Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

9. sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı için 10 soruluk online yazılı testleri, cevap anahtarlı sorular ve konu karması çalışma içerikleri.

9. Sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı soruları, yıl sonu hazırlığı genel tekrar mantığıyla ele alınmalıdır. Matematik yazılısı, yeni lise düzeyinde işlem güveni ve akıl yürütme düzeni kurmak için önemli bir eşiktir. Bu sayfa, yazılıya çalışırken öğrencinin sayı kümeleri, cebirsel düşünme, denklem kurma ve problem çözme becerisini ölçmeye yardımcı olacak şekilde hazırlanmıştır. Konu dağılımı sınıflar bölümündeki güncel test havuzuyla uyumludur ve sınav öncesi tekrar için düzenli bir yol haritası verir.

Bu yazılı kapsamında Matematik Temel Kavramlar, Matematik Mantık, Matematik Kümeler, Matematik Rasyonel Sayılar başlıklarıyla başlayan ve Matematik Olasılık, Matematik Permütasyon ve Kombinasyon, Matematik Rutin Olmayan Problemler konularına kadar uzanan bir çalışma alanı bulunur. Konuların karışık biçimde ele alınması, öğrencinin yalnızca aynı tip soruya alışmasını engeller. Böylece farklı kazanımlar aynı sınav atmosferinde denenir ve hangi başlığın ek tekrar istediği daha net görülür.

Matematikte doğru cevap kadar çözüm yolu da önemlidir. İşlem hatalarını, yanlış kurulan denklemleri ve eksik okunan ifadeleri ayrı ayrı not etmek sonraki çalışmayı çok daha verimli hale getirir. bu çalışma eksikleri son kez görmek ve konu testlerine bilinçli dönmek için kullanılabilir. Soruları çözerken süre tutmak, emin olunmayan maddeleri işaretlemek ve çözümden sonra yanlışları konu başlığına göre gruplamak özellikle faydalıdır. Bu sayede tekrar planı genel bir okuma olmaktan çıkar, doğrudan eksik kazanımlara yönelir.

Sayfanın altındaki ilgili konu testleri, yazılıdan sonra ayrıntılı pekiştirme yapmak için kullanılabilir. Matematik Temel Kavramlar veya Matematik Mantık gibi başlıklarda hata yapan öğrenciler doğrudan ilgili testlere geçerek aynı kazanımı farklı soru tipleriyle yeniden çalışabilir. Konu testlerine geri dönüş yapılırken yanlışın işlemden mi, yorumdan mı yoksa denklem kurmadan mı kaynaklandığı kolayca görülür.

9. sınıf düzeyinde düzenli tekrar, lise konularının temelini güçlendirdiği için her yazılı çalışması aynı zamanda sonraki üniteler için hazırlık anlamına gelir.

Çalışma sonunda doğru sayısı kadar yanlışların türüne de bakmak gerekir; bu küçük analiz, bir sonraki çözümde çok daha bilinçli ilerlemeyi sağlar.

9. sınıf düzeyinde düzenli tekrar, lise konularının temelini güçlendirdiği için her yazılı çalışması aynı zamanda sonraki üniteler için hazırlık anlamına gelir.

İlgili 9. sınıf Matematik konu testleri

Test seç

166 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test11. Test12. Test13. Test14. Test15. Test16. Test17. Test18. Test19. Test20. Test21. Test22. Test23. Test24. Test25. Test26. Test27. Test28. Test29. Test30. Test31. Test32. Test33. Test34. Test35. Test36. Test37. Test38. Test39. Test40. Test41. Test42. Test43. Test44. Test45. Test46. Test47. Test48. Test49. Test50. Test51. Test52. Test53. Test54. Test55. Test56. Test57. Test58. Test59. Test60. Test61. Test62. Test63. Test64. Test65. Test66. Test67. Test68. Test69. Test70. Test71. Test72. Test73. Test74. Test75. Test76. Test77. Test78. Test79. Test80. Test81. Test82. Test83. Test84. Test85. Test86. Test87. Test88. Test89. Test90. Test91. Test92. Test93. Test94. Test95. Test96. Test97. Test98. Test99. Test100. Test101. Test102. Test103. Test104. Test105. Test106. Test107. Test108. Test109. Test110. Test111. Test112. Test113. Test114. Test115. Test116. Test117. Test118. Test119. Test120. Test121. Test122. Test123. Test124. Test125. Test126. Test127. Test128. Test129. Test130. Test131. Test132. Test133. Test134. Test135. Test136. Test137. Test138. Test139. Test140. Test141. Test142. Test143. Test144. Test145. Test146. Test147. Test148. Test149. Test150. Test151. Test152. Test153. Test154. Test155. Test156. Test157. Test158. Test159. Test160. Test161. Test162. Test163. Test164. Test165. Test166. Test

