9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: B

İki eş olası sonuç vardır: yazı ve tura. Yazı için olasılık $1/2$’dir.

1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Doğru cevap: A

Başlangıçta paylar belirtilen orana göre olsun. Oran katsayısını k alalım: A = 2 k, B = 3 k, C = 7 k T = A + B + C = 2 k + 3 k + 7 k = 12 k A, payının bir kısmını B'ye versin; bu miktarı x diyelim. O zaman yeni paylar: A ' = 2 k − x, B ' = 3 k + x, C ' = 7 k Yeni oran verildiğine göre ( A': B': C' oranı), bir t katsayısı vardır: A ' = t, B ' = 2 t, C ' = 7 t Burada kritik nokta: A sadece B'ye para verdiği için C'nin payı değişmez. Yani: C ' = 7 k = 7 t Buradan: t = k O zaman yeni paylar zorunlu olarak: A ' = k, B ' = 2 k Şimdi A' üzerinden x 'i bulalım: 2 k − x = k ⇒ x = k Bu x değerini B' denklemine koyarsak: B ' = 3 k + x = 3 k + k = 4 k Ama orana göre B' aynı zamanda 2k olmalıydı. Dolayısıyla çelişki oluşur: 4 k ≠ 2 k Sonuç: Verilen koşullarla (A sadece B'ye para veriyor ve yeni oran 1: 2: 7 oluyor) problem tutarsızdır; bu durumda şıkkıA846 (ve diğer şıklar) doğru cevap olarak doğrulanamaz. Not: Eğer ikinci oran bir yazım hatasıyla farklı verilmiş olsaydı (örneğin B'nin artması gerekeceği için), o zaman seçeneklerden biri çıkabilirdi; ancak mevcut oranla işlem mümkün değildir.

1. Çözüm: Başlangıçta paylar belirtilen orana göre olsun. Oran katsayısını k alalım: A = 2 k, B = 3 k, C = 7 k T = A + B + C = 2 k + 3 k + 7 k = 12 k A, payının bir kısmını B'ye versin; bu miktarı x diyelim. O zaman yeni paylar: A ' = 2 k − x, B ' = 3 k + x, C ' = 7 k Yeni oran verildiğine göre ( A': B': C' oranı), bir t katsayısı vardır: A ' = t, B ' = 2 t, C ' = 7 t Burada kritik nokta: A sadece B'ye para verdiği için C'nin payı değişmez. Yani: C ' = 7 k = 7 t Buradan: t = k O zaman yeni paylar zorunlu olarak: A ' = k, B ' = 2 k Şimdi A' üzerinden x 'i bulalım: 2 k − x = k ⇒ x = k Bu x değerini B' denklemine koyarsak: B ' = 3 k + x = 3 k + k = 4 k Ama orana göre B' aynı zamanda 2k olmalıydı. Dolayısıyla çelişki oluşur: 4 k ≠ 2 k Sonuç: Verilen koşullarla (A sadece B'ye para veriyor ve yeni oran 1: 2: 7 oluyor) problem tutarsızdır; bu durumda şıkkıA846 (ve diğer şıklar) doğru cevap olarak doğrulanamaz. Not: Eğer ikinci oran bir yazım hatasıyla farklı verilmiş olsaydı (örneğin B'nin artması gerekeceği için), o zaman seçeneklerden biri çıkabilirdi; ancak mevcut oranla işlem mümkün değildir.

