9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

9. sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı için 10 soruluk online yazılı testleri, cevap anahtarlı sorular ve konu karması çalışma içerikleri.

9. Sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı soruları, yıl sonu hazırlığı genel tekrar mantığıyla ele alınmalıdır. Matematik yazılısı, yeni lise düzeyinde işlem güveni ve akıl yürütme düzeni kurmak için önemli bir eşiktir. Bu sayfa, yazılıya çalışırken öğrencinin sayı kümeleri, cebirsel düşünme, denklem kurma ve problem çözme becerisini ölçmeye yardımcı olacak şekilde hazırlanmıştır. Konu dağılımı sınıflar bölümündeki güncel test havuzuyla uyumludur ve sınav öncesi tekrar için düzenli bir yol haritası verir.

Bu yazılı kapsamında Matematik Temel Kavramlar, Matematik Mantık, Matematik Kümeler, Matematik Rasyonel Sayılar başlıklarıyla başlayan ve Matematik Olasılık, Matematik Permütasyon ve Kombinasyon, Matematik Rutin Olmayan Problemler konularına kadar uzanan bir çalışma alanı bulunur. Konuların karışık biçimde ele alınması, öğrencinin yalnızca aynı tip soruya alışmasını engeller. Böylece farklı kazanımlar aynı sınav atmosferinde denenir ve hangi başlığın ek tekrar istediği daha net görülür.

Matematikte doğru cevap kadar çözüm yolu da önemlidir. İşlem hatalarını, yanlış kurulan denklemleri ve eksik okunan ifadeleri ayrı ayrı not etmek sonraki çalışmayı çok daha verimli hale getirir. bu çalışma eksikleri son kez görmek ve konu testlerine bilinçli dönmek için kullanılabilir. Soruları çözerken süre tutmak, emin olunmayan maddeleri işaretlemek ve çözümden sonra yanlışları konu başlığına göre gruplamak özellikle faydalıdır. Bu sayede tekrar planı genel bir okuma olmaktan çıkar, doğrudan eksik kazanımlara yönelir.

Sayfanın altındaki ilgili konu testleri, yazılıdan sonra ayrıntılı pekiştirme yapmak için kullanılabilir. Matematik Temel Kavramlar veya Matematik Mantık gibi başlıklarda hata yapan öğrenciler doğrudan ilgili testlere geçerek aynı kazanımı farklı soru tipleriyle yeniden çalışabilir. Konu testlerine geri dönüş yapılırken yanlışın işlemden mi, yorumdan mı yoksa denklem kurmadan mı kaynaklandığı kolayca görülür.

9. sınıf düzeyinde düzenli tekrar, lise konularının temelini güçlendirdiği için her yazılı çalışması aynı zamanda sonraki üniteler için hazırlık anlamına gelir.

Çalışma sonunda doğru sayısı kadar yanlışların türüne de bakmak gerekir; bu küçük analiz, bir sonraki çözümde çok daha bilinçli ilerlemeyi sağlar.

9. sınıf düzeyinde düzenli tekrar, lise konularının temelini güçlendirdiği için her yazılı çalışması aynı zamanda sonraki üniteler için hazırlık anlamına gelir.

Test seç

166 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test 17. Test 18. Test 19. Test 20. Test 21. Test 22. Test 23. Test 24. Test 25. Test 26. Test 27. Test 28. Test 29. Test 30. Test 31. Test 32. Test 33. Test 34. Test 35. Test 36. Test 37. Test 38. Test 39. Test 40. Test 41. Test 42. Test 43. Test 44. Test 45. Test 46. Test 47. Test 48. Test 49. Test 50. Test 51. Test 52. Test 53. Test 54. Test 55. Test 56. Test 57. Test 58. Test 59. Test 60. Test 61. Test 62. Test 63. Test 64. Test 65. Test 66. Test 67. Test 68. Test 69. Test 70. Test 71. Test 72. Test 73. Test 74. Test 75. Test 76. Test 77. Test 78. Test 79. Test 80. Test 81. Test 82. Test 83. Test 84. Test 85. Test 86. Test 87. Test 88. Test 89. Test 90. Test 91. Test 92. Test 93. Test 94. Test 95. Test 96. Test 97. Test 98. Test 99. Test 100. Test 101. Test 102. Test 103. Test 104. Test 105. Test 106. Test 107. Test 108. Test 109. Test 110. Test 111. Test 112. Test 113. Test 114. Test 115. Test 116. Test 117. Test 118. Test 119. Test 120. Test 121. Test 122. Test 123. Test 124. Test 125. Test 126. Test 127. Test 128. Test 129. Test 130. Test 131. Test 132. Test 133. Test 134. Test 135. Test 136. Test 137. Test 138. Test 139. Test 140. Test 141. Test 142. Test 143. Test 144. Test 145. Test 146. Test 147. Test 148. Test 149. Test 150. Test 151. Test 152. Test 153. Test 154. Test 155. Test 156. Test 157. Test 158. Test 159. Test 160. Test 161. Test 162. Test 163. Test 164. Test 165. Test 166. Test

165. Test

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Test 165 için 10 soruluk online yazılı testi.

