9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Muslukların bir saatteki net havuz değişim hızlarını yazalım. A ve C birlikteyken: Net hız = 1 5 − 1 12 = 7 60 Bu durum iki saat sürdüğü için havuza eklenen miktar: 2 · 7 60 = 7 30 B ve C birlikteyken: Net hız = 1 8 − 1 12 = 1 24 Bu durum üç saat sürdüğü için havuza eklenen miktar: 3 · 1 24 = 1 8 İlk iki aşama sonunda dolan kısım: 7 30 + 1 8 = 43 120 Geriye kalan kısım: 1 − 43 120 = 77 120 Son aşamada yalnız A ve B birlikte çalışıyor. Net hız: 1 5 + 1 8 = 13 40 Bu hızla kalan kısmın dolma süresi: Süre = 77 120 13 40 = 77 39 Toplam süre: 2 + 3 + 77 39 = 272 39 Bulunan değer şıkkıA580ndaki değerle aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A622.

1. Çözüm: Muslukların bir saatteki net havuz değişim hızlarını yazalım. A ve C birlikteyken: Net hız = 1 5 − 1 12 = 7 60 Bu durum iki saat sürdüğü için havuza eklenen miktar: 2 · 7 60 = 7 30 B ve C birlikteyken: Net hız = 1 8 − 1 12 = 1 24 Bu durum üç saat sürdüğü için havuza eklenen miktar: 3 · 1 24 = 1 8 İlk iki aşama sonunda dolan kısım: 7 30 + 1 8 = 43 120 Geriye kalan kısım: 1 − 43 120 = 77 120 Son aşamada yalnız A ve B birlikte çalışıyor. Net hız: 1 5 + 1 8 = 13 40 Bu hızla kalan kısmın dolma süresi: Süre = 77 120 13 40 = 77 39 Toplam süre: 2 + 3 + 77 39 = 272 39 Bulunan değer şıkkıA580ndaki değerle aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A622.

Doğru cevap: D

İfade dört kökten oluşuyor. Her birini, iki karekökün toplamı ya da farkı şeklinde yazıp sadeleştireceğiz. Önce 5 + 2 6 kökünü inceleyelim. Şu biçimde olduğunu varsayalım: 5 + 2 6 = a + b Her iki tarafın karesini alalım: 5 + 2 6 = a + b 2 = a + b + 2 a b Buradan katsayıları eşitleyince: a + b = 5 a b = 6 Bu koşulları sağlayan sayılar: a = 2, b = 3 Dolayısıyla: 5 + 2 6 = 2 + 3 Benzer şekilde ikinci kök: 5 - 2 6 = | 3 - 2 | = 3 - 2 Bu ikisini toplayalım: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 = ( 2 + 3 ) + ( 3 - 2 ) = 2 3 Şimdi üçüncü kök için aynı yöntemi uygulayalım: 3 + 2 2 = c + d Karesini alıp eşitleyelim: c + d = 3 c d = 2 Buradan: c = 1, d = 2 Dolayısıyla: 3 + 2 2 = 1 + 2 = 1 + 2 Dördüncü kök: 3 - 2 2 = | 2 - 1 | = 2 - 1 Bu ikisinin farkı: 3 + 2 2 - 3 - 2 2 = ( 1 + 2 ) - ( 2 - 1 ) = 2 Tüm ifade: 2 3 + 2 = 2 ( 3 + 1 ) Sonuç, verilen şıklardan seçeneğiD838 ile aynıdır. Doğru cevap D862’dır.

