9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

1) Şık kontrolü: Hesap sonucu şıkkıA30 (A’nın normal hızıyla işi tek başına bitirme süresi beş gün ) çıkar. 2) A’nın normal hızla işi tek başına bitirme süresi x gün olsun. Buna göre günlük iş yapma hızları: A: 1 x, B: 1 9, C: 1 18 3) İlk kısımda A ve B birlikte iki gün çalışıyor. Bu kısımda yapılan iş miktarı: 2 ( 1 x + 1 9 ) 4) İkinci kısımda B ayrılıyor; A ile C iki gün daha çalışıp işi bitiriyor. Bu iki gün boyunca A’nın hızı normal hızının üçte iki si olduğundan A’nın bu kısımdaki günlük hızı: 2 3 ⋅ 1 x 5) İkinci kısımda (A yavaş + C) birlikte iki günde yapılan iş miktarı: 2 ( 2 3 ⋅ 1 x + 1 18 ) 6) Toplam iş bir olduğuna göre iki kısmın toplamı bire eşittir: 2 ( 1 x + 1 9 ) + 2 ( 2 3 ⋅ 1 x + 1 18 ) = 1 7) Düzenleyelim: 2 x + 2 9 + 4 3 x + 1 9 = 1 8) Sabit kesirleri ve A ile ilgili terimleri gruplayalım: 2 x + 4 3 x + 1 3 = 1 9) A ile ilgili kesirleri ortak paydada toplayalım: 10 3 x + 1 3 = 1 10) Her iki taraftan üçte bir i çıkaralım: 10 3 x = 2 3 11) Çözüm: 10 x = 2 x = 5 Sonuç: A işi tek başına normal hızıyla beş gün de bitirir; bu da şıkkıA1078dır.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: Hesap sonucu şıkkıA30 (A’nın normal hızıyla işi tek başına bitirme süresi beş gün ) çıkar. 2) A’nın normal hızla işi tek başına bitirme süresi x gün olsun. Buna göre günlük iş yapma hızları: A: 1 x, B: 1 9, C: 1 18 3) İlk kısımda A ve B birlikte iki gün çalışıyor. Bu kısımda yapılan iş miktarı: 2 ( 1 x + 1 9 ) 4) İkinci kısımda B ayrılıyor; A ile C iki gün daha çalışıp işi bitiriyor. Bu iki gün boyunca A’nın hızı normal hızının üçte iki si olduğundan A’nın bu kısımdaki günlük hızı: 2 3 ⋅ 1 x 5) İkinci kısımda (A yavaş + C) birlikte iki günde yapılan iş miktarı: 2 ( 2 3 ⋅ 1 x + 1 18 ) 6) Toplam iş bir olduğuna göre iki kısmın toplamı bire eşittir: 2 ( 1 x + 1 9 ) + 2 ( 2 3 ⋅ 1 x + 1 18 ) = 1 7) Düzenleyelim: 2 x + 2 9 + 4 3 x + 1 9 = 1 8) Sabit kesirleri ve A ile ilgili terimleri gruplayalım: 2 x + 4 3 x + 1 3 = 1 9) A ile ilgili kesirleri ortak paydada toplayalım: 10 3 x + 1 3 = 1 10) Her iki taraftan üçte bir i çıkaralım: 10 3 x = 2 3 11) Çözüm: 10 x = 2 x = 5 Sonuç: A işi tek başına normal hızıyla beş gün de bitirir; bu da şıkkıA1078dır.

Doğru cevap: C

$2$ ve $3$ aynı en yüksek frekansa sahiptir.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: C

