Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

9. sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı için 10 soruluk online yazılı testleri, cevap anahtarlı sorular ve konu karması çalışma içerikleri.

9. Sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı soruları, yıl sonu hazırlığı genel tekrar mantığıyla ele alınmalıdır. Matematik yazılısı, yeni lise düzeyinde işlem güveni ve akıl yürütme düzeni kurmak için önemli bir eşiktir. Bu sayfa, yazılıya çalışırken öğrencinin sayı kümeleri, cebirsel düşünme, denklem kurma ve problem çözme becerisini ölçmeye yardımcı olacak şekilde hazırlanmıştır. Konu dağılımı sınıflar bölümündeki güncel test havuzuyla uyumludur ve sınav öncesi tekrar için düzenli bir yol haritası verir.

Bu yazılı kapsamında Matematik Temel Kavramlar, Matematik Mantık, Matematik Kümeler, Matematik Rasyonel Sayılar başlıklarıyla başlayan ve Matematik Olasılık, Matematik Permütasyon ve Kombinasyon, Matematik Rutin Olmayan Problemler konularına kadar uzanan bir çalışma alanı bulunur. Konuların karışık biçimde ele alınması, öğrencinin yalnızca aynı tip soruya alışmasını engeller. Böylece farklı kazanımlar aynı sınav atmosferinde denenir ve hangi başlığın ek tekrar istediği daha net görülür.

Matematikte doğru cevap kadar çözüm yolu da önemlidir. İşlem hatalarını, yanlış kurulan denklemleri ve eksik okunan ifadeleri ayrı ayrı not etmek sonraki çalışmayı çok daha verimli hale getirir. bu çalışma eksikleri son kez görmek ve konu testlerine bilinçli dönmek için kullanılabilir. Soruları çözerken süre tutmak, emin olunmayan maddeleri işaretlemek ve çözümden sonra yanlışları konu başlığına göre gruplamak özellikle faydalıdır. Bu sayede tekrar planı genel bir okuma olmaktan çıkar, doğrudan eksik kazanımlara yönelir.

Sayfanın altındaki ilgili konu testleri, yazılıdan sonra ayrıntılı pekiştirme yapmak için kullanılabilir. Matematik Temel Kavramlar veya Matematik Mantık gibi başlıklarda hata yapan öğrenciler doğrudan ilgili testlere geçerek aynı kazanımı farklı soru tipleriyle yeniden çalışabilir. Konu testlerine geri dönüş yapılırken yanlışın işlemden mi, yorumdan mı yoksa denklem kurmadan mı kaynaklandığı kolayca görülür.

9. sınıf düzeyinde düzenli tekrar, lise konularının temelini güçlendirdiği için her yazılı çalışması aynı zamanda sonraki üniteler için hazırlık anlamına gelir.

Çalışma sonunda doğru sayısı kadar yanlışların türüne de bakmak gerekir; bu küçük analiz, bir sonraki çözümde çok daha bilinçli ilerlemeyi sağlar.

9. sınıf düzeyinde düzenli tekrar, lise konularının temelini güçlendirdiği için her yazılı çalışması aynı zamanda sonraki üniteler için hazırlık anlamına gelir.

İlgili 9. sınıf Matematik konu testleri

Test seç

166 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test11. Test12. Test13. Test14. Test15. Test16. Test17. Test18. Test19. Test20. Test21. Test22. Test23. Test24. Test25. Test26. Test27. Test28. Test29. Test30. Test31. Test32. Test33. Test34. Test35. Test36. Test37. Test38. Test39. Test40. Test41. Test42. Test43. Test44. Test45. Test46. Test47. Test48. Test49. Test50. Test51. Test52. Test53. Test54. Test55. Test56. Test57. Test58. Test59. Test60. Test61. Test62. Test63. Test64. Test65. Test66. Test67. Test68. Test69. Test70. Test71. Test72. Test73. Test74. Test75. Test76. Test77. Test78. Test79. Test80. Test81. Test82. Test83. Test84. Test85. Test86. Test87. Test88. Test89. Test90. Test91. Test92. Test93. Test94. Test95. Test96. Test97. Test98. Test99. Test100. Test101. Test102. Test103. Test104. Test105. Test106. Test107. Test108. Test109. Test110. Test111. Test112. Test113. Test114. Test115. Test116. Test117. Test118. Test119. Test120. Test121. Test122. Test123. Test124. Test125. Test126. Test127. Test128. Test129. Test130. Test131. Test132. Test133. Test134. Test135. Test136. Test137. Test138. Test139. Test140. Test141. Test142. Test143. Test144. Test145. Test146. Test147. Test148. Test149. Test150. Test151. Test152. Test153. Test154. Test155. Test156. Test157. Test158. Test159. Test160. Test161. Test162. Test163. Test164. Test165. Test166. Test

146. Test

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Test 146 için 10 soruluk online yazılı testi.

