9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Verilen bileşik önerme aşağıdaki gibidir: ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ¬ r ) İlk adım olarak, koşullu önermeyi açalım: ( ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) ) Şimdi ikinci parantezi, üçüncü terimdeki değilleme ile birlikte sadeleştirelim (dağıtma özelliği): ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) = ( ( ¬ q ∧ ¬ r ) ∨ ( r ∧ ¬ r ) ) = ¬ q ∧ ¬ r Bu sadeleştirmeyi tüm ifadeye yerleştirelim: ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) Şimdi ilk parantezi, yanındaki değilleme ile sadeleştirelim (yine dağıtma ile): ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ) = ( ( ¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ q ) ) = ¬ p ∧ ¬ q Sonuç olarak tüm ifade şu hale gelir: ¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında, verilen bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek şıkkıC704dır. Yani doğru cevap C721’dır.

1. Çözüm: Verilen bileşik önerme aşağıdaki gibidir: ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ¬ r ) İlk adım olarak, koşullu önermeyi açalım: ( ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) ) Şimdi ikinci parantezi, üçüncü terimdeki değilleme ile birlikte sadeleştirelim (dağıtma özelliği): ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) = ( ( ¬ q ∧ ¬ r ) ∨ ( r ∧ ¬ r ) ) = ¬ q ∧ ¬ r Bu sadeleştirmeyi tüm ifadeye yerleştirelim: ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) Şimdi ilk parantezi, yanındaki değilleme ile sadeleştirelim (yine dağıtma ile): ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ) = ( ( ¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ q ) ) = ¬ p ∧ ¬ q Sonuç olarak tüm ifade şu hale gelir: ¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında, verilen bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek şıkkıC704dır. Yani doğru cevap C721’dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitlik: 2 x - 3 = 5 Mutlak değer tanımına göre iki durum yazılır: 2 x - 3 = 5 2 x - 3 = - 5 1. durumu çözelim: 2 x = 8 x = 4 2. durumu çözelim: 2 x = - 2 x = - 1 İstenen pozitif tam sayı olduğundan yalnızca şu değer uygundur: x = 4 Bu değer şıklarda seçeneğiB259dir; dolayısıyla doğru cevap B286 ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitlik: 2 x - 3 = 5 Mutlak değer tanımına göre iki durum yazılır: 2 x - 3 = 5 2 x - 3 = - 5 1. durumu çözelim: 2 x = 8 x = 4 2. durumu çözelim: 2 x = - 2 x = - 1 İstenen pozitif tam sayı olduğundan yalnızca şu değer uygundur: x = 4 Bu değer şıklarda seçeneğiB259dir; dolayısıyla doğru cevap B286 ’dır.

Doğru cevap: B

Bir olayın olasılığı $0$ ile $1$ arasında olur.

1. Örnek uzayı belirle: Deneyde tüm olası sonuçların kaç tane olduğunu say.
2. Olayı say: İstenen olayın kaç sonuçla gerçekleştiğini bulup olasılığı olay sayısı / tüm durum sayısı olarak yaz.

Doğru cevap: A

1) Ölçek bilgisini orantı olarak yazalım: 1 cm = 250 m 2) Haritadaki uzaklık verilmiş: 6 cm 3) Orantıyı kurup gerçek uzaklığı metre cinsinden bulalım: 6 cm → 6 × 250 m 6 × 250 = 1500 m 4) Metreyi kilometreye çevirelim: 1500 m = 1500 1000 km 1500 1000 km = 1.5 km 5) Bulduğumuz değer A şıkkı ile aynıdır. Doğru cevap: A. 1.5 km

1. Çözüm: 1) Ölçek bilgisini orantı olarak yazalım: 1 cm = 250 m 2) Haritadaki uzaklık verilmiş: 6 cm 3) Orantıyı kurup gerçek uzaklığı metre cinsinden bulalım: 6 cm → 6 × 250 m 6 × 250 = 1500 m 4) Metreyi kilometreye çevirelim: 1500 m = 1500 1000 km 1500 1000 km = 1.5 km 5) Bulduğumuz değer A şıkkı ile aynıdır. Doğru cevap: A. 1.5 km

Doğru cevap: C

İlk yer için 3, ikinci yer için 2 seçenek vardır; $6$.

1. Durumu sınıflandır: Soruda sıralama mı, seçim mi, yoksa aşamalı sayma mı istendiğini belirle.
2. Uygun sayma yöntemini uygula: Faktöriyel, çarpma kuralı, permütasyon veya kombinasyon formülünü kullan.

