9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: B

9 elemandan 1 eleman $9$ farklı şekilde seçilir.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: A

Şık kontrolü: Maksimum değer 2 çıkacağı için doğru cevap A ’dır. Verilen koşullar: a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 Maksimize etmek istediğimiz ifade: f ( a, b, c ) = a b c Bu tip simetrik kısıtlar altında (toplam ve kareler toplamı sabit), ekstremum noktalarında Lagrange çarpanlarıyla en az iki değişkenin eşit olduğu görülür. Lagrange sistemi (iki kısıtla): ∇ a b c = λ ∇ a + b + c + μ ∇ a 2 + b 2 + c 2 Bileşen bazında yazarsak: b c = λ + 2 μ a a c = λ + 2 μ b a b = λ + 2 μ c İlk iki denklemi çıkaralım: b c − a c = 2 μ a − 2 μ b c ( b − a ) = 2 μ ( a − b ) Buradan: ( a − b ) ( c + 2 μ ) = 0 Benzer şekilde döngüsel çıkarımlardan, ekstremumda en az iki tanesinin eşit olması gerekir. Bu yüzden: a = b Şimdi a = b = x olsun. Toplam şartından: x + x + c = 0 c = − 2 x Kareler toplamı şartına yazalım: x 2 + x 2 + ( − 2 x ) 2 = 6 2 x 2 + 4 x 2 = 6 6 x 2 = 6 x 2 = 1 Dolayısıyla: x = 1,   x = − 1 Şimdi çarpımı hesaplayalım: a b c = x × x × ( − 2 x ) = − 2 x 3 İki olasılık: x = 1 ⇒ a b c = − 2 x = − 1 ⇒ a b c = 2 Buna göre alınabilecek en büyük değer: max ( a b c ) = 2 Sonuç: Doğru seçenek A.

1. Çözüm: Şık kontrolü: Maksimum değer 2 çıkacağı için doğru cevap A ’dır. Verilen koşullar: a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 Maksimize etmek istediğimiz ifade: f ( a, b, c ) = a b c Bu tip simetrik kısıtlar altında (toplam ve kareler toplamı sabit), ekstremum noktalarında Lagrange çarpanlarıyla en az iki değişkenin eşit olduğu görülür. Lagrange sistemi (iki kısıtla): ∇ a b c = λ ∇ a + b + c + μ ∇ a 2 + b 2 + c 2 Bileşen bazında yazarsak: b c = λ + 2 μ a a c = λ + 2 μ b a b = λ + 2 μ c İlk iki denklemi çıkaralım: b c − a c = 2 μ a − 2 μ b c ( b − a ) = 2 μ ( a − b ) Buradan: ( a − b ) ( c + 2 μ ) = 0 Benzer şekilde döngüsel çıkarımlardan, ekstremumda en az iki tanesinin eşit olması gerekir. Bu yüzden: a = b Şimdi a = b = x olsun. Toplam şartından: x + x + c = 0 c = − 2 x Kareler toplamı şartına yazalım: x 2 + x 2 + ( − 2 x ) 2 = 6 2 x 2 + 4 x 2 = 6 6 x 2 = 6 x 2 = 1 Dolayısıyla: x = 1,   x = − 1 Şimdi çarpımı hesaplayalım: a b c = x × x × ( − 2 x ) = − 2 x 3 İki olasılık: x = 1 ⇒ a b c = − 2 x = − 1 ⇒ a b c = 2 Buna göre alınabilecek en büyük değer: max ( a b c ) = 2 Sonuç: Doğru seçenek A.

Doğru cevap: C

Önce doğru şıkkı kontrol edelim; verilen koşullardan A değerini bulacağız. 1) İlk koşuldan başlayalım: A - 4 = 2 × ( B - 4 ) Parantezi açalım: A - 4 = 2 B - 8 Her iki tarafa 4 ekleyelim: A = 2 B - 4 Buradan B ’yi A cinsinden yazalım: 2 B = A + 4 B = A + 4 2 2) İkinci koşulu düzenleyelim: ( A + 5 ) + ( B + 5 ) = 3 × ( C + 5 ) Toplayıp açalım: A + B + 10 = 3 C + 15 Her iki taraftan 15 çıkaralım: A + B - 5 = 3 C 3) Üçüncü koşuldan C ’yi yazalım: A + C = 56 C = 56 - A Bu C ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım: A + B - 5 = 3 ( 56 - A ) Sağ tarafı açalım: A + B - 5 = 168 - 3 A Buradan B ’yi yalnız bırakalım: B = 168 - 3 A - A + 5 B = 173 - 4 A Şimdi B için iki ifadeyi eşitleyelim: A + 4 2 = 173 - 4 A Her iki tarafı 2 ile çarpalım: A + 4 = 346 - 8 A Terimleri toplayalım: 9 A = 342 Buradan A: A = 342 9 A = 38 Sonuç: Doğru cevap C835 şıkkı dır.