Her soru için doğru seçeneği işaretleyin.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir işi tek başına 12 günde bitiren A işçisi ile aynı işi tek başına 18 günde bitiren B işçisi birlikte çalışırsa işi kaç günde bitirirler?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Verilenler (iş hızları üzerinden çözeceğiz): A işçisi işi 12 günde bitirir B işçisi işi 18 günde bitirir 2) Günlük iş yapma oranları: A 'nın 1 günde yaptığı iş = 1 12 B 'nin 1 günde yaptığı iş = 1 18 3) Birlikte 1 günde yaptıkları iş (oranlar toplanır): 1 12 + 1 18 = 3 36 + 2 36 = 5 36 4) İşin tamamı 1 iş olduğuna göre süre (iş / hız): 1 ÷ 5 36 = 36 5 5) Sonuç ve şık kontrolü: Birlikte çalışma süresi = 36 5 gün Bulunan süre şık B ile aynıdır. Doğru cevap B 'dir.

  1. Çözüm: 1) Verilenler (iş hızları üzerinden çözeceğiz): A işçisi işi 12 günde bitirir B işçisi işi 18 günde bitirir 2) Günlük iş yapma oranları: A 'nın 1 günde yaptığı iş = 1 12 B 'nin 1 günde yaptığı iş = 1 18 3) Birlikte 1 günde yaptıkları iş (oranlar toplanır): 1 12 + 1 18 = 3 36 + 2 36 = 5 36 4) İşin tamamı 1 iş olduğuna göre süre (iş / hız): 1 ÷ 5 36 = 36 5 5) Sonuç ve şık kontrolü: Birlikte çalışma süresi = 36 5 gün Bulunan süre şık B ile aynıdır. Doğru cevap B 'dir.

1) Verilenler (iş hızları üzerinden çözeceğiz):

A işçisi işi 12 günde bitirir
B işçisi işi 18 günde bitirir

2) Günlük iş yapma oranları:

A'nın 1 günde yaptığı iş=112
B'nin 1 günde yaptığı iş=118

3) Birlikte 1 günde yaptıkları iş (oranlar toplanır):

112+118=336+236=536

4) İşin tamamı 1 iş olduğuna göre süre (iş / hız):

1÷536=365

5) Sonuç ve şık kontrolü:

Birlikte çalışma süresi=365 gün

Bulunan süre şık B ile aynıdır. Doğru cevap B'dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

10,10,10,10,5010, 10, 10, 10, 50 veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Toplam 9090, veri sayısı 55; ortalama 1818’dir.

  1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
  2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Toplam 9090, veri sayısı 55; ortalama 1818’dir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir esnaf bir ürünü 200 TL'ye alıyor. Ürünün satış fiyatını maliyetinin 30% fazlası olarak etiketliyor ve müşteriye etiket üzerinden 10% indirim yapıyor. Buna göre esnafın kâr oranı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce maliyeti yazalım: M = 200 Etiket fiyatı, maliyetin 30 % fazlasıdır: E = M · ( 1 + 30 100 ) Yerine koyup hesaplayalım: E = 200 · ( 1 + 3 10 ) = 200 · 13 10 = 260 Müşteriye etiket üzerinden 10 % indirim yapıldığına göre satış fiyatı: S = E · ( 1 - 10 100 ) Hesaplayalım: S = 260 · ( 1 - 1 10 ) = 260 · 9 10 = 234 Kâr miktarı: K = S - M = 234 - 200 = 34 Kâr oranı (maliyete göre): k = K M = 34 200 = 17 100 = 17 % Sonuç: Doğru cevap B423 şıkkıdır.

