9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: D

Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. n ≡ 0 ( mod 8 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 10 ( mod 11 ) İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım. n = 8 k Bunu ikinci koşulda kullanalım. 8 k ≡ 7 ( mod 9 ) Mod 9 altında 8 ≡ −1 olduğundan sadeleştirelim. − k ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım. k ≡ 2 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılır: k = 9 t + 2 Buradan n ifadesini bulalım. n = 8 ( 9 t + 2 ) = 72 t + 16 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. 72 t + 16 ≡ 10 ( mod 11 ) Mod 11 altında 72 ≡ 6 ve 16 ≡ 5 olduğundan: 6 t + 5 ≡ 10 ( mod 11 ) Her iki taraftan 5 çıkaralım. 6 t ≡ 5 ( mod 11 ) Mod 11 altında 6 sayısının tersi 2 ’dir, çünkü: 6 · 2 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarpalım. t ≡ 10 ( mod 11 ) O hâlde: t = 11 s + 10 Bunu n = 72 t + 16 ifadesinde yerine yazalım. n = 72 ( 11 s + 10 ) + 16 = 792 s + 736 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 736 Kontrol: 736 ÷ 8 = 92 736 = 9 · 81 + 7 736 = 11 · 66 + 10 Sonuç: Doğru cevap D982 ’dir.

1. Çözüm: Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. n ≡ 0 ( mod 8 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 10 ( mod 11 ) İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım. n = 8 k Bunu ikinci koşulda kullanalım. 8 k ≡ 7 ( mod 9 ) Mod 9 altında 8 ≡ −1 olduğundan sadeleştirelim. − k ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım. k ≡ 2 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılır: k = 9 t + 2 Buradan n ifadesini bulalım. n = 8 ( 9 t + 2 ) = 72 t + 16 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. 72 t + 16 ≡ 10 ( mod 11 ) Mod 11 altında 72 ≡ 6 ve 16 ≡ 5 olduğundan: 6 t + 5 ≡ 10 ( mod 11 ) Her iki taraftan 5 çıkaralım. 6 t ≡ 5 ( mod 11 ) Mod 11 altında 6 sayısının tersi 2 ’dir, çünkü: 6 · 2 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarpalım. t ≡ 10 ( mod 11 ) O hâlde: t = 11 s + 10 Bunu n = 72 t + 16 ifadesinde yerine yazalım. n = 72 ( 11 s + 10 ) + 16 = 792 s + 736 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 736 Kontrol: 736 ÷ 8 = 92 736 = 9 · 81 + 7 736 = 11 · 66 + 10 Sonuç: Doğru cevap D982 ’dir.

