9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

İki basamaklı sayı: x = 10 a + b Yan yana iki kez yazılınca oluşan dört basamaklı sayı: N = 101 × ( 10 a + b ) = 101 × x Verilen koşul: 18 ∣ N Bunun için sayı hem 2 hem de 9 ile bölünebilmelidir. 1) 2 ile bölünebilme: 2 ∣ N = 101 × x Çünkü 101 ≡ 1 ( mod 2 ) bu çarpımın 2 ile bölünebilmesi için x çift olmalıdır. 2 ∣ x 2) 9 ile bölünebilme: 9 ∣ N = 101 × x Önce 101 ≡ 2 ( mod 9 ) Dolayısıyla N ≡ 2 x ( mod 9 ) Şart 9 ∣ N olduğundan 2 x ≡ 0 ( mod 9 ) ve gcd ( 2, 9 ) = 1 olduğu için buradan x ≡ 0 ( mod 9 ) yani 9 ∣ x Özetle: 2 ∣ x ve 9 ∣ x Bu da 18 ∣ x demektir. Yani aranan iki basamaklı sayılar, iki basamaklı 18 katlarıdır. İki basamaklı 18 katları: { 18, 36, 54, 72, 90 } Adet: 5 Sonuç: Doğru cevap seçeneği C ’dir.

1. Çözüm: İki basamaklı sayı: x = 10 a + b Yan yana iki kez yazılınca oluşan dört basamaklı sayı: N = 101 × ( 10 a + b ) = 101 × x Verilen koşul: 18 ∣ N Bunun için sayı hem 2 hem de 9 ile bölünebilmelidir. 1) 2 ile bölünebilme: 2 ∣ N = 101 × x Çünkü 101 ≡ 1 ( mod 2 ) bu çarpımın 2 ile bölünebilmesi için x çift olmalıdır. 2 ∣ x 2) 9 ile bölünebilme: 9 ∣ N = 101 × x Önce 101 ≡ 2 ( mod 9 ) Dolayısıyla N ≡ 2 x ( mod 9 ) Şart 9 ∣ N olduğundan 2 x ≡ 0 ( mod 9 ) ve gcd ( 2, 9 ) = 1 olduğu için buradan x ≡ 0 ( mod 9 ) yani 9 ∣ x Özetle: 2 ∣ x ve 9 ∣ x Bu da 18 ∣ x demektir. Yani aranan iki basamaklı sayılar, iki basamaklı 18 katlarıdır. İki basamaklı 18 katları: { 18, 36, 54, 72, 90 } Adet: 5 Sonuç: Doğru cevap seçeneği C ’dir.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( m, n ) = 18 EKOK ( m, n ) = 1260 Çarpım bağıntısını kullanalım: m · n = EBOB ( m, n ) · EKOK ( m, n ) m · n = 18 · 1260 Ortak böleni ayıralım: m = 18 a, n = 18 b, EBOB ( a, b ) = 1 Bu durumda ekok: EKOK ( m, n ) = 18 a b 18 a b = 1260 a b = 70 İstenen ifadeyi dönüştürelim: EBOB ( m + n, m - n ) = EBOB ( 18 ( a + b ), 18 ( a - b ) ) EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · EBOB ( a + b, a - b ) Şimdi şu özelliği kullanalım: EBOB ( a + b, a - b ) | ( ( a + b ) + ( a - b ) ) ( a + b ) + ( a - b ) = 2 a EBOB ( a + b, a - b ) | 2 a Benzer şekilde: ( a + b ) - ( a - b ) = 2 b EBOB ( a + b, a - b ) | 2 b Dolayısıyla bu bölen, hem aşağıdakini böler: EBOB ( a + b, a - b ) | EBOB ( 2 a, 2 b ) EBOB ( 2 a, 2 b ) = 2 EBOB ( a, b ) = 2 Yani: EBOB ( a + b, a - b ) ∈ { 1, 2 } Şimdi pariteyi belirleyelim. Aşağıdaki iki bilgi var: a b = 70 EBOB ( a, b ) = 1 Çarpım çift olduğundan en az birisi çifttir; ancak aralarında ortak bölen olmadığından ikisi birden çift olamaz. Bu yüzden biri çift, diğeri tektir ve toplam tektir: a + b ≡ 1 ( mod 2 ) Toplam tek olduğuna göre bu toplamı bölen bir sayı (yukarıda bulunduğu gibi) yalnızca 2 olamaz; dolayısıyla: EBOB ( a + b, a - b ) = 1 Sonuç: EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · 1 = 18 Doğru seçenek: 18