  1. Çözüm: Önce maliyeti yazalım: M = 200 Etiket fiyatı, maliyetin 30 % fazlasıdır: E = M · ( 1 + 30 100 ) Yerine koyup hesaplayalım: E = 200 · ( 1 + 3 10 ) = 200 · 13 10 = 260 Müşteriye etiket üzerinden 10 % indirim yapıldığına göre satış fiyatı: S = E · ( 1 - 10 100 ) Hesaplayalım: S = 260 · ( 1 - 1 10 ) = 260 · 9 10 = 234 Kâr miktarı: K = S - M = 234 - 200 = 34 Kâr oranı (maliyete göre): k = K M = 34 200 = 17 100 = 17 % Sonuç: Doğru cevap B423 şıkkıdır.

Önce maliyeti yazalım:

M=200

Etiket fiyatı, maliyetin 30% fazlasıdır:

E=M·(1+30100)

Yerine koyup hesaplayalım:

E=200·(1+310)=200·1310=260

Müşteriye etiket üzerinden 10% indirim yapıldığına göre satış fiyatı:

S=E·(1-10100)

Hesaplayalım:

S=260·(1-110)=260·910=234

Kâr miktarı:

K=S-M=234-200=34

Kâr oranı (maliyete göre):

k=KM=34200=17100=17%

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir depoda toplam 50 litre karışım hazırlanıyor: Bunun x litresi tuz oranı 310 olan çözeltiden, geri kalan 50-x litresi tuz oranı 110 olan çözeltidendir.

Karışım homojen olduktan sonra karışımdan 10 litre alınarak atılıyor ve yerine tuz oranı 25 olan çözeltiden 10 litre ekleniyor. Son durumda karışımın tuz oranı 625 olduğuna göre x kaç litredir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık kontrolü: Sonuç B çıkıyor. 2) İlk karışımda tuz miktarını bulalım. T 0 = x ⋅ 3 10 + ( 50 - x ) ⋅ 1 10 T 0 = 3 x + 50 - x 10 = 2 x + 50 10 = x + 25 5 3) Karışım homojenken 10 litre alınırsa, alınan tuz miktarı (oran aynı olduğu için) toplamın 10/50 kadarıdır. T alınan = T 0 ⋅ 10 50 = T 0 ⋅ 1 5 T alınan = x + 25 5 ⋅ 1 5 = x + 25 25 4) Geriye kalan tuz miktarı: T kalan = T 0 - T alınan T kalan = x + 25 5 - x + 25 25 = 5 ( x + 25 ) - ( x + 25 ) 25 = 4 ( x + 25 ) 25 5) Yerine tuz oranı 2/5 olan çözeltiden 10 litre eklenince eklenen tuz: T eklenen = 10 ⋅ 2 5 = 4 6) Son durumda toplam hacim yine 50 litredir ve tuz oranı 6/25 verildiğine göre toplam tuz miktarı: T son = 50 ⋅ 6 25 = 12 7) Son tuz miktarı, kalan tuz ile eklenen tuzun toplamıdır. Denklemi kurup çözelim. 4 ( x + 25 ) 25 + 4 = 12 4 ( x + 25 ) 25 = 8 4 ( x + 25 ) = 8 ⋅ 25 = 200 x + 25 = 50 x = 25 Sonuç: B şıkkı doğru, x değeri 25 litredir.

  1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Sonuç B çıkıyor. 2) İlk karışımda tuz miktarını bulalım. T 0 = x ⋅ 3 10 + ( 50 - x ) ⋅ 1 10 T 0 = 3 x + 50 - x 10 = 2 x + 50 10 = x + 25 5 3) Karışım homojenken 10 litre alınırsa, alınan tuz miktarı (oran aynı olduğu için) toplamın 10/50 kadarıdır. T alınan = T 0 ⋅ 10 50 = T 0 ⋅ 1 5 T alınan = x + 25 5 ⋅ 1 5 = x + 25 25 4) Geriye kalan tuz miktarı: T kalan = T 0 - T alınan T kalan = x + 25 5 - x + 25 25 = 5 ( x + 25 ) - ( x + 25 ) 25 = 4 ( x + 25 ) 25 5) Yerine tuz oranı 2/5 olan çözeltiden 10 litre eklenince eklenen tuz: T eklenen = 10 ⋅ 2 5 = 4 6) Son durumda toplam hacim yine 50 litredir ve tuz oranı 6/25 verildiğine göre toplam tuz miktarı: T son = 50 ⋅ 6 25 = 12 7) Son tuz miktarı, kalan tuz ile eklenen tuzun toplamıdır. Denklemi kurup çözelim. 4 ( x + 25 ) 25 + 4 = 12 4 ( x + 25 ) 25 = 8 4 ( x + 25 ) = 8 ⋅ 25 = 200 x + 25 = 50 x = 25 Sonuç: B şıkkı doğru, x değeri 25 litredir.