Her soru için doğru seçeneği işaretleyin.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $n$ tam sayısı için aşağıdaki koşullar sağlanıyor:
$n + 1$ sayısı $4$ ile tam bölünebiliyor.
$n + 2$ sayısı $5$ ile tam bölünebiliyor.
$n + 3$ sayısı $6$ ile tam bölünebiliyor.
$n + 4$ sayısı $7$ ile tam bölünebiliyor.
$n + 5$ sayısı $11$ ile tam bölünebiliyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Koşulları kalan (mod) şeklinde yazalım. n + 1 ≡ 0 ( mod 4 ) n + 2 ≡ 0 ( mod 5 ) n + 3 ≡ 0 ( mod 6 ) n + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) İlk dört koşuldan, her birinde kalan aynı olduğundan n aynı anda hepsine göre aynı kalanı verir: n ≡ 3 ( mod 4 ) n ≡ 3 ( mod 5 ) n ≡ 3 ( mod 6 ) n ≡ 3 ( mod 7 ) Bu durumda n, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir. EKOK ( 4, 5, 6, 7 ) = 2 2 · 3 · 5 · 7 = 420 Dolayısıyla: n ≡ 3 ( mod 420 ) n = 420 k + 3 Şimdi son koşulu kullanalım: n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) n ≡ − 5 ( mod 11 ) ≡ 6 ( mod 11 ) n = 420k + 3 ifadesini bu koşula yerleştirelim: 420 k + 3 ≡ 6 ( mod 11 ) 420 k ≡ 3 ( mod 11 ) Önce 420 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim: 420 ≡ 2 ( mod 11 ) 2 k ≡ 3 ( mod 11 ) Şimdi 2 ’nin mod 11 ’de tersini bulalım: 2 · 6 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: k ≡ 6 · 3 ( mod 11 ) ≡ 18 ( mod 11 ) ≡ 7 ( mod 11 ) En küçük pozitif çözüm için en küçük uygun k değerini seçelim: k = 7 n = 420 · 7 + 3 = 2943 Sonuç: Doğru cevap şık D’dir. n = 2943

Çözüm: Koşulları kalan (mod) şeklinde yazalım. n + 1 ≡ 0 ( mod 4 ) n + 2 ≡ 0 ( mod 5 ) n + 3 ≡ 0 ( mod 6 ) n + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) İlk dört koşuldan, her birinde kalan aynı olduğundan n aynı anda hepsine göre aynı kalanı verir: n ≡ 3 ( mod 4 ) n ≡ 3 ( mod 5 ) n ≡ 3 ( mod 6 ) n ≡ 3 ( mod 7 ) Bu durumda n, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir. EKOK ( 4, 5, 6, 7 ) = 2 2 · 3 · 5 · 7 = 420 Dolayısıyla: n ≡ 3 ( mod 420 ) n = 420 k + 3 Şimdi son koşulu kullanalım: n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) n ≡ − 5 ( mod 11 ) ≡ 6 ( mod 11 ) n = 420k + 3 ifadesini bu koşula yerleştirelim: 420 k + 3 ≡ 6 ( mod 11 ) 420 k ≡ 3 ( mod 11 ) Önce 420 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim: 420 ≡ 2 ( mod 11 ) 2 k ≡ 3 ( mod 11 ) Şimdi 2 ’nin mod 11 ’de tersini bulalım: 2 · 6 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: k ≡ 6 · 3 ( mod 11 ) ≡ 18 ( mod 11 ) ≡ 7 ( mod 11 ) En küçük pozitif çözüm için en küçük uygun k değerini seçelim: k = 7 n = 420 · 7 + 3 = 2943 Sonuç: Doğru cevap şık D’dir. n = 2943

Koşulları kalan (mod) şeklinde yazalım.

n + 1 \equiv 0 (\mod 4)

n + 2 \equiv 0 (\mod 5)

n + 3 \equiv 0 (\mod 6)

n + 4 \equiv 0 (\mod 7)

n + 5 \equiv 0 (\mod 11)

İlk dört koşuldan, her birinde kalan aynı olduğundan n aynı anda hepsine göre aynı kalanı verir:

n \equiv 3 (\mod 4)

n \equiv 3 (\mod 5)

n \equiv 3 (\mod 6)

n \equiv 3 (\mod 7)

Bu durumda n, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir.