1. Çözüm: İfade dört kökten oluşuyor. Her birini, iki karekökün toplamı ya da farkı şeklinde yazıp sadeleştireceğiz. Önce 5 + 2 6 kökünü inceleyelim. Şu biçimde olduğunu varsayalım: 5 + 2 6 = a + b Her iki tarafın karesini alalım: 5 + 2 6 = a + b 2 = a + b + 2 a b Buradan katsayıları eşitleyince: a + b = 5 a b = 6 Bu koşulları sağlayan sayılar: a = 2, b = 3 Dolayısıyla: 5 + 2 6 = 2 + 3 Benzer şekilde ikinci kök: 5 - 2 6 = | 3 - 2 | = 3 - 2 Bu ikisini toplayalım: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 = ( 2 + 3 ) + ( 3 - 2 ) = 2 3 Şimdi üçüncü kök için aynı yöntemi uygulayalım: 3 + 2 2 = c + d Karesini alıp eşitleyelim: c + d = 3 c d = 2 Buradan: c = 1, d = 2 Dolayısıyla: 3 + 2 2 = 1 + 2 = 1 + 2 Dördüncü kök: 3 - 2 2 = | 2 - 1 | = 2 - 1 Bu ikisinin farkı: 3 + 2 2 - 3 - 2 2 = ( 1 + 2 ) - ( 2 - 1 ) = 2 Tüm ifade: 2 3 + 2 = 2 ( 3 + 1 ) Sonuç, verilen şıklardan seçeneğiD838 ile aynıdır. Doğru cevap D862’dır.

Doğru cevap: C

İfade: | x - 2 | + | x + 4 | + | 2 x + 1 | Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 4 = 0 ⇒ x = - 4 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu noktalara göre aralıkları ayıralım: ( - ∞, - 4 ], [ - 4, - 1 2 ], [ - 1 2, 2 ], [ 2, ∞ ) 1) Aralık: x ≤ - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = - x - 4 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( - x - 4 ) + ( - 2 x - 1 ) = - 4 x - 3 Doğrusal olduğundan minimum uç noktada kontrol edilir: f ( - 4 ) = | - 6 | + | 0 | + | - 7 | = 13 2) Aralık: - 4 ≤ x ≤ - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = x + 4 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 4 ) + ( - 2 x - 1 ) = 5 - 2 x Minimum için sağ ucu kontrol edelim: f ( - 1 2 ) = | - 1 2 - 2 | + | - 1 2 + 4 | + | 2 · - 1 2 + 1 | = 6 3) Aralık: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = x + 4 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 4 ) + ( 2 x + 1 ) = 7 + 2 x Bu doğrusal ifade artandır; minimum sol uçtadır ve yine: f ( - 1 2 ) = 6 4) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Toplayalım ve uç noktayı kontrol edelim: f ( x ) = ( x - 2 ) + ( x + 4 ) + ( 2 x + 1 ) = 4 x + 3 f ( 2 ) = 11 Tüm aralıklardaki en küçük değer: f ( x ) ≥ 6 Bu değer şu noktada alınır: x = - 1 2 Sonuç: Doğru cevap C1328 şıkkıdır. 6

1. Çözüm: İfade: | x - 2 | + | x + 4 | + | 2 x + 1 | Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 4 = 0 ⇒ x = - 4 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu noktalara göre aralıkları ayıralım: ( - ∞, - 4 ], [ - 4, - 1 2 ], [ - 1 2, 2 ], [ 2, ∞ ) 1) Aralık: x ≤ - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = - x - 4 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( - x - 4 ) + ( - 2 x - 1 ) = - 4 x - 3 Doğrusal olduğundan minimum uç noktada kontrol edilir: f ( - 4 ) = | - 6 | + | 0 | + | - 7 | = 13 2) Aralık: - 4 ≤ x ≤ - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = x + 4 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 4 ) + ( - 2 x - 1 ) = 5 - 2 x Minimum için sağ ucu kontrol edelim: f ( - 1 2 ) = | - 1 2 - 2 | + | - 1 2 + 4 | + | 2 · - 1 2 + 1 | = 6 3) Aralık: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = x + 4 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 4 ) + ( 2 x + 1 ) = 7 + 2 x Bu doğrusal ifade artandır; minimum sol uçtadır ve yine: f ( - 1 2 ) = 6 4) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Toplayalım ve uç noktayı kontrol edelim: f ( x ) = ( x - 2 ) + ( x + 4 ) + ( 2 x + 1 ) = 4 x + 3 f ( 2 ) = 11 Tüm aralıklardaki en küçük değer: f ( x ) ≥ 6 Bu değer şu noktada alınır: x = - 1 2 Sonuç: Doğru cevap C1328 şıkkıdır. 6

Doğru cevap: A

Dört kartın ikisinde A vardır; $2/4=1/2$.

