9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Koşulları matematiksel olarak yazalım: n ≡ 0  (mod  36 ) n + 5 ≡ 0  (mod  55 ) Birinci koşula göre n sayısını şöyle yazarız: n = 36 k Bu ifadeyi ikinci koşulda yerine koyalım: 36 k + 5 ≡ 0  (mod  55 ) Buradan 36 k ≡ − 5  (mod  55 ) Negatif kalanı pozitife çevirelim: 36 k ≡ 50  (mod  55 ) k 'yi bulmak için, 36 'nın 55 modundaki tersini bulalım (çünkü aralarında asal): gcd ( 36, 55 ) = 1 Genişletilmiş Öklid ile: 1 = 26 ⋅ 36 − 17 ⋅ 55 Bu da şu anlama gelir: 26 ⋅ 36 ≡ 1  (mod  55 ) Her iki tarafı 26 ile çarpalım: k ≡ 50 ⋅ 26  (mod  55 ) Çarpımı mod alalım: 50 ⋅ 26 = 1300 1300 ≡ 35  (mod  55 ) Dolayısıyla en küçük pozitif çözüm: k = 35 Şimdi n 'yi bulalım: n = 36 ⋅ 35 = 1260 Bulduğumuz değer seçeneklerde A şıkkıdır; yani doğru cevap A. n = 1260

1. Çözüm: Koşulları matematiksel olarak yazalım: n ≡ 0  (mod  36 ) n + 5 ≡ 0  (mod  55 ) Birinci koşula göre n sayısını şöyle yazarız: n = 36 k Bu ifadeyi ikinci koşulda yerine koyalım: 36 k + 5 ≡ 0  (mod  55 ) Buradan 36 k ≡ − 5  (mod  55 ) Negatif kalanı pozitife çevirelim: 36 k ≡ 50  (mod  55 ) k 'yi bulmak için, 36 'nın 55 modundaki tersini bulalım (çünkü aralarında asal): gcd ( 36, 55 ) = 1 Genişletilmiş Öklid ile: 1 = 26 ⋅ 36 − 17 ⋅ 55 Bu da şu anlama gelir: 26 ⋅ 36 ≡ 1  (mod  55 ) Her iki tarafı 26 ile çarpalım: k ≡ 50 ⋅ 26  (mod  55 ) Çarpımı mod alalım: 50 ⋅ 26 = 1300 1300 ≡ 35  (mod  55 ) Dolayısıyla en küçük pozitif çözüm: k = 35 Şimdi n 'yi bulalım: n = 36 ⋅ 35 = 1260 Bulduğumuz değer seçeneklerde A şıkkıdır; yani doğru cevap A. n = 1260

Doğru cevap: D

Verilen sayılar: 24, 36 Asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 × 3 36 = 2 2 × 3 2 EKOK için her asalın en büyük kuvvetini alırız: EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 × 3 2 Çarpımı hesaplayalım: 2 3 × 3 2 = 8 × 9 = 72 Bulduğumuz EKOK değeri: 72 Şıklarda bu değer seçeneğiD281nde verildiği için doğru cevap D310'dır.

1. Çözüm: Verilen sayılar: 24, 36 Asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 × 3 36 = 2 2 × 3 2 EKOK için her asalın en büyük kuvvetini alırız: EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 × 3 2 Çarpımı hesaplayalım: 2 3 × 3 2 = 8 × 9 = 72 Bulduğumuz EKOK değeri: 72 Şıklarda bu değer seçeneğiD281nde verildiği için doğru cevap D310'dır.

Doğru cevap: C

Verilenler: A: 12   gün B: 18   gün A ve B'nin bir günde yaptıkları iş (iş hızları): A ' nın   hızı = 1 12 B ' nin   hızı = 1 18 Birlikte çalışırlarsa toplam hız (hızlar toplanır): 1 12 + 1 18 = 3 36 + 2 36 = 5 36 İşin tamamı 1 iş olduğundan süre, toplam hızın tersidir: t = 1 5 36 = 36 5 Seçenek kontrolü: Bulunan süre seçeneklerdeki C şıkkıdır; yani doğru cevap C. t = 36 5

