9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: D

İşin tamamını 1 birim kabul edelim. A’nın bir günde yaptığı iş (hızı): 1 12 B’nin bir günde yaptığı iş (hızı): 1 18 Birlikte bir günde yaptıkları iş: 1 12 + 1 18 Paydaları eşitleyelim: 3 36 + 2 36 = 5 36 İşin bitme süresi, hızın tersidir: 1 ÷ 5 36 = 1 × 36 5 = 36 5 Bulunan süre şıklardan A ile aynıdır: 36 5 Dolayısıyla doğru cevap D321 ’dır.

1. Çözüm: İşin tamamını 1 birim kabul edelim. A’nın bir günde yaptığı iş (hızı): 1 12 B’nin bir günde yaptığı iş (hızı): 1 18 Birlikte bir günde yaptıkları iş: 1 12 + 1 18 Paydaları eşitleyelim: 3 36 + 2 36 = 5 36 İşin bitme süresi, hızın tersidir: 1 ÷ 5 36 = 1 × 36 5 = 36 5 Bulunan süre şıklardan A ile aynıdır: 36 5 Dolayısıyla doğru cevap D321 ’dır.

Doğru cevap: A

Doğru cevap: Bütünün parçalara göre oranını göstermede kullanılır.

1. Çözüm: Doğru cevap: Bütünün parçalara göre oranını göstermede kullanılır.

Doğru cevap: B

Soruya göre 1. ürün maliyetine göre %25 kârla, 2. ürün maliyetine göre %25 zararla satılıyor ve iki satış fiyatı birbirine eşit. 1. ürünün maliyetine x, 2. ürünün maliyetine y diyelim. Satış fiyatları eşit olduğundan satış fiyatını S ile gösterelim. S = 5 4 x S = 3 4 y Satış fiyatları eşit olduğuna göre bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim: 5 4 x = 3 4 y Buradan y ’yi bulalım: y = 5 3 x Toplam maliyet ve toplam satış fiyatını hesaplayalım. Toplam maliyet: M = x + y = x + 5 3 x = 8 3 x Toplam satış fiyatı (iki ürünün satış fiyatı eşit ve her biri S ): T = S + S = 2 S = 2 × 5 4 x = 5 2 x Net kâr/zarar: T - M = 5 2 x - 8 3 x = 15 6 x - 16 6 x = - 1 6 x Sonuç negatif olduğu için toplamda zarar vardır. Zarar oranını (zarar / toplam maliyet) bulalım: Zarar Oranı = 1 6 x 8 3 x = 1 6 × 3 8 = 1 16 1 16 = 0. 0625 = 6. 25 % Toplamda %6.25 zarar vardır. Dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Soruya göre 1. ürün maliyetine göre %25 kârla, 2. ürün maliyetine göre %25 zararla satılıyor ve iki satış fiyatı birbirine eşit. 1. ürünün maliyetine x, 2. ürünün maliyetine y diyelim. Satış fiyatları eşit olduğundan satış fiyatını S ile gösterelim. S = 5 4 x S = 3 4 y Satış fiyatları eşit olduğuna göre bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim: 5 4 x = 3 4 y Buradan y ’yi bulalım: y = 5 3 x Toplam maliyet ve toplam satış fiyatını hesaplayalım. Toplam maliyet: M = x + y = x + 5 3 x = 8 3 x Toplam satış fiyatı (iki ürünün satış fiyatı eşit ve her biri S ): T = S + S = 2 S = 2 × 5 4 x = 5 2 x Net kâr/zarar: T - M = 5 2 x - 8 3 x = 15 6 x - 16 6 x = - 1 6 x Sonuç negatif olduğu için toplamda zarar vardır. Zarar oranını (zarar / toplam maliyet) bulalım: Zarar Oranı = 1 6 x 8 3 x = 1 6 × 3 8 = 1 16 1 16 = 0. 0625 = 6. 25 % Toplamda %6.25 zarar vardır. Dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: B

Kontrol edelim. Karışımdaki 50 % tuzlu sudan kullanılan miktara x litre diyelim. O hâlde 30 % tuzlu sudan kullanılan miktar 20 − x litredir (toplam hacim 20 litre ). Tuz miktarlarını eşitleyelim: 0.50 x + 0.30 ( 20 − x ) = 0.42 · 20 Parantezi açalım: 0.50 x + 6 − 0.30 x = 8.4 Benzer terimleri toplayalım: 0.20 x + 6 = 8.4 Her iki taraftan 6 çıkaralım: 0.20 x = 2.4 Bölelim: x = 2.4 0.20 = 12 Sonuç: 50 % tuzlu sudan kullanılan miktar 12 litre olur. Bu da B şıkkıdır; yani verilen “B” doğru.