52. Test

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Test 52 için 10 soruluk online yazılı testi.

Her soru için doğru seçeneği işaretleyin.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir şişenin 35’i doludur. İçine şişe hacminin 25’i kadar su ekleniyor, ardından içindeki suyun 14’ü dökülüyor. Şişe son durumda kaç doludur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Başlangıçta şişedeki doluluk miktarı: 3 5 2) Şişe hacminin şu kadarı kadar su ekleniyor: 2 5 Bu eklemeden sonra doluluk: 3 5 + 2 5 = 5 5 = 1 3) Sonra içindeki suyun şu kadarı dökülüyor: 1 4 Dökme işleminden sonra kalan oran: 1 - 1 4 = 3 4 Sonuç: Şişe son durumda bu kadar doludur ve doğru seçenek A286 ’dir. 3 4

  1. Çözüm: 1) Başlangıçta şişedeki doluluk miktarı: 3 5 2) Şişe hacminin şu kadarı kadar su ekleniyor: 2 5 Bu eklemeden sonra doluluk: 3 5 + 2 5 = 5 5 = 1 3) Sonra içindeki suyun şu kadarı dökülüyor: 1 4 Dökme işleminden sonra kalan oran: 1 - 1 4 = 3 4 Sonuç: Şişe son durumda bu kadar doludur ve doğru seçenek A286 ’dir. 3 4

1) Başlangıçta şişedeki doluluk miktarı:

35

2) Şişe hacminin şu kadarı kadar su ekleniyor:

25

Bu eklemeden sonra doluluk:

35+25=55=1

3) Sonra içindeki suyun şu kadarı dökülüyor:

14

Dökme işleminden sonra kalan oran:

1-14=34

Sonuç: Şişe son durumda bu kadar doludur ve doğru seçenek B’dir.

34
2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifade sadeleştirildiğinde hangi seçeneğe eşittir?

12+273-8

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İfade: 12 + 27 3 - 8 Köklü sayıları sadeleştirelim: 12 = 4 3 = 2 3 27 = 9 3 = 3 3 8 = 4 2 = 2 2 Payı düzenleyelim: 12 + 27 = 2 3 + 3 3 = 5 3 Kesri sadeleştirelim: 12 + 27 3 = 5 3 3 = 5 Tüm ifadeyi yazalım: 12 + 27 3 - 8 = 5 - 2 2 Sonuç: 5 - 2 2 Bu ifade şıkkıA254dır. Dolayısıyla doğru cevap A278.

  1. Çözüm: İfade: 12 + 27 3 - 8 Köklü sayıları sadeleştirelim: 12 = 4 3 = 2 3 27 = 9 3 = 3 3 8 = 4 2 = 2 2 Payı düzenleyelim: 12 + 27 = 2 3 + 3 3 = 5 3 Kesri sadeleştirelim: 12 + 27 3 = 5 3 3 = 5 Tüm ifadeyi yazalım: 12 + 27 3 - 8 = 5 - 2 2 Sonuç: 5 - 2 2 Bu ifade şıkkıA254dır. Dolayısıyla doğru cevap A278.