1. Çözüm: Verilenler: A: 12   gün B: 18   gün A ve B'nin bir günde yaptıkları iş (iş hızları): A ' nın   hızı = 1 12 B ' nin   hızı = 1 18 Birlikte çalışırlarsa toplam hız (hızlar toplanır): 1 12 + 1 18 = 3 36 + 2 36 = 5 36 İşin tamamı 1 iş olduğundan süre, toplam hızın tersidir: t = 1 5 36 = 36 5 Seçenek kontrolü: Bulunan süre seçeneklerdeki C şıkkıdır; yani doğru cevap C. t = 36 5

Doğru cevap: B

Açıklık büyüdükçe en büyük ve en küçük değer arasındaki fark artar.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: B

1) Verilenler: Satış fiyatı = 150 TL Kâr oranı = 25 % 2) Kâr, alış fiyatının (maliyetin) yüzdesidir. Bu nedenle satış fiyatı ile alış fiyatı ilişkisi: Satış = Alış · ( 1 + 25 100 ) 3) Parantezi sadeleştirelim: 1 + 25 100 = 125 100 = 5 4 4) Satış fiyatı yerine 150 yazalım: 150 = Alış · 5 4 5) Alış fiyatını bulmak için her iki tarafı ters çarpanla çarpalım: Alış = 150 · 4 5 6) Hesaplayalım: 150 · 4 5 = 30 · 4 = 120 Alış fiyatı = 120 TL 7) Şık kontrolü: Bulunan değer B şıkkıdır, yani B doğrudur.

1. Çözüm: 1) Verilenler: Satış fiyatı = 150 TL Kâr oranı = 25 % 2) Kâr, alış fiyatının (maliyetin) yüzdesidir. Bu nedenle satış fiyatı ile alış fiyatı ilişkisi: Satış = Alış · ( 1 + 25 100 ) 3) Parantezi sadeleştirelim: 1 + 25 100 = 125 100 = 5 4 4) Satış fiyatı yerine 150 yazalım: 150 = Alış · 5 4 5) Alış fiyatını bulmak için her iki tarafı ters çarpanla çarpalım: Alış = 150 · 4 5 6) Hesaplayalım: 150 · 4 5 = 30 · 4 = 120 Alış fiyatı = 120 TL 7) Şık kontrolü: Bulunan değer B şıkkıdır, yani B doğrudur.