Doğru cevap: A

Önce modülü çarpanlarına ayıralım: 63 = 9 ⋅ 7 ve   gcd ( 9, 7 ) = 1 Şimdi sayıyı ayrı ayrı mod 7 ve mod 9 için inceleyelim. Önce mod 7: 2 3 = 8 ≡ 1   (mod   7 ) 2 2025 = 2 3 675 ≡ 1 675 = 1   (mod   7 ) Şimdi mod 9. Euler totient değeri: φ ( 9 ) = 6 Dolayısıyla: 2 6 ≡ 1   (mod   9 ) Üssü mod 6 ile sadeleştirelim: 2025 = 6 ⋅ 337 + 3   ⇒   2025 ≡ 3   (mod   6 ) O halde: 2 2025 ≡ 2 3 = 8   (mod   9 ) Şimdi Çin Kalan Teoremi ile şu sistemi çözelim: x ≡ 1   (mod   7 ) x ≡ 8   (mod   9 ) İkinci koşul mod 9 için kalanın zaten 8 olduğunu söylüyor. Bunun mod 7 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: 8 ≡ 1   (mod   7 ) Sağlıyor; dolayısıyla mod 63 için kalan 8 ’dir. Sonuç: 2 2025 ≡ 8   (mod   63 ) Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce modülü çarpanlarına ayıralım: 63 = 9 ⋅ 7 ve   gcd ( 9, 7 ) = 1 Şimdi sayıyı ayrı ayrı mod 7 ve mod 9 için inceleyelim. Önce mod 7: 2 3 = 8 ≡ 1   (mod   7 ) 2 2025 = 2 3 675 ≡ 1 675 = 1   (mod   7 ) Şimdi mod 9. Euler totient değeri: φ ( 9 ) = 6 Dolayısıyla: 2 6 ≡ 1   (mod   9 ) Üssü mod 6 ile sadeleştirelim: 2025 = 6 ⋅ 337 + 3   ⇒   2025 ≡ 3   (mod   6 ) O halde: 2 2025 ≡ 2 3 = 8   (mod   9 ) Şimdi Çin Kalan Teoremi ile şu sistemi çözelim: x ≡ 1   (mod   7 ) x ≡ 8   (mod   9 ) İkinci koşul mod 9 için kalanın zaten 8 olduğunu söylüyor. Bunun mod 7 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: 8 ≡ 1   (mod   7 ) Sağlıyor; dolayısıyla mod 63 için kalan 8 ’dir. Sonuç: 2 2025 ≡ 8   (mod   63 ) Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları kongruens olarak yazalım: n ≡ 4 ( mod   6 ) n ≡ 7 ( mod   9 ) İlkine göre n sayısını parametreleyelim: n = 6 k + 4 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 6 k + 4 ≡ 7 ( mod   9 ) 6 k ≡ 3 ( mod   9 ) Her iki tarafı 3 ile sadeleştirelim: 2 k ≡ 1 ( mod   3 ) k ≡ 2 ( mod   3 ) O hâlde k için: k = 3 t + 2 Bunu n ifadesine yazalım: n = 6 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 18 t + 16 Bu nedenle n sayısının 18 ile bölümünden kalan: n ≡ 16 ( mod   18 ) Kontrol (şık C ): 16 ≡ 4 ( mod   6 ) 16 ≡ 7 ( mod   9 ) Dolayısıyla doğru cevap A640 ’dir.

1. Çözüm: Verilen koşulları kongruens olarak yazalım: n ≡ 4 ( mod   6 ) n ≡ 7 ( mod   9 ) İlkine göre n sayısını parametreleyelim: n = 6 k + 4 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 6 k + 4 ≡ 7 ( mod   9 ) 6 k ≡ 3 ( mod   9 ) Her iki tarafı 3 ile sadeleştirelim: 2 k ≡ 1 ( mod   3 ) k ≡ 2 ( mod   3 ) O hâlde k için: k = 3 t + 2 Bunu n ifadesine yazalım: n = 6 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 18 t + 16 Bu nedenle n sayısının 18 ile bölümünden kalan: n ≡ 16 ( mod   18 ) Kontrol (şık C ): 16 ≡ 4 ( mod   6 ) 16 ≡ 7 ( mod   9 ) Dolayısıyla doğru cevap A640 ’dir.

Doğru cevap: A

1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 2) Birinci kongruansı çözelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 3 n ≡ 2 - 4 ≡ - 2 ≡ 5 ( mod 7 ) Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız. 3 ⋅ 5 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) n ≡ 5 ⋅ 5 ≡ 25 ≡ 4 ( mod 7 ) 3) İkinci kongruansı çözelim. 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 5 n ≡ 6 + 1 ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayının tersini bulalım. 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ≡ 5 ( mod 9 ) 4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım. n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlkinden parametreleyelim. n = 4 + 7 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım. 4 + 7 k ≡ 5 ( mod 9 ) 7 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada da katsayının tersini kullanalım. 7 ⋅ 4 ≡ 28 ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ 4 ( mod 9 ) Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz. k = 4 n = 4 + 7 ⋅ 4 = 32 5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir. n ≡ 32 ( mod 63 ) Sonuç olarak, şıkkıA1178 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir. 32