Doğru cevap: A

Yüzler için 4, onlar için 3, birler için 2 seçenek vardır; $24$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: ( x - 1 2 ) 3 4 - ( x + 1 3 ) 2 5 = 1 Kesre bölmeyi, çarpmaya çeviriyoruz: 4 3 ( x - 1 2 ) - 5 2 ( x + 1 3 ) = 1 dağıtma işlemini yapalım: 4 3 x - 4 3 ⋅ 1 2 - 5 2 x - 5 2 ⋅ 1 3 = 1 Çarpımları sadeleştirelim: 4 3 x - 2 3 - 5 2 x - 5 6 = 1 Benzer terimleri toplayalım: ( 4 3 - 5 2 ) x - 2 3 - 5 6 = 1 Ortak paydada birleştirelim: 8 - 15 6 x - 4 + 5 6 = 1 Buradan: - 7 6 x - 9 6 = 1 Sabit terimi düzenleyelim: - 7 6 x - 3 2 = 1 Her iki tarafa ekleyelim: - 7 6 x = 1 + 3 2 Sağ tarafı toplayalım: - 7 6 x = 5 2 ile çarpalım: x = 5 2 ⋅ - 6 7 Sonuç: x = - 15 7 Bu değer şıklarda A seçeneğidir. Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Verilen denklem: ( x - 1 2 ) 3 4 - ( x + 1 3 ) 2 5 = 1 Kesre bölmeyi, çarpmaya çeviriyoruz: 4 3 ( x - 1 2 ) - 5 2 ( x + 1 3 ) = 1 dağıtma işlemini yapalım: 4 3 x - 4 3 ⋅ 1 2 - 5 2 x - 5 2 ⋅ 1 3 = 1 Çarpımları sadeleştirelim: 4 3 x - 2 3 - 5 2 x - 5 6 = 1 Benzer terimleri toplayalım: ( 4 3 - 5 2 ) x - 2 3 - 5 6 = 1 Ortak paydada birleştirelim: 8 - 15 6 x - 4 + 5 6 = 1 Buradan: - 7 6 x - 9 6 = 1 Sabit terimi düzenleyelim: - 7 6 x - 3 2 = 1 Her iki tarafa ekleyelim: - 7 6 x = 1 + 3 2 Sağ tarafı toplayalım: - 7 6 x = 5 2 ile çarpalım: x = 5 2 ⋅ - 6 7 Sonuç: x = - 15 7 Bu değer şıklarda A seçeneğidir. Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: C

Sayılar, 1 ile 100 (dahil) yazılırken, rakam 9 kaç kez kullanılmış onu sayacağız. Önce 1 – 99 aralığını inceleyelim. Çünkü 100 sayısında 9 rakamı yoktur. Birler basamağında 9 olan sayılar şunlardır: 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 Burada toplam 10 tane sayı vardır; dolayısıyla birler basamağında 9 rakamı 10 kez yazılır. Onlar basamağında 9 olan sayılar 90 – 99 aralığındaki sayılardır. Bu aralıkta 10 tane sayı bulunduğu için, onlar basamağında 9 rakamı da 10 kez yazılır. Toplam yazılma sayısı: 10 + 10 = 20 Sonuç olarak rakam 9 toplam 20 kez yazılır; bu da şıkkıC567dır.

1. Çözüm: Sayılar, 1 ile 100 (dahil) yazılırken, rakam 9 kaç kez kullanılmış onu sayacağız. Önce 1 – 99 aralığını inceleyelim. Çünkü 100 sayısında 9 rakamı yoktur. Birler basamağında 9 olan sayılar şunlardır: 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 Burada toplam 10 tane sayı vardır; dolayısıyla birler basamağında 9 rakamı 10 kez yazılır. Onlar basamağında 9 olan sayılar 90 – 99 aralığındaki sayılardır. Bu aralıkta 10 tane sayı bulunduğu için, onlar basamağında 9 rakamı da 10 kez yazılır. Toplam yazılma sayısı: 10 + 10 = 20 Sonuç olarak rakam 9 toplam 20 kez yazılır; bu da şıkkıC567dır.

