9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Verilen ifade | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | kümelerin simetrik farkının eleman sayısıdır. | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | = | A | + | B | − 2 | A ∩ B | Şimdi sırasıyla | A |, | B |, | A ∩ B | değerlerini bulalım. 1) |A| hesabı (2 veya 3 ile bölünenler) | A | = | 2 ∣ x | + | 3 ∣ x | − | 6 ∣ x | | 2 ∣ x | = 60 2 = 30 | 3 ∣ x | = 60 3 = 20 | 6 ∣ x | = 60 6 = 10 | A | = 30 + 20 − 10 = 40 2) |B| hesabı (3 veya 5 ile bölünenler) | B | = | 3 ∣ x | + | 5 ∣ x | − | 15 ∣ x | | 3 ∣ x | = 60 3 = 20 | 5 ∣ x | = 60 5 = 12 | 15 ∣ x | = 60 15 = 4 | B | = 20 + 12 − 4 = 28 3) |A ∩ B| hesabı A kümesinde olma şartı: 2 ile veya 3 ile bölünmek. B kümesinde olma şartı: 3 ile veya 5 ile bölünmek. Kesişimde olmak için iki şart aynı anda sağlanmalı: A ∩ B = { x ∈ U | ( 2 ∣ x ∨ 3 ∣ x ) ∧ ( 3 ∣ x ∨ 5 ∣ x ) } Bu ifade şu şekilde sadeleşir: Ya 3 ile bölünür, ya da (2 ile ve 5 ile) bölünür (yani 10 ile bölünür). A ∩ B = { x ∈ U | 3 ∣ x ∨ 10 ∣ x } Şimdi yine dahil etme-çıkarma yapalım: | A ∩ B | = | 3 ∣ x | + | 10 ∣ x | − | 30 ∣ x | | 3 ∣ x | = 60 3 = 20 | 10 ∣ x | = 60 10 = 6 | 30 ∣ x | = 60 30 = 2 | A ∩ B | = 20 + 6 − 2 = 24 4) Simetrik farkın eleman sayısı | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | = 40 + 28 − 2 × 24 = 68 − 48 = 20 Sonuç | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | = 20 Doğru cevap C1639 = 20 yani verilen “B” şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Verilen ifade | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | kümelerin simetrik farkının eleman sayısıdır. | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | = | A | + | B | − 2 | A ∩ B | Şimdi sırasıyla | A |, | B |, | A ∩ B | değerlerini bulalım. 1) |A| hesabı (2 veya 3 ile bölünenler) | A | = | 2 ∣ x | + | 3 ∣ x | − | 6 ∣ x | | 2 ∣ x | = 60 2 = 30 | 3 ∣ x | = 60 3 = 20 | 6 ∣ x | = 60 6 = 10 | A | = 30 + 20 − 10 = 40 2) |B| hesabı (3 veya 5 ile bölünenler) | B | = | 3 ∣ x | + | 5 ∣ x | − | 15 ∣ x | | 3 ∣ x | = 60 3 = 20 | 5 ∣ x | = 60 5 = 12 | 15 ∣ x | = 60 15 = 4 | B | = 20 + 12 − 4 = 28 3) |A ∩ B| hesabı A kümesinde olma şartı: 2 ile veya 3 ile bölünmek. B kümesinde olma şartı: 3 ile veya 5 ile bölünmek. Kesişimde olmak için iki şart aynı anda sağlanmalı: A ∩ B = { x ∈ U | ( 2 ∣ x ∨ 3 ∣ x ) ∧ ( 3 ∣ x ∨ 5 ∣ x ) } Bu ifade şu şekilde sadeleşir: Ya 3 ile bölünür, ya da (2 ile ve 5 ile) bölünür (yani 10 ile bölünür). A ∩ B = { x ∈ U | 3 ∣ x ∨ 10 ∣ x } Şimdi yine dahil etme-çıkarma yapalım: | A ∩ B | = | 3 ∣ x | + | 10 ∣ x | − | 30 ∣ x | | 3 ∣ x | = 60 3 = 20 | 10 ∣ x | = 60 10 = 6 | 30 ∣ x | = 60 30 = 2 | A ∩ B | = 20 + 6 − 2 = 24 4) Simetrik farkın eleman sayısı | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | = 40 + 28 − 2 × 24 = 68 − 48 = 20 Sonuç | ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) | = 20 Doğru cevap C1639 = 20 yani verilen “B” şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: D