1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Doğru cevap: C

Doğru cevap: Ardışık seçim aşamalarında seçenek sayılarını çarpar.

1. Çözüm: Doğru cevap: Ardışık seçim aşamalarında seçenek sayılarını çarpar.

Doğru cevap: D

Verilen ifade: x = 2 3 - 5 6 1 4 + 3 8 Önce payı hesaplayalım: 2 3 - 5 6 Ortak payda 6 olacak şekilde düzenleyelim: 2 3 = 4 6 Çıkarma: 4 6 - 5 6 = 4 - 5 6 = - 1 6 Şimdi paydayı hesaplayalım: 1 4 + 3 8 Ortak payda 8 olacak şekilde düzenleyelim: 1 4 = 2 8 Toplama: 2 8 + 3 8 = 2 + 3 8 = 5 8 Bulduklarımızı yerine yazalım: x = - 1 6 5 8 Kesirle bölme, tersiyle çarpmadır: x = - 1 6 × 8 5 Çarpıp sadeleştirelim: x = - 8 30 = - 4 15 Sonuç ve şık kontrolü: x = - 4 15 Bu değer şıkkıD478dır. Yani “B doğru mu?” sorusunun cevabı: Evet, B doğrudur.

1. Çözüm: Verilen ifade: x = 2 3 - 5 6 1 4 + 3 8 Önce payı hesaplayalım: 2 3 - 5 6 Ortak payda 6 olacak şekilde düzenleyelim: 2 3 = 4 6 Çıkarma: 4 6 - 5 6 = 4 - 5 6 = - 1 6 Şimdi paydayı hesaplayalım: 1 4 + 3 8 Ortak payda 8 olacak şekilde düzenleyelim: 1 4 = 2 8 Toplama: 2 8 + 3 8 = 2 + 3 8 = 5 8 Bulduklarımızı yerine yazalım: x = - 1 6 5 8 Kesirle bölme, tersiyle çarpmadır: x = - 1 6 × 8 5 Çarpıp sadeleştirelim: x = - 8 30 = - 4 15 Sonuç ve şık kontrolü: x = - 4 15 Bu değer şıkkıD478dır. Yani “B doğru mu?” sorusunun cevabı: Evet, B doğrudur.

Doğru cevap: B

Verilen koşullara göre, her seferinde kalan aynı olduğundan şu sonucu çıkarırız: n − 1 sayısı 2, 3, 4, 5, 6 ile tam bölünür. O hâlde n − 1, bu sayıların EKOK’una bölünür: EKOK ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 Bu nedenle n şu biçimdedir: n = 60 k + 1 Ayrıca n sayısı 7 ile kalansız bölünüyor. Bunu denkleme uygularız: 60 k + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 60 k ≡ − 1 ( mod 7 ) 60 k ≡ 6 ( mod 7 ) 60 sayısını 7 ile sadeleştiririz: 60 ≡ 4 ( mod 7 ) 4 k ≡ 6 ( mod 7 ) 4 ’ün 7 ’ye göre çarpmaya göre tersi 2 ’dir (çünkü 4·2 ≡ 1 ). Her iki tarafı 2 ile çarparız: 2 ⋅ 4 k ≡ 2 ⋅ 6 ( mod 7 ) k ≡ 12 ( mod 7 ) k ≡ 5 ( mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için: k = 5 n = 60 ⋅ 5 + 1 = 301 Sonuç olarak doğru seçenek: n = 301 Bu da B şıkkıdır; yani doğru cevap B.

1. Çözüm: Verilen koşullara göre, her seferinde kalan aynı olduğundan şu sonucu çıkarırız: n − 1 sayısı 2, 3, 4, 5, 6 ile tam bölünür. O hâlde n − 1, bu sayıların EKOK’una bölünür: EKOK ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 Bu nedenle n şu biçimdedir: n = 60 k + 1 Ayrıca n sayısı 7 ile kalansız bölünüyor. Bunu denkleme uygularız: 60 k + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 60 k ≡ − 1 ( mod 7 ) 60 k ≡ 6 ( mod 7 ) 60 sayısını 7 ile sadeleştiririz: 60 ≡ 4 ( mod 7 ) 4 k ≡ 6 ( mod 7 ) 4 ’ün 7 ’ye göre çarpmaya göre tersi 2 ’dir (çünkü 4·2 ≡ 1 ). Her iki tarafı 2 ile çarparız: 2 ⋅ 4 k ≡ 2 ⋅ 6 ( mod 7 ) k ≡ 12 ( mod 7 ) k ≡ 5 ( mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için: k = 5 n = 60 ⋅ 5 + 1 = 301 Sonuç olarak doğru seçenek: n = 301 Bu da B şıkkıdır; yani doğru cevap B.