1. Çözüm: 1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 2) Birinci kongruansı çözelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 3 n ≡ 2 - 4 ≡ - 2 ≡ 5 ( mod 7 ) Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız. 3 ⋅ 5 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) n ≡ 5 ⋅ 5 ≡ 25 ≡ 4 ( mod 7 ) 3) İkinci kongruansı çözelim. 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 5 n ≡ 6 + 1 ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayının tersini bulalım. 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ≡ 5 ( mod 9 ) 4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım. n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlkinden parametreleyelim. n = 4 + 7 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım. 4 + 7 k ≡ 5 ( mod 9 ) 7 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada da katsayının tersini kullanalım. 7 ⋅ 4 ≡ 28 ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ 4 ( mod 9 ) Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz. k = 4 n = 4 + 7 ⋅ 4 = 32 5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir. n ≡ 32 ( mod 63 ) Sonuç olarak, şıkkıA1178 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir. 32

Doğru cevap: A

Verilen koşulları birlikte sağlayan doğal sayının on sekiz ile bölümünden kalanı bulalım. Koşulları eşdeğer kongruens olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 9 ) n ≡ 2 ( mod 6 ) İlk koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 9 k + 5 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 9 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Her iki tarafı sadeleştirelim: 3 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Taraflardan 5 çıkaralım: 3 k ≡ 2 − 5 ( mod 6 ) Sağ tarafı düzenleyelim: 3 k ≡ − 3 ( mod 6 ) Aynı modda eşdeğer bir kalana geçelim: − 3 ≡ 3 ( mod 6 ) Dolayısıyla: 3 k ≡ 3 ( mod 6 ) Bu eşitlikten k için mod 2 sonucunu çıkaralım: k ≡ 1 ( mod 2 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 2 t + 1 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 9 ( 2 t + 1 ) + 5 Düzenlersek: n = 18 t + 14 Bu, n sayısının 18 ile bölümünden kalanın şu olduğunu gösterir: n ≡ 14 ( mod 18 ) Sonuç: Doğru kalan şıkkıA795ndaki değerdir.

1. Çözüm: Verilen koşulları birlikte sağlayan doğal sayının on sekiz ile bölümünden kalanı bulalım. Koşulları eşdeğer kongruens olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 9 ) n ≡ 2 ( mod 6 ) İlk koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 9 k + 5 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 9 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Her iki tarafı sadeleştirelim: 3 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Taraflardan 5 çıkaralım: 3 k ≡ 2 − 5 ( mod 6 ) Sağ tarafı düzenleyelim: 3 k ≡ − 3 ( mod 6 ) Aynı modda eşdeğer bir kalana geçelim: − 3 ≡ 3 ( mod 6 ) Dolayısıyla: 3 k ≡ 3 ( mod 6 ) Bu eşitlikten k için mod 2 sonucunu çıkaralım: k ≡ 1 ( mod 2 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 2 t + 1 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 9 ( 2 t + 1 ) + 5 Düzenlersek: n = 18 t + 14 Bu, n sayısının 18 ile bölümünden kalanın şu olduğunu gösterir: n ≡ 14 ( mod 18 ) Sonuç: Doğru kalan şıkkıA795ndaki değerdir.