Doğru cevap: D

Verilen koşullar: n ≡ 3 ( mod 5 ) n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlk koşula göre sayı şu biçimde yazılabilir: n = 5 k + 3 İkinci koşulu kullanarak uygun k değerini bulalım: 5 k + 3 ≡ 4 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) Burada 5 ’in 7 ’ye göre tersi gerekir. Çünkü: 5 ⋅ 3 = 15 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla her iki tarafı 3 ile çarparsak: k ≡ 3 ( mod 7 ) Buna göre: k = 7 t + 3 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 5 ( 7 t + 3 ) + 3 n = 35 t + 18 Üçüncü koşulu kullanalım: 35 t + 18 ≡ 5 ( mod 9 ) Burada: 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 18 ≡ 0 ( mod 9 ) Dolayısıyla: 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi 8 ’in 9 ’a göre tersini bulalım. Çünkü: 8 ⋅ 8 = 64 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 8 ile çarparsak: t ≡ 5 ⋅ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) O hâlde: t = 9 s + 4 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 35 ( 9 s + 4 ) + 18 n = 315 s + 158 En küçük pozitif değer için: s = 0 Buradan en küçük değer: n = 158 Sonuç: Doğru cevap D874 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşullar: n ≡ 3 ( mod 5 ) n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlk koşula göre sayı şu biçimde yazılabilir: n = 5 k + 3 İkinci koşulu kullanarak uygun k değerini bulalım: 5 k + 3 ≡ 4 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) Burada 5 ’in 7 ’ye göre tersi gerekir. Çünkü: 5 ⋅ 3 = 15 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla her iki tarafı 3 ile çarparsak: k ≡ 3 ( mod 7 ) Buna göre: k = 7 t + 3 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 5 ( 7 t + 3 ) + 3 n = 35 t + 18 Üçüncü koşulu kullanalım: 35 t + 18 ≡ 5 ( mod 9 ) Burada: 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 18 ≡ 0 ( mod 9 ) Dolayısıyla: 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi 8 ’in 9 ’a göre tersini bulalım. Çünkü: 8 ⋅ 8 = 64 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 8 ile çarparsak: t ≡ 5 ⋅ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) O hâlde: t = 9 s + 4 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 35 ( 9 s + 4 ) + 18 n = 315 s + 158 En küçük pozitif değer için: s = 0 Buradan en küçük değer: n = 158 Sonuç: Doğru cevap D874 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Doğru cevabın kontrolü: Her gerçek sayı için daima doğru olan ifade aranıyor. Seçenek A, mutlak değerin temel özelliğini söyler: Mutlak değer her zaman negatif olmayan (sıfır ya da pozitif) bir sayıdır. x ≥ 0 Bunu tanımdan adım adım gösterelim. Mutlak değer tanımı: x = x x ≥ 0 - x x < 0 Durum 1: Sayı sıfır ya da pozitif ise mutlak değer kendisine eşittir; dolayısıyla negatif olamaz. x ≥ 0 ⇒ x = x ≥ 0 Durum 2: Sayı negatif ise mutlak değer, sayının ters işaretlisidir; negatif bir sayının ters işaretlisi pozitif olur. x < 0 ⇒ x = - x > 0 Her iki durumda da sonuç aynı: mutlak değer her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu yüzden seçeneğiC674 her gerçek sayı için doğrudur. 2) Diğer şıkları kısa kontrol (neden “her zaman” doğru değiller?): B şıkkı: Negatif sayılarda mutlak değer, sayının kendisine eşit olmaz. Örnek: - 1 = 1 ≠ - 1 C şıkkı: Her sayıda doğru değildir. Örnek: 2 2 < 2 D şıkkı: Sadece belirli sayılarda olur, her sayıda değil. Denklemin çözümleri: x 2 = x ⇔ x ( x - 1 ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 Sonuç: Doğru cevap C1082 ’dır.

1. Çözüm: 1) Doğru cevabın kontrolü: Her gerçek sayı için daima doğru olan ifade aranıyor. Seçenek A, mutlak değerin temel özelliğini söyler: Mutlak değer her zaman negatif olmayan (sıfır ya da pozitif) bir sayıdır. x ≥ 0 Bunu tanımdan adım adım gösterelim. Mutlak değer tanımı: x = x x ≥ 0 - x x < 0 Durum 1: Sayı sıfır ya da pozitif ise mutlak değer kendisine eşittir; dolayısıyla negatif olamaz. x ≥ 0 ⇒ x = x ≥ 0 Durum 2: Sayı negatif ise mutlak değer, sayının ters işaretlisidir; negatif bir sayının ters işaretlisi pozitif olur. x < 0 ⇒ x = - x > 0 Her iki durumda da sonuç aynı: mutlak değer her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu yüzden seçeneğiC674 her gerçek sayı için doğrudur. 2) Diğer şıkları kısa kontrol (neden “her zaman” doğru değiller?): B şıkkı: Negatif sayılarda mutlak değer, sayının kendisine eşit olmaz. Örnek: - 1 = 1 ≠ - 1 C şıkkı: Her sayıda doğru değildir. Örnek: 2 2 < 2 D şıkkı: Sadece belirli sayılarda olur, her sayıda değil. Denklemin çözümleri: x 2 = x ⇔ x ( x - 1 ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 Sonuç: Doğru cevap C1082 ’dır.