Doğru cevap: B

Koşulları denkleme çevirme İlk koşul: n + 7 = 12 k İkinci koşul: n - 5 = 9 m Kongruans (kalan) biçimine getirme Birinci eşitlikten: n = 12 k - 7 = 12 k + 5 - 12 n ≡ 5 ( mod 12 ) İkinci eşitlikten: n = 9 m + 5 n ≡ 5 ( mod 9 ) Birleştirme Aynı kalanı veren iki koşulu birlikte sağlayan sayılar, bu iki modun ortak katı üzerinden yazılabilir: lcm ( 12, 9 ) = 36 n ≡ 5 ( mod 36 ) n = 36 t + 5 Aralık şartını uygulama Aralık şartı: 100 < n < 200 Yerine yazalım: 100 < 36 t + 5 < 200 Bu aralıkta uygun değerler: t = 3 ⇒ n = 36 ⋅ 3 + 5 = 113 t = 4 ⇒ n = 36 ⋅ 4 + 5 = 149 t = 5 ⇒ n = 36 ⋅ 5 + 5 = 185 Asallık kontrolü Seçeneklerdeki adaylardan: Bir tanesi asal değildir: 185 = 5 ⋅ 37 Diğer iki adayın asal olduğunu kontrol edelim (karekök sınırına kadar asal bölen denemesi yeterlidir): 11 2 = 121 > 113 113 ≡ 1 ( mod 2 ) 113 ≡ 2 ( mod 3 ) 113 ≡ 3 ( mod 5 ) 113 ≡ 1 ( mod 7 ) 113 ≡ 3 ( mod 11 ) 13 2 = 169 > 149 149 ≡ 1 ( mod 2 ) 149 ≡ 2 ( mod 3 ) 149 ≡ 4 ( mod 5 ) 149 ≡ 2 ( mod 7 ) 149 ≡ 6 ( mod 11 ) 149 ≡ 6 ( mod 13 ) Sonuç ve B şıkkı kontrolü Koşulları sağlayan asal değerler: n ∈ { 113, 149 } Dolayısıyla B seçeneği sağlıyor; ancak A seçeneği de sağladığı için doğru cevap yalnızca B değildir.