Doğru cevap: D

Önce şıkkın doğruluğunu kontrol edelim: Sonuç C değil, D çıkıyor. Verilen sayı biçimi: N = 7 a 2 b ¯ Koşul: Sayının otuz altı ile tam bölünmesi için hem dörde hem dokuza bölünmesi gerekir. 36 = 4 · 9 1) Dörde bölünebilme: Son iki basamak dörde bölünebilir olmalı. Son iki basamak: 2 b ¯ Bu sayı 2 b ¯ = 20 + b olduğundan ve 20 ≡ 0 ( mod 4 ) olduğu için 20 + b ≡ b ( mod 4 ) Dolayısıyla b ≡ 0 ( mod 4 ) ve buradan b ∈ { 0, 4, 8 } 2) Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünebilir olmalı. 7 + a + 2 + b = 9 + a + b Bu toplamın dokuza bölünebilmesi için 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) yani eşdeğer olarak a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 3) Olasılıkları sayma: Şimdi b ∈ { 0, 4, 8 } için uygun a rakamlarını bulalım. Durum 1: b = 0 Koşul: a + 0 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğundan: a ∈ { 0, 9 } Bu durumda iki farklı ikili vardır. Durum 2: b = 4 Koşul: a + 4 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 5 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 5 Bu durumda bir farklı ikili vardır. Durum 3: b = 8 Koşul: a + 8 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 1 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 1 Bu durumda bir farklı ikili vardır. 4) Toplam: 2 + 1 + 1 = 4 Dolayısıyla ( a, b ) ikilisi dört farklı değer alır ve doğru cevap D şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce şıkkın doğruluğunu kontrol edelim: Sonuç C değil, D çıkıyor. Verilen sayı biçimi: N = 7 a 2 b ¯ Koşul: Sayının otuz altı ile tam bölünmesi için hem dörde hem dokuza bölünmesi gerekir. 36 = 4 · 9 1) Dörde bölünebilme: Son iki basamak dörde bölünebilir olmalı. Son iki basamak: 2 b ¯ Bu sayı 2 b ¯ = 20 + b olduğundan ve 20 ≡ 0 ( mod 4 ) olduğu için 20 + b ≡ b ( mod 4 ) Dolayısıyla b ≡ 0 ( mod 4 ) ve buradan b ∈ { 0, 4, 8 } 2) Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünebilir olmalı. 7 + a + 2 + b = 9 + a + b Bu toplamın dokuza bölünebilmesi için 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) yani eşdeğer olarak a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 3) Olasılıkları sayma: Şimdi b ∈ { 0, 4, 8 } için uygun a rakamlarını bulalım. Durum 1: b = 0 Koşul: a + 0 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğundan: a ∈ { 0, 9 } Bu durumda iki farklı ikili vardır. Durum 2: b = 4 Koşul: a + 4 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 5 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 5 Bu durumda bir farklı ikili vardır. Durum 3: b = 8 Koşul: a + 8 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 1 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 1 Bu durumda bir farklı ikili vardır. 4) Toplam: 2 + 1 + 1 = 4 Dolayısıyla ( a, b ) ikilisi dört farklı değer alır ve doğru cevap D şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen sayı: N = 400 + 10 x + 7 Önce sadeleştirelim: N = 407 + 10 x Dokuz ile bölünebilme için modüler aritmetik kullanalım. Her iki tarafın dokuz ile kalanına bakalım: N ≡ 407 + 10 x ( m o d 9 ) Şimdi terimleri ayrı ayrı dokuz ile sadeleştirelim: 407 ≡ 2 ( m o d 9 ) 10 x ≡ x ( m o d 9 ) Bunları birleştirelim: N ≡ 2 + x ( m o d 9 ) Dokuz ile tam bölünebilmesi için kalan sıfır olmalı: 2 + x ≡ 0 ( m o d 9 ) Buradan: x ≡ 7 ( m o d 9 ) Ayrıca x bir rakam olduğundan uygun tek değer: x = 7 Sonuç olarak doğru seçenek C545 ’dir: B: 7

1. Çözüm: Verilen sayı: N = 400 + 10 x + 7 Önce sadeleştirelim: N = 407 + 10 x Dokuz ile bölünebilme için modüler aritmetik kullanalım. Her iki tarafın dokuz ile kalanına bakalım: N ≡ 407 + 10 x ( m o d 9 ) Şimdi terimleri ayrı ayrı dokuz ile sadeleştirelim: 407 ≡ 2 ( m o d 9 ) 10 x ≡ x ( m o d 9 ) Bunları birleştirelim: N ≡ 2 + x ( m o d 9 ) Dokuz ile tam bölünebilmesi için kalan sıfır olmalı: 2 + x ≡ 0 ( m o d 9 ) Buradan: x ≡ 7 ( m o d 9 ) Ayrıca x bir rakam olduğundan uygun tek değer: x = 7 Sonuç olarak doğru seçenek C545 ’dir: B: 7