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( m, n ) = 18 EKOK ( m, n ) = 1260 Çarpım bağıntısını kullanalım: m · n = EBOB ( m, n ) · EKOK ( m, n ) m · n = 18 · 1260 Ortak böleni ayıralım: m = 18 a, n = 18 b, EBOB ( a, b ) = 1 Bu durumda ekok: EKOK ( m, n ) = 18 a b 18 a b = 1260 a b = 70 İstenen ifadeyi dönüştürelim: EBOB ( m + n, m - n ) = EBOB ( 18 ( a + b ), 18 ( a - b ) ) EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · EBOB ( a + b, a - b ) Şimdi şu özelliği kullanalım: EBOB ( a + b, a - b ) | ( ( a + b ) + ( a - b ) ) ( a + b ) + ( a - b ) = 2 a EBOB ( a + b, a - b ) | 2 a Benzer şekilde: ( a + b ) - ( a - b ) = 2 b EBOB ( a + b, a - b ) | 2 b Dolayısıyla bu bölen, hem aşağıdakini böler: EBOB ( a + b, a - b ) | EBOB ( 2 a, 2 b ) EBOB ( 2 a, 2 b ) = 2 EBOB ( a, b ) = 2 Yani: EBOB ( a + b, a - b ) ∈ { 1, 2 } Şimdi pariteyi belirleyelim. Aşağıdaki iki bilgi var: a b = 70 EBOB ( a, b ) = 1 Çarpım çift olduğundan en az birisi çifttir; ancak aralarında ortak bölen olmadığından ikisi birden çift olamaz. Bu yüzden biri çift, diğeri tektir ve toplam tektir: a + b ≡ 1 ( mod 2 ) Toplam tek olduğuna göre bu toplamı bölen bir sayı (yukarıda bulunduğu gibi) yalnızca 2 olamaz; dolayısıyla: EBOB ( a + b, a - b ) = 1 Sonuç: EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · 1 = 18 Doğru seçenek: 18

Doğru cevap: D

1) Cevap kontrolü: A’nın B’yi ilk yakalama zamanı 2820 saniye bulunur. Yani doğru şık B ’dir. 2) Verileri saniyeye çevirme Pist uzunluğu: L = 2000 m Hızlar: v B = 9 m/s, v A = 10 m/s B, A’dan 3 dakika önce başlıyor }\Rightarrow 3 ⋅ 60 = 180 s A, 15 dakika sonra duruyor }\Rightarrow 15 ⋅ 60 = 900 s Durma süresi: 2 dakika }\Rightarrow 2 ⋅ 60 = 120 s 3) A başladığında B’nin önde olduğu mesafe A’nın başladığı anda B’nin aldığı yol: s 0 = v B ⋅ 180 = 9 ⋅ 180 = 1620 m Demek ki A başladığında B, pist üzerinde A’nın önünde 1620 m ileridedir. 4) İlk bölüm (A hareket ediyor): 0–900 saniye A’nın başlangıç noktasını referans alıp, pist üzerindeki konumu “alınan yolun 2000’e göre kalanı ” şeklinde düşünelim. Yakalama için aynı anda aynı konumda olmaları gerekir. A’nın aldığı yol: S A ( t ) = 10 t B’nin aldığı yol (A başladığından itibaren): S B ( t ) = 1620 + 9 t Yakalama koşulu: S A ( t ) ≡ S B ( t ) (mod 2000 ) 10 t ≡ 1620 + 9 t (mod 2000 ) t ≡ 1620 (mod 2000 ) Bu durumda ilk uygun zaman 1620 s olur; fakat A, 900 s sonra durduğu için bu aralıkta yakalama gerçekleşmez. 5) İkinci bölüm (A duruyor): 900–1020 saniye A’nın aldığı yol (t = 900’de): S A ( 900 ) = 10 ⋅ 900 = 9000 B’nin aldığı yol (t = 900’de): S B ( 900 ) = 1620 + 9 ⋅ 900 = 9720 A bu aralıkta sabit kalır, B ilerlemeye devam eder; dolayısıyla bu aralıkta yakalama olamaz. 6) Üçüncü bölüm (A yeniden hareket ediyor): t ≥ 1020 saniye A, t = 1020 anında tekrar hareket eder. Bu andan sonra A’nın toplam aldığı yolu parça parça yazarız: S A ( t ) = 9000 + 10 ( t - 1020 ) S A ( t ) = 10 t - 1200 B’nin ifadesi aynı şekilde devam eder: S B ( t ) = 1620 + 9 t Yakalama koşulu: 10 t - 1200 ≡ 1620 + 9 t (mod 2000 ) t - 2820 ≡ 0 (mod 2000 ) t ≡ 2820 (mod 2000 ) Bu koşulu sağlayan ve t ≥ 1020 olan en küçük pozitif değer: t = 2820 s Sonuç: A, başladıktan 2820 saniye sonra B’yi ilk kez yakalar. Doğru cevap: D1946.

