9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: B

Görevler farklı olduğu için sıra önemlidir: $P(6,3)=6\cdot5\cdot4=120$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: D

İşlem: ( 7 8 - 1 4 ) 3 2 Önce parantez içini hesaplayalım: 7 8 - 1 4 Paydaları eşitleyelim: 7 8 - 2 8 Çıkarma işlemi: 5 8 Şimdi bu sonucu bölme işlemiyle devam ettirelim: 5 8 ÷ 3 2 Bölme, ters çarpma şeklinde yazılır: 5 8 × 2 3 Çarpalım: 10 24 Sadeleştirelim: 5 12 Sonuç bu olduğundan doğru seçenek D285’dir. 5 12

1. Çözüm: İşlem: ( 7 8 - 1 4 ) 3 2 Önce parantez içini hesaplayalım: 7 8 - 1 4 Paydaları eşitleyelim: 7 8 - 2 8 Çıkarma işlemi: 5 8 Şimdi bu sonucu bölme işlemiyle devam ettirelim: 5 8 ÷ 3 2 Bölme, ters çarpma şeklinde yazılır: 5 8 × 2 3 Çarpalım: 10 24 Sadeleştirelim: 5 12 Sonuç bu olduğundan doğru seçenek D285’dir. 5 12

Doğru cevap: B

1) Toplam kişi sayısı: 9 × 2 = 18 2) Tokalaşma kuralı: Hiç kimse kendi eşiyle tokalaşmıyor. Bu yüzden bir kişinin en fazla tokalaşabileceği kişi sayısı: 18 − 2 = 16 3) Soruyu soran kişi, kendisi hariç diğer kişilere kaç kişiyle tokalaştıklarını soruyor. Cevaplar, her biri bir kez olmak üzere şu değerlerin tamamı çıkıyor: 0, 1, 2, …, 16 4) Temel gözlem: Bir çiftte eşlerin tokalaşma sayıları toplamı sabittir. Çünkü bir kişi, eşinin tokalaştığı herkese (eşi hariç) tokalaşmak zorundadır ve tersi de geçerlidir. Bu sabit toplam: 16 Yani bir eşin tokalaşma sayısı k ise diğer eşinki: 16 − k 5) Verilen cevapları bu kurala göre eşleştirelim (toplamları 16 olacak şekilde): ( 0, 16 ), ( 1, 15 ), ( 2, 14 ), ( 3, 13 ), ( 4, 12 ), ( 5, 11 ), ( 6, 10 ), ( 7, 9 ) Bu eşleştirmelerde kullanılmayan tek değer kalır: 8 6) Cevapları veren kişiler arasında 8 tokalaşması olan bir kişi vardır. Bu kişinin eşi de 16 kuralından dolayı yine 8 tokalaşma yapmıştır: 16 − 8 = 8 7) Ancak soruyu soran kişi cevap vermedi (listeye dahil değil). O halde cevap listesinde tek başına kalan 8 sayısının eşi, soruyu soran kişidir. Dolayısıyla soruyu soran kişi de 8 kişiyle tokalaşmıştır. 8) Sonuç ve şık kontrolü: Doğru seçenek B ’dir. 8

1. Çözüm: 1) Toplam kişi sayısı: 9 × 2 = 18 2) Tokalaşma kuralı: Hiç kimse kendi eşiyle tokalaşmıyor. Bu yüzden bir kişinin en fazla tokalaşabileceği kişi sayısı: 18 − 2 = 16 3) Soruyu soran kişi, kendisi hariç diğer kişilere kaç kişiyle tokalaştıklarını soruyor. Cevaplar, her biri bir kez olmak üzere şu değerlerin tamamı çıkıyor: 0, 1, 2, …, 16 4) Temel gözlem: Bir çiftte eşlerin tokalaşma sayıları toplamı sabittir. Çünkü bir kişi, eşinin tokalaştığı herkese (eşi hariç) tokalaşmak zorundadır ve tersi de geçerlidir. Bu sabit toplam: 16 Yani bir eşin tokalaşma sayısı k ise diğer eşinki: 16 − k 5) Verilen cevapları bu kurala göre eşleştirelim (toplamları 16 olacak şekilde): ( 0, 16 ), ( 1, 15 ), ( 2, 14 ), ( 3, 13 ), ( 4, 12 ), ( 5, 11 ), ( 6, 10 ), ( 7, 9 ) Bu eşleştirmelerde kullanılmayan tek değer kalır: 8 6) Cevapları veren kişiler arasında 8 tokalaşması olan bir kişi vardır. Bu kişinin eşi de 16 kuralından dolayı yine 8 tokalaşma yapmıştır: 16 − 8 = 8 7) Ancak soruyu soran kişi cevap vermedi (listeye dahil değil). O halde cevap listesinde tek başına kalan 8 sayısının eşi, soruyu soran kişidir. Dolayısıyla soruyu soran kişi de 8 kişiyle tokalaşmıştır. 8) Sonuç ve şık kontrolü: Doğru seçenek B ’dir. 8