1) Doğru şık kontrolü: Sonuç B çıkıyor.

2) İlk karışımda tuz miktarını bulalım.

T0=x⋅310+(50-x)⋅110
T0=3x+50-x10=2x+5010=x+255

3) Karışım homojenken 10 litre alınırsa, alınan tuz miktarı (oran aynı olduğu için) toplamın 10/50 kadarıdır.

Talınan=T0⋅1050=T0⋅15
Talınan=x+255⋅15=x+2525

4) Geriye kalan tuz miktarı:

Tkalan=T0-Talınan
Tkalan=x+255-x+2525=5(x+25)-(x+25)25=4(x+25)25

5) Yerine tuz oranı 2/5 olan çözeltiden 10 litre eklenince eklenen tuz:

Teklenen=10⋅25=4

6) Son durumda toplam hacim yine 50 litredir ve tuz oranı 6/25 verildiğine göre toplam tuz miktarı:

Tson=50⋅625=12

7) Son tuz miktarı, kalan tuz ile eklenen tuzun toplamıdır. Denklemi kurup çözelim.

4(x+25)25+4=12
4(x+25)25=8
4(x+25)=8⋅25=200
x+25=50
x=25

Sonuç: B şıkkı doğru, x değeri 25 litredir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada 2 kırmızı, 3 mavi, 5 yeşil bilye vardır. Yeşil seçme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Toplam 1010 bilyenin 55’i yeşildir; 5/10=1/25/10=1/2.

  1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
  2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Toplam 1010 bilyenin 55’i yeşildir; 5/10=1/25/10=1/2.

6. SoruÇoktan Seçmeli

3 farklı gömlek ve 2 farklı pantolonla kaç farklı kıyafet seçimi yapılır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Çarpma kuralıyla 3⋅2=63\cdot2=6 farklı seçim yapılır.

  1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
  2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Çarpma kuralıyla 3⋅2=63\cdot2=6 farklı seçim yapılır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar x ve y için

x+y+gcd(x,y)=lcm(x,y)

ve x<y koşulları sağlanıyor.

x+y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşullar: x + y + gcd ( x, y ) = lcm ( x, y ) x < y 1) Ortak bölen ile yazalım. g = gcd ( x, y ), x = g a, y = g b gcd ( a, b ) = 1, a < b 2) Bu yazılımla EKOK (lcm) ifadesi: lcm ( x, y ) = lcm ( g a, g b ) = g a b 3) Denkleme yerine yazalım: g a + g b + g = g a b 4) Her iki tarafı g 'ye bölelim: a + b + 1 = a b 5) Düzenleyip çarpanlara ayıralım: a b - a - b = 1 ( a - 1 ) ( b - 1 ) = 2 6) Pozitif tam sayılarda 2 'nin çarpan çiftleri: a - 1 = 1, b - 1 = 2 a = 2, b = 3 7) O hâlde: x + y = g a + g b = g ( a + b ) = g ⁢ 5 8) En küçük değer için g en küçük seçilir: g = 1 x = 2, y = 3, x + y = 5 Sonuç: En küçük değer A şıkkı dır.

  1. Çözüm: Verilen koşullar: x + y + gcd ( x, y ) = lcm ( x, y ) x < y 1) Ortak bölen ile yazalım. g = gcd ( x, y ), x = g a, y = g b gcd ( a, b ) = 1, a < b 2) Bu yazılımla EKOK (lcm) ifadesi: lcm ( x, y ) = lcm ( g a, g b ) = g a b 3) Denkleme yerine yazalım: g a + g b + g = g a b 4) Her iki tarafı g 'ye bölelim: a + b + 1 = a b 5) Düzenleyip çarpanlara ayıralım: a b - a - b = 1 ( a - 1 ) ( b - 1 ) = 2 6) Pozitif tam sayılarda 2 'nin çarpan çiftleri: a - 1 = 1, b - 1 = 2 a = 2, b = 3 7) O hâlde: x + y = g a + g b = g ( a + b ) = g ⁢ 5 8) En küçük değer için g en küçük seçilir: g = 1 x = 2, y = 3, x + y = 5 Sonuç: En küçük değer A şıkkı dır.

