9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Verilen denklem: 2 x - 1 + 3 x + 1 = 1 Paydalar sıfır olamaz, bu yüzden: x ≠ 1   ve   x ≠ - 1 Her iki tarafı da ortak payda ile çarpalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) Denklem şu hale gelir: 2 ( x + 1 ) + 3 ( x - 1 ) = x 2 - 1 Parantezleri açalım: 2 x + 2 + 3 x - 3 = x 2 - 1 Benzer terimleri toplayalım: 5 x - 1 = x 2 - 1 Her iki tarafa da + 1 ekleyelim: 5 x = x 2 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 5 x = 0 Çarpanlara ayıralım: x ( x - 5 ) = 0 Buradan kökler: x = 0   veya   x = 5 Pozitif rasyonel sayı istendiği için: x = 5 Sonuç: Doğru cevap şıkkı A ’dır.

1. Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 1 + 3 x + 1 = 1 Paydalar sıfır olamaz, bu yüzden: x ≠ 1   ve   x ≠ - 1 Her iki tarafı da ortak payda ile çarpalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) Denklem şu hale gelir: 2 ( x + 1 ) + 3 ( x - 1 ) = x 2 - 1 Parantezleri açalım: 2 x + 2 + 3 x - 3 = x 2 - 1 Benzer terimleri toplayalım: 5 x - 1 = x 2 - 1 Her iki tarafa da + 1 ekleyelim: 5 x = x 2 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 5 x = 0 Çarpanlara ayıralım: x ( x - 5 ) = 0 Buradan kökler: x = 0   veya   x = 5 Pozitif rasyonel sayı istendiği için: x = 5 Sonuç: Doğru cevap şıkkı A ’dır.

Doğru cevap: A

Soruda istenen: Seçilen sayılar arasında mutlaka biri diğerini bölecek şekilde garanti sağlamak için en az kaç sayı seçilmelidir? Her pozitif tam sayı, tek (odd) bir sayı ile bir 2 kuvvetinin çarpımı olarak tekil biçimde yazılabilir: n = 2 k ⋅ m Burada m ≡ 1 ( mod 2 ) yani m tektir. Aynı tek kısmı ( m ) paylaşan sayılar bir zincir (grup) oluşturur: m, 2 m, 4 m, 8 m, … Bu zincirde daha büyük olan sayı, daha küçük olanın tam katıdır; yani zincirden iki sayı seçilirse mutlaka biri diğerini böler. O hâlde “hiçbiri diğerini bölmesin” diye seçim yapmak istersek, her zincirden en fazla bir sayı seçebiliriz. 1 … 200 aralığında kaç tane farklı zincir vardır? Her zincir, tek bir m (tek sayı) ile başlar. Bu yüzden zincir sayısı, bu aralıktaki tek sayıların sayısına eşittir: | 1 … 200 tek sayılar | = 100 Demek ki, bölen-bölünen çifti oluşmadan seçilebilecek en fazla sayı: 100 Güvercin yuvası ilkesine göre 100 zincir (yuva) varken 101 sayı seçilirse, en az bir zincirden iki sayı seçilmiş olur; bu iki sayıdan biri diğerini böler. Sonuç: İstenen en küçük sayı 101 Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet.

1. Çözüm: Soruda istenen: Seçilen sayılar arasında mutlaka biri diğerini bölecek şekilde garanti sağlamak için en az kaç sayı seçilmelidir? Her pozitif tam sayı, tek (odd) bir sayı ile bir 2 kuvvetinin çarpımı olarak tekil biçimde yazılabilir: n = 2 k ⋅ m Burada m ≡ 1 ( mod 2 ) yani m tektir. Aynı tek kısmı ( m ) paylaşan sayılar bir zincir (grup) oluşturur: m, 2 m, 4 m, 8 m, … Bu zincirde daha büyük olan sayı, daha küçük olanın tam katıdır; yani zincirden iki sayı seçilirse mutlaka biri diğerini böler. O hâlde “hiçbiri diğerini bölmesin” diye seçim yapmak istersek, her zincirden en fazla bir sayı seçebiliriz. 1 … 200 aralığında kaç tane farklı zincir vardır? Her zincir, tek bir m (tek sayı) ile başlar. Bu yüzden zincir sayısı, bu aralıktaki tek sayıların sayısına eşittir: | 1 … 200 tek sayılar | = 100 Demek ki, bölen-bölünen çifti oluşmadan seçilebilecek en fazla sayı: 100 Güvercin yuvası ilkesine göre 100 zincir (yuva) varken 101 sayı seçilirse, en az bir zincirden iki sayı seçilmiş olur; bu iki sayıdan biri diğerini böler. Sonuç: İstenen en küçük sayı 101 Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet.

