9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: D

İfade: f ( x ) = | x - 2 | + | 2 x + 1 | İkinci mutlak değeri sadeleştirelim: | 2 x + 1 | = | 2 ( x + 1 2 ) | = 2 | x + 1 2 | Dolayısıyla: f ( x ) = | x - 2 | + 2 | x + 1 2 | Kritik noktalar (mutlak değer içlerinin sıfır olduğu yerler): x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 2 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu noktalara göre aralık aralık inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = - x - 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( - x - 1 2 ) = 1 - 3 x Burada eğim - 3 olduğu için aralıkta artan x ile azalan bir fonksiyondur; minimum sağ uçta alınır: f ( - 1 2 ) = 1 - 3 ( - 1 2 ) = 1 + 3 2 = 5 2 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( x + 1 2 ) = x + 3 Burada eğim 1 olduğu için fonksiyon artandır; minimum sol uçta alınır: f ( - 1 2 ) = - 1 2 + 3 = 5 2 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = x - 2 + 2 ( x + 1 2 ) = 3 x - 1 Eğim pozitif olduğu için minimum bu aralığın sol ucunda alınır: f ( 2 ) = 3 × 2 - 1 = 5 Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: 5 2 < 5 Sonuç olarak ifadenin en küçük değeri: min ( f ) = 5 2 Bu değer x = - 1 2 için elde edilir. Dolayısıyla doğru seçenek D1238’dır.

1. Çözüm: İfade: f ( x ) = | x - 2 | + | 2 x + 1 | İkinci mutlak değeri sadeleştirelim: | 2 x + 1 | = | 2 ( x + 1 2 ) | = 2 | x + 1 2 | Dolayısıyla: f ( x ) = | x - 2 | + 2 | x + 1 2 | Kritik noktalar (mutlak değer içlerinin sıfır olduğu yerler): x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 2 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu noktalara göre aralık aralık inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = - x - 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( - x - 1 2 ) = 1 - 3 x Burada eğim - 3 olduğu için aralıkta artan x ile azalan bir fonksiyondur; minimum sağ uçta alınır: f ( - 1 2 ) = 1 - 3 ( - 1 2 ) = 1 + 3 2 = 5 2 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( x + 1 2 ) = x + 3 Burada eğim 1 olduğu için fonksiyon artandır; minimum sol uçta alınır: f ( - 1 2 ) = - 1 2 + 3 = 5 2 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = x - 2 + 2 ( x + 1 2 ) = 3 x - 1 Eğim pozitif olduğu için minimum bu aralığın sol ucunda alınır: f ( 2 ) = 3 × 2 - 1 = 5 Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: 5 2 < 5 Sonuç olarak ifadenin en küçük değeri: min ( f ) = 5 2 Bu değer x = - 1 2 için elde edilir. Dolayısıyla doğru seçenek D1238’dır.

Doğru cevap: D

Doğru cevap: Bir deney sonucunda gerçekleşmesi beklenen durumdur.

1. Çözüm: Doğru cevap: Bir deney sonucunda gerçekleşmesi beklenen durumdur.

Doğru cevap: B

Doğru cevap: 1’den n’e kadar pozitif tam sayıların çarpımıdır.

1. Çözüm: Doğru cevap: 1’den n’e kadar pozitif tam sayıların çarpımıdır.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü Aşağıdaki çözümde sıralı ikili sayısı bulunacak ve bunun şık B ile aynı olduğu görülecek. 2) Denklemi çarpıp sadeleştirelim 1 x + 1 y = 1 2025 x + y x y = 1 2025 2025 ( x + y ) = x y 3) Düzenleyip çarpanlara ayıralım x y - 2025 x - 2025 y = 0 x y - 2025 x - 2025 y + 2025 · 2025 = 2025 · 2025 ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) = 2025 2 4) Yeni değişken tanımlayalım a = x - 2025 b = y - 2025 a b = 2025 2 5) İşaret (pozitiflik) kontrolü Çarpım pozitif olduğu için a ve b aynı işaretlidir. İkisi birden negatif olsaydı şu olurdu: a < 0, b < 0 Bu durumda x = a + 2025 < 2025, y = b + 2025 < 2025 olur ve dolayısıyla ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) < 2025 2 çelişkisi doğar. Bu yüzden a > 0, b > 0 olmalıdır. Yani pozitif bölen çiftlerini sayacağız. 6) Bölen sayısını bulalım 2025 = 45 2 45 = 3 2 · 5 2025 = 3 4 · 5 2 2025 2 = 3 8 · 5 4 Pozitif bölen sayısı: ( 8 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 45 7) Sonuç ve şık kontrolü Her pozitif bölen seçimi bir sıralı ikili verdiği için sıralı ikili sayısı 45 Bu değer şık B ile aynıdır. Doğru cevap B.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü Aşağıdaki çözümde sıralı ikili sayısı bulunacak ve bunun şık B ile aynı olduğu görülecek. 2) Denklemi çarpıp sadeleştirelim 1 x + 1 y = 1 2025 x + y x y = 1 2025 2025 ( x + y ) = x y 3) Düzenleyip çarpanlara ayıralım x y - 2025 x - 2025 y = 0 x y - 2025 x - 2025 y + 2025 · 2025 = 2025 · 2025 ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) = 2025 2 4) Yeni değişken tanımlayalım a = x - 2025 b = y - 2025 a b = 2025 2 5) İşaret (pozitiflik) kontrolü Çarpım pozitif olduğu için a ve b aynı işaretlidir. İkisi birden negatif olsaydı şu olurdu: a < 0, b < 0 Bu durumda x = a + 2025 < 2025, y = b + 2025 < 2025 olur ve dolayısıyla ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) < 2025 2 çelişkisi doğar. Bu yüzden a > 0, b > 0 olmalıdır. Yani pozitif bölen çiftlerini sayacağız. 6) Bölen sayısını bulalım 2025 = 45 2 45 = 3 2 · 5 2025 = 3 4 · 5 2 2025 2 = 3 8 · 5 4 Pozitif bölen sayısı: ( 8 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 45 7) Sonuç ve şık kontrolü Her pozitif bölen seçimi bir sıralı ikili verdiği için sıralı ikili sayısı 45 Bu değer şık B ile aynıdır. Doğru cevap B.