Doğru cevap: B

Doğru şık kontrolü: B: 35 Aşağıdaki adımlarda en küçük sayının 35 olduğu bulunacaktır; dolayısıyla doğru cevap B olur. Kalan bilgisine göre sayı şu biçimde yazılır: n = 8 k + 3 Burada k bir doğal sayıdır. Sayı 5 ile tam bölündüğü için: n ≡ 0 ( mod 5 ) Yerine yazalım: 8 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) 8 sayısının 5 ile bölümünden kalan: 8 ≡ 3 ( mod 5 ) Bu yüzden denklem: 3 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 3 k ≡ 2 ( mod 5 ) Her iki tarafı 3 ’ün 5 ’e göre ters elemanı ile çarpalım. Çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) Bu nedenle: k ≡ 2 · 2 ( mod 5 ) k ≡ 4 ( mod 5 ) En küçük uygun k değeri: k = 4 Bunu n = 8 k + 3 ifadesinde yerine koyarsak: n = 8 · 4 + 3 = 35 Sonuç: n = 35 Doğru cevap: B

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: B: 35 Aşağıdaki adımlarda en küçük sayının 35 olduğu bulunacaktır; dolayısıyla doğru cevap B olur. Kalan bilgisine göre sayı şu biçimde yazılır: n = 8 k + 3 Burada k bir doğal sayıdır. Sayı 5 ile tam bölündüğü için: n ≡ 0 ( mod 5 ) Yerine yazalım: 8 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) 8 sayısının 5 ile bölümünden kalan: 8 ≡ 3 ( mod 5 ) Bu yüzden denklem: 3 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 3 k ≡ 2 ( mod 5 ) Her iki tarafı 3 ’ün 5 ’e göre ters elemanı ile çarpalım. Çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) Bu nedenle: k ≡ 2 · 2 ( mod 5 ) k ≡ 4 ( mod 5 ) En küçük uygun k değeri: k = 4 Bunu n = 8 k + 3 ifadesinde yerine koyarsak: n = 8 · 4 + 3 = 35 Sonuç: n = 35 Doğru cevap: B

Doğru cevap: C

Verilen sayı: a 2 a 6 b Sayı hem 5’e hem 36’ya tam bölünüyormuş. Önce 5’e bölünebilme koşulunu kullanalım. 5’e tam bölünebilme için son basamak: b = 0   veya   b = 5 36’ya tam bölünebilmek için sayı hem 4’e hem 9’a tam bölünmelidir. 36 = 4 × 9 4’e bölünebilme için son iki basamak 4’ün katı olmalıdır. Son iki basamak: 6 b Olasılıkları deneyelim: 1) b = 0   ⇒   6 b = 60,   60 ÷ 4 = 15 2) b = 5   ⇒   6 b = 65,   65 ÷ 4 = 65 4 İkinci durumda tam sayı çıkmadığı için 4’e bölünmez. Bu yüzden: b = 0 Şimdi 9’a bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. Rakamlar toplamı: a + 2 + a + 6 + b Burada b = 0 olduğundan: a + 2 + a + 6 + 0 = 2 a + 8 5 basamaklı olduğundan: a ≠ 0 Şimdi 9’un katı olma şartı: 2 a + 8 ≡ 0   (mod   9 ) Uygun değerleri bulmak için olası 9’un katlarını düşünelim. 2 a + 8 = 18 Buradan: 2 a = 10   ⇒   a = 5 Sonuç olarak: a + b = 5 + 0 = 5 Dolayısıyla doğru cevap 5 yani şıkkıC1010dır. (B doğru.)