Verilen koşullar:

x+y+gcd(x,y)=lcm(x,y)
x<y

1) Ortak bölen ile yazalım.

g=gcd(x,y),x=ga,y=gb
gcd(a,b)=1,a<b

2) Bu yazılımla EKOK (lcm) ifadesi:

lcm(x,y)=lcm(ga,gb)=gab

3) Denkleme yerine yazalım:

ga+gb+g=gab

4) Her iki tarafı g'ye bölelim:

a+b+1=ab

5) Düzenleyip çarpanlara ayıralım:

ab-a-b=1
(a-1)(b-1)=2

6) Pozitif tam sayılarda 2'nin çarpan çiftleri:

a-1=1,b-1=2
a=2,b=3

7) O hâlde:

x+y=ga+gb=g(a+b)=g⁢5

8) En küçük değer için g en küçük seçilir:

g=1
x=2,y=3,x+y=5

Sonuç: En küçük değer A şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir babanın yaşı, çocuğunun yaşının 5 yıl önce 6 katıydı. 7 yıl sonra babanın yaşı çocuğun yaşının 3 katı olacaktır.

Çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü: Çözümden çocuğun bugünkü yaşı şıkkıD53ndaki değere eşit çıkacaktır. 2) Değişkenleri tanımlayalım: x: çocuğun bugünkü yaşı y: babanın bugünkü yaşı 3) “5 yıl önce baba, çocuğun yaşının 6 katıydı” bilgisini denklem yapalım: y - 5 = 6 ( x - 5 ) 4) “7 yıl sonra baba, çocuğun yaşının 3 katı olacak” bilgisini denklem yapalım: y + 7 = 3 ( x + 7 ) 5) Denklemleri açalım ve y’yi yalnız bırakalım: y - 5 = 6 x - 30 y = 6 x - 25 y + 7 = 3 x + 21 y = 3 x + 14 6) İki ifadeyi eşitleyip x’i bulalım: 6 x - 25 = 3 x + 14 3 x = 39 x = 13 7) Sonuç: Çocuğun bugünkü yaşı aşağıdaki değerdir; bu da şıkkıD602 dır. 13

  1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Çözümden çocuğun bugünkü yaşı şıkkıD53ndaki değere eşit çıkacaktır. 2) Değişkenleri tanımlayalım: x: çocuğun bugünkü yaşı y: babanın bugünkü yaşı 3) “5 yıl önce baba, çocuğun yaşının 6 katıydı” bilgisini denklem yapalım: y - 5 = 6 ( x - 5 ) 4) “7 yıl sonra baba, çocuğun yaşının 3 katı olacak” bilgisini denklem yapalım: y + 7 = 3 ( x + 7 ) 5) Denklemleri açalım ve y’yi yalnız bırakalım: y - 5 = 6 x - 30 y = 6 x - 25 y + 7 = 3 x + 21 y = 3 x + 14 6) İki ifadeyi eşitleyip x’i bulalım: 6 x - 25 = 3 x + 14 3 x = 39 x = 13 7) Sonuç: Çocuğun bugünkü yaşı aşağıdaki değerdir; bu da şıkkıD602 dır. 13

1) Doğru şık kontrolü: Çözümden çocuğun bugünkü yaşı B şıkkındaki değere eşit çıkacaktır.

2) Değişkenleri tanımlayalım:

x: çocuğun bugünkü yaşıy: babanın bugünkü yaşı

3) “5 yıl önce baba, çocuğun yaşının 6 katıydı” bilgisini denklem yapalım:

y-5=6(x-5)

4) “7 yıl sonra baba, çocuğun yaşının 3 katı olacak” bilgisini denklem yapalım:

y+7=3(x+7)

5) Denklemleri açalım ve y’yi yalnız bırakalım:

y-5=6x-30y=6x-25y+7=3x+21y=3x+14

6) İki ifadeyi eşitleyip x’i bulalım:

6x-25=3x+143x=39x=13

7) Sonuç: Çocuğun bugünkü yaşı aşağıdaki değerdir; bu da şıkkıD2147dır.