Doğru cevap: C

İfadeyi parçalayalım: ( - 2 ) 3 + | - 5 | - 4 Üslü ifadeyi hesaplayalım: ( - 2 ) 3 = - 8 Mutlak değeri hesaplayalım: | - 5 | = 5 Bulduklarımızı ifadede yerine yazalım: - 8 + 5 - 4 Toplama-çıkarma işlemini yapalım: - 8 + 5 = - 3 - 3 - 4 = - 7 Sonuç: - 7 Doğru seçenek: C253

1. Çözüm: İfadeyi parçalayalım: ( - 2 ) 3 + | - 5 | - 4 Üslü ifadeyi hesaplayalım: ( - 2 ) 3 = - 8 Mutlak değeri hesaplayalım: | - 5 | = 5 Bulduklarımızı ifadede yerine yazalım: - 8 + 5 - 4 Toplama-çıkarma işlemini yapalım: - 8 + 5 = - 3 - 3 - 4 = - 7 Sonuç: - 7 Doğru seçenek: C253

Doğru cevap: C

İfade: 3 4 × 3 - 2 3 1 Aynı tabanlı üslerde çarpma kuralı: a m × a n = a m + n Paydaki kuvvetleri birleştirelim: 3 4 × 3 - 2 = 3 4 + - 2 Üstü sadeleştirelim: 3 4 + - 2 = 3 2 Şimdi bölme kuralını kullanalım (üstler çıkarılır): a m a n = a m - n İfadeye uygulayalım: 3 2 3 1 = 3 2 - 1 Üstü sadeleştirelim: 3 2 - 1 = 3 1 Sonuç: 3 1 = 3 Doğru seçenek: C354

1. Çözüm: İfade: 3 4 × 3 - 2 3 1 Aynı tabanlı üslerde çarpma kuralı: a m × a n = a m + n Paydaki kuvvetleri birleştirelim: 3 4 × 3 - 2 = 3 4 + - 2 Üstü sadeleştirelim: 3 4 + - 2 = 3 2 Şimdi bölme kuralını kullanalım (üstler çıkarılır): a m a n = a m - n İfadeye uygulayalım: 3 2 3 1 = 3 2 - 1 Üstü sadeleştirelim: 3 2 - 1 = 3 1 Sonuç: 3 1 = 3 Doğru seçenek: C354

Doğru cevap: D

Annenin bugünkü yaşı olsun. İki çocuğun bugünkü yaşları toplamı olsun. M = S + 0 Verilen “annenin bugünkü yaşı, çocukların bugünkü yaşları toplamının üç katından altı eksik” bilgisine göre: M = 3 S − 6 Dört yıl önce annenin yaşı olur. Çocukların yaşları toplamı da her çocuk için dört azalacağı için toplamda sekiz azalır, yani olur. M − 4 S − 8 “Dört yıl önce annenin yaşı, çocukların yaşları toplamının beş katıydı” bilgisine göre: M − 4 = 5 ( S − 8 ) Bu denklemi açalım: M − 4 = 5 S − 40 M = 5 S − 36 Artık elimizde annenin yaşı için iki ifade var. Eşitleyelim: 3 S − 6 = 5 S − 36 Çözelim: 30 = 2 S S = 15 Şimdi annenin bugünkü yaşını bulalım: M = 3 S − 6 M = 3 × 15 − 6 M = 39 Sonuç: Doğru cevap D688 şıkkıdır. M = 39