Verilen önermenin doğru olduğu biliniyor: ( P → Q ) ∧ ( Q → R ) ∧ ¬ R 1) Önermelerden her biri doğrudur; özellikle ikinci ve üçüncü parçayı birlikte kullanalım: ( Q → R ) ∧ ¬ R 2) Modus Tollens: eğer doğru ve sonuç yanlışsa, öncül yanlıştır. Buradan: ¬ Q 3) Şimdi birinci parçayı ve bulduğumuz sonucu birlikte kullanalım: ( P → Q ) ∧ ¬ Q 4) Yine Modus Tollens: sonuç olan yanlışsa, öncül olan yanlıştır. Buradan: ¬ P 5) Elde ettiklerimizi birleştirirsek: ¬ P ∧ ¬ Q Bu ifade şıklar içinde seçeneğiD488dir. Dolayısıyla doğru cevap D515 ve seçeneğiD535 kesinlikle doğrudur.

1. Çözüm: Verilen önermenin doğru olduğu biliniyor: ( P → Q ) ∧ ( Q → R ) ∧ ¬ R 1) Önermelerden her biri doğrudur; özellikle ikinci ve üçüncü parçayı birlikte kullanalım: ( Q → R ) ∧ ¬ R 2) Modus Tollens: eğer doğru ve sonuç yanlışsa, öncül yanlıştır. Buradan: ¬ Q 3) Şimdi birinci parçayı ve bulduğumuz sonucu birlikte kullanalım: ( P → Q ) ∧ ¬ Q 4) Yine Modus Tollens: sonuç olan yanlışsa, öncül olan yanlıştır. Buradan: ¬ P 5) Elde ettiklerimizi birleştirirsek: ¬ P ∧ ¬ Q Bu ifade şıklar içinde seçeneğiD488dir. Dolayısıyla doğru cevap D515 ve seçeneğiD535 kesinlikle doğrudur.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: x - 2 - x + 1 = x Önce çözüm aralığını daraltalım. Ters üçgen eşitsizliğine göre: x - 2 - x + 1 ≤ ( x - 2 ) - ( x + 1 ) = - 3 = 3 Denklemde sol taraf sağ tarafa eşit olduğundan: x ≤ 3 Dolayısıyla sadece şu aralıkta çözüm arayacağız: - 3 ≤ x ≤ 3 Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar: x = - 1, x = 0, x = 2 Bu yüzden aralıkları ayrı ayrı inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 2 = - x + 2 x + 1 = - x - 1 Fark: x - 2 - x + 1 = ( - x + 2 ) - ( - x - 1 ) = 3 = 3 Denklem: 3 = x = - x Buradan: x = - 3 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 0 Bu aralıkta: x - 2 = - x + 2 x + 1 = x + 1 Dolayısıyla: x - 2 - x + 1 = ( - x + 2 ) - ( x + 1 ) = 1 - 2 x Denklem: 1 - 2 x = x = - x Bu aralıkta çözüm çıkmaz. 3) Durum: 0 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta yine: x - 2 = - x + 2 x + 1 = x + 1 Bu yüzden: x - 2 - x + 1 = 1 - 2 x Denklem burada: 1 - 2 x = x = x 3a) Eğer: 1 - 2 x ≥ 0 ise: 1 - 2 x = x Buradan: 1 = 3 x x = 1 3 3b) Eğer: 1 - 2 x < 0 ise: 2 x - 1 = x Buradan: x = 1 4) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 Fark: x - 2 - x + 1 = ( x - 2 ) - ( x + 1 ) = - 3 = 3 Denklem: 3 = x = x Buradan: x = 3 Bulunan reel çözümler: x ∈ - 3, 1 3, 1, 3 Toplam çözüm sayısı: 4 Dolayısıyla doğru şık: C