Doğru cevap: A

Üç basamaklı sayıyı basamaklarına ayıralım: N = 100 a + 10 b + c Tersten yazılmış hâli: R = 100 c + 10 b + a Verilen fark koşulunu kullanalım: N - R = 198 Yerine yazıp sadeleştirelim: ( 100 a + 10 b + c ) - ( 100 c + 10 b + a ) = 198 99 ( a - c ) = 198 Buradan: a - c = 2 Bölünebilme koşulu: sayı 5 ile tam bölünebildiğine göre birler basamağı: c ∈ { 0, 5 } Rakamlar toplamı koşulu: a + b + c = 12 Şimdi olasılıkları deneyelim: 1) Eğer c = 0 ise a = c + 2 = 2 rakamlar toplamından: 2 + b + 0 = 12 ⇒ b = 10 Bu mümkün değildir (bir rakam olamaz). 2) Eğer c = 5 ise a = c + 2 = 7 rakamlar toplamından: 7 + b + 5 = 12 ⇒ b = 0 Dolayısıyla sayı: N = 705 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Üç basamaklı sayıyı basamaklarına ayıralım: N = 100 a + 10 b + c Tersten yazılmış hâli: R = 100 c + 10 b + a Verilen fark koşulunu kullanalım: N - R = 198 Yerine yazıp sadeleştirelim: ( 100 a + 10 b + c ) - ( 100 c + 10 b + a ) = 198 99 ( a - c ) = 198 Buradan: a - c = 2 Bölünebilme koşulu: sayı 5 ile tam bölünebildiğine göre birler basamağı: c ∈ { 0, 5 } Rakamlar toplamı koşulu: a + b + c = 12 Şimdi olasılıkları deneyelim: 1) Eğer c = 0 ise a = c + 2 = 2 rakamlar toplamından: 2 + b + 0 = 12 ⇒ b = 10 Bu mümkün değildir (bir rakam olamaz). 2) Eğer c = 5 ise a = c + 2 = 7 rakamlar toplamından: 7 + b + 5 = 12 ⇒ b = 0 Dolayısıyla sayı: N = 705 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilenler: OBEB ( a, b ) = 1 a + b çifttir Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim: a + b ≡ 0 ( mod 2 ) Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi: Eğer a ve b çift olsaydı OBEB ( a, b ) ≥ 2 O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir: a tektir ve b tektir Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla: a ⁢ b tektir Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle B ’dır.

1. Çözüm: Verilenler: OBEB ( a, b ) = 1 a + b çifttir Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim: a + b ≡ 0 ( mod 2 ) Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi: Eğer a ve b çift olsaydı OBEB ( a, b ) ≥ 2 O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir: a tektir ve b tektir Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla: a ⁢ b tektir Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle B ’dır.

Doğru cevap: C

İşlem: ( 2 3 × 2 - 5 ) 2 - 1 1) Aynı tabanlı üslü sayılarda çarpma kuralını kullan: 2 3 + ( - 5 ) 2) Parantez içini sadeleştir: 2 3 - 5 3) Üstü hesapla: 2 - 2 4) Şimdi bölme işlemi var. Aynı tabanlı üslü sayılarda bölme kuralı: 2 - 2 2 - 1 5) Üstleri çıkar (bölme): 2 ( - 2 ) - ( - 1 ) 6) Parantezleri düzenle: 2 - 2 + 1 7) Üstü hesapla: 2 - 1 8) Negatif üs kuralı: 2 - 1 = 1 2 Sonuç şıkkıC391dır.