1. Çözüm: Koşulları denkleme çevirme İlk koşul: n + 7 = 12 k İkinci koşul: n - 5 = 9 m Kongruans (kalan) biçimine getirme Birinci eşitlikten: n = 12 k - 7 = 12 k + 5 - 12 n ≡ 5 ( mod 12 ) İkinci eşitlikten: n = 9 m + 5 n ≡ 5 ( mod 9 ) Birleştirme Aynı kalanı veren iki koşulu birlikte sağlayan sayılar, bu iki modun ortak katı üzerinden yazılabilir: lcm ( 12, 9 ) = 36 n ≡ 5 ( mod 36 ) n = 36 t + 5 Aralık şartını uygulama Aralık şartı: 100 < n < 200 Yerine yazalım: 100 < 36 t + 5 < 200 Bu aralıkta uygun değerler: t = 3 ⇒ n = 36 ⋅ 3 + 5 = 113 t = 4 ⇒ n = 36 ⋅ 4 + 5 = 149 t = 5 ⇒ n = 36 ⋅ 5 + 5 = 185 Asallık kontrolü Seçeneklerdeki adaylardan: Bir tanesi asal değildir: 185 = 5 ⋅ 37 Diğer iki adayın asal olduğunu kontrol edelim (karekök sınırına kadar asal bölen denemesi yeterlidir): 11 2 = 121 > 113 113 ≡ 1 ( mod 2 ) 113 ≡ 2 ( mod 3 ) 113 ≡ 3 ( mod 5 ) 113 ≡ 1 ( mod 7 ) 113 ≡ 3 ( mod 11 ) 13 2 = 169 > 149 149 ≡ 1 ( mod 2 ) 149 ≡ 2 ( mod 3 ) 149 ≡ 4 ( mod 5 ) 149 ≡ 2 ( mod 7 ) 149 ≡ 6 ( mod 11 ) 149 ≡ 6 ( mod 13 ) Sonuç ve B şıkkı kontrolü Koşulları sağlayan asal değerler: n ∈ { 113, 149 } Dolayısıyla B seçeneği sağlıyor; ancak A seçeneği de sağladığı için doğru cevap yalnızca B değildir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: 2 x - 5 + x + 1 = 10 Mutlak değerlerin işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 x = 5 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu noktalara göre aralıkları inceleyelim. 1) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: 2 x - 5 = - ( 2 x - 5 ) = - 2 x + 5 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 5 ) + ( - x - 1 ) = 10 - 3 x + 4 = 10 - 3 x = 6 x = - 2 Kontrol: - 2 < - 1 Sağlıyor, yani bu aralıktan 1 çözüm geldi. 2) Durum: - 1 ≤ x < 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 5 ) + ( x + 1 ) = 10 - x + 6 = 10 x = - 4 Kontrol: - 1 ≤ - 4 Sağlamaz, bu aralıktan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 x - 5 ) + ( x + 1 ) = 10 3 x - 4 = 10 3 x = 14 x = 14 3 Bu değer tam sayı değildir, dolayısıyla bu aralıktan tam sayı çözüm yoktur. Sonuç: Tam sayı çözüm yalnızca x = - 2 olur. Farklı çözüm sayısı: 1 Doğru seçenek: C921

1. Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 5 + x + 1 = 10 Mutlak değerlerin işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 x = 5 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu noktalara göre aralıkları inceleyelim. 1) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: 2 x - 5 = - ( 2 x - 5 ) = - 2 x + 5 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 5 ) + ( - x - 1 ) = 10 - 3 x + 4 = 10 - 3 x = 6 x = - 2 Kontrol: - 2 < - 1 Sağlıyor, yani bu aralıktan 1 çözüm geldi. 2) Durum: - 1 ≤ x < 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 5 ) + ( x + 1 ) = 10 - x + 6 = 10 x = - 4 Kontrol: - 1 ≤ - 4 Sağlamaz, bu aralıktan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 x - 5 ) + ( x + 1 ) = 10 3 x - 4 = 10 3 x = 14 x = 14 3 Bu değer tam sayı değildir, dolayısıyla bu aralıktan tam sayı çözüm yoktur. Sonuç: Tam sayı çözüm yalnızca x = - 2 olur. Farklı çözüm sayısı: 1 Doğru seçenek: C921

Doğru cevap: B

İfade: 2 3 × 2 - 5 2 - 1 Pay kısmında aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üsler toplanır: 2 3 × 2 - 5 = 2 3 + - 5 Üsleri sadeleştirelim: 2 3 + - 5 = 2 - 2 İfade bu hâle gelir: 2 - 2 2 - 1 Aynı tabanlı kuvvetlerde bölme yapılırken üsler çıkarılır: 2 - 2 2 - 1 = 2 - 2 - - 1 Üs işlemini yapalım: 2 - 2 - - 1 = 2 - 1 Negatif üs kuralı: 2 - 1 = 1 2 Sonuç şıkkıB364 dır.

1. Çözüm: İfade: 2 3 × 2 - 5 2 - 1 Pay kısmında aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üsler toplanır: 2 3 × 2 - 5 = 2 3 + - 5 Üsleri sadeleştirelim: 2 3 + - 5 = 2 - 2 İfade bu hâle gelir: 2 - 2 2 - 1 Aynı tabanlı kuvvetlerde bölme yapılırken üsler çıkarılır: 2 - 2 2 - 1 = 2 - 2 - - 1 Üs işlemini yapalım: 2 - 2 - - 1 = 2 - 1 Negatif üs kuralı: 2 - 1 = 1 2 Sonuç şıkkıB364 dır.