1. Çözüm: Kontrol edelim. Karışımdaki 50 % tuzlu sudan kullanılan miktara x litre diyelim. O hâlde 30 % tuzlu sudan kullanılan miktar 20 − x litredir (toplam hacim 20 litre ). Tuz miktarlarını eşitleyelim: 0.50 x + 0.30 ( 20 − x ) = 0.42 · 20 Parantezi açalım: 0.50 x + 6 − 0.30 x = 8.4 Benzer terimleri toplayalım: 0.20 x + 6 = 8.4 Her iki taraftan 6 çıkaralım: 0.20 x = 2.4 Bölelim: x = 2.4 0.20 = 12 Sonuç: 50 % tuzlu sudan kullanılan miktar 12 litre olur. Bu da B şıkkıdır; yani verilen “B” doğru.

Doğru cevap: A

Doğru cevap: Birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmediği olaylardır.

1. Çözüm: Doğru cevap: Birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmediği olaylardır.

Doğru cevap: A

Onlar basamağı için 4, birler için 3 seçenek vardır; $12$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: A

Koşul: Bir pozitif tam sayı için, sayının kendisiyle iki ve üç katının onluk yazılışlarındaki rakamlar aynı çoklukta olup sadece yer değiştirmiştir (rakam permütasyonu). 1) Ön bilgi (rakam permütasyonu ⇒ rakamlar toplamı aynı): Rakamlar aynı olduğundan rakamlar toplamı aynıdır; bu da sayıların 9 ile bölümünden kalanlarının aynı olmasına yol açar. n ≡ 2 n ≡ 3 n ( mod 9 ) Buradan özellikle ilk eşitlikten: n ≡ 2 n ( mod 9 ) Taraf tarafa çıkarırsak: n ≡ 0 ( mod 9 ) Yani aranan sayı 9’un katı olmalıdır. (Bu bilgi tek başına sayıyı buldurmaz ama adayları ciddi azaltır.) 2) Şıklardaki adayları kontrol edelim. Önce A şıkkı için: n = 142857 İki katı: 2 n = 2 × 142857 = 285714 Üç katı: 3 n = 3 × 142857 = 428571 Görüldüğü gibi 142857, 285714, 428571 sayılarının her birinde kullanılan rakamlar aynıdır (sadece sıralanış farklı). Dolayısıyla A şıkkı koşulu sağlar. 3) “En küçük” kontrolü (şıklar arasında): Diğer şıkları da hızlıca elemek için katlarına bakıyoruz. B şıkkı: n = 285714 Bu sayı da aslında aynı rakamların başka bir dizilişidir ve gerçekten koşulu sağlar: 2 n = 571428 3 n = 857142 Ancak 285714 > 142857 olduğu için “en küçük” olamaz. C şıkkı: n = 428571 Üç katı 7 basamaklı olur, yani rakam sayısı bile aynı kalmaz: 3 n = 3 × 428571 = 1285713 Bu yüzden C şıkkı koşulu sağlamaz. D şıkkı: n = 857142 İki katı 7 basamaklı olur: 2 n = 2 × 857142 = 1714284 Bu yüzden D şıkkı da koşulu sağlamaz. 4) Sonuç: Koşulu sağlayan şıklar içinde en küçük olan A’dır. n = 142857 Dolayısıyla “Sorunun doğru cevabı A mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Koşul: Bir pozitif tam sayı için, sayının kendisiyle iki ve üç katının onluk yazılışlarındaki rakamlar aynı çoklukta olup sadece yer değiştirmiştir (rakam permütasyonu). 1) Ön bilgi (rakam permütasyonu ⇒ rakamlar toplamı aynı): Rakamlar aynı olduğundan rakamlar toplamı aynıdır; bu da sayıların 9 ile bölümünden kalanlarının aynı olmasına yol açar. n ≡ 2 n ≡ 3 n ( mod 9 ) Buradan özellikle ilk eşitlikten: n ≡ 2 n ( mod 9 ) Taraf tarafa çıkarırsak: n ≡ 0 ( mod 9 ) Yani aranan sayı 9’un katı olmalıdır. (Bu bilgi tek başına sayıyı buldurmaz ama adayları ciddi azaltır.) 2) Şıklardaki adayları kontrol edelim. Önce A şıkkı için: n = 142857 İki katı: 2 n = 2 × 142857 = 285714 Üç katı: 3 n = 3 × 142857 = 428571 Görüldüğü gibi 142857, 285714, 428571 sayılarının her birinde kullanılan rakamlar aynıdır (sadece sıralanış farklı). Dolayısıyla A şıkkı koşulu sağlar. 3) “En küçük” kontrolü (şıklar arasında): Diğer şıkları da hızlıca elemek için katlarına bakıyoruz. B şıkkı: n = 285714 Bu sayı da aslında aynı rakamların başka bir dizilişidir ve gerçekten koşulu sağlar: 2 n = 571428 3 n = 857142 Ancak 285714 > 142857 olduğu için “en küçük” olamaz. C şıkkı: n = 428571 Üç katı 7 basamaklı olur, yani rakam sayısı bile aynı kalmaz: 3 n = 3 × 428571 = 1285713 Bu yüzden C şıkkı koşulu sağlamaz. D şıkkı: n = 857142 İki katı 7 basamaklı olur: 2 n = 2 × 857142 = 1714284 Bu yüzden D şıkkı da koşulu sağlamaz. 4) Sonuç: Koşulu sağlayan şıklar içinde en küçük olan A’dır. n = 142857 Dolayısıyla “Sorunun doğru cevabı A mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