1. Çözüm: 1) Cevap kontrolü: A’nın B’yi ilk yakalama zamanı 2820 saniye bulunur. Yani doğru şık B ’dir. 2) Verileri saniyeye çevirme Pist uzunluğu: L = 2000 m Hızlar: v B = 9 m/s, v A = 10 m/s B, A’dan 3 dakika önce başlıyor }\Rightarrow 3 ⋅ 60 = 180 s A, 15 dakika sonra duruyor }\Rightarrow 15 ⋅ 60 = 900 s Durma süresi: 2 dakika }\Rightarrow 2 ⋅ 60 = 120 s 3) A başladığında B’nin önde olduğu mesafe A’nın başladığı anda B’nin aldığı yol: s 0 = v B ⋅ 180 = 9 ⋅ 180 = 1620 m Demek ki A başladığında B, pist üzerinde A’nın önünde 1620 m ileridedir. 4) İlk bölüm (A hareket ediyor): 0–900 saniye A’nın başlangıç noktasını referans alıp, pist üzerindeki konumu “alınan yolun 2000’e göre kalanı ” şeklinde düşünelim. Yakalama için aynı anda aynı konumda olmaları gerekir. A’nın aldığı yol: S A ( t ) = 10 t B’nin aldığı yol (A başladığından itibaren): S B ( t ) = 1620 + 9 t Yakalama koşulu: S A ( t ) ≡ S B ( t ) (mod 2000 ) 10 t ≡ 1620 + 9 t (mod 2000 ) t ≡ 1620 (mod 2000 ) Bu durumda ilk uygun zaman 1620 s olur; fakat A, 900 s sonra durduğu için bu aralıkta yakalama gerçekleşmez. 5) İkinci bölüm (A duruyor): 900–1020 saniye A’nın aldığı yol (t = 900’de): S A ( 900 ) = 10 ⋅ 900 = 9000 B’nin aldığı yol (t = 900’de): S B ( 900 ) = 1620 + 9 ⋅ 900 = 9720 A bu aralıkta sabit kalır, B ilerlemeye devam eder; dolayısıyla bu aralıkta yakalama olamaz. 6) Üçüncü bölüm (A yeniden hareket ediyor): t ≥ 1020 saniye A, t = 1020 anında tekrar hareket eder. Bu andan sonra A’nın toplam aldığı yolu parça parça yazarız: S A ( t ) = 9000 + 10 ( t - 1020 ) S A ( t ) = 10 t - 1200 B’nin ifadesi aynı şekilde devam eder: S B ( t ) = 1620 + 9 t Yakalama koşulu: 10 t - 1200 ≡ 1620 + 9 t (mod 2000 ) t - 2820 ≡ 0 (mod 2000 ) t ≡ 2820 (mod 2000 ) Bu koşulu sağlayan ve t ≥ 1020 olan en küçük pozitif değer: t = 2820 s Sonuç: A, başladıktan 2820 saniye sonra B’yi ilk kez yakalar. Doğru cevap: D1946.

Doğru cevap: B

A işçisinin günlük iş yapma hızı: 1 12 B işçisinin günlük iş yapma hızı: 1 18 Birlikte çalıştıklarındaki günlük toplam hız: 1 12 + 1 18 = 3 36 + 2 36 = 5 36 Birlikte 4 gün çalışınca yapılan iş miktarı: 4 · 5 36 = 20 36 = 5 9 Kalan iş miktarı: 1 - 5 9 = 4 9 B ayrıldıktan sonra kalan işi A tek başına bitirir. A’nın hızı 1 12 olduğuna göre gereken süre: 4 9 1 12 = 4 9 · 12 = 48 9 = 16 3 Toplam süre: 4 + 16 3 = 12 3 + 16 3 = 28 3 Sonuç: İşin tamamı 28 3 günde biter. Bu da B şıkkıdır; yani verilen doğru cevap B ile uyumludur.

