9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Cevap kontrolü: Verilen bilgilere göre doğru seçenek A39 çıkmaktadır. Günlük iş yapma hızlarını sırasıyla tanımlayalım: a, b, c Birlikte bitirme sürelerinden hız denklemlerini yazalım: a + b = 1 12 b + c = 1 6 a + c = 1 36 5 Son denklemi sadeleştirelim: 1 36 5 = 5 36 a + c = 5 36 Üç denklemi taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c ) = 1 12 + 1 6 + 5 36 Sol tarafı düzenleyelim: 2 ( a + b + c ) Sağ tarafı ortak paydada toplayalım: 1 12 = 3 36 1 6 = 6 36 3 36 + 6 36 + 5 36 = 14 36 = 7 18 Böylece üçlü toplam hız: 2 ( a + b + c ) = 7 18 a + b + c = 7 36 Üçü birlikte çalıştıkları süre: 3 Bu sürede yapılan iş miktarı: 3 × 7 36 = 21 36 = 7 12 Kalan iş: 1 - 7 12 = 5 12 A ayrıldıktan sonra işi B ve C bitiriyor. Bunların birlikte hızı: b + c = 1 6 Kalan işin bitme süresi: t = 5 12 1 6 t = 5 12 × 6 = 30 12 = 5 2 Sonuç: B ve C kalan işi 5 2 günde bitirir. Doğru seçenek A884.

1. Çözüm: Cevap kontrolü: Verilen bilgilere göre doğru seçenek A39 çıkmaktadır. Günlük iş yapma hızlarını sırasıyla tanımlayalım: a, b, c Birlikte bitirme sürelerinden hız denklemlerini yazalım: a + b = 1 12 b + c = 1 6 a + c = 1 36 5 Son denklemi sadeleştirelim: 1 36 5 = 5 36 a + c = 5 36 Üç denklemi taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c ) = 1 12 + 1 6 + 5 36 Sol tarafı düzenleyelim: 2 ( a + b + c ) Sağ tarafı ortak paydada toplayalım: 1 12 = 3 36 1 6 = 6 36 3 36 + 6 36 + 5 36 = 14 36 = 7 18 Böylece üçlü toplam hız: 2 ( a + b + c ) = 7 18 a + b + c = 7 36 Üçü birlikte çalıştıkları süre: 3 Bu sürede yapılan iş miktarı: 3 × 7 36 = 21 36 = 7 12 Kalan iş: 1 - 7 12 = 5 12 A ayrıldıktan sonra işi B ve C bitiriyor. Bunların birlikte hızı: b + c = 1 6 Kalan işin bitme süresi: t = 5 12 1 6 t = 5 12 × 6 = 30 12 = 5 2 Sonuç: B ve C kalan işi 5 2 günde bitirir. Doğru seçenek A884.

Doğru cevap: A

Ölçek $2$’şer olduğundan $5$ birim yükseklik $5\cdot2=10$ frekansına karşılık gelir.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: B

Alış fiyatını bir değişkenle gösterelim: a Alış fiyatına, alış fiyatının şu kadarı ek gider ekleniyor: 8 100 Buna göre ek gider dahil maliyet: a + 8 100 a = ( 1 + 8 100 ) a = 108 100 a Etiket fiyatı alış fiyatının şu katı: 4 3 Dolayısıyla etiket fiyatı: E = 4 3 a Etiket fiyatı üzerinden art arda iki kez aynı oranda indirim yapılsın. Her bir indirim oranına şu diyelim: x İki indirim sonrası satış fiyatı: S = E ⋅ ( 1 - x ) ⋅ ( 1 - x ) = E ⋅ ( 1 - x ) 2 Kâr-zarar yoksa satış fiyatı, ek gider dahil maliyete eşittir: S = 108 100 a Burada yerine yazalım: 4 3 a ⋅ ( 1 - x ) 2 = 108 100 a Her iki tarafta da ortak çarpan olan alış fiyatını sadeleştirelim: 4 3 ( 1 - x ) 2 = 108 100 Her iki tarafı da şu sayıyla çarpalım: 3 4 ( 1 - x ) 2 = 108 100 ⋅ 3 4 = 324 400 = 81 100 Kareköklü denklemi çözelim: ( 1 - x ) 2 = 81 100 Pozitif değer alınır: 1 - x = 9 10 Buradan indirim oranı: x = 1 - 9 10 = 1 10 = 10 100 Sonuç: Her bir indirim oranı şudur ve bu da şıkkıB985dır. 10 100