İfade:

12+273-8

Köklü sayıları sadeleştirelim:

12=43=2327=93=338=42=22

Payı düzenleyelim:

12+27=23+33=53

Kesri sadeleştirelim:

12+273=533=5

Tüm ifadeyi yazalım:

12+273-8=5-22

Sonuç:

5-22

Bu ifade B şıkkıdır. Dolayısıyla doğru cevap B.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin kaç farklı gerçek çözümü vardır?

||x-1|-|x-4||=|x-2|

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Sorudaki ifade mutlak değer içerdiği için kritik noktaları belirleyip aralık aralık inceleyeceğiz. Denklem: | | x - 1 | - | x - 4 | | = | x - 2 | Kritik noktalar: 1, 2, 4 Buna göre aralıklar: ( - ∞, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 4 ], [ 4, ∞ ) Aralık: x ≤ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( 1 - x ) - ( 4 - x ) = - 3 Denklem: | - 3 | = | x - 2 | 3 = 2 - x x = - 1 Aralık: 1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( 4 - x ) = 2 x - 5 Denklem: | 2 x - 5 | = 2 - x Bu aralıkta eşitliği sağlayan değer çıkmaz (çözüm yoktur). Aralık: 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta yine: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Dolayısıyla: | 2 x - 5 | = x - 2 Alt durumlar: 1) 2 x - 5 ≥ 0 2 x - 5 = x - 2 x = 3 2) 2 x - 5 < 0 5 - 2 x = x - 2 7 = 3 x x = 7 3 Aralık: x ≥ 4 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = x - 4 Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( x - 4 ) = 3 Denklem: 3 = x - 2 x = 5 Bulunan tüm gerçek çözümler: x ∈ - 1, 7 3, 3, 5 Dolayısıyla çözüm sayısı dörttür; doğru seçenek B1078 ’dir.

  1. Çözüm: Sorudaki ifade mutlak değer içerdiği için kritik noktaları belirleyip aralık aralık inceleyeceğiz. Denklem: | | x - 1 | - | x - 4 | | = | x - 2 | Kritik noktalar: 1, 2, 4 Buna göre aralıklar: ( - ∞, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 4 ], [ 4, ∞ ) Aralık: x ≤ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( 1 - x ) - ( 4 - x ) = - 3 Denklem: | - 3 | = | x - 2 | 3 = 2 - x x = - 1 Aralık: 1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( 4 - x ) = 2 x - 5 Denklem: | 2 x - 5 | = 2 - x Bu aralıkta eşitliği sağlayan değer çıkmaz (çözüm yoktur). Aralık: 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta yine: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Dolayısıyla: | 2 x - 5 | = x - 2 Alt durumlar: 1) 2 x - 5 ≥ 0 2 x - 5 = x - 2 x = 3 2) 2 x - 5 < 0 5 - 2 x = x - 2 7 = 3 x x = 7 3 Aralık: x ≥ 4 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = x - 4 Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( x - 4 ) = 3 Denklem: 3 = x - 2 x = 5 Bulunan tüm gerçek çözümler: x ∈ - 1, 7 3, 3, 5 Dolayısıyla çözüm sayısı dörttür; doğru seçenek B1078 ’dir.

Sorudaki ifade mutlak değer içerdiği için kritik noktaları belirleyip aralık aralık inceleyeceğiz.

Denklem:

||x-1|-|x-4||=|x-2|

Kritik noktalar:

1,2,4

Buna göre aralıklar:

(-∞,1],[1,2],[2,4],[4,∞)

Aralık:

x≤1

Bu aralıkta:

|x-1|=1-x|x-4|=4-x

Sol tarafın içi:

(1-x)-(4-x)=-3

Denklem:

|-3|=|x-2|3=2-xx=-1

Aralık:

1≤x≤2

Bu aralıkta:

|x-1|=x-1|x-4|=4-x

Sol tarafın içi:

(x-1)-(4-x)=2x-5

Denklem:

|2x-5|=2-x

Bu aralıkta eşitliği sağlayan değer çıkmaz (çözüm yoktur).

Aralık:

2≤x≤4

Bu aralıkta yine:

|x-1|=x-1|x-4|=4-x

Dolayısıyla:

|2x-5|=x-2

Alt durumlar:

1)

2x-5≥02x-5=x-2x=3

2)

2x-5<05-2x=x-27=3xx=73

Aralık:

x≥4

Bu aralıkta:

|x-1|=x-1|x-4|=x-4

Sol tarafın içi:

(x-1)-(x-4)=3

Denklem:

3=x-2x=5

Bulunan tüm gerçek çözümler:

x∈-1,73,3,5

Dolayısıyla çözüm sayısı dörttür; doğru seçenek C’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sınıfta 12 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Rastgele seçilen öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Toplam 2020 öğrencinin 88’i erkektir; 8/20=2/58/20=2/5.