13
9. SoruÇoktan Seçmeli

2n−1 sayısının 105 ile tam bölünebilmesi için n en küçük kaç olmalıdır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İstenen koşul: 2 n − 1 sayısı 105 ile tam bölünecek. Önce 105 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 105 = 3 · 5 · 7 Bu durumda aynı anda şu üç koşul sağlanmalıdır: 2 n ≡ 1 mod 3 2 n ≡ 1 mod 5 2 n ≡ 1 mod 7 Mod 3 için: 2 ≡ − 1 mod 3 2 n ≡ − 1 n mod 3 Buradan − 1 n ≡ 1 olması için n çift olmalıdır. Mod 5 için 2 4 = 16 ≡ 1 mod 5 olduğundan n ≡ 0 mod 4 yani n, 4 ün katı olmalıdır. Mod 7 için 2 3 = 8 ≡ 1 mod 7 olduğundan n ≡ 0 mod 3 yani n, 3 ün katı olmalıdır. Özetle n, 2, 4 ve 3 ün ortak katı olmalı yani en küçük değer n = EKOK ( 2, 4, 3 ) olur: EKOK ( 2, 4, 3 ) = 12 Sonuç: n = 12 Bu nedenle doğru seçenek B ( 12 ) olur; yani B şıkkı doğrudur

  1. Çözüm: İstenen koşul: 2 n − 1 sayısı 105 ile tam bölünecek. Önce 105 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 105 = 3 · 5 · 7 Bu durumda aynı anda şu üç koşul sağlanmalıdır: 2 n ≡ 1 mod 3 2 n ≡ 1 mod 5 2 n ≡ 1 mod 7 Mod 3 için: 2 ≡ − 1 mod 3 2 n ≡ − 1 n mod 3 Buradan − 1 n ≡ 1 olması için n çift olmalıdır. Mod 5 için 2 4 = 16 ≡ 1 mod 5 olduğundan n ≡ 0 mod 4 yani n, 4 ün katı olmalıdır. Mod 7 için 2 3 = 8 ≡ 1 mod 7 olduğundan n ≡ 0 mod 3 yani n, 3 ün katı olmalıdır. Özetle n, 2, 4 ve 3 ün ortak katı olmalı yani en küçük değer n = EKOK ( 2, 4, 3 ) olur: EKOK ( 2, 4, 3 ) = 12 Sonuç: n = 12 Bu nedenle doğru seçenek B ( 12 ) olur; yani B şıkkı doğrudur

İstenen koşul:

2n−1

sayısı

105

ile tam bölünecek.

Önce

105

sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

105=3·5·7

Bu durumda aynı anda şu üç koşul sağlanmalıdır:

2n≡1mod32n≡1mod52n≡1mod7

Mod

3

için:

2≡−1mod32n≡−1nmod3

Buradan

−1n≡1

olması için

nçift

olmalıdır.

Mod

5

için

24=16≡1mod5

olduğundan

n≡0mod4

yani

n,4ün katı

olmalıdır.

Mod

7

için

23=8≡1mod7

olduğundan

n≡0mod3

yani

n,3ün katı

olmalıdır.

Özetle

n,2,4ve3ün ortak katı olmalı

yani en küçük değer

n=EKOK(2,4,3)

olur:

EKOK(2,4,3)=12

Sonuç:

n=12

Bu nedenle doğru seçenek

B(12)

olur; yani

B şıkkı doğrudur
10. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için gcd(a,b)=12 ve lcm(a,b)=420 olsun.