Doğru cevap: C

1) Şık kontrolü Kuracağımız denklemden x = 10 L bulunur. Bu nedenle doğru cevap C68 şıkkıdır. 2) Başlangıçtaki tuz miktarı Kapta başlangıç hacmi ve tuz oranı: 50 L 12 100 Başlangıçtaki tuz miktarı: 50 × 12 100 = 6 3) Kaba ekleme Kaba x L hacminde, tuz oranı 30 100 olan çözelti eklenirse eklenen tuz miktarı: x × 30 100 Karışım homojenleştiğinde toplam hacim ve toplam tuz miktarı: Hacim = 50 + x Tuz = 6 + x × 30 100 4) Homojen karışımdan boşaltma Homojen karışımdan 20 L boşaltılınca kalan hacim: Kalan hacim = 50 + x - 20 = 30 + x Homojen karışımda tuz her yerde aynı oranda olduğundan, tuz da hacimle orantılı azalır. Kalan tuz: Kalan tuz = ( 6 + x × 30 100 ) × 30 + x 50 + x 5) Saf su eklenmesi ve son oran Sonra hacim 60 L olana kadar saf su ekleniyor. Saf su tuz miktarını değiştirmez, sadece hacmi artırır. Son karışımın tuz oranı 10 100 olduğuna göre son tuz miktarı: 60 × 10 100 = 6 Dolayısıyla (4. adımda bulduğumuz) kalan tuz miktarı 6 olmalıdır. 6) Denklem ve çözüm Denklemi kuruyoruz: ( 6 + x × 30 100 ) × 30 + x 50 + x = 6 Paydadaki kesri sadeleştirmek için 6 + x × 30 100 = 6 + 3 10 x Her iki tarafı 10 ile çarpıp kesirden kurtaralım: ( 60 + 3 x ) × 30 + x 50 + x = 60 Şimdi her iki tarafı 50 + x ile çarpalım: ( 60 + 3 x ) × ( 30 + x ) = 60 × ( 50 + x ) Açalım: 1800 + 150 x + 3 x 2 = 3000 + 60 x Tüm terimleri bir tarafa alalım: 3 x 2 + 90 x - 1200 = 0 Her tarafı 3 ile sadeleştirelim: x 2 + 30 x - 400 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( x + 40 ) ( x - 10 ) = 0 Buradan: x = -40  veya  x = 10 Hacim negatif olamayacağı için geçerli çözüm: x = 10 L Dolayısıyla doğru seçenek C1638 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü Kuracağımız denklemden x = 10 L bulunur. Bu nedenle doğru cevap C68 şıkkıdır. 2) Başlangıçtaki tuz miktarı Kapta başlangıç hacmi ve tuz oranı: 50 L 12 100 Başlangıçtaki tuz miktarı: 50 × 12 100 = 6 3) Kaba ekleme Kaba x L hacminde, tuz oranı 30 100 olan çözelti eklenirse eklenen tuz miktarı: x × 30 100 Karışım homojenleştiğinde toplam hacim ve toplam tuz miktarı: Hacim = 50 + x Tuz = 6 + x × 30 100 4) Homojen karışımdan boşaltma Homojen karışımdan 20 L boşaltılınca kalan hacim: Kalan hacim = 50 + x - 20 = 30 + x Homojen karışımda tuz her yerde aynı oranda olduğundan, tuz da hacimle orantılı azalır. Kalan tuz: Kalan tuz = ( 6 + x × 30 100 ) × 30 + x 50 + x 5) Saf su eklenmesi ve son oran Sonra hacim 60 L olana kadar saf su ekleniyor. Saf su tuz miktarını değiştirmez, sadece hacmi artırır. Son karışımın tuz oranı 10 100 olduğuna göre son tuz miktarı: 60 × 10 100 = 6 Dolayısıyla (4. adımda bulduğumuz) kalan tuz miktarı 6 olmalıdır. 6) Denklem ve çözüm Denklemi kuruyoruz: ( 6 + x × 30 100 ) × 30 + x 50 + x = 6 Paydadaki kesri sadeleştirmek için 6 + x × 30 100 = 6 + 3 10 x Her iki tarafı 10 ile çarpıp kesirden kurtaralım: ( 60 + 3 x ) × 30 + x 50 + x = 60 Şimdi her iki tarafı 50 + x ile çarpalım: ( 60 + 3 x ) × ( 30 + x ) = 60 × ( 50 + x ) Açalım: 1800 + 150 x + 3 x 2 = 3000 + 60 x Tüm terimleri bir tarafa alalım: 3 x 2 + 90 x - 1200 = 0 Her tarafı 3 ile sadeleştirelim: x 2 + 30 x - 400 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( x + 40 ) ( x - 10 ) = 0 Buradan: x = -40  veya  x = 10 Hacim negatif olamayacağı için geçerli çözüm: x = 10 L Dolayısıyla doğru seçenek C1638 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen ifadeyi tanıdık bir kare açılımı biçiminde yazmayı deneyelim. 5 − 2 ⋅ 6 İçerideki ifade, iki karekök farkının karesi şeklinde olabilir. Bu yüzden aşağıdaki biçimi varsayalım: 5 − 2 ⋅ 6 = a − b Her iki tarafın karesini alalım: ( a − b ) 2 = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b Bu sonucu verilen kökün içi ile karşılaştıralım. Katsayıları eşitleyince şu şartlar gelir: a + b = 5 a ⋅ b = 6 Şimdi toplamı ve çarpımı bilinen iki sayıyı bulalım. Bu sayılar aşağıdaki denklemin kökleridir: t 2 − 5 t + 6 = 0 Çarpanlara ayırırsak: ( t − 2 ) ( t − 3 ) = 0 Buradan sayılar: a = 3, b = 2 Dolayısıyla ifade şu hale gelir: 5 − 2 ⋅ 6 = 3 − 2 Sağ taraf pozitif olduğundan mutlak değer gerektirmez. Sonuç: Doğru seçenek B792’dır.