Doğru cevap: C

Verilen denklemler: x = 3 y - 4 x + y = 56 Birinci denklemi ikinci denklemde yerine yazalım: ( 3 y - 4 ) + y = 56 Benzer terimleri toplayalım: 4 y - 4 = 56 Her iki tarafa 4 ekleyelim: 4 y = 60 Her iki tarafı 4’e bölelim: y = 15 Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

1. Çözüm: Verilen denklemler: x = 3 y - 4 x + y = 56 Birinci denklemi ikinci denklemde yerine yazalım: ( 3 y - 4 ) + y = 56 Benzer terimleri toplayalım: 4 y - 4 = 56 Her iki tarafa 4 ekleyelim: 4 y = 60 Her iki tarafı 4’e bölelim: y = 15 Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: | 2 x - 1 | + | x + 3 | = 10 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: 2 x - 1 = 0 x = 1 2 x + 3 = 0 x = - 3 1) Durum: x ≤ - 3 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - 2 x - 1 | x + 3 | = - x + 3 Denklem: ( - 2 x - 1 ) + ( - x + 3 ) = 10 - 3 x - 2 = 10 - 3 x = 12 x = - 4 Bulunan kök aralığa uygundur. 2) Durum: - 3 ≤ x ≤ 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - 2 x - 1 | x + 3 | = x + 3 Denklem: ( - 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) = 10 - x + 4 = 10 x = - 6 Bu değer aralıkta olmadığı için geçersizdir. 3) Durum: x ≥ 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = 2 x - 1 | x + 3 | = x + 3 Denklem: ( 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) = 10 3 x + 2 = 10 3 x = 8 x = 8 3 Bulunan kök aralığa uygundur. Reel kökler: x = - 4 x = 8 3 Köklerin toplamı: ( - 4 ) + 8 3 - 12 3 + 8 3 - 4 3 Bu değer şıklardan - 4 3 olduğu için doğru cevap C802 ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: | 2 x - 1 | + | x + 3 | = 10 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: 2 x - 1 = 0 x = 1 2 x + 3 = 0 x = - 3 1) Durum: x ≤ - 3 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - 2 x - 1 | x + 3 | = - x + 3 Denklem: ( - 2 x - 1 ) + ( - x + 3 ) = 10 - 3 x - 2 = 10 - 3 x = 12 x = - 4 Bulunan kök aralığa uygundur. 2) Durum: - 3 ≤ x ≤ 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - 2 x - 1 | x + 3 | = x + 3 Denklem: ( - 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) = 10 - x + 4 = 10 x = - 6 Bu değer aralıkta olmadığı için geçersizdir. 3) Durum: x ≥ 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = 2 x - 1 | x + 3 | = x + 3 Denklem: ( 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) = 10 3 x + 2 = 10 3 x = 8 x = 8 3 Bulunan kök aralığa uygundur. Reel kökler: x = - 4 x = 8 3 Köklerin toplamı: ( - 4 ) + 8 3 - 12 3 + 8 3 - 4 3 Bu değer şıklardan - 4 3 olduğu için doğru cevap C802 ’dir.

Doğru cevap: D

Verilen ifadeyi yazalım: 2 3 × 4 2 8 2 Tabanları aynı yapmak için tüm sayıları iki tabanında yazalım: 4 = 2 2  ,   8 = 2 3 Bu dönüşümleri ifadede yerine koyup üs kurallarını uygulayalım: 2 3 × ( 2 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 Kuvvetin kuvveti kuralı ile sadeleştirelim: 2 3 × 2 4 2 6 Payda ve payı aynı tabanda birleştirelim: 2 3 + 4 2 6 Üstleri hesaplayıp bölme kuralını uygulayalım: 2 7 2 6 = 2 7 − 6 = 2 1 = 2 Sonuç şıkkıD448dır; yani verilen ifade şıkkıD479ndaki değere eşittir.