1. Çözüm: Alış fiyatını bir değişkenle gösterelim: a Alış fiyatına, alış fiyatının şu kadarı ek gider ekleniyor: 8 100 Buna göre ek gider dahil maliyet: a + 8 100 a = ( 1 + 8 100 ) a = 108 100 a Etiket fiyatı alış fiyatının şu katı: 4 3 Dolayısıyla etiket fiyatı: E = 4 3 a Etiket fiyatı üzerinden art arda iki kez aynı oranda indirim yapılsın. Her bir indirim oranına şu diyelim: x İki indirim sonrası satış fiyatı: S = E ⋅ ( 1 - x ) ⋅ ( 1 - x ) = E ⋅ ( 1 - x ) 2 Kâr-zarar yoksa satış fiyatı, ek gider dahil maliyete eşittir: S = 108 100 a Burada yerine yazalım: 4 3 a ⋅ ( 1 - x ) 2 = 108 100 a Her iki tarafta da ortak çarpan olan alış fiyatını sadeleştirelim: 4 3 ( 1 - x ) 2 = 108 100 Her iki tarafı da şu sayıyla çarpalım: 3 4 ( 1 - x ) 2 = 108 100 ⋅ 3 4 = 324 400 = 81 100 Kareköklü denklemi çözelim: ( 1 - x ) 2 = 81 100 Pozitif değer alınır: 1 - x = 9 10 Buradan indirim oranı: x = 1 - 9 10 = 1 10 = 10 100 Sonuç: Her bir indirim oranı şudur ve bu da şıkkıB985dır. 10 100

