 100 = 1248 1000 1248 1000 ⁢ ( 1 - d 100 ) = 1176 1000 Paydaları sadeleştirip indirimli kısmı yalnız bırakalım: ( 1 - d 100 ) = 1176 1248 1176 1248 = 49 52 7) Buradan indirim oranını bulalım: d 100 = 1 - 49 52 = 3 52 d = 100 ⁢ 3 52 = 300 52 = 75 13 Sonuç: Doğru cevap D1105 seçeneğidir. 75 13 %

Doğru cevap: A

1) Başlangıçtaki tuz miktarı T 0 = 10 ⋅ 1 5 = 2 2) Derişimi yarım olan tuzlu sudan eklenince (toplam hacim ve tuz) V 1 = 10 + x T 1 = T 0 + x ⋅ 1 2 = 2 + x 2 3) Karışımdan alınan kısımla birlikte çıkan tuz ve kalan tuz T alınan = 6 ⋅ T 1 V 1 = 6 ⋅ 2 + x 2 10 + x T 2 = T 1 - T alınan = 2 + x 2 ⋅ 1 - 6 10 + x = 2 + x 2 ⋅ x + 4 x + 10 4) Yerine saf su eklenince son hacim ve son derişim denklemi V 2 = 10 + x T 2 V 2 = 2 9 2 + x 2 ⋅ x + 4 x + 10 x + 10 = 2 9 5) Sadeleştirme 2 + x 2 ⋅ x + 4 x + 10 2 = 2 9 2 + x 2 = x + 4 2 x + 4 2 2 ⋅ x + 10 2 = 2 9 6) Denklem çözümü x + 4 2 x + 10 2 = 4 9 x + 4 x + 10 = 2 3 3 ( x + 4 ) = 2 ( x + 10 ) ⇒ x = 8 Sonuç: Doğru cevap A722 ’dir.

1. Çözüm: 1) Başlangıçtaki tuz miktarı T 0 = 10 ⋅ 1 5 = 2 2) Derişimi yarım olan tuzlu sudan eklenince (toplam hacim ve tuz) V 1 = 10 + x T 1 = T 0 + x ⋅ 1 2 = 2 + x 2 3) Karışımdan alınan kısımla birlikte çıkan tuz ve kalan tuz T alınan = 6 ⋅ T 1 V 1 = 6 ⋅ 2 + x 2 10 + x T 2 = T 1 - T alınan = 2 + x 2 ⋅ 1 - 6 10 + x = 2 + x 2 ⋅ x + 4 x + 10 4) Yerine saf su eklenince son hacim ve son derişim denklemi V 2 = 10 + x T 2 V 2 = 2 9 2 + x 2 ⋅ x + 4 x + 10 x + 10 = 2 9 5) Sadeleştirme 2 + x 2 ⋅ x + 4 x + 10 2 = 2 9 2 + x 2 = x + 4 2 x + 4 2 2 ⋅ x + 10 2 = 2 9 6) Denklem çözümü x + 4 2 x + 10 2 = 4 9 x + 4 x + 10 = 2 3 3 ( x + 4 ) = 2 ( x + 10 ) ⇒ x = 8 Sonuç: Doğru cevap A722 ’dir.

Doğru cevap: D

Doğru cevap: Birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmediği olaylardır.

1. Çözüm: Doğru cevap: Birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmediği olaylardır.

Doğru cevap: B

Sıra veya görev farklılığı varsa permütasyon kullanılır.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: B

Önce verilen toplamı kapalı formda yazalım. ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 Bu ifadenin 1000 ile tam bölünmesi isteniyor. Paydadaki 2 ’yi karşıya alırsak eşdeğer koşul: 1000 ∣ n ( n + 1 ) 2 ⇔ 2000 ∣ n ( n + 1 ) 2000 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 2000 = 2 ⋅ 1000 = 2 4 ⋅ 5 3 Ardışık iki sayının aralarında asal olduğunu kullanacağız. ( n, n + 1 ) = 1 Bu yüzden 5 çarpanı iki tarafa birden “paylaştırılamaz”; 5 ’in tüm kuvveti tek tarafta olmalıdır. Dolayısıyla aşağıdakilerden biri sağlanmalı: 125 ∣ n ∨ 125 ∣ n + 1 Ayrıca 2 kuvvetleri için: ardışık sayılardan yalnız biri çifttir, dolayısıyla 2 ’nin tüm kuvveti o çift sayıda bulunur. Bu nedenle çift olan sayı 16 ’ya bölünmelidir. 16 ∣ çift olan sayı Şimdi en küçük değeri bulmak için daha avantajlı durumu deneyelim: 125 ’i n+1 tarafına verelim. n + 1 = 125 m n = 125 m - 1 n ile n+1 ’den biri çift olduğuna göre: 125m tek olursa n çift olur ve 16 ’ya bölünebilmesi gerekir. 125m ’in tek olması için m tek olmalıdır. Bu durumda koşul: 16 ∣ 125 m - 1 Bunu modüler eşitlikle çözelim. 125 m - 1 ≡ 0 ( mod 16 ) 125 m ≡ 1 ( mod 16 ) 125 ’i 16 ile sadeleştirelim. 125 ≡ 13 ( mod 16 ) Dolayısıyla: 13 m ≡ 1 ( mod 16 ) 13 ’ün 16 ’ya göre tersi 5 ’tir çünkü: 13 ⋅ 5 = 65 ≡ 1 ( mod 16 ) Her iki tarafı 5 ile çarparsak: m ≡ 5 ( mod 16 ) En küçük pozitif ve tek m değeri: m = 5 Buradan: n = 125 ⋅ 5 - 1 = 624 Kontrol edelim: n(n+1) sayısı 2000 ’e bölünüyor mu? 624 = 2 4 ⋅ 3 ⋅ 13 625 = 5 4 Dolayısıyla: 624 ⋅ 625 sayısı 2 4 ⋅ 5 3 içerir 2000 ∣ 624 ⋅ 625 Bu da 1000 ∣ 624 ⋅ 625 2 demektir. Daha küçük olup olmadığına bakalım: m=1 için n=124 olur; ancak 124 ≡ 12 ( mod 16 ) olduğundan 16 ’ya bölünmez ve şart sağlanmaz. Bu yüzden bulduğumuz değer en küçüktür. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. n = 624