Önce maliyeti bir değişkenle gösterelim. M Ürün, maliyetinin 50 % fazlasına etiketleniyor; yani etiket fiyatı: E = M + 50 100 M Bu ifade sadeleşirse: E = 3 2 M Etiket üzerinden önce x % indirim yapıldığında kalan fiyat: E ⋅ ( 1 - x 100 ) Sonra kalan fiyat üzerinden 10 % ek indirim yapıldığında satış fiyatı: S = E ⋅ ( 1 - x 100 ) ⋅ ( 1 - 10 100 ) Satış sonunda maliyete göre 8 % kâr edildiğine göre: S = ( 1 + 8 100 ) M Şimdi E yerine 3 2 M yazıp eşitleyelim: 3 2 M ⋅ ( 1 - x 100 ) ⋅ ( 1 - 10 100 ) = ( 1 + 8 100 ) M Her iki tarafta da M bulunduğu için sadeleştirelim ve sabit çarpanları düzenleyelim: 3 2 ⋅ ( 1 - x 100 ) ⋅ 9 10 = 108 100 Önce soldaki sabit çarpımı bulalım: 3 2 ⋅ 9 10 = 27 20 Bu halde denklem: 27 20 ⋅ ( 1 - x 100 ) = 108 100 Her iki tarafı 27 20 ile bölelim: ( 1 - x 100 ) = 108 100 ⋅ 20 27 Sağ tarafı sadeleştirelim: 108 100 ⋅ 20 27 = 4 5 Dolayısıyla: 1 - x 100 = 4 5 Buradan x 100 değerini bulalım: x 100 = 1 - 4 5 x 100 = 1 5 Sonuç: x = 20 Kontrol: Bulduğumuz değer şıklarda 20 % olduğundan doğru cevap C1091 ’dir.

1. Çözüm: Önce maliyeti bir değişkenle gösterelim. M Ürün, maliyetinin 50 % fazlasına etiketleniyor; yani etiket fiyatı: E = M + 50 100 M Bu ifade sadeleşirse: E = 3 2 M Etiket üzerinden önce x % indirim yapıldığında kalan fiyat: E ⋅ ( 1 - x 100 ) Sonra kalan fiyat üzerinden 10 % ek indirim yapıldığında satış fiyatı: S = E ⋅ ( 1 - x 100 ) ⋅ ( 1 - 10 100 ) Satış sonunda maliyete göre 8 % kâr edildiğine göre: S = ( 1 + 8 100 ) M Şimdi E yerine 3 2 M yazıp eşitleyelim: 3 2 M ⋅ ( 1 - x 100 ) ⋅ ( 1 - 10 100 ) = ( 1 + 8 100 ) M Her iki tarafta da M bulunduğu için sadeleştirelim ve sabit çarpanları düzenleyelim: 3 2 ⋅ ( 1 - x 100 ) ⋅ 9 10 = 108 100 Önce soldaki sabit çarpımı bulalım: 3 2 ⋅ 9 10 = 27 20 Bu halde denklem: 27 20 ⋅ ( 1 - x 100 ) = 108 100 Her iki tarafı 27 20 ile bölelim: ( 1 - x 100 ) = 108 100 ⋅ 20 27 Sağ tarafı sadeleştirelim: 108 100 ⋅ 20 27 = 4 5 Dolayısıyla: 1 - x 100 = 4 5 Buradan x 100 değerini bulalım: x 100 = 1 - 4 5 x 100 = 1 5 Sonuç: x = 20 Kontrol: Bulduğumuz değer şıklarda 20 % olduğundan doğru cevap C1091 ’dir.

Doğru cevap: C

Verilenler (derişim = çözünen / toplam): Başlangıç hacmi: 30 Başlangıç derişimi: 20 100 Eklenen hacim: x Eklenen derişim: 50 100 Son derişim: 30 100 Çözünen madde miktarlarını yazalım: Başlangıç çözünen = 30 · 20 100 Eklenen çözünen = x · 50 100 Son durumda toplam hacim ve son çözünen: Toplam hacim = 30 + x Son çözünen = ( 30 + x ) · 30 100 Çözünen madde korunur, denklem kurulur: 30 · 20 100 + x · 50 100 = ( 30 + x ) · 30 100 Paydaları kaldırmak için her iki tarafı ile çarpalım: 100 · [ 30 · 20 100 + x · 50 100 ] = 100 · [ ( 30 + x ) · 30 100 ] 30 · 20 + x · 50 = ( 30 + x ) · 30 Düzenleyelim: 600 + 50 x = 900 + 30 x 50 x - 30 x = 900 - 600 20 x = 300 x = 15 Sonuç: olduğundan doğru şık C ’dir. x = 15