Doğru cevap: C

1) Doğru şık kontrolü (C mi?): x = 20 L Bulunan değer: x = 20 L Dolayısıyla doğru cevap C’dir. 2) Adım adım çözüm: Adım 1: Kabın hacmi ve başlangıçtaki tuz miktarı V = 40 L S = 40 × 20 100 S = 8 Adım 2: “Karışımdan x L al, yerine %80 ekle” işleminin tuz miktarına etkisi Karışımdan alınan kısım, o andaki derişime göre tuz götürür. Hacim sabit kaldığı için, kalan tuz miktarı çarpanla azalır ve eklenen çözeltiden tuz eklenir. S → S × ( 1 − x 40 ) + 80 100 x S → S × ( 1 − x 40 ) + 4 5 x Adım 3: İşlem iki kez uygulandığı için ardışık iki güncelleme yazalım S 0 = 8 S 1 = S 0 × ( 1 − x 40 ) + 4 5 x S 2 = S 1 × ( 1 − x 40 ) + 4 5 x Adım 4: Son derişim %65 olduğundan son tuz miktarını yazalım S 2 = 40 × 65 100 S 2 = 26 Adım 5: Hesabı sadeleştirmek için oran değişkeni tanımlayalım t = x 40 x = 40 t Adım 6: İki kez uygulamanın kapalı formunu yazıp denklemi kuralım S 2 = 8 ( 1 − t ) 2 + 4 5 ( 40 t ) ( 2 − t ) 8 ( 1 − t ) 2 + 32 t ( 2 − t ) = 26 Adım 7: Açıp düzenleyelim 8 ( 1 − 2 t + t 2 ) + 32 t ( 2 − t ) = 26 8 − 16 t + 8 t 2 + 64 t − 32 t 2 = 26 8 + 48 t − 24 t 2 = 26 24 t 2 − 48 t + 18 = 0 4 t 2 − 8 t + 3 = 0 Adım 8: Denklemi çözelim t = 8 ± 8 2 − 4 × 4 × 3 2 × 4 t = 8 ± 64 − 48 8 t = 8 ± 4 8 t = 12 8   ∨   t = 4 8 Adım 9: Fiziksel uygunluk (alınan miktar kap hacmini aşamaz) 0 ≤ t ≤ 1 t = 1 2 Adım 10: x değerini bulalım x = 40 t = 40 × 1 2 = 20 L Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü (C mi?): x = 20 L Bulunan değer: x = 20 L Dolayısıyla doğru cevap C’dir. 2) Adım adım çözüm: Adım 1: Kabın hacmi ve başlangıçtaki tuz miktarı V = 40 L S = 40 × 20 100 S = 8 Adım 2: “Karışımdan x L al, yerine %80 ekle” işleminin tuz miktarına etkisi Karışımdan alınan kısım, o andaki derişime göre tuz götürür. Hacim sabit kaldığı için, kalan tuz miktarı çarpanla azalır ve eklenen çözeltiden tuz eklenir. S → S × ( 1 − x 40 ) + 80 100 x S → S × ( 1 − x 40 ) + 4 5 x Adım 3: İşlem iki kez uygulandığı için ardışık iki güncelleme yazalım S 0 = 8 S 1 = S 0 × ( 1 − x 40 ) + 4 5 x S 2 = S 1 × ( 1 − x 40 ) + 4 5 x Adım 4: Son derişim %65 olduğundan son tuz miktarını yazalım S 2 = 40 × 65 100 S 2 = 26 Adım 5: Hesabı sadeleştirmek için oran değişkeni tanımlayalım t = x 40 x = 40 t Adım 6: İki kez uygulamanın kapalı formunu yazıp denklemi kuralım S 2 = 8 ( 1 − t ) 2 + 4 5 ( 40 t ) ( 2 − t ) 8 ( 1 − t ) 2 + 32 t ( 2 − t ) = 26 Adım 7: Açıp düzenleyelim 8 ( 1 − 2 t + t 2 ) + 32 t ( 2 − t ) = 26 8 − 16 t + 8 t 2 + 64 t − 32 t 2 = 26 8 + 48 t − 24 t 2 = 26 24 t 2 − 48 t + 18 = 0 4 t 2 − 8 t + 3 = 0 Adım 8: Denklemi çözelim t = 8 ± 8 2 − 4 × 4 × 3 2 × 4 t = 8 ± 64 − 48 8 t = 8 ± 4 8 t = 12 8   ∨   t = 4 8 Adım 9: Fiziksel uygunluk (alınan miktar kap hacmini aşamaz) 0 ≤ t ≤ 1 t = 1 2 Adım 10: x değerini bulalım x = 40 t = 40 × 1 2 = 20 L Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

Doğru cevap: A

Tümleyen olasılık $1-3/8=5/8$’dir.

