9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Sorudaki sayı: A = 10 2026 + 10 2025 + 10 2024 + 10 2023 + 10 2022 İstenen kalan: A   mod   99 Bunun için modüler aritmetiği, aşağıdaki çarpanlara ayıralım: 99 = 9 × 11 Önce mod dokuz: 10 ≡ 1   (mod   9 ) Bu yüzden her pozitif tam kuvvet için: 10 k ≡ 1   (mod   9 ) Toplamda beş terim olduğundan: A ≡ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5   (mod   9 ) Şimdi mod on bir: 10 ≡ − 1   (mod   11 ) Üs tekse sonuç eksi bir, üs çiftse sonuç bir olur. Verilen üslerin paritesine göre: 10 2026 ≡ 1, 10 2025 ≡ − 1, 10 2024 ≡ 1, 10 2023 ≡ − 1, 10 2022 ≡ 1   (mod   11 ) Toplayalım: A ≡ 1 + ( − 1 ) + 1 + ( − 1 ) + 1 = 1   (mod   11 ) Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız (Çin Kalan Teoremi): A ≡ 5   (mod   9 ), A ≡ 1   (mod   11 ) İkinci koşuldan: A = 1 + 11 t Bunu birinci koşulda kullanırsak: 1 + 11 t ≡ 5   (mod   9 ) On bir sayısını mod dokuz indirgersek: 11 ≡ 2   (mod   9 ) Dolayısıyla: 1 + 2 t ≡ 5   (mod   9 ) Her iki taraftan bir çıkaralım: 2 t ≡ 4   (mod   9 ) Mod dokuz da iki nin tersi beş tir: 2 × 5 = 10 ≡ 1   (mod   9 ) Bu yüzden her iki tarafı beş ile çarparsak: t ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 2   (mod   9 ) En küçük uygun değer olarak: t = 2 Buradan: A = 1 + 11 × 2 = 23 Sonuç olarak kalan: 23 Bu da şıklarda C seçeneğidir; yani doğru cevap C.

1. Çözüm: Sorudaki sayı: A = 10 2026 + 10 2025 + 10 2024 + 10 2023 + 10 2022 İstenen kalan: A   mod   99 Bunun için modüler aritmetiği, aşağıdaki çarpanlara ayıralım: 99 = 9 × 11 Önce mod dokuz: 10 ≡ 1   (mod   9 ) Bu yüzden her pozitif tam kuvvet için: 10 k ≡ 1   (mod   9 ) Toplamda beş terim olduğundan: A ≡ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5   (mod   9 ) Şimdi mod on bir: 10 ≡ − 1   (mod   11 ) Üs tekse sonuç eksi bir, üs çiftse sonuç bir olur. Verilen üslerin paritesine göre: 10 2026 ≡ 1, 10 2025 ≡ − 1, 10 2024 ≡ 1, 10 2023 ≡ − 1, 10 2022 ≡ 1   (mod   11 ) Toplayalım: A ≡ 1 + ( − 1 ) + 1 + ( − 1 ) + 1 = 1   (mod   11 ) Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız (Çin Kalan Teoremi): A ≡ 5   (mod   9 ), A ≡ 1   (mod   11 ) İkinci koşuldan: A = 1 + 11 t Bunu birinci koşulda kullanırsak: 1 + 11 t ≡ 5   (mod   9 ) On bir sayısını mod dokuz indirgersek: 11 ≡ 2   (mod   9 ) Dolayısıyla: 1 + 2 t ≡ 5   (mod   9 ) Her iki taraftan bir çıkaralım: 2 t ≡ 4   (mod   9 ) Mod dokuz da iki nin tersi beş tir: 2 × 5 = 10 ≡ 1   (mod   9 ) Bu yüzden her iki tarafı beş ile çarparsak: t ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 2   (mod   9 ) En küçük uygun değer olarak: t = 2 Buradan: A = 1 + 11 × 2 = 23 Sonuç olarak kalan: 23 Bu da şıklarda C seçeneğidir; yani doğru cevap C.