1. Çözüm: Annenin bugünkü yaşı olsun. İki çocuğun bugünkü yaşları toplamı olsun. M = S + 0 Verilen “annenin bugünkü yaşı, çocukların bugünkü yaşları toplamının üç katından altı eksik” bilgisine göre: M = 3 S − 6 Dört yıl önce annenin yaşı olur. Çocukların yaşları toplamı da her çocuk için dört azalacağı için toplamda sekiz azalır, yani olur. M − 4 S − 8 “Dört yıl önce annenin yaşı, çocukların yaşları toplamının beş katıydı” bilgisine göre: M − 4 = 5 ( S − 8 ) Bu denklemi açalım: M − 4 = 5 S − 40 M = 5 S − 36 Artık elimizde annenin yaşı için iki ifade var. Eşitleyelim: 3 S − 6 = 5 S − 36 Çözelim: 30 = 2 S S = 15 Şimdi annenin bugünkü yaşını bulalım: M = 3 S − 6 M = 3 × 15 − 6 M = 39 Sonuç: Doğru cevap D688 şıkkıdır. M = 39

Doğru cevap: C

İstenen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x ≠ 4 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Böylece eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 3) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 Bu noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara böler: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım: • İlk aralık için: x = 0 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 • İkinci aralık için: x = 5 2 ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 • Üçüncü aralık için: x = 7 2 ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 • Dördüncü aralık için: x = 5 ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 5) Eşitsizlik sağlayan aralıkları toplayalım. Ayrıca payı sıfır yapan noktalar ( eşitlik durumu ) dahildir, paydada sıfır yapan nokta dahil değildir: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C919 şıkkıdır.

1. Çözüm: İstenen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x ≠ 4 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Böylece eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 3) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 Bu noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara böler: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım: • İlk aralık için: x = 0 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 • İkinci aralık için: x = 5 2 ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 • Üçüncü aralık için: x = 7 2 ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 • Dördüncü aralık için: x = 5 ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 5) Eşitsizlik sağlayan aralıkları toplayalım. Ayrıca payı sıfır yapan noktalar ( eşitlik durumu ) dahildir, paydada sıfır yapan nokta dahil değildir: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C919 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları eşitlik ve kongruans olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 8 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) n ≡ 0 ( mod 7 ) İlk koşuldan başlayalım. Bir tam sayı k için: n = 8 k + 3 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 8 k + 3 ≡ 4 ( mod 9 ) 8 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada sekiz, dokuz ile bölümde eksi bir ile aynı kalanı verir. Yani: 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) − k ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ − 1 ≡ 8 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılabilir: k = 9 t + 8 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 8 ( 9 t + 8 ) + 3 n = 72 t + 67 Şimdi n ’in yedi ile tam bölünmesi için t ’yi bulalım: 72 t + 67 ≡ 0 ( mod 7 ) Kalanları sadeleştirelim: 72 ≡ 2 ( mod 7 ) 67 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 t + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) İki’nin yedi modunda tersi dört tür; çünkü: 2 ⋅ 4 = 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 3 ⋅ 4 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) O hâlde: t = 7 s + 5 Bunu n ’de yerine yazalım: n = 72 ( 7 s + 5 ) + 67 n = 504 s + 427 En küçük pozitif değer için s ’yi sıfır alırız: n = 427 Sonuç: Doğru cevap A933 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşulları eşitlik ve kongruans olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 8 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) n ≡ 0 ( mod 7 ) İlk koşuldan başlayalım. Bir tam sayı k için: n = 8 k + 3 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 8 k + 3 ≡ 4 ( mod 9 ) 8 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada sekiz, dokuz ile bölümde eksi bir ile aynı kalanı verir. Yani: 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) − k ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ − 1 ≡ 8 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılabilir: k = 9 t + 8 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 8 ( 9 t + 8 ) + 3 n = 72 t + 67 Şimdi n ’in yedi ile tam bölünmesi için t ’yi bulalım: 72 t + 67 ≡ 0 ( mod 7 ) Kalanları sadeleştirelim: 72 ≡ 2 ( mod 7 ) 67 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 t + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) İki’nin yedi modunda tersi dört tür; çünkü: 2 ⋅ 4 = 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 3 ⋅ 4 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) O hâlde: t = 7 s + 5 Bunu n ’de yerine yazalım: n = 72 ( 7 s + 5 ) + 67 n = 504 s + 427 En küçük pozitif değer için s ’yi sıfır alırız: n = 427 Sonuç: Doğru cevap A933 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

İstenen ifade: EBOB ( 24, 36 ) + EKOK ( 24, 36 ) Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 · 3 36 = 2 2 · 3 2 EBOB için ortak asal çarpanların üslerinin küçüğünü alırız: EBOB ( 24, 36 ) = 2 2 · 3 1 = 12 EKOK için asal çarpanların üslerinin büyüğünü alırız: EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 · 3 2 = 72 Toplayalım: EBOB ( 24, 36 ) + EKOK ( 24, 36 ) = 12 + 72 = 84 Doğru seçenek: C360

1. Çözüm: İstenen ifade: EBOB ( 24, 36 ) + EKOK ( 24, 36 ) Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 · 3 36 = 2 2 · 3 2 EBOB için ortak asal çarpanların üslerinin küçüğünü alırız: EBOB ( 24, 36 ) = 2 2 · 3 1 = 12 EKOK için asal çarpanların üslerinin büyüğünü alırız: EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 · 3 2 = 72 Toplayalım: EBOB ( 24, 36 ) + EKOK ( 24, 36 ) = 12 + 72 = 84 Doğru seçenek: C360