a<b koşulunu sağlayan kaç farklı (a,b) ikilisi vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: gcd ( a, b ) = 12 lcm ( a, b ) = 420 İstenen: a < b koşulunu sağlayan ikili sayısı. Adım 1: Ortak böleni ayıralım. a = 12 x b = 12 y Bu durumda gcd ( x, y ) = 1 Adım 2: EKOK bilgisini kullanalım. Bilinen özdeşlik: a b = gcd ( a, b ) · lcm ( a, b ) Buradan a b = 12 · 420 Diğer yandan a b = 12 x · 12 y = 144 x y Eşitleyelim: 144 x y = 5040 Buradan x y = 35 Adım 3: gcd ( x, y ) = 1 ve x y = 35 şartlarını sağlayan çiftleri bulalım. Çarpanlara ayıralım: 35 = 5 · 7 Çarpımı 35 olan pozitif tam sayı çiftleri: ( 1, 35 ), ( 35, 1 ), ( 5, 7 ), ( 7, 5 ) Bu çiftlerin hepsinde ortak bölen 1 olduğu için hepsi uygundur. Adım 4: a < b koşulunu uygulayalım. Çünkü a = 12 x b = 12 y olduğundan a < b ⇔ x < y Bu durumda sadece ( x, y ) = ( 1, 35 ) ve ( x, y ) = ( 5, 7 ) kalır. Adım 5: Gerçek ( a, b ) ikilerini yazalım. ( a, b ) = ( 12 · 1, 12 · 35 ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 12 · 5, 12 · 7 ) = ( 60, 84 ) Sonuç: 2 farklı ikili vardır. Bu nedenle doğru seçenek D950 'dir.

  1. Çözüm: Verilenler: gcd ( a, b ) = 12 lcm ( a, b ) = 420 İstenen: a < b koşulunu sağlayan ikili sayısı. Adım 1: Ortak böleni ayıralım. a = 12 x b = 12 y Bu durumda gcd ( x, y ) = 1 Adım 2: EKOK bilgisini kullanalım. Bilinen özdeşlik: a b = gcd ( a, b ) · lcm ( a, b ) Buradan a b = 12 · 420 Diğer yandan a b = 12 x · 12 y = 144 x y Eşitleyelim: 144 x y = 5040 Buradan x y = 35 Adım 3: gcd ( x, y ) = 1 ve x y = 35 şartlarını sağlayan çiftleri bulalım. Çarpanlara ayıralım: 35 = 5 · 7 Çarpımı 35 olan pozitif tam sayı çiftleri: ( 1, 35 ), ( 35, 1 ), ( 5, 7 ), ( 7, 5 ) Bu çiftlerin hepsinde ortak bölen 1 olduğu için hepsi uygundur. Adım 4: a < b koşulunu uygulayalım. Çünkü a = 12 x b = 12 y olduğundan a < b ⇔ x < y Bu durumda sadece ( x, y ) = ( 1, 35 ) ve ( x, y ) = ( 5, 7 ) kalır. Adım 5: Gerçek ( a, b ) ikilerini yazalım. ( a, b ) = ( 12 · 1, 12 · 35 ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 12 · 5, 12 · 7 ) = ( 60, 84 ) Sonuç: 2 farklı ikili vardır. Bu nedenle doğru seçenek D950 'dir.

Verilenler:

gcd(a,b)=12lcm(a,b)=420

İstenen:

a<b

koşulunu sağlayan ikili sayısı.

Adım 1: Ortak böleni ayıralım.

a=12xb=12y

Bu durumda

gcd(x,y)=1

Adım 2: EKOK bilgisini kullanalım.

Bilinen özdeşlik:

ab=gcd(a,b)·lcm(a,b)

Buradan

ab=12·420

Diğer yandan

ab=12x·12y=144xy

Eşitleyelim:

144xy=5040

Buradan

xy=35

Adım 3:

gcd(x,y)=1

ve

xy=35

şartlarını sağlayan çiftleri bulalım.

Çarpanlara ayıralım:

35=5·7

Çarpımı 35 olan pozitif tam sayı çiftleri:

(1,35),(35,1),(5,7),(7,5)

Bu çiftlerin hepsinde ortak bölen

1

olduğu için hepsi uygundur.

Adım 4:

a<b

koşulunu uygulayalım.

Çünkü

a=12xb=12y

olduğundan

a<b⇔x<y

Bu durumda sadece

(x,y)=(1,35)

ve

(x,y)=(5,7)

kalır.

Adım 5: Gerçek

(a,b)

ikilerini yazalım.

(a,b)=(12·1,12·35)=(12,420)(a,b)=(12·5,12·7)=(60,84)

Sonuç:

2

farklı ikili vardır. Bu nedenle doğru seçenek B'dir.

Önceki testSonraki test