1. Çözüm: Verilen ifadeyi yazalım: 2 3 × 4 2 8 2 Tabanları aynı yapmak için tüm sayıları iki tabanında yazalım: 4 = 2 2  ,   8 = 2 3 Bu dönüşümleri ifadede yerine koyup üs kurallarını uygulayalım: 2 3 × ( 2 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 Kuvvetin kuvveti kuralı ile sadeleştirelim: 2 3 × 2 4 2 6 Payda ve payı aynı tabanda birleştirelim: 2 3 + 4 2 6 Üstleri hesaplayıp bölme kuralını uygulayalım: 2 7 2 6 = 2 7 − 6 = 2 1 = 2 Sonuç şıkkıD448dır; yani verilen ifade şıkkıD479ndaki değere eşittir.

Doğru cevap: B

Şu anki yaşları sırasıyla A, B, C olsun. Bu yaşları a, b, c ile gösterelim. Altı yıl önceki koşul: a - 6 = 3 2 ( b - 6 ) Paydadan kurtulalım: 2 ( a - 6 ) = 3 ( b - 6 ) Açalım ve a yalnız bırakalım: 2 a - 12 = 3 b - 18 2 a = 3 b - 6 a = 3 b - 6 2 Dört yıl sonraki koşul: b + 4 = 2 3 ( c + 4 ) Paydadan kurtulalım: 3 ( b + 4 ) = 2 ( c + 4 ) Açalım ve c yalnız bırakalım: 3 b + 12 = 2 c + 8 3 b + 4 = 2 c c = 3 b + 4 2 Şu anki yaşların toplamı: a + b + c = 79 Burada a ve c yerine bulduklarımızı yazalım: 3 b - 6 2 + b + 3 b + 4 2 = 79 Kesirleri birleştirelim: 3 b - 6 + 3 b + 4 2 + b = 79 6 b - 2 2 + b = 79 ( 3 b - 1 ) + b = 79 4 b - 1 = 79 4 b = 80 b = 20 Şimdi c yi bulalım: c = 3 b + 4 2 c = 3 × 20 + 4 2 c = 60 + 4 2 c = 32 Sonuç: C kişinin şu anki yaşı 32 ’dir. Bu da B şıkkı olduğu için, “doğru cevap B” kontrolü doğrudur.

1. Çözüm: Şu anki yaşları sırasıyla A, B, C olsun. Bu yaşları a, b, c ile gösterelim. Altı yıl önceki koşul: a - 6 = 3 2 ( b - 6 ) Paydadan kurtulalım: 2 ( a - 6 ) = 3 ( b - 6 ) Açalım ve a yalnız bırakalım: 2 a - 12 = 3 b - 18 2 a = 3 b - 6 a = 3 b - 6 2 Dört yıl sonraki koşul: b + 4 = 2 3 ( c + 4 ) Paydadan kurtulalım: 3 ( b + 4 ) = 2 ( c + 4 ) Açalım ve c yalnız bırakalım: 3 b + 12 = 2 c + 8 3 b + 4 = 2 c c = 3 b + 4 2 Şu anki yaşların toplamı: a + b + c = 79 Burada a ve c yerine bulduklarımızı yazalım: 3 b - 6 2 + b + 3 b + 4 2 = 79 Kesirleri birleştirelim: 3 b - 6 + 3 b + 4 2 + b = 79 6 b - 2 2 + b = 79 ( 3 b - 1 ) + b = 79 4 b - 1 = 79 4 b = 80 b = 20 Şimdi c yi bulalım: c = 3 b + 4 2 c = 3 × 20 + 4 2 c = 60 + 4 2 c = 32 Sonuç: C kişinin şu anki yaşı 32 ’dir. Bu da B şıkkı olduğu için, “doğru cevap B” kontrolü doğrudur.