1. Çözüm: İşlem: ( 2 3 × 2 - 5 ) 2 - 1 1) Aynı tabanlı üslü sayılarda çarpma kuralını kullan: 2 3 + ( - 5 ) 2) Parantez içini sadeleştir: 2 3 - 5 3) Üstü hesapla: 2 - 2 4) Şimdi bölme işlemi var. Aynı tabanlı üslü sayılarda bölme kuralı: 2 - 2 2 - 1 5) Üstleri çıkar (bölme): 2 ( - 2 ) - ( - 1 ) 6) Parantezleri düzenle: 2 - 2 + 1 7) Üstü hesapla: 2 - 1 8) Negatif üs kuralı: 2 - 1 = 1 2 Sonuç şıkkıC391dır.

Doğru cevap: D

1) Değişkenleri tanımlayalım: x = Ayşe'nin bugünkü yaşı 2) Ali'nin yaşı, Ayşe'nin yaşının 2 katının 3 fazlası olduğuna göre: Ali = 2 x + 3 3) 5 yıl sonraki yaşları yazalım: Ayşe ( 5 yıl sonra) = x + 5 Ali ( 5 yıl sonra) = 2 x + 3 + 5 4) 5 yıl sonra yaşları toplamı 43 olduğuna göre denklemi kuralım: ( x + 5 ) + ( 2 x + 3 + 5 ) = 43 5) Düzenleyelim: x + 5 + 2 x + 3 + 5 = 43 3 x + 13 = 43 6) Ayşe'nin yaşını bulalım: 3 x = 43 - 13 3 x = 30 x = 10 7) Sonuç ve şık kontrolü: Ayşe'nin bugünkü yaşı = 10 Bu değer şıkkıD509dır. Yani doğru cevap D526 ’dir.

1. Çözüm: 1) Değişkenleri tanımlayalım: x = Ayşe'nin bugünkü yaşı 2) Ali'nin yaşı, Ayşe'nin yaşının 2 katının 3 fazlası olduğuna göre: Ali = 2 x + 3 3) 5 yıl sonraki yaşları yazalım: Ayşe ( 5 yıl sonra) = x + 5 Ali ( 5 yıl sonra) = 2 x + 3 + 5 4) 5 yıl sonra yaşları toplamı 43 olduğuna göre denklemi kuralım: ( x + 5 ) + ( 2 x + 3 + 5 ) = 43 5) Düzenleyelim: x + 5 + 2 x + 3 + 5 = 43 3 x + 13 = 43 6) Ayşe'nin yaşını bulalım: 3 x = 43 - 13 3 x = 30 x = 10 7) Sonuç ve şık kontrolü: Ayşe'nin bugünkü yaşı = 10 Bu değer şıkkıD509dır. Yani doğru cevap D526 ’dir.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü: İşlemler sonunda bulunan değer A şıkkı ile aynıdır. 2) Başlangıç fiyatını tanımlayalım: P = 500 3) Önce yüzde yirmi zam uygulanır (zam çarpanı): 1 + 20 100 = 1.2 4) Zamdan sonraki fiyat: P 1 = 500 × 1.2 = 600 5) Sonra zamlı fiyata yüzde on indirim uygulanır (indirim çarpanı): 1 - 10 100 = 0.9 6) İndirimden sonraki (son) fiyat: P 2 = 600 × 0.9 = 540 7) Sonuç: Ürünün son fiyatı 540 TL olur ve bu A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: İşlemler sonunda bulunan değer A şıkkı ile aynıdır. 2) Başlangıç fiyatını tanımlayalım: P = 500 3) Önce yüzde yirmi zam uygulanır (zam çarpanı): 1 + 20 100 = 1.2 4) Zamdan sonraki fiyat: P 1 = 500 × 1.2 = 600 5) Sonra zamlı fiyata yüzde on indirim uygulanır (indirim çarpanı): 1 - 10 100 = 0.9 6) İndirimden sonraki (son) fiyat: P 2 = 600 × 0.9 = 540 7) Sonuç: Ürünün son fiyatı 540 TL olur ve bu A şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Verilen eşitsizlik: x - 1 x + 2 < 0 2) Tanım kümesi: Payda sıfır olamaz. x + 2 ≠ 0 x ≠ - 2 3) Bir kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir: Pay < 0 ve Payda > 0 veya Pay > 0 ve Payda < 0 4) 1. Durum: Pay negatif, payda pozitif. x - 1 < 0 x < 1 x + 2 > 0 x > - 2 - 2 < x < 1 5) 2. Durum: Pay pozitif, payda negatif. x - 1 > 0 x > 1 x + 2 < 0 x < - 2 Bu iki koşul aynı anda sağlanamaz, bu yüzden bu durumdan çözüm gelmez. 6) Uç noktaların kontrolü: x = - 2 için ifade tanımsızdır (payda 0). x = 1 için kesir 0 olur ve < 0 sağlamaz. 7) Çözüm kümesi: ( - 2, 1 ) 8) Şık kontrolü: Bulunan aralık şıkkıC629dır, yani doğru cevap C646’dır.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: x - 1 x + 2 < 0 2) Tanım kümesi: Payda sıfır olamaz. x + 2 ≠ 0 x ≠ - 2 3) Bir kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir: Pay < 0 ve Payda > 0 veya Pay > 0 ve Payda < 0 4) 1. Durum: Pay negatif, payda pozitif. x - 1 < 0 x < 1 x + 2 > 0 x > - 2 - 2 < x < 1 5) 2. Durum: Pay pozitif, payda negatif. x - 1 > 0 x > 1 x + 2 < 0 x < - 2 Bu iki koşul aynı anda sağlanamaz, bu yüzden bu durumdan çözüm gelmez. 6) Uç noktaların kontrolü: x = - 2 için ifade tanımsızdır (payda 0). x = 1 için kesir 0 olur ve < 0 sağlamaz. 7) Çözüm kümesi: ( - 2, 1 ) 8) Şık kontrolü: Bulunan aralık şıkkıC629dır, yani doğru cevap C646’dır.