1. Çözüm: Verilenler (derişim = çözünen / toplam): Başlangıç hacmi: 30 Başlangıç derişimi: 20 100 Eklenen hacim: x Eklenen derişim: 50 100 Son derişim: 30 100 Çözünen madde miktarlarını yazalım: Başlangıç çözünen = 30 · 20 100 Eklenen çözünen = x · 50 100 Son durumda toplam hacim ve son çözünen: Toplam hacim = 30 + x Son çözünen = ( 30 + x ) · 30 100 Çözünen madde korunur, denklem kurulur: 30 · 20 100 + x · 50 100 = ( 30 + x ) · 30 100 Paydaları kaldırmak için her iki tarafı ile çarpalım: 100 · [ 30 · 20 100 + x · 50 100 ] = 100 · [ ( 30 + x ) · 30 100 ] 30 · 20 + x · 50 = ( 30 + x ) · 30 Düzenleyelim: 600 + 50 x = 900 + 30 x 50 x - 30 x = 900 - 600 20 x = 300 x = 15 Sonuç: olduğundan doğru şık C ’dir. x = 15

Doğru cevap: D

Doğru cevap: Sıralamanın önemli olmadığı seçim düzenidir.

1. Çözüm: Doğru cevap: Sıralamanın önemli olmadığı seçim düzenidir.

Doğru cevap: C

Görevler farklıdır; $6\cdot5=30$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: A

Önce işlemi daha kullanışlı bir biçime çevirelim: a ★ b = a + b + a b Her iki tarafa da 1 ekleyelim (bu 1 sayısı sadece dönüşümü anlatmak içindir; aşağıda hepsini MathML ile göstereceğim): ( a ★ b ) + 1 = a + b + a b + 1 Sağ taraf çarpanlara ayrılır: a + b + a b + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani temel kimlik şudur: ( a ★ b ) + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Bu şu anlama gelir: Tahtadaki iki sayıyı a, b seçip a ★ b yazdığımızda, “hepsine 1 eklenmiş hâllerinin çarpımı” değişkenleri açısından düzenli ilerler. Şimdi tahtadaki sayılar başlangıçta şunlar: 1, 2, …, n Her sayıya 1 eklersek: 2, 3, …, n + 1 Yukarıdaki kimlikten dolayı, işlemler ne sırayla yapılırsa yapılsın, en sonda kalan sayıya 1 eklenmiş değer, başlangıçtaki 2, 3, …, n + 1 sayılarının çarpımına eşit olur. Son kalan sayıyı R diyelim. O zaman: R + 1 = 2 · 3 · … · ( n + 1 ) Sağ taraf, faktöriyel olarak: 2 · 3 · … · ( n + 1 ) = ( n + 1 )! Dolayısıyla genel sonuç: R = ( n + 1 )! - 1 Soruda son kalan sayı verilmiş: R = 719 Yerine yazalım: ( n + 1 )! - 1 = 719 Her iki tarafa 1 ekleyelim: ( n + 1 )! = 720 720 sayısı şu faktöriyeldir: 720 = 6! O hâlde: n + 1 = 6 Buradan: n = 5 Sonuç: Doğru seçenek A1143 ’dir.

1. Çözüm: Önce işlemi daha kullanışlı bir biçime çevirelim: a ★ b = a + b + a b Her iki tarafa da 1 ekleyelim (bu 1 sayısı sadece dönüşümü anlatmak içindir; aşağıda hepsini MathML ile göstereceğim): ( a ★ b ) + 1 = a + b + a b + 1 Sağ taraf çarpanlara ayrılır: a + b + a b + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani temel kimlik şudur: ( a ★ b ) + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Bu şu anlama gelir: Tahtadaki iki sayıyı a, b seçip a ★ b yazdığımızda, “hepsine 1 eklenmiş hâllerinin çarpımı” değişkenleri açısından düzenli ilerler. Şimdi tahtadaki sayılar başlangıçta şunlar: 1, 2, …, n Her sayıya 1 eklersek: 2, 3, …, n + 1 Yukarıdaki kimlikten dolayı, işlemler ne sırayla yapılırsa yapılsın, en sonda kalan sayıya 1 eklenmiş değer, başlangıçtaki 2, 3, …, n + 1 sayılarının çarpımına eşit olur. Son kalan sayıyı R diyelim. O zaman: R + 1 = 2 · 3 · … · ( n + 1 ) Sağ taraf, faktöriyel olarak: 2 · 3 · … · ( n + 1 ) = ( n + 1 )! Dolayısıyla genel sonuç: R = ( n + 1 )! - 1 Soruda son kalan sayı verilmiş: R = 719 Yerine yazalım: ( n + 1 )! - 1 = 719 Her iki tarafa 1 ekleyelim: ( n + 1 )! = 720 720 sayısı şu faktöriyeldir: 720 = 6! O hâlde: n + 1 = 6 Buradan: n = 5 Sonuç: Doğru seçenek A1143 ’dir.