  1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
  2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Toplam 2020 öğrencinin 88’i erkektir; 8/20=2/58/20=2/5.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sınıfta kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı 35 dir. Sınıfta toplam 32 öğrenci olduğuna göre kız sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Doğru cevabı kontrol: Kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı: 3 5 2) Değişkenleri tanımlayalım: Kız sayısı G, erkek sayısı E olsun. Oran bilgisi: G E = 3 5 3) Orandan parçalı yazıma geçelim: Bu durumda kızlar ve erkekler aynı katsayının katı olur: G = 3 k E = 5 k 4) Toplam öğrenci sayısını kullanalım: Toplam: G + E = 32 Yerine yazalım: 3 k + 5 k = 32 5) k değerini bulalım: 8 k = 32 k = 4 6) Kız sayısını bulalım: G = 3 k G = 3 × 4 = 12 Sonuç: Kız sayısı şıkkıC473 dır.

  1. Çözüm: 1) Doğru cevabı kontrol: Kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı: 3 5 2) Değişkenleri tanımlayalım: Kız sayısı G, erkek sayısı E olsun. Oran bilgisi: G E = 3 5 3) Orandan parçalı yazıma geçelim: Bu durumda kızlar ve erkekler aynı katsayının katı olur: G = 3 k E = 5 k 4) Toplam öğrenci sayısını kullanalım: Toplam: G + E = 32 Yerine yazalım: 3 k + 5 k = 32 5) k değerini bulalım: 8 k = 32 k = 4 6) Kız sayısını bulalım: G = 3 k G = 3 × 4 = 12 Sonuç: Kız sayısı şıkkıC473 dır.

1) Doğru cevabı kontrol:

Kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı:

35

2) Değişkenleri tanımlayalım:

Kız sayısı G, erkek sayısı E olsun. Oran bilgisi:

GE=35

3) Orandan parçalı yazıma geçelim:

Bu durumda kızlar ve erkekler aynı katsayının katı olur:

G=3kE=5k

4) Toplam öğrenci sayısını kullanalım:

Toplam:

G+E=32

Yerine yazalım:

3k+5k=32

5) k değerini bulalım:

8k=32k=4

6) Kız sayısını bulalım:

G=3kG=3×4=12

Sonuç: Kız sayısı şıkkıC1843dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Konuyla ilgili doğru açıklamayı seçiniz: özdeş nesneler

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Doğru cevap: Birbirinden ayırt edilemeyen nesnelerdir.

  1. Çözüm: Doğru cevap: Birbirinden ayırt edilemeyen nesnelerdir.

Doğru cevap: Birbirinden ayırt edilemeyen nesnelerdir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?

34-56÷12

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İşlem: 3 4 − 5 6 ÷ 1 2 Önce parantez içini ortak paydada çıkaralım: 3 4 − 5 6 = 9 12 − 10 12 Çıkarma işlemini yapalım: 9 12 − 10 12 = 9 − 10 12 = − 1 12 Şimdi bölme işlemini “ters çevirip çarpma” olarak yazalım: − 1 12 ÷ 1 2 = − 1 12 × 2 1 Çarpmayı yapalım ve sadeleştirelim: − 1 × 2 12 × 1 = − 2 12 = − 1 6 Sonuç: − 1 6 Bu değer şıklardan B ile aynıdır. Yani doğru cevap D479’dir.

  1. Çözüm: İşlem: 3 4 − 5 6 ÷ 1 2 Önce parantez içini ortak paydada çıkaralım: 3 4 − 5 6 = 9 12 − 10 12 Çıkarma işlemini yapalım: 9 12 − 10 12 = 9 − 10 12 = − 1 12 Şimdi bölme işlemini “ters çevirip çarpma” olarak yazalım: − 1 12 ÷ 1 2 = − 1 12 × 2 1 Çarpmayı yapalım ve sadeleştirelim: − 1 × 2 12 × 1 = − 2 12 = − 1 6 Sonuç: − 1 6 Bu değer şıklardan B ile aynıdır. Yani doğru cevap D479’dir.