1. Çözüm: Önce verilen toplamı kapalı formda yazalım. ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 Bu ifadenin 1000 ile tam bölünmesi isteniyor. Paydadaki 2 ’yi karşıya alırsak eşdeğer koşul: 1000 ∣ n ( n + 1 ) 2 ⇔ 2000 ∣ n ( n + 1 ) 2000 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 2000 = 2 ⋅ 1000 = 2 4 ⋅ 5 3 Ardışık iki sayının aralarında asal olduğunu kullanacağız. ( n, n + 1 ) = 1 Bu yüzden 5 çarpanı iki tarafa birden “paylaştırılamaz”; 5 ’in tüm kuvveti tek tarafta olmalıdır. Dolayısıyla aşağıdakilerden biri sağlanmalı: 125 ∣ n ∨ 125 ∣ n + 1 Ayrıca 2 kuvvetleri için: ardışık sayılardan yalnız biri çifttir, dolayısıyla 2 ’nin tüm kuvveti o çift sayıda bulunur. Bu nedenle çift olan sayı 16 ’ya bölünmelidir. 16 ∣ çift olan sayı Şimdi en küçük değeri bulmak için daha avantajlı durumu deneyelim: 125 ’i n+1 tarafına verelim. n + 1 = 125 m n = 125 m - 1 n ile n+1 ’den biri çift olduğuna göre: 125m tek olursa n çift olur ve 16 ’ya bölünebilmesi gerekir. 125m ’in tek olması için m tek olmalıdır. Bu durumda koşul: 16 ∣ 125 m - 1 Bunu modüler eşitlikle çözelim. 125 m - 1 ≡ 0 ( mod 16 ) 125 m ≡ 1 ( mod 16 ) 125 ’i 16 ile sadeleştirelim. 125 ≡ 13 ( mod 16 ) Dolayısıyla: 13 m ≡ 1 ( mod 16 ) 13 ’ün 16 ’ya göre tersi 5 ’tir çünkü: 13 ⋅ 5 = 65 ≡ 1 ( mod 16 ) Her iki tarafı 5 ile çarparsak: m ≡ 5 ( mod 16 ) En küçük pozitif ve tek m değeri: m = 5 Buradan: n = 125 ⋅ 5 - 1 = 624 Kontrol edelim: n(n+1) sayısı 2000 ’e bölünüyor mu? 624 = 2 4 ⋅ 3 ⋅ 13 625 = 5 4 Dolayısıyla: 624 ⋅ 625 sayısı 2 4 ⋅ 5 3 içerir 2000 ∣ 624 ⋅ 625 Bu da 1000 ∣ 624 ⋅ 625 2 demektir. Daha küçük olup olmadığına bakalım: m=1 için n=124 olur; ancak 124 ≡ 12 ( mod 16 ) olduğundan 16 ’ya bölünmez ve şart sağlanmaz. Bu yüzden bulduğumuz değer en küçüktür. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. n = 624

Doğru cevap: D

Verilenlere göre annenin bugünkü yaşı 42 çıkar; yani doğru cevap D53 ’dir. 1) Değişkenleri tanımlayalım: m: annenin bugünkü yaşı d: kızının bugünkü yaşı 2) “Kızının bugünkü yaşı, annenin bugünkü yaşının üçte birinden 4 fazladır.” ifadesini denklemleştirelim: d = m 3 + 4 3) “6 yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 2 katı olacaktır.” ifadesini yazalım: m + 6 = 2 ( d + 6 ) 4) Bu denklemi düzenleyelim: m + 6 = 2 d + 12 m = 2 d + 6 5) Şimdi d = m 3 + 4 ifadesini m = 2 d + 6 denkleminde yerine yazalım: m = 2 ( m 3 + 4 ) + 6 6) Açalım ve benzer terimleri toplayalım: m = 2 3 m + 8 + 6 m = 2 3 m + 14 7) 2 3 m terimini diğer tarafa alalım: m - 2 3 m = 14 1 3 m = 14 8) Her iki tarafı 3 ile çarpalım: m = 42 9) Sonuç: Annenin bugünkü yaşı 42 ’dir. Bu da şıklarda seçeneğiD762ne karşılık gelir.