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 2 - x + 1 = x Önce çözüm aralığını daraltalım. Ters üçgen eşitsizliğine göre: x - 2 - x + 1 ≤ ( x - 2 ) - ( x + 1 ) = - 3 = 3 Denklemde sol taraf sağ tarafa eşit olduğundan: x ≤ 3 Dolayısıyla sadece şu aralıkta çözüm arayacağız: - 3 ≤ x ≤ 3 Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar: x = - 1, x = 0, x = 2 Bu yüzden aralıkları ayrı ayrı inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 2 = - x + 2 x + 1 = - x - 1 Fark: x - 2 - x + 1 = ( - x + 2 ) - ( - x - 1 ) = 3 = 3 Denklem: 3 = x = - x Buradan: x = - 3 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 0 Bu aralıkta: x - 2 = - x + 2 x + 1 = x + 1 Dolayısıyla: x - 2 - x + 1 = ( - x + 2 ) - ( x + 1 ) = 1 - 2 x Denklem: 1 - 2 x = x = - x Bu aralıkta çözüm çıkmaz. 3) Durum: 0 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta yine: x - 2 = - x + 2 x + 1 = x + 1 Bu yüzden: x - 2 - x + 1 = 1 - 2 x Denklem burada: 1 - 2 x = x = x 3a) Eğer: 1 - 2 x ≥ 0 ise: 1 - 2 x = x Buradan: 1 = 3 x x = 1 3 3b) Eğer: 1 - 2 x < 0 ise: 2 x - 1 = x Buradan: x = 1 4) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 Fark: x - 2 - x + 1 = ( x - 2 ) - ( x + 1 ) = - 3 = 3 Denklem: 3 = x = x Buradan: x = 3 Bulunan reel çözümler: x ∈ - 3, 1 3, 1, 3 Toplam çözüm sayısı: 4 Dolayısıyla doğru şık: C

Doğru cevap: A

Doğru cevap: Bir deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesidir.

1. Çözüm: Doğru cevap: Bir deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesidir.

Doğru cevap: A

Verilen denklemleri eşitlik olarak yazalım: x + 2 y - 1 = 3 5 2 x - 1 y + 3 = 4 7 1. denklemde içler-dışlar çarpımı yapalım: 5 ( x + 2 ) = 3 ( y - 1 ) 5 x + 10 = 3 y - 3 3 y = 5 x + 13 y = 5 x + 13 3 2. denklemde içler-dışlar çarpımı yapalım: 7 ( 2 x - 1 ) = 4 ( y + 3 ) 14 x - 7 = 4 y + 12 4 y = 14 x - 19 y = 14 x - 19 4 İki ifadede de y yazdığına göre eşitleyelim: 5 x + 13 3 = 14 x - 19 4 4 ( 5 x + 13 ) = 3 ( 14 x - 19 ) 20 x + 52 = 42 x - 57 109 = 22 x x = 109 22 y değerini bulalım (örneğin 1. denklemden): y = 5 x + 13 3 y = 5 ⋅ 109 22 + 13 3 y = 545 22 + 286 22 3 y = 831 22 3 = 831 66 = 277 22 İstenen oranı hesaplayalım: x y = 109 22 277 22 x y = 109 277 Sonuç şıklardan A ile aynıdır.

1. Çözüm: Verilen denklemleri eşitlik olarak yazalım: x + 2 y - 1 = 3 5 2 x - 1 y + 3 = 4 7 1. denklemde içler-dışlar çarpımı yapalım: 5 ( x + 2 ) = 3 ( y - 1 ) 5 x + 10 = 3 y - 3 3 y = 5 x + 13 y = 5 x + 13 3 2. denklemde içler-dışlar çarpımı yapalım: 7 ( 2 x - 1 ) = 4 ( y + 3 ) 14 x - 7 = 4 y + 12 4 y = 14 x - 19 y = 14 x - 19 4 İki ifadede de y yazdığına göre eşitleyelim: 5 x + 13 3 = 14 x - 19 4 4 ( 5 x + 13 ) = 3 ( 14 x - 19 ) 20 x + 52 = 42 x - 57 109 = 22 x x = 109 22 y değerini bulalım (örneğin 1. denklemden): y = 5 x + 13 3 y = 5 ⋅ 109 22 + 13 3 y = 545 22 + 286 22 3 y = 831 22 3 = 831 66 = 277 22 İstenen oranı hesaplayalım: x y = 109 22 277 22 x y = 109 277 Sonuç şıklardan A ile aynıdır.