Doğru cevap: A

Verilen iki pozitif tam sayıya a ve b diyelim. EBOB ve EKOK ilişkisine göre çarpımları: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) a ⋅ b = 12 ⋅ 180 = 2160 EBOB 12 olduğundan sayıları şöyle yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y Burada x ve y aralarında asal olmalıdır (ortak bölenleri olsaydı EBOB daha büyük çıkardı). EBOB ( x, y ) = 1 EKOK 180 olduğuna göre: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y 12 x y = 180 x y = 15 x ve y aralarında asal olup çarpımları 15 olmalı. Bu nedenle olası (sıralı) ikililer: ( 1, 15 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ), ( 15, 1 ) Bunlardan farklı iki sayı veren temel durumlar: 1) x=1, y=15 ise a = 12 ⋅ 1 = 12 b = 12 ⋅ 15 = 180 a + b = 12 + 180 = 192 2) x=3, y=5 ise a = 12 ⋅ 3 = 36 b = 12 ⋅ 5 = 60 a + b = 36 + 60 = 96 Şıklarda 96 bulunduğu için doğru seçenek A816 'dir. (Not: Verilen EBOB ve EKOK'a uyan iki farklı sayı çifti olduğundan toplam teorik olarak 192 de olabilir; ancak testte şıklarda yalnız 96 olduğundan cevap C olur.)

1. Çözüm: Verilen iki pozitif tam sayıya a ve b diyelim. EBOB ve EKOK ilişkisine göre çarpımları: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) a ⋅ b = 12 ⋅ 180 = 2160 EBOB 12 olduğundan sayıları şöyle yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y Burada x ve y aralarında asal olmalıdır (ortak bölenleri olsaydı EBOB daha büyük çıkardı). EBOB ( x, y ) = 1 EKOK 180 olduğuna göre: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y 12 x y = 180 x y = 15 x ve y aralarında asal olup çarpımları 15 olmalı. Bu nedenle olası (sıralı) ikililer: ( 1, 15 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ), ( 15, 1 ) Bunlardan farklı iki sayı veren temel durumlar: 1) x=1, y=15 ise a = 12 ⋅ 1 = 12 b = 12 ⋅ 15 = 180 a + b = 12 + 180 = 192 2) x=3, y=5 ise a = 12 ⋅ 3 = 36 b = 12 ⋅ 5 = 60 a + b = 36 + 60 = 96 Şıklarda 96 bulunduğu için doğru seçenek A816 'dir. (Not: Verilen EBOB ve EKOK'a uyan iki farklı sayı çifti olduğundan toplam teorik olarak 192 de olabilir; ancak testte şıklarda yalnız 96 olduğundan cevap C olur.)

Doğru cevap: C

şıkkıCnın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Gidiş mesafesi: d 1 = 120 Gidiş hızı: v 1 = 60 Gidiş süresi: t 1 = d 1 v 1 = 120 60 = 2 Dönüş mesafesi (aynı yol): d 2 = 120 Dönüş hızı: v 2 = 40 Dönüş süresi: t 2 = d 2 v 2 = 120 40 = 3 Toplam yol: D = d 1 + d 2 = 120 + 120 = 240 Toplam süre: T = t 1 + t 2 = 2 + 3 = 5 Gidiş-dönüş ortalama hız: v ¯ = D T = 240 5 = 48 Sonuç: Ortalama hız 48 km/saat olduğundan doğru cevap C410 şıkkıdır.

1. Çözüm: şıkkıCnın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Gidiş mesafesi: d 1 = 120 Gidiş hızı: v 1 = 60 Gidiş süresi: t 1 = d 1 v 1 = 120 60 = 2 Dönüş mesafesi (aynı yol): d 2 = 120 Dönüş hızı: v 2 = 40 Dönüş süresi: t 2 = d 2 v 2 = 120 40 = 3 Toplam yol: D = d 1 + d 2 = 120 + 120 = 240 Toplam süre: T = t 1 + t 2 = 2 + 3 = 5 Gidiş-dönüş ortalama hız: v ¯ = D T = 240 5 = 48 Sonuç: Ortalama hız 48 km/saat olduğundan doğru cevap C410 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) B şıkkının doğru olup olmadığını kontrol edelim. Hız (iş/gün) yöntemi kullanacağız. Birinci işçi tek başına işi bitirme hızı: 1 10 İki işçi birlikte çalışınca toplam hız: 1 6 İkinci işçinin işi tek başına bitirme süresi olsun: x Toplam hız, hızların toplamıdır: 1 10 + 1 x = 1 6 Buradan ikinci işçinin hızı: 1 x = 1 6 - 1 10 Paydaları eşitleyip çıkaralım: 1 x = 5 30 - 3 30 = 2 30 = 1 15 Tersini alarak süreyi bulalım: x = 15 Sonuç: İkinci işçi işi tek başına günde bitirir. Bu da B şıkkıdır; yani B doğrudur. 15