Doğru cevap: D

Verilen eşitlik: 2 x - 1 ⋅ 8 2 - x = 4 x Tüm ifadeleri tabanı 2 olacak şekilde yazalım: 8 = 2 3 4 = 2 2 Yerine yazıp üs kurallarını uygulayalım: 2 x - 1 ⋅ 2 3 2 - x = 2 2 x Kural: a b c = a b ⋅ c Bu kuralı uygulayalım: 2 x - 1 ⋅ 2 3 ⋅ 2 - x = 2 2 ⋅ x Şimdi aynı tabanlı kuvvetleri birleştirelim: 2 x - 1 + 3 ⋅ 2 - x = 2 2 x Sol taraftaki üssü sadeleştirelim: x - 1 + 3 ⋅ 2 - x = x - 1 + 6 - 3 x x - 1 + 6 - 3 x = 5 - 2 x Dolayısıyla denklem: 2 5 - 2 x = 2 2 x Tabanlar eşit ve pozitif olduğu için üsler eşit olmalı: 5 - 2 x = 2 x Çözelim: 5 = 4 x x = 5 4 Bulunan değer şıkkıD625dır.

1. Çözüm: Verilen eşitlik: 2 x - 1 ⋅ 8 2 - x = 4 x Tüm ifadeleri tabanı 2 olacak şekilde yazalım: 8 = 2 3 4 = 2 2 Yerine yazıp üs kurallarını uygulayalım: 2 x - 1 ⋅ 2 3 2 - x = 2 2 x Kural: a b c = a b ⋅ c Bu kuralı uygulayalım: 2 x - 1 ⋅ 2 3 ⋅ 2 - x = 2 2 ⋅ x Şimdi aynı tabanlı kuvvetleri birleştirelim: 2 x - 1 + 3 ⋅ 2 - x = 2 2 x Sol taraftaki üssü sadeleştirelim: x - 1 + 3 ⋅ 2 - x = x - 1 + 6 - 3 x x - 1 + 6 - 3 x = 5 - 2 x Dolayısıyla denklem: 2 5 - 2 x = 2 2 x Tabanlar eşit ve pozitif olduğu için üsler eşit olmalı: 5 - 2 x = 2 x Çözelim: 5 = 4 x x = 5 4 Bulunan değer şıkkıD625dır.

Doğru cevap: C

Verilenlere göre Ayşe'nin şimdiki yaşını bir değişkenle gösterelim. Ayşe'nin yaşı: x Babası Ayşe'den on sekiz yaş büyük olduğuna göre babanın yaşı: x + 18 Altı yıl sonraki yaşları yazalım. Ayşe'nin altı yıl sonraki yaşı: x + 6 Babanın altı yıl sonraki yaşı: x + 18 + 6 Koşul: Ayşe'nin altı yıl sonraki yaşı, babasının altı yıl sonraki yaşının yarısıdır. x + 6 = x + 18 + 6 2 Paydaki toplamı sadeleştirelim. x + 6 = x + 24 2 Her iki tarafı iki ile çarpalım. 2 ( x + 6 ) = x + 24 dağıtalım. 2 x + 12 = x + 24 Her iki taraftan x çıkaralım. x + 12 = 24 Her iki taraftan on iki çıkaralım. x = 12 Ayşe'nin şimdiki yaşı on ikidir. Bu nedenle doğru seçenek C seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilenlere göre Ayşe'nin şimdiki yaşını bir değişkenle gösterelim. Ayşe'nin yaşı: x Babası Ayşe'den on sekiz yaş büyük olduğuna göre babanın yaşı: x + 18 Altı yıl sonraki yaşları yazalım. Ayşe'nin altı yıl sonraki yaşı: x + 6 Babanın altı yıl sonraki yaşı: x + 18 + 6 Koşul: Ayşe'nin altı yıl sonraki yaşı, babasının altı yıl sonraki yaşının yarısıdır. x + 6 = x + 18 + 6 2 Paydaki toplamı sadeleştirelim. x + 6 = x + 24 2 Her iki tarafı iki ile çarpalım. 2 ( x + 6 ) = x + 24 dağıtalım. 2 x + 12 = x + 24 Her iki taraftan x çıkaralım. x + 12 = 24 Her iki taraftan on iki çıkaralım. x = 12 Ayşe'nin şimdiki yaşı on ikidir. Bu nedenle doğru seçenek C seçeneğidir.