İşlem:

34−56÷12

Önce parantez içini ortak paydada çıkaralım:

34−56=912−1012

Çıkarma işlemini yapalım:

912−1012=9−1012=−112

Şimdi bölme işlemini “ters çevirip çarpma” olarak yazalım:

−112÷12=−112×21

Çarpmayı yapalım ve sadeleştirelim:

−1×212×1=−212=−16

Sonuç:

−16

Bu değer şıklardan B ile aynıdır. Yani doğru cevap D2512’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 11 dir. Rakamları yer değiştirildiğinde sayı 27 artıyor. Bu sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Soru: İki basamaklı sayının rakamları toplamı ve yer değiştirince artma miktarı verilmiş. Seçenek A’nın doğru olup olmadığını denetleyelim ve sayıyı bulalım. 1) Sayıyı basamaklarına ayıralım. Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı: 10 a + b 2) “Rakamları toplamı” bilgisini yazalım. a + b = 11 3) Rakamlar yer değişince oluşan sayı: 10 b + a 4) “Yer değiştirince sayı artıyor ” koşulunu denklemleştirelim. 10 b + a = 10 a + b + 27 5) Denklemi sadeleştirelim. 10 b + a = 10 a + b + 27 9 b - 9 a = 27 9 ( b - a ) = 27 b - a = 3 6) Sistemi çözelim. a + b = 11 b = a + 3 a + ( a + 3 ) = 11 2 a + 3 = 11 2 a = 8 a = 4 b = 7 7) Sayıyı yazalım ve seçeneği kontrol edelim. 10 a + b = 10 ⋅ 4 + 7 = 47 Bulunan sayı seçeneklerde A şıkkıdır; yani A doğrudur.

  1. Çözüm: Soru: İki basamaklı sayının rakamları toplamı ve yer değiştirince artma miktarı verilmiş. Seçenek A’nın doğru olup olmadığını denetleyelim ve sayıyı bulalım. 1) Sayıyı basamaklarına ayıralım. Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı: 10 a + b 2) “Rakamları toplamı” bilgisini yazalım. a + b = 11 3) Rakamlar yer değişince oluşan sayı: 10 b + a 4) “Yer değiştirince sayı artıyor ” koşulunu denklemleştirelim. 10 b + a = 10 a + b + 27 5) Denklemi sadeleştirelim. 10 b + a = 10 a + b + 27 9 b - 9 a = 27 9 ( b - a ) = 27 b - a = 3 6) Sistemi çözelim. a + b = 11 b = a + 3 a + ( a + 3 ) = 11 2 a + 3 = 11 2 a = 8 a = 4 b = 7 7) Sayıyı yazalım ve seçeneği kontrol edelim. 10 a + b = 10 ⋅ 4 + 7 = 47 Bulunan sayı seçeneklerde A şıkkıdır; yani A doğrudur.

Soru: İki basamaklı sayının rakamları toplamı ve yer değiştirince artma miktarı verilmiş. Seçenek A’nın doğru olup olmadığını denetleyelim ve sayıyı bulalım.

1) Sayıyı basamaklarına ayıralım.

Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı:

10a+b

2) “Rakamları toplamı” bilgisini yazalım.

a+b=11

3) Rakamlar yer değişince oluşan sayı:

10b+a

4) “Yer değiştirince sayı artıyor” koşulunu denklemleştirelim.

10b+a=10a+b+27

5) Denklemi sadeleştirelim.

10b+a=10a+b+279b-9a=279(b-a)=27b-a=3

6) Sistemi çözelim.

a+b=11b=a+3a+(a+3)=112a+3=112a=8a=4b=7

7) Sayıyı yazalım ve seçeneği kontrol edelim.

10a+b=10⋅4+7=47

Bulunan sayı seçeneklerde A şıkkıdır; yani A doğrudur.