1. Çözüm: 1) B şıkkının doğru olup olmadığını kontrol edelim. Hız (iş/gün) yöntemi kullanacağız. Birinci işçi tek başına işi bitirme hızı: 1 10 İki işçi birlikte çalışınca toplam hız: 1 6 İkinci işçinin işi tek başına bitirme süresi olsun: x Toplam hız, hızların toplamıdır: 1 10 + 1 x = 1 6 Buradan ikinci işçinin hızı: 1 x = 1 6 - 1 10 Paydaları eşitleyip çıkaralım: 1 x = 5 30 - 3 30 = 2 30 = 1 15 Tersini alarak süreyi bulalım: x = 15 Sonuç: İkinci işçi işi tek başına günde bitirir. Bu da B şıkkıdır; yani B doğrudur. 15

Doğru cevap: D

Başlık ve eksen adları grafikteki verinin bağlamını gösterir.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: A

1) Maliyeti birim olarak alalım: M = 100 2) Etiket fiyatı, maliyetin yüzde yirmi beş fazlasıdır: E = M × ( 1 + 25 100 ) E = 100 × ( 1 + 25 100 ) = 125 3) Satış fiyatı, etiket fiyatı üzerinden yüzde yirmi indirimlidir: S = E × ( 1 - 20 100 ) S = 125 × 0. 8 = 100 4) Kâr veya zarar miktarı: K = S - M = 100 - 100 = 0 5) Maliyete göre kâr-zarar oranı: Oran = K M × 100 = 0 100 × 100 = 0 Sonuç: Ne kâr ne zarar vardır. Doğru seçenek A’dır. 0 %

1. Çözüm: 1) Maliyeti birim olarak alalım: M = 100 2) Etiket fiyatı, maliyetin yüzde yirmi beş fazlasıdır: E = M × ( 1 + 25 100 ) E = 100 × ( 1 + 25 100 ) = 125 3) Satış fiyatı, etiket fiyatı üzerinden yüzde yirmi indirimlidir: S = E × ( 1 - 20 100 ) S = 125 × 0. 8 = 100 4) Kâr veya zarar miktarı: K = S - M = 100 - 100 = 0 5) Maliyete göre kâr-zarar oranı: Oran = K M × 100 = 0 100 × 100 = 0 Sonuç: Ne kâr ne zarar vardır. Doğru seçenek A’dır. 0 %

Doğru cevap: D

1) Cevap kontrolü Kurulan denklem çözülünce eklenecek hacim 12 L bulunur; doğru seçenek D74 ’dir. 2) Verileri yazalım Kapta bulunan tuzlu su: 12 L Bu suyun tuz oranı: 3 10 Eklenecek tuzlu suyun tuz oranı: 1 2 Karışımın son tuz oranı: 2 5 3) Değişken tanımlayalım Eklenecek hacim: x L 4) Tuz miktarı denklemi İlk kaptaki tuz miktarı: 12 × 3 10 Eklenen tuz miktarı: x × 1 2 Son durumda toplam hacim: 12 + x Son durumda tuz miktarı: 12 + x × 2 5 Bu nedenle denklem: 12 × 3 10 + x × 1 2 = 12 + x × 2 5 5) Denklemi çözelim Önce sadeleştirelim: 36 10 + x 2 = 24 + 2 x 5 Her tarafı 10 ile çarpalım: 36 + 5 x = 48 + 4 x Taraf tarafa düzenleyelim: 5 x - 4 x = 48 - 36 x = 12 6) Sonuç Karışımın tuz oranının 2 5 olması için eklenmesi gereken miktar: 12 L Doğru seçenek: D773

1. Çözüm: 1) Cevap kontrolü Kurulan denklem çözülünce eklenecek hacim 12 L bulunur; doğru seçenek D74 ’dir. 2) Verileri yazalım Kapta bulunan tuzlu su: 12 L Bu suyun tuz oranı: 3 10 Eklenecek tuzlu suyun tuz oranı: 1 2 Karışımın son tuz oranı: 2 5 3) Değişken tanımlayalım Eklenecek hacim: x L 4) Tuz miktarı denklemi İlk kaptaki tuz miktarı: 12 × 3 10 Eklenen tuz miktarı: x × 1 2 Son durumda toplam hacim: 12 + x Son durumda tuz miktarı: 12 + x × 2 5 Bu nedenle denklem: 12 × 3 10 + x × 1 2 = 12 + x × 2 5 5) Denklemi çözelim Önce sadeleştirelim: 36 10 + x 2 = 24 + 2 x 5 Her tarafı 10 ile çarpalım: 36 + 5 x = 48 + 4 x Taraf tarafa düzenleyelim: 5 x - 4 x = 48 - 36 x = 12 6) Sonuç Karışımın tuz oranının 2 5 olması için eklenmesi gereken miktar: 12 L Doğru seçenek: D773