EKOK (4, 5, 6, 7) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420

Dolayısıyla:

n \equiv 3 (\mod 420)

n = 420 k + 3

Şimdi son koşulu kullanalım:

n + 5 \equiv 0 (\mod 11)

n \equiv - 5 (\mod 11) \equiv 6 (\mod 11)

n = 420k + 3 ifadesini bu koşula yerleştirelim:

420 k + 3 \equiv 6 (\mod 11)

420 k \equiv 3 (\mod 11)

Önce 420 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim:

420 \equiv 2 (\mod 11)

2 k \equiv 3 (\mod 11)

Şimdi 2’nin mod 11’de tersini bulalım:

2 \cdot 6 = 12 \equiv 1 (\mod 11)

Her iki tarafı 6 ile çarpalım:

k \equiv 6 \cdot 3 (\mod 11) \equiv 18 (\mod 11) \equiv 7 (\mod 11)

En küçük pozitif çözüm için en küçük uygun k değerini seçelim:

k = 7

n = 420 \cdot 7 + 3 = 2943

Sonuç: Doğru cevap şık D’dir.

n = 2943

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $N$ , $72$ ile bölündüğünde kalan $35$ , $45$ ile bölündüğünde kalan $8$ olduğuna göre $N$ sayısının $360$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşulları eşitlik (modüler) biçimde yazalım: N ≡ 35 mod 72 N ≡ 8 mod 45 Birinci koşuldan tam sayı olacak şekilde yazalım: N = 72 k + 35 Bunu ikinci koşulda yerine koyup mod alalım: 72 k + 35 ≡ 8 mod 45 Taraflardan 35 çıkaralım: 72 k ≡ 8 − 35 mod 45 72 k ≡ − 27 mod 45 Negatif kalanı pozitif kalana çevirelim: − 27 ≡ 18 mod 45 72 k ≡ 18 mod 45 Sadeleştirmek için ortak böleni kullanalım: gcd ( 72, 45 ) = 9 Her tarafı 9 ile bölelim: 8 k ≡ 2 mod 5 Burada 8 sayısını mod 5 içinde sadeleştirelim: 8 ≡ 3 mod 5 3 k ≡ 2 mod 5 3 ’ün mod 5 ’te tersi 2 ’dir, çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1 mod 5 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 4 mod 5 Yani: k = 5 t + 4 Bunu N ifadesinde yerine yazalım: N = 72 ( 5 t + 4 ) + 35 N = 360 t + 288 + 35 N = 360 t + 323 Dolayısıyla N sayısının 360 ile bölümünden kalan: N ≡ 323 mod 360 Şıklardan bu değer C seçeneğidir; yani C doğru mu kontrolü: 323 Sonuç: C doğrudur.

Çözüm: Verilen koşulları eşitlik (modüler) biçimde yazalım: N ≡ 35 mod 72 N ≡ 8 mod 45 Birinci koşuldan tam sayı olacak şekilde yazalım: N = 72 k + 35 Bunu ikinci koşulda yerine koyup mod alalım: 72 k + 35 ≡ 8 mod 45 Taraflardan 35 çıkaralım: 72 k ≡ 8 − 35 mod 45 72 k ≡ − 27 mod 45 Negatif kalanı pozitif kalana çevirelim: − 27 ≡ 18 mod 45 72 k ≡ 18 mod 45 Sadeleştirmek için ortak böleni kullanalım: gcd ( 72, 45 ) = 9 Her tarafı 9 ile bölelim: 8 k ≡ 2 mod 5 Burada 8 sayısını mod 5 içinde sadeleştirelim: 8 ≡ 3 mod 5 3 k ≡ 2 mod 5 3 ’ün mod 5 ’te tersi 2 ’dir, çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1 mod 5 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 4 mod 5 Yani: k = 5 t + 4 Bunu N ifadesinde yerine yazalım: N = 72 ( 5 t + 4 ) + 35 N = 360 t + 288 + 35 N = 360 t + 323 Dolayısıyla N sayısının 360 ile bölümünden kalan: N ≡ 323 mod 360 Şıklardan bu değer C seçeneğidir; yani C doğru mu kontrolü: 323 Sonuç: C doğrudur.

Verilen koşulları eşitlik (modüler) biçimde yazalım:

N \equiv 35 mod 72

N \equiv 8 mod 45

Birinci koşuldan tam sayı olacak şekilde yazalım:

N = 72 k + 35

Bunu ikinci koşulda yerine koyup mod alalım:

72 k + 35 \equiv 8 mod 45

Taraflardan 35 çıkaralım:

72 k \equiv 8 - 35 mod 45

72 k \equiv - 27 mod 45

Negatif kalanı pozitif kalana çevirelim:

- 27 \equiv 18 mod 45

72 k \equiv 18 mod 45

Sadeleştirmek için ortak böleni kullanalım:

\gcd (72, 45) = 9

Her tarafı 9 ile bölelim:

8 k \equiv 2 mod 5

Burada 8 sayısını mod 5 içinde sadeleştirelim:

8 \equiv 3 mod 5

3 k \equiv 2 mod 5

3’ün mod 5’te tersi 2’dir, çünkü:

3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 mod 5

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

k \equiv 4 mod 5

Yani:

k = 5 t + 4

Bunu N ifadesinde yerine yazalım:

N = 72 (5 t + 4) + 35

N = 360 t + 288 + 35

N = 360 t + 323

Dolayısıyla N sayısının 360 ile bölümünden kalan:

N \equiv 323 mod 360

Şıklardan bu değer C seçeneğidir; yani C doğru mu kontrolü:

323

Sonuç: C doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan sayının
$N = 3^{2026} + 4^{2026}$
$11$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki sayılardan hangisi $6$ ile tam bölünür?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şıkkın A olup olmadığını, bölünebilme kuralı ile kontrol edelim. Bir sayının aşağıdaki sayı ile tam bölünebilmesi için hem çift olması hem de rakamları toplamının üçe tam bölünmesi gerekir: 6 6 = 2 × 3 A şıkkı için sayımız: 234 Çiftlik kontrolü: Son basamak çift olduğu için sayı çifttir (son basamak): 4 Üçe bölünebilme kontrolü: Rakamları toplamını bulalım: 2 + 3 + 4 = 9 Bu toplam üçe tam bölünür: 9 = 3 × 3 Hem çift hem de üçe tam bölündüğü için, bu sayı altı ile tam bölünür. Bölümü de tam sayı çıkar: 234 ÷ 6 = 39 Diğer şıkların hızlı kontrolü: B şıkkı: 231 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 1 C şıkkı: 242 Rakamları toplamı üçe tam bölünmez: 2 + 4 + 2 = 8 D şıkkı: 225 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Doğru şıkkın A olup olmadığını, bölünebilme kuralı ile kontrol edelim. Bir sayının aşağıdaki sayı ile tam bölünebilmesi için hem çift olması hem de rakamları toplamının üçe tam bölünmesi gerekir: 6 6 = 2 × 3 A şıkkı için sayımız: 234 Çiftlik kontrolü: Son basamak çift olduğu için sayı çifttir (son basamak): 4 Üçe bölünebilme kontrolü: Rakamları toplamını bulalım: 2 + 3 + 4 = 9 Bu toplam üçe tam bölünür: 9 = 3 × 3 Hem çift hem de üçe tam bölündüğü için, bu sayı altı ile tam bölünür. Bölümü de tam sayı çıkar: 234 ÷ 6 = 39 Diğer şıkların hızlı kontrolü: B şıkkı: 231 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 1 C şıkkı: 242 Rakamları toplamı üçe tam bölünmez: 2 + 4 + 2 = 8 D şıkkı: 225 Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak): 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru şıkkın A olup olmadığını, bölünebilme kuralı ile kontrol edelim.

Bir sayının aşağıdaki sayı ile tam bölünebilmesi için hem çift olması hem de rakamları toplamının üçe tam bölünmesi gerekir:

6

6 = 2 \times 3

A şıkkı için sayımız:

234

Çiftlik kontrolü: Son basamak çift olduğu için sayı çifttir (son basamak):

4

Üçe bölünebilme kontrolü: Rakamları toplamını bulalım:

2 + 3 + 4 = 9

Bu toplam üçe tam bölünür:

9 = 3 \times 3

Hem çift hem de üçe tam bölündüğü için, bu sayı altı ile tam bölünür. Bölümü de tam sayı çıkar:

234 \div 6 = 39

Diğer şıkların hızlı kontrolü:

B şıkkı:

231

Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak):

1

C şıkkı:

242

Rakamları toplamı üçe tam bölünmez:

2 + 4 + 2 = 8

D şıkkı:

225

Son basamak tek olduğu için çift değildir (son basamak):

5

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$\sum_{k = 0}^{2026} 10^{k}$ sayısının $37$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İstenen toplamı şöyle adlandıralım: S = ∑ k = 0 2026 10 k Bu bir geometrik seri olduğundan toplam formülünü kullanalım: S = 10 2027 − 1 10 − 1 = 10 2027 − 1 9 Şimdi işlemleri mod 37 altında yapacağız. 37 asal ve 37 ile 10 aralarında asal olduğu için: 10 36 ≡ 1 ( mod 37 ) Üsleri küçültelim: 10 2027 ≡ 10 2027 mod 36 ( mod 37 ) 2027 = 36 · 56 + 11 10 2027 ≡ 10 11 ( mod 37 ) Şimdi 10 ’un kuvvetlerini 37 ’ye göre bulalım: 10 2 = 100 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 4 ≡ 26 2 = 676 ≡ 10 ( mod 37 ) 10 8 ≡ 10 4 2 ≡ 10 2 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 11 = 10 8 · 10 2 · 10 ≡ 26 · 26 · 10 ( mod 37 ) 26 · 26 = 676 ≡ 10 ( mod 37 ) 10 11 ≡ 10 · 10 = 100 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 2027 ≡ 26 ( mod 37 ) Pay kısmını mod 37 ’de yazalım: 10 2027 − 1 ≡ 26 − 1 = 25 ( mod 37 ) Şimdi 9 ’un mod 37 tersini bulalım: 37 = 9 · 4 + 1 1 = 37 − 9 · 4 9 − 1 ≡ − 4 ≡ 33 ( mod 37 ) O hâlde: S ≡ 25 · 33 ( mod 37 ) 25 · 33 = 825 ≡ 11 ( mod 37 ) Sonuç (kalan): 11 Dolayısıyla doğru seçenek A ’dır; A şıkkındaki değer doğrudur.