Doğru cevap: C

İşlem: ( 5 6 − 1 4 ) ÷ 2 3 Önce parantez içini hesaplayalım (paydaları eşitleyelim): 5 6 − 1 4 = 5 × 2 6 × 2 − 1 × 3 4 × 3 Düzenleyelim: 10 12 − 3 12 = 7 12 Şimdi bölme işlemini ters çevirip çarpma yapalım: 7 12 ÷ 2 3 = 7 12 × 3 2 Çarpalım ve sadeleştirelim: 7 × 3 12 × 2 = 21 24 = 7 8 Sonuç: 7 8 Şıklardan bu değer şıkkıC407dır. Yani A doğru.

1. Çözüm: İşlem: ( 5 6 − 1 4 ) ÷ 2 3 Önce parantez içini hesaplayalım (paydaları eşitleyelim): 5 6 − 1 4 = 5 × 2 6 × 2 − 1 × 3 4 × 3 Düzenleyelim: 10 12 − 3 12 = 7 12 Şimdi bölme işlemini ters çevirip çarpma yapalım: 7 12 ÷ 2 3 = 7 12 × 3 2 Çarpalım ve sadeleştirelim: 7 × 3 12 × 2 = 21 24 = 7 8 Sonuç: 7 8 Şıklardan bu değer şıkkıC407dır. Yani A doğru.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: ∀ a, b ∈ A, a ≠ b ⇒ 3 ∤ ( a + b ) Bu tür sorularda en hızlı yöntem sayıları mod 3 kalıntılarına göre sınıflandırmaktır. 1) Mod 3 kalıntı sınıfları: 0, 1, 2 2) Hangi kalıntı çiftleri toplamda 3’ün katını verir? 0 + 0 ≡ 0 ( m o d   3 ) 1 + 2 ≡ 0 ( m o d   3 ) 2 + 1 ≡ 0 ( m o d   3 ) Dolayısıyla koşul şunu zorunlu kılar: • 0 kalıntılılardan (3’ün katlarından) en fazla 1 tane alınabilir; çünkü iki tane alınırsa toplamları 3’ün katı olur. • 1 kalıntılı ve 2 kalıntılı sayılar aynı anda A’da bulunamaz; çünkü biri 1, diğeri 2 olursa toplam 3’ün katı olur. 3) Şimdi 1’den 2025’e kadar sayıların mod 3 dağılımını bulalım. Çünkü 2025 = 3 · 675 Bu aralıkta her üçlü blokta (3k+1, 3k+2, 3k+3) her kalıntıdan bir tane vardır. Bu yüzden sayılar eşit dağılır: | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 0 ( m o d   3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 1 ( m o d   3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 2 ( m o d   3 ) } | = 675 4) En büyük A’yı kurma: • 1 kalıntılıların hepsini alırsak 675 eleman eder. Buna ek olarak 0 kalıntılılardan en fazla 1 tane daha alabiliriz. • Ya da 2 kalıntılıların hepsini alıp yine 0 kalıntılılardan 1 tane ekleyebiliriz. Her iki durumda da maksimum eleman sayısı: | A | ≤ 675 + 1 = 676 5) Bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim (örnek): 3’ün katlarından bir tane ve 1 kalıntılıların hepsini alalım. Örneğin 3’ü seçersek A şu şartı bozmadan kurulabilir: A = { 3 } ∪ { 1, 4, 7, …, 2023 } Bu kümede iki farklı elemanın toplamı hiçbir zaman 3’ün katı olmaz; dolayısıyla 676 mümkündür ve maksimumdur. Sonuç: Doğru cevap B ve değer 676

1. Çözüm: Verilen koşul: ∀ a, b ∈ A, a ≠ b ⇒ 3 ∤ ( a + b ) Bu tür sorularda en hızlı yöntem sayıları mod 3 kalıntılarına göre sınıflandırmaktır. 1) Mod 3 kalıntı sınıfları: 0, 1, 2 2) Hangi kalıntı çiftleri toplamda 3’ün katını verir? 0 + 0 ≡ 0 ( m o d   3 ) 1 + 2 ≡ 0 ( m o d   3 ) 2 + 1 ≡ 0 ( m o d   3 ) Dolayısıyla koşul şunu zorunlu kılar: • 0 kalıntılılardan (3’ün katlarından) en fazla 1 tane alınabilir; çünkü iki tane alınırsa toplamları 3’ün katı olur. • 1 kalıntılı ve 2 kalıntılı sayılar aynı anda A’da bulunamaz; çünkü biri 1, diğeri 2 olursa toplam 3’ün katı olur. 3) Şimdi 1’den 2025’e kadar sayıların mod 3 dağılımını bulalım. Çünkü 2025 = 3 · 675 Bu aralıkta her üçlü blokta (3k+1, 3k+2, 3k+3) her kalıntıdan bir tane vardır. Bu yüzden sayılar eşit dağılır: | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 0 ( m o d   3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 1 ( m o d   3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 2 ( m o d   3 ) } | = 675 4) En büyük A’yı kurma: • 1 kalıntılıların hepsini alırsak 675 eleman eder. Buna ek olarak 0 kalıntılılardan en fazla 1 tane daha alabiliriz. • Ya da 2 kalıntılıların hepsini alıp yine 0 kalıntılılardan 1 tane ekleyebiliriz. Her iki durumda da maksimum eleman sayısı: | A | ≤ 675 + 1 = 676 5) Bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim (örnek): 3’ün katlarından bir tane ve 1 kalıntılıların hepsini alalım. Örneğin 3’ü seçersek A şu şartı bozmadan kurulabilir: A = { 3 } ∪ { 1, 4, 7, …, 2023 } Bu kümede iki farklı elemanın toplamı hiçbir zaman 3’ün katı olmaz; dolayısıyla 676 mümkündür ve maksimumdur. Sonuç: Doğru cevap B ve değer 676