Doğru cevap: B

Soruda verilenlere göre iş yapma hızlarını yazalım. Ali hızı = 1 6 Veli hızı = 1 8 Birlikte çalışırlarsa hızları toplanır. Birlikte hız = 1 6 + 1 8 Paydaları eşitleyelim. 1 6 = 4 24   ve   1 8 = 3 24 Birlikte hız = 4 24 + 3 24 = 7 24 Toplam iş İş = Hız × Zaman Toplam işi 1 = 7 24 × t Buradan t = 1 7 24 = 24 7 Seçeneklerle karşılaştırırsak 24 7   şıkkı = B Sonuç: Doğru cevap B'dir.

1. Çözüm: Soruda verilenlere göre iş yapma hızlarını yazalım. Ali hızı = 1 6 Veli hızı = 1 8 Birlikte çalışırlarsa hızları toplanır. Birlikte hız = 1 6 + 1 8 Paydaları eşitleyelim. 1 6 = 4 24   ve   1 8 = 3 24 Birlikte hız = 4 24 + 3 24 = 7 24 Toplam iş İş = Hız × Zaman Toplam işi 1 = 7 24 × t Buradan t = 1 7 24 = 24 7 Seçeneklerle karşılaştırırsak 24 7   şıkkı = B Sonuç: Doğru cevap B'dir.

Doğru cevap: C

İfade: 5 + 2 6 3 - 5 - 2 6 3 Köklü ifadeleri daha tanıdık bir biçime dönüştürelim. Şunu arıyoruz: 5 ± 2 6 = ( 3 ± 2 ) 2 Kontrol: ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 3 ⋅ 2 = 5 + 2 6 ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 3 ⋅ 2 = 5 - 2 6 Dolayısıyla (pozitif kökler seçilir): 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi a = 3 + 2, b = 3 - 2 İstenen ifade: a 3 - b 3 Küp farkı özdeşliği: a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) Önce a-b: a - b = ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) = 2 2 Şimdi ab: a b = ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1 a 2 +b 2: a 2 + b 2 = ( 5 + 2 6 ) + ( 5 - 2 6 ) = 10 Böylece a 2 + a b + b 2 = 10 + 1 = 11 Sonuç: a 3 - b 3 = ( 2 2 ) ( 11 ) = 22 2 Bu değer şıkkıC657dır; yani doğru cevap C674.

1. Çözüm: İfade: 5 + 2 6 3 - 5 - 2 6 3 Köklü ifadeleri daha tanıdık bir biçime dönüştürelim. Şunu arıyoruz: 5 ± 2 6 = ( 3 ± 2 ) 2 Kontrol: ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 3 ⋅ 2 = 5 + 2 6 ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 3 ⋅ 2 = 5 - 2 6 Dolayısıyla (pozitif kökler seçilir): 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi a = 3 + 2, b = 3 - 2 İstenen ifade: a 3 - b 3 Küp farkı özdeşliği: a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) Önce a-b: a - b = ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) = 2 2 Şimdi ab: a b = ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1 a 2 +b 2: a 2 + b 2 = ( 5 + 2 6 ) + ( 5 - 2 6 ) = 10 Böylece a 2 + a b + b 2 = 10 + 1 = 11 Sonuç: a 3 - b 3 = ( 2 2 ) ( 11 ) = 22 2 Bu değer şıkkıC657dır; yani doğru cevap C674.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek kontrolü: Çözüm aralığı şıkkıC38ndaki aralıkla aynıdır. 1) Verilen eşitsizlik: | 2 x - 5 | < 3 2) Mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevir: - 3 < 2 x - 5 < 3 3) Her tarafa 5 ekle: 2 < 2 x < 8 4) Her tarafı 2'ye böl: 1 < x < 4 Sonuç: Çözüm kümesi 1 < x < 4 Bu, şıkkıC290dır.

1. Çözüm: Doğru seçenek kontrolü: Çözüm aralığı şıkkıC38ndaki aralıkla aynıdır. 1) Verilen eşitsizlik: | 2 x - 5 | < 3 2) Mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevir: - 3 < 2 x - 5 < 3 3) Her tarafa 5 ekle: 2 < 2 x < 8 4) Her tarafı 2'ye böl: 1 < x < 4 Sonuç: Çözüm kümesi 1 < x < 4 Bu, şıkkıC290dır.