Çözüm: İstenen toplamı şöyle adlandıralım: S = ∑ k = 0 2026 10 k Bu bir geometrik seri olduğundan toplam formülünü kullanalım: S = 10 2027 − 1 10 − 1 = 10 2027 − 1 9 Şimdi işlemleri mod 37 altında yapacağız. 37 asal ve 37 ile 10 aralarında asal olduğu için: 10 36 ≡ 1 ( mod 37 ) Üsleri küçültelim: 10 2027 ≡ 10 2027 mod 36 ( mod 37 ) 2027 = 36 · 56 + 11 10 2027 ≡ 10 11 ( mod 37 ) Şimdi 10 ’un kuvvetlerini 37 ’ye göre bulalım: 10 2 = 100 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 4 ≡ 26 2 = 676 ≡ 10 ( mod 37 ) 10 8 ≡ 10 4 2 ≡ 10 2 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 11 = 10 8 · 10 2 · 10 ≡ 26 · 26 · 10 ( mod 37 ) 26 · 26 = 676 ≡ 10 ( mod 37 ) 10 11 ≡ 10 · 10 = 100 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 2027 ≡ 26 ( mod 37 ) Pay kısmını mod 37 ’de yazalım: 10 2027 − 1 ≡ 26 − 1 = 25 ( mod 37 ) Şimdi 9 ’un mod 37 tersini bulalım: 37 = 9 · 4 + 1 1 = 37 − 9 · 4 9 − 1 ≡ − 4 ≡ 33 ( mod 37 ) O hâlde: S ≡ 25 · 33 ( mod 37 ) 25 · 33 = 825 ≡ 11 ( mod 37 ) Sonuç (kalan): 11 Dolayısıyla doğru seçenek A ’dır; A şıkkındaki değer doğrudur.

İstenen toplamı şöyle adlandıralım:

S = \sum_{k = 0}^{2026} 10^{k}

Bu bir geometrik seri olduğundan toplam formülünü kullanalım:

S = \frac{10^{2027} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{2027} - 1}{9}

Şimdi işlemleri mod37 altında yapacağız. 37 asal ve 37 ile 10 aralarında asal olduğu için:

10^{36} \equiv 1 (\mod 37)

Üsleri küçültelim:

10^{2027} \equiv 10^{2027 mod 36} (\mod 37)

2027 = 36 \cdot 56 + 11

10^{2027} \equiv 10^{11} (\mod 37)

Şimdi 10’un kuvvetlerini 37’ye göre bulalım:

10^{2} = 100 \equiv 26 (\mod 37)

10^{4} \equiv 26^{2} = 676 \equiv 10 (\mod 37)

10^{8} \equiv {10^{4}}^{2} \equiv 10^{2} \equiv 26 (\mod 37)

10^{11} = 10^{8} \cdot 10^{2} \cdot 10 \equiv 26 \cdot 26 \cdot 10 (\mod 37)

26 \cdot 26 = 676 \equiv 10 (\mod 37)

10^{11} \equiv 10 \cdot 10 = 100 \equiv 26 (\mod 37)

10^{2027} \equiv 26 (\mod 37)

Pay kısmını mod 37’de yazalım:

10^{2027} - 1 \equiv 26 - 1 = 25 (\mod 37)

Şimdi 9’un mod 37 tersini bulalım:

37 = 9 \cdot 4 + 1

1 = 37 - 9 \cdot 4

9^{- 1} \equiv - 4 \equiv 33 (\mod 37)

O hâlde:

S \equiv 25 \cdot 33 (\mod 37)

25 \cdot 33 = 825 \equiv 11 (\mod 37)

Sonuç (kalan):