1. Çözüm: Önce doğru şıkkı kontrol edelim; verilen koşullardan A değerini bulacağız. 1) İlk koşuldan başlayalım: A - 4 = 2 × ( B - 4 ) Parantezi açalım: A - 4 = 2 B - 8 Her iki tarafa 4 ekleyelim: A = 2 B - 4 Buradan B ’yi A cinsinden yazalım: 2 B = A + 4 B = A + 4 2 2) İkinci koşulu düzenleyelim: ( A + 5 ) + ( B + 5 ) = 3 × ( C + 5 ) Toplayıp açalım: A + B + 10 = 3 C + 15 Her iki taraftan 15 çıkaralım: A + B - 5 = 3 C 3) Üçüncü koşuldan C ’yi yazalım: A + C = 56 C = 56 - A Bu C ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım: A + B - 5 = 3 ( 56 - A ) Sağ tarafı açalım: A + B - 5 = 168 - 3 A Buradan B ’yi yalnız bırakalım: B = 168 - 3 A - A + 5 B = 173 - 4 A Şimdi B için iki ifadeyi eşitleyelim: A + 4 2 = 173 - 4 A Her iki tarafı 2 ile çarpalım: A + 4 = 346 - 8 A Terimleri toplayalım: 9 A = 342 Buradan A: A = 342 9 A = 38 Sonuç: Doğru cevap C835 şıkkı dır.

Doğru cevap: D

Eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 2 x - 3 ≤ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) Tanım kümesi kısıtını yazalım (payda sıfır olamaz): ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ - 1 Eşitsizliği çarpanlarıyla yazıp ortak çarpanı sadeleştiririz (ancak tanım dışı değerleri unutmadan): ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 x - 2 x + 1 ≤ 0 Burada yine de x ≠ 3, x ≠ - 1 şartları geçerlidir. Kritik noktalar payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu değerlerdir: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 İşaret incelemesi (aralık testi): Aralık ( - ∞, - 1 ) ( - 1, 2 ) ( 2, ∞ ) İfade işareti + - + Buna göre ifade yalnızca ( - 1, 2 ) aralığında negatiftir. Ayrıca x = 2 için ifade sıfır olur ve ≤ 0 şartını sağladığı için dahil edilir. Ancak x = - 1 tanımsız olduğundan dahil edilemez. Çözüm kümesi: ( - 1, 2 ] Sonuç: Doğru seçenek D976’dır.

1. Çözüm: Eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 2 x - 3 ≤ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) Tanım kümesi kısıtını yazalım (payda sıfır olamaz): ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ - 1 Eşitsizliği çarpanlarıyla yazıp ortak çarpanı sadeleştiririz (ancak tanım dışı değerleri unutmadan): ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 x - 2 x + 1 ≤ 0 Burada yine de x ≠ 3, x ≠ - 1 şartları geçerlidir. Kritik noktalar payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu değerlerdir: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 İşaret incelemesi (aralık testi): Aralık ( - ∞, - 1 ) ( - 1, 2 ) ( 2, ∞ ) İfade işareti + - + Buna göre ifade yalnızca ( - 1, 2 ) aralığında negatiftir. Ayrıca x = 2 için ifade sıfır olur ve ≤ 0 şartını sağladığı için dahil edilir. Ancak x = - 1 tanımsız olduğundan dahil edilemez. Çözüm kümesi: ( - 1, 2 ] Sonuç: Doğru seçenek D976’dır.

Doğru cevap: A

Önce kuralı hatırlayalım: Bir sayı 15 ile tam bölünebilmek için hem 3 hem de 5 ile tam bölünmelidir. 15 = 3 × 5 5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Şıkların hepsi 5 ile biter, yani hepsi 5 ile tam bölünür. 125, 135, 145, 155 Şimdi 3 ile bölünebilmeyi kontrol edelim: Rakamlar toplamı 3 ’ün katı olmalı. A şıkkı: 1 + 2 + 5 = 8 8, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 125 sayısı 15 ile tam bölünmez. şıkkıA421: 1 + 3 + 5 = 9 9, 3 ’ün katıdır; ayrıca sayı 5 ile de bölünüyordu. Bu nedenle 135 sayısı 15 ile tam bölünür. C şıkkı: 1 + 4 + 5 = 10 10, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 145 sayısı 15 ile tam bölünmez. D şıkkı: 1 + 5 + 5 = 11 11, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 155 sayısı 15 ile tam bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A727 ’dir. 135 ÷ 15 = 9