1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Doğru cevap: A

Sırasız seçim olduğu için $C(5,3)=10$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü: Elde edilebilecek farklı sayıların sayısı şıkkıA65ndaki değerdir. 2) İşlemi tanıyalım: Tahtadaki sayı her adımda aşağıdaki iki dönüşümden biriyle değişiyor. x → 2 x x → 2 x + 1 3) İlk birkaç adımı yazalım (başlangıç). S _ 0 = { 1 } 4) 1. adım sonunda: S _ 1 = { 2, 3 } 5) 2. adım sonunda: S _ 2 = { 4, 5, 6, 7 } 6) 3. adım sonunda: S _ 3 = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 7) Desen: Her adımda elde edilen sayılar ardışık bir aralık oluşturuyor. Bu aralık şu şekilde ifade edilebilir: S _ k = { 2 k, 2 k + 1, …, 2 k + 1 - 1 } 8) Neden böyle? (kısa gerekçe) Eğer x ≠ y ise, 2 x ≠ 2 y 2 x + 1 ≠ 2 y + 1 ve ayrıca çift sayılar ile tek sayılar birbirine karışmadığı için her adımda farklı dallar farklı sonuçlar üretir; yani her adımda eleman sayısı iki katına çıkar. 9) 5 adım sonu için aralık ve eleman sayısı: S _ 5 = { 2 5, …, 2 6 - 1 } 2 5 = 32 2 6 - 1 = 63 Bu aralıktaki sayı adedi: 63 - 32 + 1 = 32 10) Sonuç: Tam 5 adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı 32 Dolayısıyla doğru cevap A1060 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Elde edilebilecek farklı sayıların sayısı şıkkıA65ndaki değerdir. 2) İşlemi tanıyalım: Tahtadaki sayı her adımda aşağıdaki iki dönüşümden biriyle değişiyor. x → 2 x x → 2 x + 1 3) İlk birkaç adımı yazalım (başlangıç). S _ 0 = { 1 } 4) 1. adım sonunda: S _ 1 = { 2, 3 } 5) 2. adım sonunda: S _ 2 = { 4, 5, 6, 7 } 6) 3. adım sonunda: S _ 3 = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 7) Desen: Her adımda elde edilen sayılar ardışık bir aralık oluşturuyor. Bu aralık şu şekilde ifade edilebilir: S _ k = { 2 k, 2 k + 1, …, 2 k + 1 - 1 } 8) Neden böyle? (kısa gerekçe) Eğer x ≠ y ise, 2 x ≠ 2 y 2 x + 1 ≠ 2 y + 1 ve ayrıca çift sayılar ile tek sayılar birbirine karışmadığı için her adımda farklı dallar farklı sonuçlar üretir; yani her adımda eleman sayısı iki katına çıkar. 9) 5 adım sonu için aralık ve eleman sayısı: S _ 5 = { 2 5, …, 2 6 - 1 } 2 5 = 32 2 6 - 1 = 63 Bu aralıktaki sayı adedi: 63 - 32 + 1 = 32 10) Sonuç: Tam 5 adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı 32 Dolayısıyla doğru cevap A1060 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Cevap kontrolü: Şıklarda seçeneğiC28 doğru mu, denklemlerle kontrol edelim. 2) Oğlun şimdiki yaşına x diyelim. Annenin yaşı oğlunun yaşının 3 katı olduğuna göre: A = 3 x 3) 12 yıl sonra yaşlar 12 artar. Buna göre 12 yıl sonraki yaşlar: A + 12 = 3 x + 12 x + 12 4) 12 yıl sonra annenin yaşı, oğlunun yaşının 2 katı oluyormuş. Denklem: 3 x + 12 = 2 ( x + 12 ) 5) Denklemi çözelim: 3 x + 12 = 2 x + 24 3 x - 2 x = 24 - 12 x = 12 6) Sonuç: Oğul şu an 12 yaşındadır. Bu da şıkkıC470dır; yani B doğrudur.

1. Çözüm: 1) Cevap kontrolü: Şıklarda seçeneğiC28 doğru mu, denklemlerle kontrol edelim. 2) Oğlun şimdiki yaşına x diyelim. Annenin yaşı oğlunun yaşının 3 katı olduğuna göre: A = 3 x 3) 12 yıl sonra yaşlar 12 artar. Buna göre 12 yıl sonraki yaşlar: A + 12 = 3 x + 12 x + 12 4) 12 yıl sonra annenin yaşı, oğlunun yaşının 2 katı oluyormuş. Denklem: 3 x + 12 = 2 ( x + 12 ) 5) Denklemi çözelim: 3 x + 12 = 2 x + 24 3 x - 2 x = 24 - 12 x = 12 6) Sonuç: Oğul şu an 12 yaşındadır. Bu da şıkkıC470dır; yani B doğrudur.

Doğru cevap: C

Önce sayıyı modulo ile sadeleştirelim: N = 2025 2026 + 2026 2025 Tabanları modulo içinde bulalım: 2025 ≡ 2 (mod 7 ) 2026 ≡ 3 (mod 7 ) Bu durumda: N ≡ 2 2026 + 3 2025 (mod 7 ) Asal modda üsleri küçültmek için Fermat kullanacağız: a 6 ≡ 1 (mod 7 ) Üsleri modulo altı ile sadeleştirelim: 2026 ≡ 4 (mod 6 ) 2025 ≡ 3 (mod 6 ) Buna göre kuvvetleri hesaplayalım: 2 2026 ≡ 2 4 = 16 ≡ 2 (mod 7 ) 3 2025 ≡ 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7 ) Toplayıp kalanı bulalım: N ≡ 2 + 6 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Sonuç olarak bölümden kalan: 1 Bu da şıkkıC591dır; yani verilen cevap A doğru.