9. SoruÇoktan Seçmeli

n pozitif tam sayısı 12 ile bölündüğünde 5 kalanını, 15 ile bölündüğünde 8 kalanını, 16 ile bölündüğünde 13 kalanını veriyor.

Buna göre n’in alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Koşulları eşdeğer kongruensler olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 8 ( mod 15 ) n ≡ 13 ( mod 16 ) Birinci koşuldan n ’yi parametreleyelim: n = 12 a + 5 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 12 a + 5 ≡ 8 ( mod 15 ) 12 a ≡ 3 ( mod 15 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 15 ) = 3 4 a ≡ 1 ( mod 5 ) Buradan a ’yı bulalım. Mod 5 ’te 4 ’ün tersi yine 4 ’tür: 4 · 4 ≡ 1 ( mod 5 ) a ≡ 4 ( mod 5 ) a = 5 k + 4 Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 12 ( 5 k + 4 ) + 5 n = 60 k + 53 n ≡ 53 ( mod 60 ) Şimdi üçüncü koşulu kullanalım: 60 k + 53 ≡ 13 ( mod 16 ) 60 k ≡ 13 - 53 ( mod 16 ) 60 k ≡ - 40 ( mod 16 ) Mod 16 ’da sadeleştirelim: 60 ≡ 12 ( mod 16 ) - 40 ≡ 8 ( mod 16 ) 12 k ≡ 8 ( mod 16 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 16 ) = 4 3 k ≡ 2 ( mod 4 ) Mod 4 ’te 3 tersinir ve tersi yine 3 ’tür: 3 · 3 ≡ 1 ( mod 4 ) k ≡ 3 · 2 ( mod 4 ) k ≡ 6 ≡ 2 ( mod 4 ) k = 4 t + 2 Son olarak n: n = 60 ( 4 t + 2 ) + 53 n = 240 t + 173 En küçük pozitif değer için t ’yi sıfır alırız: t = 0 n = 173 Kontrol: 173 = 12 · 14 + 5 173 = 15 · 11 + 8 173 = 16 · 10 + 13 Dolayısıyla doğru cevap şık B ’dir.

  1. Çözüm: Koşulları eşdeğer kongruensler olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 8 ( mod 15 ) n ≡ 13 ( mod 16 ) Birinci koşuldan n ’yi parametreleyelim: n = 12 a + 5 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 12 a + 5 ≡ 8 ( mod 15 ) 12 a ≡ 3 ( mod 15 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 15 ) = 3 4 a ≡ 1 ( mod 5 ) Buradan a ’yı bulalım. Mod 5 ’te 4 ’ün tersi yine 4 ’tür: 4 · 4 ≡ 1 ( mod 5 ) a ≡ 4 ( mod 5 ) a = 5 k + 4 Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 12 ( 5 k + 4 ) + 5 n = 60 k + 53 n ≡ 53 ( mod 60 ) Şimdi üçüncü koşulu kullanalım: 60 k + 53 ≡ 13 ( mod 16 ) 60 k ≡ 13 - 53 ( mod 16 ) 60 k ≡ - 40 ( mod 16 ) Mod 16 ’da sadeleştirelim: 60 ≡ 12 ( mod 16 ) - 40 ≡ 8 ( mod 16 ) 12 k ≡ 8 ( mod 16 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 16 ) = 4 3 k ≡ 2 ( mod 4 ) Mod 4 ’te 3 tersinir ve tersi yine 3 ’tür: 3 · 3 ≡ 1 ( mod 4 ) k ≡ 3 · 2 ( mod 4 ) k ≡ 6 ≡ 2 ( mod 4 ) k = 4 t + 2 Son olarak n: n = 60 ( 4 t + 2 ) + 53 n = 240 t + 173 En küçük pozitif değer için t ’yi sıfır alırız: t = 0 n = 173 Kontrol: 173 = 12 · 14 + 5 173 = 15 · 11 + 8 173 = 16 · 10 + 13 Dolayısıyla doğru cevap şık B ’dir.