11

Dolayısıyla doğru seçenek A’dır; A şıkkındaki değer doğrudur.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ pozitif tamsayısı için $n$ 'nin $7$ ile bölümünden kalan $2$ , $9$ ile bölümünden kalan $5$ , $11$ ile bölümünden kalan $7$ ise en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları denklem/kongruens olarak yazalım: n ≡ 2 (mod 7 ) n ≡ 5 (mod 9 ) n ≡ 7 (mod 11 ) İlk koşuldan n = 7 k + 2 yazalım. Bunu dokuz ile bölümünden kalan koşulunda kullanalım: 7 k + 2 ≡ 5 (mod 9 ) 7 k ≡ 3 (mod 9 ) Burada 7 ≡ − 2 (mod 9 ) olduğundan: − 2 k ≡ 3 (mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım: 2 k ≡ − 3 (mod 9 ) Ayrıca − 3 ≡ 6 (mod 9 ) olduğundan: 2 k ≡ 6 (mod 9 ) Mod dokuzda 2 sayısının tersi 5 olduğu için: k ≡ 6 ⋅ 5 ≡ 30 ≡ 3 (mod 9 ) O hâlde k = 9 t + 3 yazabiliriz. Bunu n = 7 k + 2 içine koyalım: n = 7 ( 9 t + 3 ) + 2 = 63 t + 23 Şimdi on bir ile bölümünden kalan koşulunu uygulayalım: 63 t + 23 ≡ 7 (mod 11 ) Mod on birde sadeleştirelim: 63 ≡ 8 (mod 11 ) 23 ≡ 1 (mod 11 ) Buna göre: 8 t + 1 ≡ 7 (mod 11 ) 8 t ≡ 6 (mod 11 ) Mod on birde 8 sayısının tersi 7 çünkü: 8 ⋅ 7 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım: t ≡ 6 ⋅ 7 ≡ 42 ≡ 9 (mod 11 ) O hâlde t = 11 s + 9 yazıp n = 63 t + 23 içine koyarsak: n = 63 ( 11 s + 9 ) + 23 = 693 s + 590 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 590 Sonuç: Doğru cevap 590 olup A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşulları denklem/kongruens olarak yazalım: n ≡ 2 (mod 7 ) n ≡ 5 (mod 9 ) n ≡ 7 (mod 11 ) İlk koşuldan n = 7 k + 2 yazalım. Bunu dokuz ile bölümünden kalan koşulunda kullanalım: 7 k + 2 ≡ 5 (mod 9 ) 7 k ≡ 3 (mod 9 ) Burada 7 ≡ − 2 (mod 9 ) olduğundan: − 2 k ≡ 3 (mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım: 2 k ≡ − 3 (mod 9 ) Ayrıca − 3 ≡ 6 (mod 9 ) olduğundan: 2 k ≡ 6 (mod 9 ) Mod dokuzda 2 sayısının tersi 5 olduğu için: k ≡ 6 ⋅ 5 ≡ 30 ≡ 3 (mod 9 ) O hâlde k = 9 t + 3 yazabiliriz. Bunu n = 7 k + 2 içine koyalım: n = 7 ( 9 t + 3 ) + 2 = 63 t + 23 Şimdi on bir ile bölümünden kalan koşulunu uygulayalım: 63 t + 23 ≡ 7 (mod 11 ) Mod on birde sadeleştirelim: 63 ≡ 8 (mod 11 ) 23 ≡ 1 (mod 11 ) Buna göre: 8 t + 1 ≡ 7 (mod 11 ) 8 t ≡ 6 (mod 11 ) Mod on birde 8 sayısının tersi 7 çünkü: 8 ⋅ 7 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım: t ≡ 6 ⋅ 7 ≡ 42 ≡ 9 (mod 11 ) O hâlde t = 11 s + 9 yazıp n = 63 t + 23 içine koyarsak: n = 63 ( 11 s + 9 ) + 23 = 693 s + 590 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 590 Sonuç: Doğru cevap 590 olup A şıkkıdır.

Verilen koşulları denklem/kongruens olarak yazalım:

$n \equiv 2 (mod 7)$

$n \equiv 5 (mod 9)$

$n \equiv 7 (mod 11)$

İlk koşuldan $n = 7 k + 2$ yazalım.

Bunu dokuz ile bölümünden kalan koşulunda kullanalım:

$7 k + 2 \equiv 5 (mod 9)$

$7 k \equiv 3 (mod 9)$

Burada $7 \equiv - 2 (mod 9)$ olduğundan:

$- 2 k \equiv 3 (mod 9)$

Her iki tarafı $- 1$ ile çarpalım:

$2 k \equiv - 3 (mod 9)$

Ayrıca $- 3 \equiv 6 (mod 9)$ olduğundan:

$2 k \equiv 6 (mod 9)$

Mod dokuzda $2$ sayısının tersi $5$ olduğu için:

$k \equiv 6 \cdot 5 \equiv 30 \equiv 3 (mod 9)$

O hâlde $k = 9 t + 3$ yazabiliriz. Bunu $n = 7 k + 2$ içine koyalım:

$n = 7 (9 t + 3) + 2 = 63 t + 23$

Şimdi on bir ile bölümünden kalan koşulunu uygulayalım:

$63 t + 23 \equiv 7 (mod 11)$

Mod on birde sadeleştirelim:

$63 \equiv 8 (mod 11)$

$23 \equiv 1 (mod 11)$

Buna göre:

$8 t + 1 \equiv 7 (mod 11)$

$8 t \equiv 6 (mod 11)$

Mod on birde $8$ sayısının tersi $7$ çünkü:

$8 \cdot 7 = 56 \equiv 1 (mod 11)$

Her iki tarafı $7$ ile çarpalım:

$t \equiv 6 \cdot 7 \equiv 42 \equiv 9 (mod 11)$

O hâlde $t = 11 s + 9$ yazıp $n = 63 t + 23$ içine koyarsak:

$n = 63 (11 s + 9) + 23 = 693 s + 590$

En küçük pozitif değer için $s = 0$ alınır:

$n = 590$

Sonuç: Doğru cevap $590$ olup A şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Beş basamaklı $4 x 7 y 2$ sayısı $66$ ile tam bölünebildiğine göre $x + y$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım: 66 = 2 × 3 × 11 Verilen sayı: 4 x 7 y 2 Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur. On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır. Tek sıralar: 4 + 7 + 2 = 13 Çift sıralar: x + y Fark: 13 - ( x + y ) Bu fark on birin katı olmalı: 13 - ( x + y ) ∈ { 11, 0, - 11 } Buradan olası durumlar: 13 - ( x + y ) = 11 ⇒ x + y = 2 13 - ( x + y ) = 0 ⇒ x + y = 13 13 - ( x + y ) = - 11 ⇒ x + y = 24 Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir. Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı: 4 + x + 7 + y + 2 = 13 + ( x + y ) Olasılıkları deneyelim: x + y = 2 ⇒ 13 + 2 = 15 15 ≡ 0 ( mod 3 ) x + y = 13 ⇒ 13 + 13 = 26 26 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu yüzden sadece birinci durum uygundur. Sonuç: x + y = 2 Dolayısıyla doğru seçenek C1010’dir.