1. Çözüm: A işçisinin günlük iş yapma hızı: 1 12 B işçisinin günlük iş yapma hızı: 1 18 Birlikte çalıştıklarındaki günlük toplam hız: 1 12 + 1 18 = 3 36 + 2 36 = 5 36 Birlikte 4 gün çalışınca yapılan iş miktarı: 4 · 5 36 = 20 36 = 5 9 Kalan iş miktarı: 1 - 5 9 = 4 9 B ayrıldıktan sonra kalan işi A tek başına bitirir. A’nın hızı 1 12 olduğuna göre gereken süre: 4 9 1 12 = 4 9 · 12 = 48 9 = 16 3 Toplam süre: 4 + 16 3 = 12 3 + 16 3 = 28 3 Sonuç: İşin tamamı 28 3 günde biter. Bu da B şıkkıdır; yani verilen doğru cevap B ile uyumludur.

Doğru cevap: C

Toplam, ortalama ile veri sayısının çarpımıdır: $12\cdot5=60$.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: D

Maliyet fiyatı: x Etiket fiyatı, maliyete göre yüzde altmış kâr olacak şekilde: Etiket = x × 1 + 60 100 = x × 160 100 Sırasıyla yüzde yirmi beş ve yüzde on indirim uygulanınca satış fiyatı: Satış = x × 160 100 × 75 100 × 90 100 Çarpımı sadeleştirelim: Satış = x × 160 100 × 75 100 × 90 100 = x × 108 100 = x × 27 25 Kâr = satış − maliyet olduğundan: Kâr = x × 27 25 - x = x × 27 25 - 1 = x × 2 25 Bu kârın sekiz lira olduğu verilmiş: x × 2 25 = 8 Buradan maliyet fiyatını bulalım: x = 8 × 25 2 = 100 Sonuç: Doğru cevap D582 şıkkıdır. x = 100

1. Çözüm: Maliyet fiyatı: x Etiket fiyatı, maliyete göre yüzde altmış kâr olacak şekilde: Etiket = x × 1 + 60 100 = x × 160 100 Sırasıyla yüzde yirmi beş ve yüzde on indirim uygulanınca satış fiyatı: Satış = x × 160 100 × 75 100 × 90 100 Çarpımı sadeleştirelim: Satış = x × 160 100 × 75 100 × 90 100 = x × 108 100 = x × 27 25 Kâr = satış − maliyet olduğundan: Kâr = x × 27 25 - x = x × 27 25 - 1 = x × 2 25 Bu kârın sekiz lira olduğu verilmiş: x × 2 25 = 8 Buradan maliyet fiyatını bulalım: x = 8 × 25 2 = 100 Sonuç: Doğru cevap D582 şıkkıdır. x = 100

Doğru cevap: D

Birinci kaptan alınan miktarı x, ikinci kaptan alınan miktarı y litre olsun. 0.30 x + 0.70 y = 0.50 ( x + y ) 0.30 x + 0.70 y = 0.50 x + 0.50 y 0.20 y = 0.20 x Buradan alınan miktarlar eşittir. x = y Karışımın başlangıçtaki toplam hacmi ve içindeki tuz miktarını yazalım. V = x + y = 2 x T = 0.50 V = 0.50 · 2 x = x Bu karışımdan hacmi on litre olan bir kısım boşaltılıyor. Karışım homojen olduğundan boşaltılan kısımdaki tuz oranı da aynıdır. T _ çıkan = 0.50 · 10 = 5 V _ kalan = 2 x - 10 T _ kalan = x - 5 Yerine hacmi on litre olan ve tuz oranı yüzde seksen olan çözelti ekleniyor. T _ eklenen = 0.80 · 10 = 8 V _ son = 2 x - 10 + 10 = 2 x T _ son = x - 5 + 8 = x + 3 Son durumda tuz oranı yüzde altmış olduğuna göre: x + 3 2 x = 0.60 x + 3 = 1.20 x 3 = 0.20 x x = 15 Başlangıçta birinci kaptaki yüzde otuz tuzlu çözeltiden kullanılan miktar x olduğundan sonuç 15 litredir. Bu da şıkkıD884 dır; yani verilen cevap doğrudur.