1. Çözüm: Önce kuralı hatırlayalım: Bir sayı 15 ile tam bölünebilmek için hem 3 hem de 5 ile tam bölünmelidir. 15 = 3 × 5 5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Şıkların hepsi 5 ile biter, yani hepsi 5 ile tam bölünür. 125, 135, 145, 155 Şimdi 3 ile bölünebilmeyi kontrol edelim: Rakamlar toplamı 3 ’ün katı olmalı. A şıkkı: 1 + 2 + 5 = 8 8, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 125 sayısı 15 ile tam bölünmez. şıkkıA421: 1 + 3 + 5 = 9 9, 3 ’ün katıdır; ayrıca sayı 5 ile de bölünüyordu. Bu nedenle 135 sayısı 15 ile tam bölünür. C şıkkı: 1 + 4 + 5 = 10 10, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 145 sayısı 15 ile tam bölünmez. D şıkkı: 1 + 5 + 5 = 11 11, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 155 sayısı 15 ile tam bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A727 ’dir. 135 ÷ 15 = 9

Doğru cevap: C

Verilenlere göre çarpım bağıntısını kullanalım: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) a × b = 18 × 900 = 16200 Şimdi EBOB ( a, b ) = 18 olduğundan, a = 18 x, b = 18 y ve ayrıca EBOB ( x, y ) = 1 EKOK’u yazalım: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 x y Bu değer 900 olduğuna göre: 18 x y = 900 ⇒ x y = 50 Şimdi x y = 50 ve EBOB ( x, y ) = 1 şartlarını sağlayan (aralarında asal) çarpan çiftlerini seçip x + y en küçük olacak olanı bulalım: 50 = 1 × 50 ⇒ x + y = 51 50 = 2 × 25 ⇒ x + y = 27 50 = 5 × 10, EBOB ( 5, 10 ) ≠ 1 En küçük toplam x + y = 27 ile gelir. Bu durumda: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) = 18 × 27 = 486 Sonuç: En küçük değer 486 olduğundan doğru şık B ’dir.

1. Çözüm: Verilenlere göre çarpım bağıntısını kullanalım: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) a × b = 18 × 900 = 16200 Şimdi EBOB ( a, b ) = 18 olduğundan, a = 18 x, b = 18 y ve ayrıca EBOB ( x, y ) = 1 EKOK’u yazalım: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 x y Bu değer 900 olduğuna göre: 18 x y = 900 ⇒ x y = 50 Şimdi x y = 50 ve EBOB ( x, y ) = 1 şartlarını sağlayan (aralarında asal) çarpan çiftlerini seçip x + y en küçük olacak olanı bulalım: 50 = 1 × 50 ⇒ x + y = 51 50 = 2 × 25 ⇒ x + y = 27 50 = 5 × 10, EBOB ( 5, 10 ) ≠ 1 En küçük toplam x + y = 27 ile gelir. Bu durumda: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) = 18 × 27 = 486 Sonuç: En küçük değer 486 olduğundan doğru şık B ’dir.

Doğru cevap: A

Önce iş hızlarını (günde yapılan iş miktarını) yazalım: A’nın hızı = 1 6, B’nin hızı = 1 8 Birlikte çalışırlarsa günlük toplam hız: 1 6 + 1 8 = 4 24 + 3 24 = 7 24 Birlikte çalıştıkları süre: 2 × 7 24 = 14 24 = 7 12 Geriye kalan iş: 1 − 7 12 = 5 12 Kalan işi B tek başına bitirecek. Süre = (kalan iş) / (B’nin hızı): 5 12 1 8 = 5 12 × 8 1 = 40 12 = 10 3 Bulunan süre şıklardaki değerle karşılaştırılır: 10 3 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; yani “A mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Önce iş hızlarını (günde yapılan iş miktarını) yazalım: A’nın hızı = 1 6, B’nin hızı = 1 8 Birlikte çalışırlarsa günlük toplam hız: 1 6 + 1 8 = 4 24 + 3 24 = 7 24 Birlikte çalıştıkları süre: 2 × 7 24 = 14 24 = 7 12 Geriye kalan iş: 1 − 7 12 = 5 12 Kalan işi B tek başına bitirecek. Süre = (kalan iş) / (B’nin hızı): 5 12 1 8 = 5 12 × 8 1 = 40 12 = 10 3 Bulunan süre şıklardaki değerle karşılaştırılır: 10 3 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; yani “A mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: A

Toplam veri sayısı frekansların toplamıdır: $2+5+3=10$.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: C

Alış fiyatına "x" diyelim. x Nakliye gideri alış fiyatının 5 % olduğuna göre, nakliyeli maliyet: x + 5 100 x = 105 100 x = 1.05 x Bu yeni maliyet üzerinden 50 % kârla etiket fiyatı: 1.05 x · ( 1 + 50 100 ) = 1.05 x · 1.5 = 1.575 x Etiket fiyatına sırasıyla 20 % ve 10 % indirim uygulanırsa satış fiyatı: 1.575 x · ( 1 - 20 100 ) · ( 1 - 10 100 ) 1.575 x · 0.8 · 0.9 = 1.134 x Net kâr, satış fiyatından nakliyeli maliyetin çıkarılmasıdır: 1.134 x - 1.05 x = 21 Denklemi çözelim: 0.084 x = 21 x = 21 0.084 = 250 Alış fiyatı: 250 olur. Dolayısıyla doğru seçenek C ’dir.