Çözüm: Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım: 66 = 2 × 3 × 11 Verilen sayı: 4 x 7 y 2 Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur. On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır. Tek sıralar: 4 + 7 + 2 = 13 Çift sıralar: x + y Fark: 13 - ( x + y ) Bu fark on birin katı olmalı: 13 - ( x + y ) ∈ { 11, 0, - 11 } Buradan olası durumlar: 13 - ( x + y ) = 11 ⇒ x + y = 2 13 - ( x + y ) = 0 ⇒ x + y = 13 13 - ( x + y ) = - 11 ⇒ x + y = 24 Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir. Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı: 4 + x + 7 + y + 2 = 13 + ( x + y ) Olasılıkları deneyelim: x + y = 2 ⇒ 13 + 2 = 15 15 ≡ 0 ( mod 3 ) x + y = 13 ⇒ 13 + 13 = 26 26 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu yüzden sadece birinci durum uygundur. Sonuç: x + y = 2 Dolayısıyla doğru seçenek C1010’dir.

Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım:

66 = 2 \times 3 \times 11

Verilen sayı:

4 x 7 y 2

Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur.

On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır.

Tek sıralar:

4 + 7 + 2 = 13

Çift sıralar:

x + y

Fark:

13 - (x + y)

Bu fark on birin katı olmalı:

13 - (x + y) \in {11, 0, - 11}

Buradan olası durumlar:

13 - (x + y) = 11 \Rightarrow x + y = 2

13 - (x + y) = 0 \Rightarrow x + y = 13

13 - (x + y) = - 11 \Rightarrow x + y = 24

Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir.

Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı:

4 + x + 7 + y + 2 = 13 + (x + y)

Olasılıkları deneyelim:

x + y = 2 \Rightarrow 13 + 2 = 15

15 \equiv 0 (\mod 3)

x + y = 13 \Rightarrow 13 + 13 = 26

26 \equiv 2 (\mod 3)

Bu yüzden sadece birinci durum uygundur.

Sonuç:

x + y = 2

Dolayısıyla doğru seçenek C3628’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki sayılardan hangisi $11$ ile tam bölünür?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı $N$ sayısı için
$N \equiv 0 (mod 9)$ ve $N \equiv 2 (mod 11)$ koşulları sağlanıyor.
Bu sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Koşulları birlikte çözmek için önce mod 9 ve mod 11’i tek bir mod altında birleştirelim. N ≡ 0 ( mod 9 ) N ≡ 2 ( mod 11 ) 2) İlk koşuldan N = 9k yazalım ve bunu mod 11’de kullanalım. N = 9 k 9 k ≡ 2 ( mod 11 ) 3) 9 sayısının mod 11’de tersini bulalım. Çünkü 9 ⋅ 5 = 45 ≡ 1 ( mod 11 ) Buradan mod 11’de 9 ile çarpmayı kaldırmak için her iki tarafı 5 ile çarparız: k ≡ 2 ⋅ 5 ≡ 10 ( mod 11 ) 4) O hâlde k = 11 t + 10 ve N = 9 ( 11 t + 10 ) = 99 t + 90 Yani tüm çözümler N ≡ 90 ( mod 99 ) 5) En küçük dört basamaklı sayı için 99t + 90 ifadesini 1000’i aşacak şekilde deneriz: t = 10 ⇒ N = 1080 1080’de rakamlar farklı değil (0 tekrarlı). t = 11 ⇒ N = 1179 1179’da rakamlar farklı değil (1 tekrarlı). t = 12 ⇒ N = 1278 1278’de rakamlar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla aranan en küçük sayı N = 1278 6) Şimdi N ’nin 7 ile bölümünden kalanı bulalım: 1278 = 7 ⋅ 182 + 4 Bu nedenle kalan 4 7) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: 1) Koşulları birlikte çözmek için önce mod 9 ve mod 11’i tek bir mod altında birleştirelim. N ≡ 0 ( mod 9 ) N ≡ 2 ( mod 11 ) 2) İlk koşuldan N = 9k yazalım ve bunu mod 11’de kullanalım. N = 9 k 9 k ≡ 2 ( mod 11 ) 3) 9 sayısının mod 11’de tersini bulalım. Çünkü 9 ⋅ 5 = 45 ≡ 1 ( mod 11 ) Buradan mod 11’de 9 ile çarpmayı kaldırmak için her iki tarafı 5 ile çarparız: k ≡ 2 ⋅ 5 ≡ 10 ( mod 11 ) 4) O hâlde k = 11 t + 10 ve N = 9 ( 11 t + 10 ) = 99 t + 90 Yani tüm çözümler N ≡ 90 ( mod 99 ) 5) En küçük dört basamaklı sayı için 99t + 90 ifadesini 1000’i aşacak şekilde deneriz: t = 10 ⇒ N = 1080 1080’de rakamlar farklı değil (0 tekrarlı). t = 11 ⇒ N = 1179 1179’da rakamlar farklı değil (1 tekrarlı). t = 12 ⇒ N = 1278 1278’de rakamlar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla aranan en küçük sayı N = 1278 6) Şimdi N ’nin 7 ile bölümünden kalanı bulalım: 1278 = 7 ⋅ 182 + 4 Bu nedenle kalan 4 7) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