1. Çözüm: Verilenlere göre annenin bugünkü yaşı 42 çıkar; yani doğru cevap D53 ’dir. 1) Değişkenleri tanımlayalım: m: annenin bugünkü yaşı d: kızının bugünkü yaşı 2) “Kızının bugünkü yaşı, annenin bugünkü yaşının üçte birinden 4 fazladır.” ifadesini denklemleştirelim: d = m 3 + 4 3) “6 yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 2 katı olacaktır.” ifadesini yazalım: m + 6 = 2 ( d + 6 ) 4) Bu denklemi düzenleyelim: m + 6 = 2 d + 12 m = 2 d + 6 5) Şimdi d = m 3 + 4 ifadesini m = 2 d + 6 denkleminde yerine yazalım: m = 2 ( m 3 + 4 ) + 6 6) Açalım ve benzer terimleri toplayalım: m = 2 3 m + 8 + 6 m = 2 3 m + 14 7) 2 3 m terimini diğer tarafa alalım: m - 2 3 m = 14 1 3 m = 14 8) Her iki tarafı 3 ile çarpalım: m = 42 9) Sonuç: Annenin bugünkü yaşı 42 ’dir. Bu da şıklarda seçeneğiD762ne karşılık gelir.

Doğru cevap: C

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: A

Şıklardaki seçeneğiA11, 45 olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı 45 çıkarsa doğru cevap A73 olur. Sayıyı 2 a 4 b 2 c şeklinde düşünelim ve S = a + b + c tanımlayalım. 1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 2 + a + 4 + b + 2 + c = S + 8 Bu nedenle S + 8 ≡ 0   (mod   9 ) yani S ≡ 1   (mod   9 ) 2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı. ( 2 + 4 + 2 ) - ( a + b + c ) ≡ 0   (mod   11 ) Buradan 8 - S ≡ 0   (mod   11 ) yani S ≡ 8   (mod   11 ) 3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca 0 ≤ a, b, c ≤ 9 olduğundan 0 ≤ S ≤ 27 olur. Şimdi S ≡ 8   (mod   11 ) eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler: S = 8, 19 Bunlardan 8 ≢ 1   (mod   9 ) ama 19 ≡ 1   (mod   9 ) olduğundan tek mümkün toplam S = 19 yani a + b + c = 19 4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi a + b + c = 19 denkleminin, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım. Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece a, b, c ≥ 0 iken) çözüm sayısı: ( 21 2 ) = 210 Şimdi a, b, c ≤ 9 koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin a ≥ 10 olsun. O zaman a = a ′ + 10 yazıp yerine koyarsak: a ′ + b + c = 9 Bunun çözüm sayısı: ( 11 2 ) = 55 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı: 3 ⋅ 55 = 165 İki basamağın birden ≥ 10 olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az 20 olur ve üçüncüsü de en az 0 olduğu için toplam a + b + c = 19 olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok. Sonuç: 210 - 165 = 45 Demek ki ( a, b, c ) üçlülerinin sayısı 45 olur; doğru cevap A1771 ’dir.

1. Çözüm: Şıklardaki seçeneğiA11, 45 olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı 45 çıkarsa doğru cevap A73 olur. Sayıyı 2 a 4 b 2 c şeklinde düşünelim ve S = a + b + c tanımlayalım. 1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 2 + a + 4 + b + 2 + c = S + 8 Bu nedenle S + 8 ≡ 0   (mod   9 ) yani S ≡ 1   (mod   9 ) 2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı. ( 2 + 4 + 2 ) - ( a + b + c ) ≡ 0   (mod   11 ) Buradan 8 - S ≡ 0   (mod   11 ) yani S ≡ 8   (mod   11 ) 3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca 0 ≤ a, b, c ≤ 9 olduğundan 0 ≤ S ≤ 27 olur. Şimdi S ≡ 8   (mod   11 ) eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler: S = 8, 19 Bunlardan 8 ≢ 1   (mod   9 ) ama 19 ≡ 1   (mod   9 ) olduğundan tek mümkün toplam S = 19 yani a + b + c = 19 4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi a + b + c = 19 denkleminin, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım. Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece a, b, c ≥ 0 iken) çözüm sayısı: ( 21 2 ) = 210 Şimdi a, b, c ≤ 9 koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin a ≥ 10 olsun. O zaman a = a ′ + 10 yazıp yerine koyarsak: a ′ + b + c = 9 Bunun çözüm sayısı: ( 11 2 ) = 55 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı: 3 ⋅ 55 = 165 İki basamağın birden ≥ 10 olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az 20 olur ve üçüncüsü de en az 0 olduğu için toplam a + b + c = 19 olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok. Sonuç: 210 - 165 = 45 Demek ki ( a, b, c ) üçlülerinin sayısı 45 olur; doğru cevap A1771 ’dir.