1) Verilen yaş bağıntısı: A = 3 Y − 2 2) 4 yıl sonraki koşul: Ali'nin yaşı, Ayşe'nin yaşının 2 katı olacak. A + 4 = 2 ( Y + 4 ) 3) İlk bağıntıdaki Ali'nin yaşını yerine yazalım: ( 3 Y − 2 ) + 4 = 2 ( Y + 4 ) 4) Düzenleyelim: 3 Y + 2 = 2 Y + 8 5) Her iki taraftan Ayşe'nin yaşını çıkaralım: Y + 2 = 8 6) 2'yi diğer tarafa atalım: Y = 6 Sonuç: Ayşe şimdi 6 yaşındadır. Bu nedenle doğru seçenek B'dir; B doğru mu kontrolü: Evet, B doğrudur.

1. Çözüm: 1) Verilen yaş bağıntısı: A = 3 Y − 2 2) 4 yıl sonraki koşul: Ali'nin yaşı, Ayşe'nin yaşının 2 katı olacak. A + 4 = 2 ( Y + 4 ) 3) İlk bağıntıdaki Ali'nin yaşını yerine yazalım: ( 3 Y − 2 ) + 4 = 2 ( Y + 4 ) 4) Düzenleyelim: 3 Y + 2 = 2 Y + 8 5) Her iki taraftan Ayşe'nin yaşını çıkaralım: Y + 2 = 8 6) 2'yi diğer tarafa atalım: Y = 6 Sonuç: Ayşe şimdi 6 yaşındadır. Bu nedenle doğru seçenek B'dir; B doğru mu kontrolü: Evet, B doğrudur.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları bölünebilme (modüler aritmetik) şeklinde yazalım: 9 ∣ 2 n + 1 8 ∣ 3 n + 2 Birinci koşulu eşdeğer kongruens olarak yazalım: 2 n + 1 ≡ 0 (mod 9 ) 2 n ≡ 8 (mod 9 ) Burada 2 · 5 ≡ 10 ≡ 1 (mod 9 ) olduğu için her iki tarafı 5 ile çarpabiliriz: n ≡ 40 ≡ 4 (mod 9 ) İkinci koşulu kongruens olarak yazalım: 3 n + 2 ≡ 0 (mod 8 ) 3 n ≡ 6 (mod 8 ) Burada 3 · 3 ≡ 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan her iki tarafı 3 ile çarpalım: n ≡ 18 ≡ 2 (mod 8 ) Şimdi sistemi çözelim: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 2 (mod 8 ) Birinciden n = 4 + 9 k yazıp ikinci koşulda yerine koyalım: 4 + 9 k ≡ 2 (mod 8 ) 9 k ≡ 6 (mod 8 ) Ama 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan k ≡ 6 (mod 8 ) En küçük doğal sayı çözüm için k değerinin en küçüğü: k = 6 Bu durumda n = 4 + 9 · 6 = 58 Sonuç: En küçük değer 58 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğru verilmiştir.

1. Çözüm: Verilen koşulları bölünebilme (modüler aritmetik) şeklinde yazalım: 9 ∣ 2 n + 1 8 ∣ 3 n + 2 Birinci koşulu eşdeğer kongruens olarak yazalım: 2 n + 1 ≡ 0 (mod 9 ) 2 n ≡ 8 (mod 9 ) Burada 2 · 5 ≡ 10 ≡ 1 (mod 9 ) olduğu için her iki tarafı 5 ile çarpabiliriz: n ≡ 40 ≡ 4 (mod 9 ) İkinci koşulu kongruens olarak yazalım: 3 n + 2 ≡ 0 (mod 8 ) 3 n ≡ 6 (mod 8 ) Burada 3 · 3 ≡ 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan her iki tarafı 3 ile çarpalım: n ≡ 18 ≡ 2 (mod 8 ) Şimdi sistemi çözelim: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 2 (mod 8 ) Birinciden n = 4 + 9 k yazıp ikinci koşulda yerine koyalım: 4 + 9 k ≡ 2 (mod 8 ) 9 k ≡ 6 (mod 8 ) Ama 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan k ≡ 6 (mod 8 ) En küçük doğal sayı çözüm için k değerinin en küçüğü: k = 6 Bu durumda n = 4 + 9 · 6 = 58 Sonuç: En küçük değer 58 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğru verilmiştir.

Doğru cevap: A

18 ve 24’ün ortak bölenlerinin en büyüğü 6’dır.

1. Çözüm: 18 ve 24’ün ortak bölenlerinin en büyüğü 6’dır.