Doğru cevap: D

Birinci için 7, ikinci için 6 seçenek vardır; $7\cdot6=42$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: B

İfade: ( - 3 4 + 5 6 ) ( 1 2 - 2 3 ) Önce payı (üst tarafı) hesaplayalım: - 3 4 + 5 6 = - 9 + 10 12 = 1 12 Sonra paydayı (alt tarafı) hesaplayalım: 1 2 - 2 3 = 3 - 4 6 = - 1 6 Bölme işlemini yapalım: 1 12 - 1 6 = 1 12 × 6 - 1 = - 6 12 = - 1 2 Sonuç: - 1 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap B302.

1. Çözüm: İfade: ( - 3 4 + 5 6 ) ( 1 2 - 2 3 ) Önce payı (üst tarafı) hesaplayalım: - 3 4 + 5 6 = - 9 + 10 12 = 1 12 Sonra paydayı (alt tarafı) hesaplayalım: 1 2 - 2 3 = 3 - 4 6 = - 1 6 Bölme işlemini yapalım: 1 12 - 1 6 = 1 12 × 6 - 1 = - 6 12 = - 1 2 Sonuç: - 1 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap B302.

Doğru cevap: A

Doğru şık C ’dir; kalan 75 çıkar. Verilen çarpımı şöyle adlandıralım: P = 1 · 3 · 5 · … · 99 İstenen: P mod 100 Adım 1: Modüler hesap için 100 ’ü çarpanlarına ayıralım: 100 = 4 · 25 Önce mod 4 ve mod 25 bulup sonra birleştireceğiz. Adım 2: Terim sayısını bulalım (tek sayılar): Terim sayısı = 99 + 1 2 = 50 Adım 3: Mod 4 hesabı. Tek sayılar mod 4 ’te sadece 1 veya 3 kalanı verir ve kalıntılar sırayla gider: 1, 3, 1, 3, … Toplam 50 terimde 25 tane 1, 25 tane 3 vardır. P ≡ 1 25 · 3 25 ≡ 3 25 (mod 4 ) 3 sayısını −1 gibi yazalım: 3 ≡ − 1 (mod 4 ) Üs tek olduğu için: 3 25 ≡ − 1 25 ≡ − 1 ≡ 3 (mod 4 ) Yani: P ≡ 3 (mod 4 ) Adım 4: Mod 25 hesabı. Çarpımın içinde 25 çarpanı var mı bakalım. 5 ’in katı olan tek sayılar: 5, 15, 25, …, 95 Bunların sayısı: Adet = 95 − 5 10 + 1 = 10 Özellikle 25 ve 75 terimleri çarpımın içindedir; dolayısıyla çarpım 25 ’e bölünür: P ≡ 0 (mod 25 ) Adım 5: Şimdi x ≡ 0 (mod 25 ) ve x ≡ 3 (mod 4 ) şartlarını aynı anda sağlayan mod 100 değerini bulalım. Adım 6: İlk koşuldan: x = 25 k Bunu mod 4 ’te kullanırsak: 25 k ≡ 3 (mod 4 ) 25 sayısı mod 4 ’te 1 ’dir: 25 ≡ 1 (mod 4 ) Bu yüzden: k ≡ 3 (mod 4 ) En küçük uygun değer: k = 3 Buradan: x = 25 · 3 = 75 Sonuç: P ≡ 75 (mod 100 ) Kalan 75 olduğundan doğru cevap A1224 ’dir.