1. Çözüm: Verilen sayı: a 2 a 6 b Sayı hem 5’e hem 36’ya tam bölünüyormuş. Önce 5’e bölünebilme koşulunu kullanalım. 5’e tam bölünebilme için son basamak: b = 0   veya   b = 5 36’ya tam bölünebilmek için sayı hem 4’e hem 9’a tam bölünmelidir. 36 = 4 × 9 4’e bölünebilme için son iki basamak 4’ün katı olmalıdır. Son iki basamak: 6 b Olasılıkları deneyelim: 1) b = 0   ⇒   6 b = 60,   60 ÷ 4 = 15 2) b = 5   ⇒   6 b = 65,   65 ÷ 4 = 65 4 İkinci durumda tam sayı çıkmadığı için 4’e bölünmez. Bu yüzden: b = 0 Şimdi 9’a bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. Rakamlar toplamı: a + 2 + a + 6 + b Burada b = 0 olduğundan: a + 2 + a + 6 + 0 = 2 a + 8 5 basamaklı olduğundan: a ≠ 0 Şimdi 9’un katı olma şartı: 2 a + 8 ≡ 0   (mod   9 ) Uygun değerleri bulmak için olası 9’un katlarını düşünelim. 2 a + 8 = 18 Buradan: 2 a = 10   ⇒   a = 5 Sonuç olarak: a + b = 5 + 0 = 5 Dolayısıyla doğru cevap 5 yani şıkkıC1010dır. (B doğru.)

Doğru cevap: B

Seçenek B ’yi kontrol edelim: Aranan en küçük pozitif değer, aşağıdaki bölünebilme koşulunu sağlamalıdır. 2 n - 1 ≡ 0  (mod  63 ) Bu, şu anlama gelir: 2 n ≡ 1  (mod  63 ) Önce modüler yapıyı parçalayalım: 63 = 7 ⋅ 9 Bu durumda aynı anda şu iki koşul sağlanmalı: 2 n ≡ 1  (mod  7 ) 2 n ≡ 1  (mod  9 ) Önce mod 7 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2  (mod  7 ) 2 2 = 4 ≡ 4  (mod  7 ) 2 3 = 8 ≡ 1  (mod  7 ) Buradan mod 7 için en küçük değer: n = 3 Şimdi mod 9 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2  (mod  9 ) 2 2 = 4 ≡ 4  (mod  9 ) 2 3 = 8 ≡ 8  (mod  9 ) Devam ederek: 2 6 = 2 3 2 ≡ 8 2 = 64 ≡ 1  (mod  9 ) Ayrıca daha küçük bir üste ulaşmadığımız için mod 9 için en küçük değer: n = 6 Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif değer, bu iki üssün ortak katlarının en küçüğüdür: n = EKOK ( 3, 6 ) = 6 Sonuç olarak doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Seçenek B ’yi kontrol edelim: Aranan en küçük pozitif değer, aşağıdaki bölünebilme koşulunu sağlamalıdır. 2 n - 1 ≡ 0  (mod  63 ) Bu, şu anlama gelir: 2 n ≡ 1  (mod  63 ) Önce modüler yapıyı parçalayalım: 63 = 7 ⋅ 9 Bu durumda aynı anda şu iki koşul sağlanmalı: 2 n ≡ 1  (mod  7 ) 2 n ≡ 1  (mod  9 ) Önce mod 7 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2  (mod  7 ) 2 2 = 4 ≡ 4  (mod  7 ) 2 3 = 8 ≡ 1  (mod  7 ) Buradan mod 7 için en küçük değer: n = 3 Şimdi mod 9 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2  (mod  9 ) 2 2 = 4 ≡ 4  (mod  9 ) 2 3 = 8 ≡ 8  (mod  9 ) Devam ederek: 2 6 = 2 3 2 ≡ 8 2 = 64 ≡ 1  (mod  9 ) Ayrıca daha küçük bir üste ulaşmadığımız için mod 9 için en küçük değer: n = 6 Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif değer, bu iki üssün ortak katlarının en küçüğüdür: n = EKOK ( 3, 6 ) = 6 Sonuç olarak doğru seçenek B ’dir.