1. Çözüm: Birinci kaptan alınan miktarı x, ikinci kaptan alınan miktarı y litre olsun. 0.30 x + 0.70 y = 0.50 ( x + y ) 0.30 x + 0.70 y = 0.50 x + 0.50 y 0.20 y = 0.20 x Buradan alınan miktarlar eşittir. x = y Karışımın başlangıçtaki toplam hacmi ve içindeki tuz miktarını yazalım. V = x + y = 2 x T = 0.50 V = 0.50 · 2 x = x Bu karışımdan hacmi on litre olan bir kısım boşaltılıyor. Karışım homojen olduğundan boşaltılan kısımdaki tuz oranı da aynıdır. T _ çıkan = 0.50 · 10 = 5 V _ kalan = 2 x - 10 T _ kalan = x - 5 Yerine hacmi on litre olan ve tuz oranı yüzde seksen olan çözelti ekleniyor. T _ eklenen = 0.80 · 10 = 8 V _ son = 2 x - 10 + 10 = 2 x T _ son = x - 5 + 8 = x + 3 Son durumda tuz oranı yüzde altmış olduğuna göre: x + 3 2 x = 0.60 x + 3 = 1.20 x 3 = 0.20 x x = 15 Başlangıçta birinci kaptaki yüzde otuz tuzlu çözeltiden kullanılan miktar x olduğundan sonuç 15 litredir. Bu da şıkkıD884 dır; yani verilen cevap doğrudur.

Doğru cevap: C

Soruda verilen bilgiye göre (bu tip sorularda karışımın tamamının su olduğu kabulüyle) başlangıçtaki karışım hacmine x litre diyelim. x İçindeki su miktarının belirli bir kesri kadar su ekleniyor. Başlangıçta su miktarı da x olduğundan eklenen su miktarı: Eklenen su = 2 3 x Son durumda toplam hacim verilen değere eşit oluyor: x + 2 3 x = 55 12 Sol tarafı ortak çarpan parantezine alalım: ( 1 + 2 3 ) x = 55 12 Parantez içini toplayalım: 5 3 x = 55 12 Her iki tarafı da uygun şekilde çarpıp x ’i bulalım: x = 55 12 × 3 5 = 11 4 Başlangıçtaki karışımın hacmi: x = 11 4 Bu değer şıklarda C seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap C ’dir.

1. Çözüm: Soruda verilen bilgiye göre (bu tip sorularda karışımın tamamının su olduğu kabulüyle) başlangıçtaki karışım hacmine x litre diyelim. x İçindeki su miktarının belirli bir kesri kadar su ekleniyor. Başlangıçta su miktarı da x olduğundan eklenen su miktarı: Eklenen su = 2 3 x Son durumda toplam hacim verilen değere eşit oluyor: x + 2 3 x = 55 12 Sol tarafı ortak çarpan parantezine alalım: ( 1 + 2 3 ) x = 55 12 Parantez içini toplayalım: 5 3 x = 55 12 Her iki tarafı da uygun şekilde çarpıp x ’i bulalım: x = 55 12 × 3 5 = 11 4 Başlangıçtaki karışımın hacmi: x = 11 4 Bu değer şıklarda C seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap C ’dir.

Doğru cevap: C

İfade sadeleştirildiğinde sonuç şıkkıC32ndaki değere eşittir; yani doğru cevap C66 şıkkıdır. Verilen ifade: 72 - 32 2 Kök içlerini çarpanlarına ayıralım: 72 = 36 × 2 32 = 16 × 2 Tam kareleri kök dışına çıkaralım: 36 × 2 = 6 2 16 × 2 = 4 2 Bunları ifadede yerine yazalım: 6 2 - 4 2 2 Payda ortak kökü paranteze alarak sadeleştirelim: ( 6 - 4 ) 2 2 Son işlemler: ( 2 ) 2 2 = 2

1. Çözüm: İfade sadeleştirildiğinde sonuç şıkkıC32ndaki değere eşittir; yani doğru cevap C66 şıkkıdır. Verilen ifade: 72 - 32 2 Kök içlerini çarpanlarına ayıralım: 72 = 36 × 2 32 = 16 × 2 Tam kareleri kök dışına çıkaralım: 36 × 2 = 6 2 16 × 2 = 4 2 Bunları ifadede yerine yazalım: 6 2 - 4 2 2 Payda ortak kökü paranteze alarak sadeleştirelim: ( 6 - 4 ) 2 2 Son işlemler: ( 2 ) 2 2 = 2

Doğru cevap: B

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi