9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 a < b Bilinen bağıntıyı kullanalım: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) Sayıları EBOB üzerinden yazalım. EBOB 12 olduğuna göre: a = 12 x b = 12 y Burada şartı: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK’u kullanarak çarpımı bulalım: EKOK ( a, b ) = 12 x y Çünkü iken için: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilen EKOK değerini yerleştirelim: 12 x y = 420 x y = 35 Şimdi olacak şekilde çarpan çiftlerini yazalım. 35’in çarpan çiftleri: 35 = 1 × 35 35 = 5 × 7 Bu çiftlerde ortak bölen kontrolü: EBOB ( 1, 35 ) = 1 EBOB ( 5, 7 ) = 1 İkisi de uygundur. Ayrıca istendiği için alınır: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Şimdi ve hesaplayalım: ( a, b ) = ( 12 × 1, 12 × 35 ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 12 × 5, 12 × 7 ) = ( 60, 84 ) Bu koşulu sağlayan farklı sıralı ikili sayısı: 2 Sonuç: Doğru seçenek D873’dir.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 a < b Bilinen bağıntıyı kullanalım: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) Sayıları EBOB üzerinden yazalım. EBOB 12 olduğuna göre: a = 12 x b = 12 y Burada şartı: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK’u kullanarak çarpımı bulalım: EKOK ( a, b ) = 12 x y Çünkü iken için: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilen EKOK değerini yerleştirelim: 12 x y = 420 x y = 35 Şimdi olacak şekilde çarpan çiftlerini yazalım. 35’in çarpan çiftleri: 35 = 1 × 35 35 = 5 × 7 Bu çiftlerde ortak bölen kontrolü: EBOB ( 1, 35 ) = 1 EBOB ( 5, 7 ) = 1 İkisi de uygundur. Ayrıca istendiği için alınır: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Şimdi ve hesaplayalım: ( a, b ) = ( 12 × 1, 12 × 35 ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 12 × 5, 12 × 7 ) = ( 60, 84 ) Bu koşulu sağlayan farklı sıralı ikili sayısı: 2 Sonuç: Doğru seçenek D873’dir.

Doğru cevap: D

1) Günlük iş yapma hızlarını sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü kişinin hızları olarak tanımlayalım. a, b, c 2) Verilen bilgilere göre ortak çalışma hızları: a + b = 1 8 a + c = 1 12 b + c = 1 18 3) Bu üç denklemi taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) = 1 8 + 1 12 + 1 18 Sol taraf: 2 ( a + b + c ) Sağ tarafı toplayalım: 1 8 + 1 12 + 1 18 = 9 72 + 6 72 + 4 72 = 19 72 Buradan üç kişinin birlikte günlük hızı: a + b + c = 19 144 4) Üçü birlikte 2 gün çalışırsa yapılan iş miktarı: 2 × 19 144 = 38 144 = 19 72 5) Kalan iş miktarı: 1 - 19 72 = 53 72 6) İkinci kişi işi bırakınca birinci ve üçüncü kişi birlikte devam eder. Verilen bilgiye göre bu ikisinin hızı: a + c = 1 12 Kalan işi bitirme süresi: 53 72 1 12 = 53 72 × 12 = 53 6 7) Toplam süre: 2 + 53 6 = 12 6 + 53 6 = 65 6 Sonuç: Toplam süre 65/6 gün olduğundan doğru seçenek D851 ’dir.

1. Çözüm: 1) Günlük iş yapma hızlarını sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü kişinin hızları olarak tanımlayalım. a, b, c 2) Verilen bilgilere göre ortak çalışma hızları: a + b = 1 8 a + c = 1 12 b + c = 1 18 3) Bu üç denklemi taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) = 1 8 + 1 12 + 1 18 Sol taraf: 2 ( a + b + c ) Sağ tarafı toplayalım: 1 8 + 1 12 + 1 18 = 9 72 + 6 72 + 4 72 = 19 72 Buradan üç kişinin birlikte günlük hızı: a + b + c = 19 144 4) Üçü birlikte 2 gün çalışırsa yapılan iş miktarı: 2 × 19 144 = 38 144 = 19 72 5) Kalan iş miktarı: 1 - 19 72 = 53 72 6) İkinci kişi işi bırakınca birinci ve üçüncü kişi birlikte devam eder. Verilen bilgiye göre bu ikisinin hızı: a + c = 1 12 Kalan işi bitirme süresi: 53 72 1 12 = 53 72 × 12 = 53 6 7) Toplam süre: 2 + 53 6 = 12 6 + 53 6 = 65 6 Sonuç: Toplam süre 65/6 gün olduğundan doğru seçenek D851 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilerin toplamı $28$, veri sayısı $4$ olduğundan ortalama $28/4=7$ olur.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık kontrolü: Denklem kurulduğunda oran x y = 56 51 çıktığı için doğru cevap B74 ’dir. 2) Toplam maliyet: Toplam = 30 x + 70 y 3) İlk satışta satılanlar: A ürünlerinin tamamı ve B ürünlerinden yirmi adet. Bu grubun maliyeti: İlk = 30 x + 20 y 4) Bu ilk satıştan yüzde yirmi beş kâr edildiği için ilk satış geliri: Gelir ₁ = 5 4 ( 30 x + 20 y ) 5) İlk satışta toplam elli ürün aynı birim fiyattan satıldığı için birim satış fiyatı: 50 s = 5 4 ( 30 x + 20 y ) s = 5 4 ( 30 x + 20 y ) 50 = 30 x + 20 y 40 = 3 x + 2 y 4 6) Kalan B ürünleri elli adettir ve yüzde on zararla satılıyor. Bu ikinci satışın geliri: Gelir ₂ = 9 10 ( 50 y ) = 45 y 7) Toplam gelir: Gelir = Gelir ₁ + Gelir ₂ Gelir = 5 4 ( 30 x + 20 y ) + 45 y Gelir = 75 2 x + 70 y 8) Tüm satışların sonunda toplam kâr yüzde sekiz olduğundan toplam gelir, toplam maliyetin 27 25 katıdır. Yani: 75 2 x + 70 y = 27 25 ( 30 x + 70 y ) 9) Denklemi çözelim: 10 ( 75 2 x + 70 y ) = 10 · 27 25 ( 30 x + 70 y ) 375 x + 700 y = 324 x + 756 y 51 x = 56 y x: y = 56: 51 Sonuç: Doğru seçenek B1028.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Denklem kurulduğunda oran x y = 56 51 çıktığı için doğru cevap B74 ’dir. 2) Toplam maliyet: Toplam = 30 x + 70 y 3) İlk satışta satılanlar: A ürünlerinin tamamı ve B ürünlerinden yirmi adet. Bu grubun maliyeti: İlk = 30 x + 20 y 4) Bu ilk satıştan yüzde yirmi beş kâr edildiği için ilk satış geliri: Gelir ₁ = 5 4 ( 30 x + 20 y ) 5) İlk satışta toplam elli ürün aynı birim fiyattan satıldığı için birim satış fiyatı: 50 s = 5 4 ( 30 x + 20 y ) s = 5 4 ( 30 x + 20 y ) 50 = 30 x + 20 y 40 = 3 x + 2 y 4 6) Kalan B ürünleri elli adettir ve yüzde on zararla satılıyor. Bu ikinci satışın geliri: Gelir ₂ = 9 10 ( 50 y ) = 45 y 7) Toplam gelir: Gelir = Gelir ₁ + Gelir ₂ Gelir = 5 4 ( 30 x + 20 y ) + 45 y Gelir = 75 2 x + 70 y 8) Tüm satışların sonunda toplam kâr yüzde sekiz olduğundan toplam gelir, toplam maliyetin 27 25 katıdır. Yani: 75 2 x + 70 y = 27 25 ( 30 x + 70 y ) 9) Denklemi çözelim: 10 ( 75 2 x + 70 y ) = 10 · 27 25 ( 30 x + 70 y ) 375 x + 700 y = 324 x + 756 y 51 x = 56 y x: y = 56: 51 Sonuç: Doğru seçenek B1028.

Doğru cevap: B

Verilenler: %10'luk çözeltiden y litre, %40'lık çözeltiden x litre kullanılsın. Toplam hacim denklemi: x + y = 12 Şeker miktarı denklemi (yüzdeleri kesir olarak yazalım): 2 5 x + 1 10 y = 1 4 × 12 Sağ tarafı hesaplayalım: 1 4 × 12 = 3 Denklemi paydalardan kurtarmak için her tarafı 20 ile çarpalım: 20 × 2 5 x + 20 × 1 10 y = 20 × 3 Sadeleştirelim: 8 x + 2 y = 60 Birinci denklemden yararlanalım: x + y = 12 ⇒ 2 x + 2 y = 24 Denklemleri çıkaralım: 8 x + 2 y - 2 x + 2 y = 60 - 24 Sonuç: 6 x = 36 ⇒ x = 6 Buna göre 40 % şekerli çözeltiden kullanılan miktar 6 litredir. Doğru cevap: B.

1. Çözüm: Verilenler: %10'luk çözeltiden y litre, %40'lık çözeltiden x litre kullanılsın. Toplam hacim denklemi: x + y = 12 Şeker miktarı denklemi (yüzdeleri kesir olarak yazalım): 2 5 x + 1 10 y = 1 4 × 12 Sağ tarafı hesaplayalım: 1 4 × 12 = 3 Denklemi paydalardan kurtarmak için her tarafı 20 ile çarpalım: 20 × 2 5 x + 20 × 1 10 y = 20 × 3 Sadeleştirelim: 8 x + 2 y = 60 Birinci denklemden yararlanalım: x + y = 12 ⇒ 2 x + 2 y = 24 Denklemleri çıkaralım: 8 x + 2 y - 2 x + 2 y = 60 - 24 Sonuç: 6 x = 36 ⇒ x = 6 Buna göre 40 % şekerli çözeltiden kullanılan miktar 6 litredir. Doğru cevap: B.

Doğru cevap: A

Soru: Aşağıdaki eşitliği sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerinin toplamı soruluyor. x - 2 + 2 x + 1 = 10 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0 2 x + 1 = 0 x = 2, x = - 1 2 Bu noktalara göre üç aralıkta inceleyelim. 1) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitif/pozitif-sıfır olduğundan mutlak değerler aynen açılır: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denklemi çözelim: ( x - 2 ) + ( 2 x + 1 ) = 10 3 x - 1 = 10 3 x = 11 x = 11 3 Kontrol: 11 3 ≥ 2 Sağladığı için bu çözüm geçerlidir. 2) Durum: - 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta x - 2 < 0 olduğu için x - 2 = 2 - x ve 2 x + 1 ≥ 0 olduğu için 2 x + 1 = 2 x + 1 Denklemi çözelim: ( 2 - x ) + ( 2 x + 1 ) = 10 x + 3 = 10 x = 7 Kontrol: 7 < 2 Bu aralığı sağlamadığı için geçersizdir. 3) Durum: x < - 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = - ( 2 x + 1 ) Denklemi çözelim: ( 2 - x ) + ( - 2 x - 1 ) = 10 1 - 3 x = 10 - 3 x = 9 x = - 3 Kontrol: - 3 < - 1 2 Sağladığı için bu çözüm geçerlidir. Geçerli çözümler: x = 11 3, x = - 3 Çözümlerin toplamı: 11 3 + ( - 3 ) = 11 3 - 9 3 = 2 3 Bulunan toplam 2 3 olduğu için doğru seçenek A ’dır. Yani “A doğru mu?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Soru: Aşağıdaki eşitliği sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerinin toplamı soruluyor. x - 2 + 2 x + 1 = 10 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0 2 x + 1 = 0 x = 2, x = - 1 2 Bu noktalara göre üç aralıkta inceleyelim. 1) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitif/pozitif-sıfır olduğundan mutlak değerler aynen açılır: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denklemi çözelim: ( x - 2 ) + ( 2 x + 1 ) = 10 3 x - 1 = 10 3 x = 11 x = 11 3 Kontrol: 11 3 ≥ 2 Sağladığı için bu çözüm geçerlidir. 2) Durum: - 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta x - 2 < 0 olduğu için x - 2 = 2 - x ve 2 x + 1 ≥ 0 olduğu için 2 x + 1 = 2 x + 1 Denklemi çözelim: ( 2 - x ) + ( 2 x + 1 ) = 10 x + 3 = 10 x = 7 Kontrol: 7 < 2 Bu aralığı sağlamadığı için geçersizdir. 3) Durum: x < - 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = - ( 2 x + 1 ) Denklemi çözelim: ( 2 - x ) + ( - 2 x - 1 ) = 10 1 - 3 x = 10 - 3 x = 9 x = - 3 Kontrol: - 3 < - 1 2 Sağladığı için bu çözüm geçerlidir. Geçerli çözümler: x = 11 3, x = - 3 Çözümlerin toplamı: 11 3 + ( - 3 ) = 11 3 - 9 3 = 2 3 Bulunan toplam 2 3 olduğu için doğru seçenek A ’dır. Yani “A doğru mu?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: D

Doğru cevap: Bir deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesidir.

1. Çözüm: Doğru cevap: Bir deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesidir.

Doğru cevap: B

$6!/4!=6\cdot5=30$ olur.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: C

İstenen: Birden yüze kadar yazılan tam sayılardan, içinde yedi rakamı en az bir kez geçenlerin sayısı. Seçenek C kontrol edilecek. Kolay yol: “En az bir kez yedi geçsin” saymak yerine, tamamlayıcı olayı sayalım. Yani: İçinde hiç yedi geçmeyen sayıların sayısını bulup toplamdan çıkaracağız. Önce iki basamaklı yazımı standartlaştıralım: Baştaki sıfıra da izin vererek aşağıdaki aralığı düşünelim. 00 … 99 Bu listede toplam sayı adedi: 100 İçinde hiç yedi geçmemesi için: • Onlar basamağı: yedi hariç on rakamdan biri seçilir → dokuz seçenek • Birler basamağı: yine dokuz seçenek Dolayısıyla hiç yedi içermeyen sayı sayısı: 9 × 9 = 81 O hâlde en az bir kez yedi içeren sayı sayısı: 100 − 81 = 19 Asıl istenen aralık birden yüze kadardır. • Baştaki sıfırla yazdığımız 00 sayısı yedi içermez, bu yüzden listeden çıkarılması sonucu değiştirmez. • 100 sayısı da yedi içermez, bu yüzden sona eklenmesi de sonucu değiştirmez. Dolayısıyla birden yüze kadar aralıkta da sonuç aynıdır: 19 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir. 19

1. Çözüm: İstenen: Birden yüze kadar yazılan tam sayılardan, içinde yedi rakamı en az bir kez geçenlerin sayısı. Seçenek C kontrol edilecek. Kolay yol: “En az bir kez yedi geçsin” saymak yerine, tamamlayıcı olayı sayalım. Yani: İçinde hiç yedi geçmeyen sayıların sayısını bulup toplamdan çıkaracağız. Önce iki basamaklı yazımı standartlaştıralım: Baştaki sıfıra da izin vererek aşağıdaki aralığı düşünelim. 00 … 99 Bu listede toplam sayı adedi: 100 İçinde hiç yedi geçmemesi için: • Onlar basamağı: yedi hariç on rakamdan biri seçilir → dokuz seçenek • Birler basamağı: yine dokuz seçenek Dolayısıyla hiç yedi içermeyen sayı sayısı: 9 × 9 = 81 O hâlde en az bir kez yedi içeren sayı sayısı: 100 − 81 = 19 Asıl istenen aralık birden yüze kadardır. • Baştaki sıfırla yazdığımız 00 sayısı yedi içermez, bu yüzden listeden çıkarılması sonucu değiştirmez. • 100 sayısı da yedi içermez, bu yüzden sona eklenmesi de sonucu değiştirmez. Dolayısıyla birden yüze kadar aralıkta da sonuç aynıdır: 19 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir. 19

Doğru cevap: D

Mehmet'in bugünkü yaşına M, Ayşe'nin bugünkü yaşına A diyelim. A = 2 M - 6 Dört yıl sonra yaşlar sırasıyla A + 4 ve M + 4 olur. Yaşları toplamı verilene göre: ( A + 4 ) + ( M + 4 ) = 50 Düzenleyelim: A + M + 8 = 50 A + M = 42 Burada A yerine 2M − 6 yazalım: ( 2 M - 6 ) + M = 42 Benzer terimleri toplayalım: 3 M - 6 = 42 Her iki tarafa 6 ekleyelim: 3 M = 48 Her iki tarafı 3 'e bölelim: M = 16 Sonuç: Mehmet'in bugünkü yaşı 16 olduğundan doğru cevap D438 şıkkıdır.

1. Çözüm: Mehmet'in bugünkü yaşına M, Ayşe'nin bugünkü yaşına A diyelim. A = 2 M - 6 Dört yıl sonra yaşlar sırasıyla A + 4 ve M + 4 olur. Yaşları toplamı verilene göre: ( A + 4 ) + ( M + 4 ) = 50 Düzenleyelim: A + M + 8 = 50 A + M = 42 Burada A yerine 2M − 6 yazalım: ( 2 M - 6 ) + M = 42 Benzer terimleri toplayalım: 3 M - 6 = 42 Her iki tarafa 6 ekleyelim: 3 M = 48 Her iki tarafı 3 'e bölelim: M = 16 Sonuç: Mehmet'in bugünkü yaşı 16 olduğundan doğru cevap D438 şıkkıdır.