1. Çözüm: Önce sayıyı modulo ile sadeleştirelim: N = 2025 2026 + 2026 2025 Tabanları modulo içinde bulalım: 2025 ≡ 2 (mod 7 ) 2026 ≡ 3 (mod 7 ) Bu durumda: N ≡ 2 2026 + 3 2025 (mod 7 ) Asal modda üsleri küçültmek için Fermat kullanacağız: a 6 ≡ 1 (mod 7 ) Üsleri modulo altı ile sadeleştirelim: 2026 ≡ 4 (mod 6 ) 2025 ≡ 3 (mod 6 ) Buna göre kuvvetleri hesaplayalım: 2 2026 ≡ 2 4 = 16 ≡ 2 (mod 7 ) 3 2025 ≡ 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7 ) Toplayıp kalanı bulalım: N ≡ 2 + 6 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Sonuç olarak bölümden kalan: 1 Bu da şıkkıC591dır; yani verilen cevap A doğru.

Doğru cevap: B

Verilenler: EBOB = 12 EKOK = 180 İki sayı için temel ilişki: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Buna göre iki sayının çarpımı: a ⋅ b = 12 ⋅ 180 Sayıları EBOB’a göre yazalım: a = 12 x b = 12 y Bu yazımda ortak çarpan tamamen dışarı alındığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK hesabı: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilen EKOK ile eşitleyelim: 12 x y = 180 x y = 15 Çarpımı bu değeri veren ve aralarında asal olan ikililer: ( x, y ) = ( 1, 15 ) ( x, y ) = ( 3, 5 ) Bunlara karşılık gelen sayı çiftleri: ( a, b ) = ( 12, 180 ) ( a, b ) = ( 36, 60 ) Dolayısıyla “küçük olan sayı” tek bir değer değildir; mümkün küçük değerler yukarıdaki çiftlere göre değişir. Şık kontrolü (B şıkkı): B: 36 Bu değer, ikinci çiftte küçük sayı olarak mümkündür; ancak birinci çiftte küçük sayı farklıdır. Sonuç: Soru “hangi iki sayı”yı tekil belirlemediği için doğru seçenek tek değildir. Eğer “küçük olanın alabileceği en küçük değer” soruluyorsa cevap: 12 Bu durumda B değil, A doğru olur. Eğer sayıların aralarında asal çarpanlarının x = 3, y = 5 olduğu çift seçilirse küçük sayı B şıkkındaki değer olur.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB = 12 EKOK = 180 İki sayı için temel ilişki: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Buna göre iki sayının çarpımı: a ⋅ b = 12 ⋅ 180 Sayıları EBOB’a göre yazalım: a = 12 x b = 12 y Bu yazımda ortak çarpan tamamen dışarı alındığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK hesabı: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilen EKOK ile eşitleyelim: 12 x y = 180 x y = 15 Çarpımı bu değeri veren ve aralarında asal olan ikililer: ( x, y ) = ( 1, 15 ) ( x, y ) = ( 3, 5 ) Bunlara karşılık gelen sayı çiftleri: ( a, b ) = ( 12, 180 ) ( a, b ) = ( 36, 60 ) Dolayısıyla “küçük olan sayı” tek bir değer değildir; mümkün küçük değerler yukarıdaki çiftlere göre değişir. Şık kontrolü (B şıkkı): B: 36 Bu değer, ikinci çiftte küçük sayı olarak mümkündür; ancak birinci çiftte küçük sayı farklıdır. Sonuç: Soru “hangi iki sayı”yı tekil belirlemediği için doğru seçenek tek değildir. Eğer “küçük olanın alabileceği en küçük değer” soruluyorsa cevap: 12 Bu durumda B değil, A doğru olur. Eğer sayıların aralarında asal çarpanlarının x = 3, y = 5 olduğu çift seçilirse küçük sayı B şıkkındaki değer olur.