Doğru cevap: B

İndirimler sonunda ürün, etiket fiyatına göre toplam %52 daha ucuza satıldığı için, son fiyat etiket fiyatının %48’idir. Son fiyat katsayısı = 1 − 52 100 = 48 100 = 0.48 Birinci indirim oranını bir değişkenle gösterelim. İkinci indirim oranı bunun 2 katı olsun. Birinci indirim = r, İkinci indirim = 2 r Ardışık indirimlerde fiyat çarpanlarla bulunur. İlk indirim sonrası çarpan (1−r), ikinci indirim sonrası çarpan (1−2r) olur. Toplam çarpan 0.48’e eşitlenir. ( 1 − r ) ( 1 − 2 r ) = 0.48 Denklemi açıp ikinci dereceden denkleme dönüştürelim. ( 1 − r ) ( 1 − 2 r ) = 1 − 3 r + 2 r 2 1 − 3 r + 2 r 2 = 0.48 2 r 2 − 3 r + 0.52 = 0 Katsayıları kolaylaştırmak için 100 ile çarpalım. 200 r 2 − 300 r + 52 = 0 50 r 2 − 75 r + 13 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim. r = 75 ± 75 2 − 4 · 50 · 13 2 · 50 75 2 − 4 · 50 · 13 = 5625 − 2600 = 3025 = 55 2 r = 75 ± 55 100 İki kökü bulalım. r = 130 100 = 1.3 ve r = 20 100 = 0.2 İndirim oranı 1’den büyük olamaz, bu yüzden geçerli kök 0.2’dir. r = 0.2 = 20 % Sonuç: Birinci indirim oranı %20’dir. Bu da şıklarda B seçeneğidir; yani doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: İndirimler sonunda ürün, etiket fiyatına göre toplam %52 daha ucuza satıldığı için, son fiyat etiket fiyatının %48’idir. Son fiyat katsayısı = 1 − 52 100 = 48 100 = 0.48 Birinci indirim oranını bir değişkenle gösterelim. İkinci indirim oranı bunun 2 katı olsun. Birinci indirim = r, İkinci indirim = 2 r Ardışık indirimlerde fiyat çarpanlarla bulunur. İlk indirim sonrası çarpan (1−r), ikinci indirim sonrası çarpan (1−2r) olur. Toplam çarpan 0.48’e eşitlenir. ( 1 − r ) ( 1 − 2 r ) = 0.48 Denklemi açıp ikinci dereceden denkleme dönüştürelim. ( 1 − r ) ( 1 − 2 r ) = 1 − 3 r + 2 r 2 1 − 3 r + 2 r 2 = 0.48 2 r 2 − 3 r + 0.52 = 0 Katsayıları kolaylaştırmak için 100 ile çarpalım. 200 r 2 − 300 r + 52 = 0 50 r 2 − 75 r + 13 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim. r = 75 ± 75 2 − 4 · 50 · 13 2 · 50 75 2 − 4 · 50 · 13 = 5625 − 2600 = 3025 = 55 2 r = 75 ± 55 100 İki kökü bulalım. r = 130 100 = 1.3 ve r = 20 100 = 0.2 İndirim oranı 1’den büyük olamaz, bu yüzden geçerli kök 0.2’dir. r = 0.2 = 20 % Sonuç: Birinci indirim oranı %20’dir. Bu da şıklarda B seçeneğidir; yani doğru cevap B’dir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: | x - 2 x + 1 | ≥ 1 Önce tanım kümesini bulalım (payda sıfır olamaz): x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1 Mutlak değerli kesri mutlak değerlerin oranı şeklinde yazalım: | x - 2 | | x + 1 | ≥ 1 | x + 1 | daima pozitif olduğundan (ve sıfır olamayacağını zaten belirledik) her iki tarafı bununla çarpabiliriz: | x - 2 | ≥ | x + 1 | Her iki tarafı karesini alalım (mutlak değerler için uygundur): ( x - 2 ) 2 ≥ ( x + 1 ) 2 Açalım ve sadeleştirelim: ( x 2 - 4 x + 4 ) ≥ ( x 2 + 2 x + 1 ) - 4 x + 4 ≥ 2 x + 1 - 6 x ≥ - 3 x ≤ 1 2 Tanım koşulunu da ekleyelim: x ≤ 1 2, x ≠ - 1 Çözüm kümesi: ( - ∞, - 1 ) ∪ ( - 1, 1 2 ] Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | x - 2 x + 1 | ≥ 1 Önce tanım kümesini bulalım (payda sıfır olamaz): x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1 Mutlak değerli kesri mutlak değerlerin oranı şeklinde yazalım: | x - 2 | | x + 1 | ≥ 1 | x + 1 | daima pozitif olduğundan (ve sıfır olamayacağını zaten belirledik) her iki tarafı bununla çarpabiliriz: | x - 2 | ≥ | x + 1 | Her iki tarafı karesini alalım (mutlak değerler için uygundur): ( x - 2 ) 2 ≥ ( x + 1 ) 2 Açalım ve sadeleştirelim: ( x 2 - 4 x + 4 ) ≥ ( x 2 + 2 x + 1 ) - 4 x + 4 ≥ 2 x + 1 - 6 x ≥ - 3 x ≤ 1 2 Tanım koşulunu da ekleyelim: x ≤ 1 2, x ≠ - 1 Çözüm kümesi: ( - ∞, - 1 ) ∪ ( - 1, 1 2 ] Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: A