1. Çözüm: Doğru şık C ’dir; kalan 75 çıkar. Verilen çarpımı şöyle adlandıralım: P = 1 · 3 · 5 · … · 99 İstenen: P mod 100 Adım 1: Modüler hesap için 100 ’ü çarpanlarına ayıralım: 100 = 4 · 25 Önce mod 4 ve mod 25 bulup sonra birleştireceğiz. Adım 2: Terim sayısını bulalım (tek sayılar): Terim sayısı = 99 + 1 2 = 50 Adım 3: Mod 4 hesabı. Tek sayılar mod 4 ’te sadece 1 veya 3 kalanı verir ve kalıntılar sırayla gider: 1, 3, 1, 3, … Toplam 50 terimde 25 tane 1, 25 tane 3 vardır. P ≡ 1 25 · 3 25 ≡ 3 25 (mod 4 ) 3 sayısını −1 gibi yazalım: 3 ≡ − 1 (mod 4 ) Üs tek olduğu için: 3 25 ≡ − 1 25 ≡ − 1 ≡ 3 (mod 4 ) Yani: P ≡ 3 (mod 4 ) Adım 4: Mod 25 hesabı. Çarpımın içinde 25 çarpanı var mı bakalım. 5 ’in katı olan tek sayılar: 5, 15, 25, …, 95 Bunların sayısı: Adet = 95 − 5 10 + 1 = 10 Özellikle 25 ve 75 terimleri çarpımın içindedir; dolayısıyla çarpım 25 ’e bölünür: P ≡ 0 (mod 25 ) Adım 5: Şimdi x ≡ 0 (mod 25 ) ve x ≡ 3 (mod 4 ) şartlarını aynı anda sağlayan mod 100 değerini bulalım. Adım 6: İlk koşuldan: x = 25 k Bunu mod 4 ’te kullanırsak: 25 k ≡ 3 (mod 4 ) 25 sayısı mod 4 ’te 1 ’dir: 25 ≡ 1 (mod 4 ) Bu yüzden: k ≡ 3 (mod 4 ) En küçük uygun değer: k = 3 Buradan: x = 25 · 3 = 75 Sonuç: P ≡ 75 (mod 100 ) Kalan 75 olduğundan doğru cevap A1224 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: 2 ( x + 5 ) = 34 Her iki tarafı bölerek: x + 5 = 34 2 Sadeleştir: x + 5 = 17 Her iki taraftan çıkar: x = 17 - 5 Sonuç: x = 12 Bu değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen denklem: 2 ( x + 5 ) = 34 Her iki tarafı bölerek: x + 5 = 34 2 Sadeleştir: x + 5 = 17 Her iki taraftan çıkar: x = 17 - 5 Sonuç: x = 12 Bu değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

Doğru cevap: B

Verilen aralıkta uygun tam sayıları belirleyelim. 0 < x < 10 x ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } İfadenin beş ile tam bölünebilmesi için bölüm kalanı şartını yazalım. 5 ∣ ( 2 x − 3 ) Bu şartı modüler eşitlik olarak düzenleyelim. 2 x − 3 ≡ 0 ( mod 5 ) 2 x ≡ 3 ( mod 5 ) Mod beş altında iki sayısının çarpmaya göre tersini kullanalım. 2 ⋅ 3 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) x ≡ 3 ⋅ 3 ( mod 5 ) x ≡ 9 ≡ 4 ( mod 5 ) Aralıkta bu koşulu sağlayan değerleri seçelim. x = 4, 9 Toplam kaç değer olduğunu yazalım. 2 Sonuç olarak doğru seçenek kontrolü: Doğru   şık   B   →   2

1. Çözüm: Verilen aralıkta uygun tam sayıları belirleyelim. 0 < x < 10 x ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } İfadenin beş ile tam bölünebilmesi için bölüm kalanı şartını yazalım. 5 ∣ ( 2 x − 3 ) Bu şartı modüler eşitlik olarak düzenleyelim. 2 x − 3 ≡ 0 ( mod 5 ) 2 x ≡ 3 ( mod 5 ) Mod beş altında iki sayısının çarpmaya göre tersini kullanalım. 2 ⋅ 3 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) x ≡ 3 ⋅ 3 ( mod 5 ) x ≡ 9 ≡ 4 ( mod 5 ) Aralıkta bu koşulu sağlayan değerleri seçelim. x = 4, 9 Toplam kaç değer olduğunu yazalım. 2 Sonuç olarak doğru seçenek kontrolü: Doğru   şık   B   →   2