Doğru cevap: B

Oğlun yaşını bir değişkenle gösterelim. x = oğlun yaşı Babanın yaşı, oğlunun yaşının dört katından beş eksik olduğuna göre: B = 4 x - 5 Yedi yıl sonra yaşlar: B + 7 = 4 x - 5 + 7 = 4 x + 2 x + 7 = oğlun yeni yaşı Koşula göre yedi yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının üç katı oluyor: 4 x + 2 = 3 ( x + 7 ) Denklemi çözelim: 4 x + 2 = 3 x + 21 4 x - 3 x = 21 - 2 x = 19 Oğulun yaşı aşağıdaki gibi bulunur; bu da şıkkıB413dır, yani C doğrudur. x = 19

1. Çözüm: Oğlun yaşını bir değişkenle gösterelim. x = oğlun yaşı Babanın yaşı, oğlunun yaşının dört katından beş eksik olduğuna göre: B = 4 x - 5 Yedi yıl sonra yaşlar: B + 7 = 4 x - 5 + 7 = 4 x + 2 x + 7 = oğlun yeni yaşı Koşula göre yedi yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının üç katı oluyor: 4 x + 2 = 3 ( x + 7 ) Denklemi çözelim: 4 x + 2 = 3 x + 21 4 x - 3 x = 21 - 2 x = 19 Oğulun yaşı aşağıdaki gibi bulunur; bu da şıkkıB413dır, yani C doğrudur. x = 19