Doğru cevap: D

Birinci koşul için bölünebilme şartını modüler aritmetik ile yazarız: 12 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) Bu ifadeyi sadeleştiririz: 12 ≡ 5 ( mod 7 ) 5 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 x ≡ - 5 ≡ 2 ( mod 7 ) Burada modüler ters kullanırız: 5 · 3 ≡ 1 ( mod 7 ) x ≡ 2 · 3 ≡ 6 ( mod 7 ) İkinci koşul için benzer şekilde: 15 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 15 ≡ 4 ( mod 11 ) 4 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 4 x ≡ 4 ( mod 11 ) x ≡ 1 ( mod 11 ) Şimdi iki sonucu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri buluruz. Adayları şu şekilde yazabiliriz: x = 1 + 11 k Bu adaylar içinde birinci koşulu sağlayanı ararız: 1, 12, 23, 34, 45, 56, … Bu listede uygun olan en küçük değer: 34 ≡ 6 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük pozitif tamsayı değeri şıkkıD683dır. x = 34

1. Çözüm: Birinci koşul için bölünebilme şartını modüler aritmetik ile yazarız: 12 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) Bu ifadeyi sadeleştiririz: 12 ≡ 5 ( mod 7 ) 5 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 x ≡ - 5 ≡ 2 ( mod 7 ) Burada modüler ters kullanırız: 5 · 3 ≡ 1 ( mod 7 ) x ≡ 2 · 3 ≡ 6 ( mod 7 ) İkinci koşul için benzer şekilde: 15 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 15 ≡ 4 ( mod 11 ) 4 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 4 x ≡ 4 ( mod 11 ) x ≡ 1 ( mod 11 ) Şimdi iki sonucu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri buluruz. Adayları şu şekilde yazabiliriz: x = 1 + 11 k Bu adaylar içinde birinci koşulu sağlayanı ararız: 1, 12, 23, 34, 45, 56, … Bu listede uygun olan en küçük değer: 34 ≡ 6 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük pozitif tamsayı değeri şıkkıD683dır. x = 34