Koşulları eşdeğer kongruensler olarak yazalım:

n≡5(mod12)n≡8(mod15)n≡13(mod16)

Birinci koşuldan n’yi parametreleyelim:

n=12a+5

Bunu ikinci koşulda kullanalım:

12a+5≡8(mod15)12a≡3(mod15)

Ortak bölen ile sadeleştirelim:

gcd(12,15)=34a≡1(mod5)

Buradan a’yı bulalım. Mod 5’te 4’ün tersi yine 4’tür:

4·4≡1(mod5)a≡4(mod5)a=5k+4

Bunu n ifadesine geri yazalım:

n=12(5k+4)+5n=60k+53n≡53(mod60)

Şimdi üçüncü koşulu kullanalım:

60k+53≡13(mod16)60k≡13-53(mod16)60k≡-40(mod16)

Mod 16’da sadeleştirelim:

60≡12(mod16)-40≡8(mod16)12k≡8(mod16)

Ortak bölen ile sadeleştirelim:

gcd(12,16)=43k≡2(mod4)

Mod 4’te 3 tersinir ve tersi yine 3’tür:

3·3≡1(mod4)k≡3·2(mod4)k≡6≡2(mod4)k=4t+2

Son olarak n:

n=60(4t+2)+53n=240t+173

En küçük pozitif değer için t’yi sıfır alırız:

t=0n=173

Kontrol:

173=12·14+5173=15·11+8173=16·10+13

Dolayısıyla doğru cevap şık B’dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için

EBOB(a,b)=6 ve EKOK(a,b)=180 olduğuna göre a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 180 Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntı kullanılır: a b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buradan: a b = 6 · 180 = 1080 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım: a = 6 x, b = 6 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK sadeleşir: EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y Verilen EKOK ile eşitleyelim: 6 x y = 180 ⇒ x y = 30 Şimdi çarpımı verilen ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini seçeriz: ( x, y ) ∈ { ( 1, 30 ), ( 2, 15 ), ( 3, 10 ), ( 5, 6 ) } Toplamları: x + y ∈ { 31, 17, 13, 11 } En küçük toplam, son çiftten gelir. İstenen toplam: a + b = 6 ( x + y ) a + b = 6 · 11 = 66 Dolayısıyla doğru cevap D650 şıkkıdır. Bu minimumu veren örnek değerler: a = 30, b = 36 Kontrol: EBOB ( 30, 36 ) = 6 EKOK ( 30, 36 ) = 180

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 180 Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntı kullanılır: a b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buradan: a b = 6 · 180 = 1080 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım: a = 6 x, b = 6 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK sadeleşir: EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y Verilen EKOK ile eşitleyelim: 6 x y = 180 ⇒ x y = 30 Şimdi çarpımı verilen ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini seçeriz: ( x, y ) ∈ { ( 1, 30 ), ( 2, 15 ), ( 3, 10 ), ( 5, 6 ) } Toplamları: x + y ∈ { 31, 17, 13, 11 } En küçük toplam, son çiftten gelir. İstenen toplam: a + b = 6 ( x + y ) a + b = 6 · 11 = 66 Dolayısıyla doğru cevap D650 şıkkıdır. Bu minimumu veren örnek değerler: a = 30, b = 36 Kontrol: EBOB ( 30, 36 ) = 6 EKOK ( 30, 36 ) = 180

Verilenler:

EBOB(a,b)=6EKOK(a,b)=180

Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntı kullanılır:

ab=EBOB(a,b)·EKOK(a,b)

Buradan:

ab=6·180=1080

EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım:

a=6x,b=6y,EBOB(x,y)=1

Bu durumda EKOK sadeleşir:

EKOK(6x,6y)=6xy

Verilen EKOK ile eşitleyelim:

6xy=180⇒xy=30

Şimdi çarpımı verilen ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini seçeriz:

(x,y)∈{(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)}

Toplamları:

x+y∈{31,17,13,11}

En küçük toplam, son çiftten gelir.

İstenen toplam:

a+b=6(x+y)a+b=6·11=66

Dolayısıyla doğru cevap D2740 şıkkıdır.

Bu minimumu veren örnek değerler:

a=30,b=36

Kontrol:

EBOB(30,36)=6EKOK(30,36)=180
Önceki testSonraki test