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor. Verilen sayı: N = 400000 + a ⋅ 10000 + 8000 + b ⋅ 100 + 60 + c 2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma): 72 = 8 ⋅ 9 Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir. 3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 4 + a + 8 + b + 6 + c = 18 + a + b + c 18 ≡ 0  (mod 9) N  9’a bölünür ⇔ a + b + c ≡ 0  (mod 9) 4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak: 100 b + 60 + c Mod 8 inceleyelim: 100 ≡ 4  (mod 8) 60 ≡ 4  (mod 8) 100 b + 60 + c ≡ 4 b + 4 + c  (mod 8) N  8’e bölünür ⇔ 4 b + 4 + c ≡ 0  (mod 8) Burada b’nin tek-çift olmasına göre: • b çift ise: 4 b ≡ 0  (mod 8) 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 4  (mod 8) Rakam olduğundan: c = 4 • b tek ise: 4 b ≡ 4  (mod 8) 4 + 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 0  (mod 8) Rakam olduğundan: c ∈ { 0, 8 } Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı: • b çift: 5 seçenek ( 0,2,4,6,8 ) ve her biri için c=4 → 5 ikili • b tek: 5 seçenek ( 1,3,5,7,9 ) ve her biri için 2 seçenek ( c=0 veya c=8 ) → 10 ikili Toplam (b,c) ikilisi = 5 + 10 = 15 5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım: a + b + c ≡ 0  (mod 9) Bu kongruans a ’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir: a ≡ 0  (mod 9) ⇒ a ∈ { 0, 9 } 6) Durumlara ayıralım: Durum 1: b çift ve c=4. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir: Bu durumdan gelen sayı = 5 Durum 2: b tek ve c=0. Burada b+c=b olur. Sadece b=9 iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(9,0) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 Durum 3: b tek ve c=8. Burada b+c sadece b=1 iken 9’un katı olur ( 1+8=9 ), o zaman a iki değer alır. (b,c)=(1,8) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 7) Toplam: 5 + 6 + 6 = 17 Sonuç: N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( 15 ) yanlıştır.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor. Verilen sayı: N = 400000 + a ⋅ 10000 + 8000 + b ⋅ 100 + 60 + c 2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma): 72 = 8 ⋅ 9 Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir. 3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 4 + a + 8 + b + 6 + c = 18 + a + b + c 18 ≡ 0  (mod 9) N  9’a bölünür ⇔ a + b + c ≡ 0  (mod 9) 4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak: 100 b + 60 + c Mod 8 inceleyelim: 100 ≡ 4  (mod 8) 60 ≡ 4  (mod 8) 100 b + 60 + c ≡ 4 b + 4 + c  (mod 8) N  8’e bölünür ⇔ 4 b + 4 + c ≡ 0  (mod 8) Burada b’nin tek-çift olmasına göre: • b çift ise: 4 b ≡ 0  (mod 8) 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 4  (mod 8) Rakam olduğundan: c = 4 • b tek ise: 4 b ≡ 4  (mod 8) 4 + 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 0  (mod 8) Rakam olduğundan: c ∈ { 0, 8 } Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı: • b çift: 5 seçenek ( 0,2,4,6,8 ) ve her biri için c=4 → 5 ikili • b tek: 5 seçenek ( 1,3,5,7,9 ) ve her biri için 2 seçenek ( c=0 veya c=8 ) → 10 ikili Toplam (b,c) ikilisi = 5 + 10 = 15 5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım: a + b + c ≡ 0  (mod 9) Bu kongruans a ’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir: a ≡ 0  (mod 9) ⇒ a ∈ { 0, 9 } 6) Durumlara ayıralım: Durum 1: b çift ve c=4. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir: Bu durumdan gelen sayı = 5 Durum 2: b tek ve c=0. Burada b+c=b olur. Sadece b=9 iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(9,0) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 Durum 3: b tek ve c=8. Burada b+c sadece b=1 iken 9’un katı olur ( 1+8=9 ), o zaman a iki değer alır. (b,c)=(1,8) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 7) Toplam: 5 + 6 + 6 = 17 Sonuç: N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( 15 ) yanlıştır.

Doğru cevap: C

Sayılar a ve b olsun. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 180 EBOB-EKOK bağıntısından: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 12 · 180 EBOB 12 olduğuna göre sayıları 12 ile çarpılmış iki aralarında asal sayı gibi yazalım: a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisiyle x·y değerini bulalım: EKOK ( a, b ) = 12 · x · y 180 = 12 · x · y x · y = 180 12 = 15 x ve y aralarında asal olacak şekilde 15 'in çarpan çiftlerini deneyelim: x · y = 15 ( x, y ) = ( 1, 15 ) ⇒ x + y = 16 ( x, y ) = ( 3, 5 ) ⇒ x + y = 8 En küçük toplam 8 ile elde edilir. Toplamı bulalım: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) a + b = 12 · 8 = 96 Sonuç: En küçük toplam 96 olur; bu da C şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap C mi?” sorusunun cevabı: Evet.

1. Çözüm: Sayılar a ve b olsun. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 180 EBOB-EKOK bağıntısından: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 12 · 180 EBOB 12 olduğuna göre sayıları 12 ile çarpılmış iki aralarında asal sayı gibi yazalım: a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisiyle x·y değerini bulalım: EKOK ( a, b ) = 12 · x · y 180 = 12 · x · y x · y = 180 12 = 15 x ve y aralarında asal olacak şekilde 15 'in çarpan çiftlerini deneyelim: x · y = 15 ( x, y ) = ( 1, 15 ) ⇒ x + y = 16 ( x, y ) = ( 3, 5 ) ⇒ x + y = 8 En küçük toplam 8 ile elde edilir. Toplamı bulalım: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) a + b = 12 · 8 = 96 Sonuç: En küçük toplam 96 olur; bu da C şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap C mi?” sorusunun cevabı: Evet.