1. Çözüm: Verilen ifadeyi tanıdık bir kare açılımı biçiminde yazmayı deneyelim. 5 − 2 ⋅ 6 İçerideki ifade, iki karekök farkının karesi şeklinde olabilir. Bu yüzden aşağıdaki biçimi varsayalım: 5 − 2 ⋅ 6 = a − b Her iki tarafın karesini alalım: ( a − b ) 2 = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b Bu sonucu verilen kökün içi ile karşılaştıralım. Katsayıları eşitleyince şu şartlar gelir: a + b = 5 a ⋅ b = 6 Şimdi toplamı ve çarpımı bilinen iki sayıyı bulalım. Bu sayılar aşağıdaki denklemin kökleridir: t 2 − 5 t + 6 = 0 Çarpanlara ayırırsak: ( t − 2 ) ( t − 3 ) = 0 Buradan sayılar: a = 3, b = 2 Dolayısıyla ifade şu hale gelir: 5 − 2 ⋅ 6 = 3 − 2 Sağ taraf pozitif olduğundan mutlak değer gerektirmez. Sonuç: Doğru seçenek B792’dır.

Doğru cevap: C

Seçenek kontrolü: Üç farklı reel çözüm için doğru değer, C şıkkındaki değerdir. Verilen denklem: x - 1 - 2 = a İçteki mutlak değer için bir yardımcı değişken tanımlayalım: u = x - 1 Buradan her zaman u ≥ 0 olur ve denklem şu hale gelir: u - 2 = a Mutlak değer denklemini çözelim. Önce çözüm olabilmesi için: a ≥ 0 olmalıdır. Sonra: u - 2 = a veya u - 2 = - a Dolayısıyla iki olası değer elde edilir: u = 2 + a u = 2 - a Şimdi her bir u değeri için x - 1 = u çözülür: x = 1 ± u Buna göre: • u pozitifse iki farklı kök verir. • u sıfırsa tek kök verir. Kök sayısını inceleyelim. Birinci değer: u = 2 + a Burada 2 + a > 0 olduğundan her durumda iki kök üretir. İkinci değer: u = 2 - a Bunun çözüm üretebilmesi için 2 - a ≥ 0 yani a ≤ 2 gerekir. Tam olarak üç farklı reel kök olması için ikinci durumun tek kök vermesi gerekir; bu da u = 0 olduğu zamandır. Yani: 2 - a = 0 a = 2 Kontrol (kök sayısı): • a = 2 iken u = 2 + a = 4 iki kök, u = 2 - a = 0 tek kök verir; toplamda üç farklı reel kök olur. Sonuç: a = 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

1. Çözüm: Seçenek kontrolü: Üç farklı reel çözüm için doğru değer, C şıkkındaki değerdir. Verilen denklem: x - 1 - 2 = a İçteki mutlak değer için bir yardımcı değişken tanımlayalım: u = x - 1 Buradan her zaman u ≥ 0 olur ve denklem şu hale gelir: u - 2 = a Mutlak değer denklemini çözelim. Önce çözüm olabilmesi için: a ≥ 0 olmalıdır. Sonra: u - 2 = a veya u - 2 = - a Dolayısıyla iki olası değer elde edilir: u = 2 + a u = 2 - a Şimdi her bir u değeri için x - 1 = u çözülür: x = 1 ± u Buna göre: • u pozitifse iki farklı kök verir. • u sıfırsa tek kök verir. Kök sayısını inceleyelim. Birinci değer: u = 2 + a Burada 2 + a > 0 olduğundan her durumda iki kök üretir. İkinci değer: u = 2 - a Bunun çözüm üretebilmesi için 2 - a ≥ 0 yani a ≤ 2 gerekir. Tam olarak üç farklı reel kök olması için ikinci durumun tek kök vermesi gerekir; bu da u = 0 olduğu zamandır. Yani: 2 - a = 0 a = 2 Kontrol (kök sayısı): • a = 2 iken u = 2 + a = 4 iki kök, u = 2 - a = 0 tek kök verir; toplamda üç farklı reel kök olur. Sonuç: a = 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

Doğru cevap: A

Her çorba için 4 ana yemek seçeneği vardır; $3\cdot4=12$.

1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Doğru cevap: D

Doğru cevap: Kombinasyon ve permütasyonla hesaplanabilen olası düzen sayısıdır.

1. Çözüm: Doğru cevap: Kombinasyon ve permütasyonla hesaplanabilen olası düzen sayısıdır.