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü B şıkkındaki değeri test edeceğiz: B = 25. 2) 1. koşul: 12 | (7n + 5) 12 ∣ ( 7 n + 5 ) 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) 7 n ≡ - 5 ≡ 7 ( mod 12 ) 3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme 7 · 7 = 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 · 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) 4) 2. koşul: 9 | (5n + 1) 9 ∣ ( 5 n + 1 ) 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 5 n ≡ - 1 ≡ 8 ( mod 9 ) 5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme 5 · 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 2 · 8 = 16 ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) 6) İki koşulu birlikte çözme n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlkinden: n = 1 + 12 k Bunu ikinciye yazalım: 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 7) Sadeleştirme 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) k ≡ 2 ( mod 3 ) k = 2 + 3 t 8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme n = 1 + 12 ( 2 + 3 t ) n = 25 + 36 t En küçük pozitif değer için: t = 0 ⇒ n = 25 9) B şıkkını doğrulama 7 · 25 + 5 = 180, 12 ∣ 180 5 · 25 + 1 = 126, 9 ∣ 126 Dolayısıyla doğru cevap B.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü B şıkkındaki değeri test edeceğiz: B = 25. 2) 1. koşul: 12 | (7n + 5) 12 ∣ ( 7 n + 5 ) 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) 7 n ≡ - 5 ≡ 7 ( mod 12 ) 3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme 7 · 7 = 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 · 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) 4) 2. koşul: 9 | (5n + 1) 9 ∣ ( 5 n + 1 ) 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 5 n ≡ - 1 ≡ 8 ( mod 9 ) 5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme 5 · 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 2 · 8 = 16 ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) 6) İki koşulu birlikte çözme n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlkinden: n = 1 + 12 k Bunu ikinciye yazalım: 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 7) Sadeleştirme 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) k ≡ 2 ( mod 3 ) k = 2 + 3 t 8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme n = 1 + 12 ( 2 + 3 t ) n = 25 + 36 t En küçük pozitif değer için: t = 0 ⇒ n = 25 9) B şıkkını doğrulama 7 · 25 + 5 = 180, 12 ∣ 180 5 · 25 + 1 = 126, 9 ∣ 126 Dolayısıyla doğru cevap B.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 180 Kural: Doğal sayılar için çarpım, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir. a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: a ⋅ b = 12 ⋅ 180 Çarpımı hesaplayalım: 12 ⋅ 180 = 2160 Sonuç: a ⋅ b = 2160 Dolayısıyla doğru şık C ’dir.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 180 Kural: Doğal sayılar için çarpım, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir. a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: a ⋅ b = 12 ⋅ 180 Çarpımı hesaplayalım: 12 ⋅ 180 = 2160 Sonuç: a ⋅ b = 2160 Dolayısıyla doğru şık C ’dir.