Doğru cevap: C

Adım 1: Sayının onlar basamağına a, birler basamağına b diyelim. Sayı = 10 a + b Rakamları yer değiştirilince = 10 b + a Adım 2: Rakamlar toplamı bilgisini denkleme çevirelim. a + b = 9 Adım 3: “Bu sayı ile rakamları yer değiştirilince oluşan sayı arasındaki fark” ifadesini, ilk sayıdan ikinci sayıyı çıkarınca elde edilen fark olarak yazalım. ( 10 a + b ) - ( 10 b + a ) = 27 Adım 4: Denklemde sadeleştirme yapalım. 10 a + b - 10 b - a = 27 9 a - 9 b = 27 9 ( a - b ) = 27 a - b = 3 Adım 5: Şimdi sistemi çözelim. a + b = 9 a - b = 3 İki denklemi taraf tarafa toplayalım. 2 a = 12 a = 6 Bulduğumuz değeri toplam denkleminde yerine yazalım. 6 + b = 9 b = 3 Adım 6: Sayıyı yazalım ve kontrol edelim. Sayı = 10 × 6 + 3 = 63 Yer değişmiş hali = 36 63 - 36 = 27 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

1. Çözüm: Adım 1: Sayının onlar basamağına a, birler basamağına b diyelim. Sayı = 10 a + b Rakamları yer değiştirilince = 10 b + a Adım 2: Rakamlar toplamı bilgisini denkleme çevirelim. a + b = 9 Adım 3: “Bu sayı ile rakamları yer değiştirilince oluşan sayı arasındaki fark” ifadesini, ilk sayıdan ikinci sayıyı çıkarınca elde edilen fark olarak yazalım. ( 10 a + b ) - ( 10 b + a ) = 27 Adım 4: Denklemde sadeleştirme yapalım. 10 a + b - 10 b - a = 27 9 a - 9 b = 27 9 ( a - b ) = 27 a - b = 3 Adım 5: Şimdi sistemi çözelim. a + b = 9 a - b = 3 İki denklemi taraf tarafa toplayalım. 2 a = 12 a = 6 Bulduğumuz değeri toplam denkleminde yerine yazalım. 6 + b = 9 b = 3 Adım 6: Sayıyı yazalım ve kontrol edelim. Sayı = 10 × 6 + 3 = 63 Yer değişmiş hali = 36 63 - 36 = 27 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Doğru cevap: B

İfade: | - 3 | + ( - 2 ) 2 Adım 1: Mutlak değeri hesaplayalım. | - 3 | = 3 Adım 2: Üslü ifadeyi hesaplayalım. ( - 2 ) 2 = 4 Adım 3: Sonucu toplayalım. 3 + 4 = 7 Sonuç: 7 Dolayısıyla doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: | - 3 | + ( - 2 ) 2 Adım 1: Mutlak değeri hesaplayalım. | - 3 | = 3 Adım 2: Üslü ifadeyi hesaplayalım. ( - 2 ) 2 = 4 Adım 3: Sonucu toplayalım. 3 + 4 = 7 Sonuç: 7 Dolayısıyla doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: B

İfade: 2 3 ⋅ 2 - 5 2 - 1 Paydaki aynı tabanlı üsleri toplayalım: 2 3 + - 5 2 - 1 Üstü sadeleştirelim: 2 - 2 2 - 1 Bölmede üsler çıkarılır: 2 - 2 - - 1 Üstü hesaplayalım: 2 - 1 Negatif üslü ifadeyi kesir olarak yazalım: 1 2 Sonuç şıkkıB236dır.

1. Çözüm: İfade: 2 3 ⋅ 2 - 5 2 - 1 Paydaki aynı tabanlı üsleri toplayalım: 2 3 + - 5 2 - 1 Üstü sadeleştirelim: 2 - 2 2 - 1 Bölmede üsler çıkarılır: 2 - 2 - - 1 Üstü hesaplayalım: 2 - 1 Negatif üslü ifadeyi kesir olarak yazalım: 1 2 Sonuç şıkkıB236dır.