1. Çözüm: Alış fiyatına "x" diyelim. x Nakliye gideri alış fiyatının 5 % olduğuna göre, nakliyeli maliyet: x + 5 100 x = 105 100 x = 1.05 x Bu yeni maliyet üzerinden 50 % kârla etiket fiyatı: 1.05 x · ( 1 + 50 100 ) = 1.05 x · 1.5 = 1.575 x Etiket fiyatına sırasıyla 20 % ve 10 % indirim uygulanırsa satış fiyatı: 1.575 x · ( 1 - 20 100 ) · ( 1 - 10 100 ) 1.575 x · 0.8 · 0.9 = 1.134 x Net kâr, satış fiyatından nakliyeli maliyetin çıkarılmasıdır: 1.134 x - 1.05 x = 21 Denklemi çözelim: 0.084 x = 21 x = 21 0.084 = 250 Alış fiyatı: 250 olur. Dolayısıyla doğru seçenek C ’dir.

Doğru cevap: B

1) Şık B kontrolü için işlemleri sırayla yapalım. Başlangıç hacmi ve alkol oranı: 30 ⋅ 1 5 = 6 Karışımdan boşaltılan miktar: 10 ⋅ 1 5 = 2 Boşaltma sonrası kapta kalan alkol ve hacim: 6 - 2 = 4 30 - 10 = 20 Yerine eklenen 50% karışımdan gelen alkol: 10 ⋅ 1 2 = 5 Bu eklemeden sonra kapta toplam alkol ve hacim: 4 + 5 = 9 20 + 10 = 30 Sonra eklenenler: • 80% karışımdan gelen alkol miktarı: x ⋅ 4 5 • Eklenen su miktarı (alkol getirmez): x 2 Son durumda toplam alkol ve toplam hacim: Toplam alkol = 9 + 4 5 x Toplam hacim = 30 + x + x 2 Alkol oranı 40% olduğuna göre denklem: 9 + 4 5 x 30 + x + x 2 = 2 5 Paydada toplama yapalım: 30 + x + x 2 = 30 + 3 2 x Eşitliğin iki tarafını düzenleyelim: 9 + 4 5 x = 2 5 ⋅ 30 + 3 2 x Sağ tarafı açalım: 2 5 ⋅ 30 = 12 2 5 ⋅ 3 2 x = 3 5 x Denklem: 9 + 4 5 x = 12 + 3 5 x Taraf tarafa çıkaralım: 4 5 x - 3 5 x = 12 - 9 1 5 x = 3 Buradan: x = 15 2) Sonuç olarak doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: 1) Şık B kontrolü için işlemleri sırayla yapalım. Başlangıç hacmi ve alkol oranı: 30 ⋅ 1 5 = 6 Karışımdan boşaltılan miktar: 10 ⋅ 1 5 = 2 Boşaltma sonrası kapta kalan alkol ve hacim: 6 - 2 = 4 30 - 10 = 20 Yerine eklenen 50% karışımdan gelen alkol: 10 ⋅ 1 2 = 5 Bu eklemeden sonra kapta toplam alkol ve hacim: 4 + 5 = 9 20 + 10 = 30 Sonra eklenenler: • 80% karışımdan gelen alkol miktarı: x ⋅ 4 5 • Eklenen su miktarı (alkol getirmez): x 2 Son durumda toplam alkol ve toplam hacim: Toplam alkol = 9 + 4 5 x Toplam hacim = 30 + x + x 2 Alkol oranı 40% olduğuna göre denklem: 9 + 4 5 x 30 + x + x 2 = 2 5 Paydada toplama yapalım: 30 + x + x 2 = 30 + 3 2 x Eşitliğin iki tarafını düzenleyelim: 9 + 4 5 x = 2 5 ⋅ 30 + 3 2 x Sağ tarafı açalım: 2 5 ⋅ 30 = 12 2 5 ⋅ 3 2 x = 3 5 x Denklem: 9 + 4 5 x = 12 + 3 5 x Taraf tarafa çıkaralım: 4 5 x - 3 5 x = 12 - 9 1 5 x = 3 Buradan: x = 15 2) Sonuç olarak doğru seçenek B ’dir.