1) Koşulları birlikte çözmek için önce mod 9 ve mod 11’i tek bir mod altında birleştirelim.

$N \equiv 0 (mod 9)$

$N \equiv 2 (mod 11)$

2) İlk koşuldan N = 9k yazalım ve bunu mod 11’de kullanalım.

$N = 9 k$

$9 k \equiv 2 (mod 11)$

3) 9 sayısının mod 11’de tersini bulalım. Çünkü

$9 \cdot 5 = 45 \equiv 1 (mod 11)$

Buradan mod 11’de 9 ile çarpmayı kaldırmak için her iki tarafı 5 ile çarparız:

$k \equiv 2 \cdot 5 \equiv 10 (mod 11)$

4) O hâlde

$k = 11 t + 10$

$N = 9 (11 t + 10) = 99 t + 90$

Yani tüm çözümler

$N \equiv 90 (mod 99)$

5) En küçük dört basamaklı sayı için 99t + 90 ifadesini 1000’i aşacak şekilde deneriz:

$t = 10 \Rightarrow N = 1080$

1080’de rakamlar farklı değil (0 tekrarlı).

$t = 11 \Rightarrow N = 1179$

1179’da rakamlar farklı değil (1 tekrarlı).

$t = 12 \Rightarrow N = 1278$

1278’de rakamlar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla aranan en küçük sayı

$N = 1278$

6) Şimdi N’nin 7 ile bölümünden kalanı bulalım:

$1278 = 7 \cdot 182 + 4$

Bu nedenle kalan

$4$

7) Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif tam sayı $k$ kaçtır ki $2026 k + 2025$ sayısı $11$ ile tam bölünsün?

Lütfen önce bir cevap seç.

Önceki test Sonraki test

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

İlgili 9. sınıf Matematik konu testleri

9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

En küçük pozitif n tam sayısı için aşağıdaki koşullar sağlanıyor:n+1 sayısı 4 ile tam bölünebiliyor.n+2 sayısı 5 ile tam bölünebiliyor.n+3 sayısı 6 ile tam bölünebiliyor.n+4 sayısı 7 ile tam bölünebiliyor.n+5 sayısı 11 ile tam bölünebiliyor.Buna göre n kaçtır?

Bir doğal sayı N, 72 ile bölündüğünde kalan 35, 45 ile bölündüğünde kalan 8 olduğuna göre N sayısının 360 ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıda tanımlanan sayınınN=32026+4202611 ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıdaki sayılardan hangisi 6 ile tam bölünür?

∑k=0202610k sayısının 37 ile bölümünden kalan kaçtır?

n pozitif tamsayısı için n'nin 7 ile bölümünden kalan 2, 9 ile bölümünden kalan 5, 11 ile bölümünden kalan 7 ise en küçük n kaçtır?

Beş basamaklı 4x7y2 sayısı 66 ile tam bölünebildiğine göre x+y kaçtır?

Aşağıdaki sayılardan hangisi 11 ile tam bölünür?

En küçük dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı N sayısı içinN≡0(mod9) ve N≡2(mod11) koşulları sağlanıyor.Bu sayının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

En küçük pozitif tam sayı k kaçtır ki 2026k+2025 sayısı 11 ile tam bölünsün?

Bir doğal sayı $N$ , $72$ ile bölündüğünde kalan $35$ , $45$ ile bölündüğünde kalan $8$ olduğuna göre $N$ sayısının $360$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıda tanımlanan sayının
$N = 3^{2026} + 4^{2026}$
$11$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıdaki sayılardan hangisi $6$ ile tam bölünür?

$\sum_{k = 0}^{2026} 10^{k}$ sayısının $37$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$n$ pozitif tamsayısı için $n$ 'nin $7$ ile bölümünden kalan $2$ , $9$ ile bölümünden kalan $5$ , $11$ ile bölümünden kalan $7$ ise en küçük $n$ kaçtır?

Beş basamaklı $4 x 7 y 2$ sayısı $66$ ile tam bölünebildiğine göre $x + y$ kaçtır?

Aşağıdaki sayılardan hangisi $11$ ile tam bölünür?

En küçük dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı $N$ sayısı için
$N \equiv 0 (mod 9)$ ve $N \equiv 2 (mod 11)$ koşulları sağlanıyor.
Bu sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

En küçük pozitif tam sayı $k$ kaçtır ki $2026 k + 2025$ sayısı $11$ ile tam bölünsün?