9. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

İşlem kuralını daha kullanışlı bir biçime çevirelim: x + y + x ⁢ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 Buna göre her adımda seçilen iki sayı yerine yazılan yeni sayı için şu dönüşümü düşünebiliriz: f ( a ) = a + 1 Eğer tahtadan x ve y silinip yerine x + y + x ⁢ y yazılıyorsa, “ a + 1 ” dönüşümü altında şu olur: ( x + 1 ) ( y + 1 ) = ( x + y + x ⁢ y + 1 ) Yani her adımda, seçilen iki sayının “ a + 1 ” değerleri çarpılıp tek bir değere dönüşüyor. Bu nedenle tahtadaki sayıların ( a + 1 ) çarpımı süreç boyunca değişmez (invariant) kalır. Başlangıçta tahtada: { 1, 2, 3, 4 } Buna göre invariant çarpım: ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 2 ⁢ 3 ⁢ 4 ⁢ 5 = 120 İşlemler bittiğinde tahtada tek sayı kalsın, bu sayı N olsun. İnvariant gereği son durumda: N + 1 = 120 Buradan: N = 119 Sonuç olarak doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: İşlem kuralını daha kullanışlı bir biçime çevirelim: x + y + x ⁢ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 Buna göre her adımda seçilen iki sayı yerine yazılan yeni sayı için şu dönüşümü düşünebiliriz: f ( a ) = a + 1 Eğer tahtadan x ve y silinip yerine x + y + x ⁢ y yazılıyorsa, “ a + 1 ” dönüşümü altında şu olur: ( x + 1 ) ( y + 1 ) = ( x + y + x ⁢ y + 1 ) Yani her adımda, seçilen iki sayının “ a + 1 ” değerleri çarpılıp tek bir değere dönüşüyor. Bu nedenle tahtadaki sayıların ( a + 1 ) çarpımı süreç boyunca değişmez (invariant) kalır. Başlangıçta tahtada: { 1, 2, 3, 4 } Buna göre invariant çarpım: ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 2 ⁢ 3 ⁢ 4 ⁢ 5 = 120 İşlemler bittiğinde tahtada tek sayı kalsın, bu sayı N olsun. İnvariant gereği son durumda: N + 1 = 120 Buradan: N = 119 Sonuç olarak doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: A

Öğretmenin bugünkü yaşı T, Ayşe’nin bugünkü yaşı A, Buse’nin bugünkü yaşı B olsun. Verilen “Öğretmenin yaşı, Ayşe’nin yaşının 2 katının 5 fazlasıdır.” ifadesinden: T = 2 A + 5 “6 yıl sonra öğretmenin yaşı, Buse’nin yaşının 3 katı olacaktır.” ifadesinden: T + 6 = 3 ( B + 6 ) Bu eşitliği düzenleyelim: T + 6 = 3 B + 18 T = 3 B + 12 Ayrıca Ayşe ve Buse’nin bugünkü yaşları toplamı: A + B = 26 Öğretmenin yaşı için iki farklı ifade var, bunları eşitleyelim: 2 A + 5 = 3 B + 12 Buradan Ayşe’nin yaşını B cinsinden yazalım: 2 A = 3 B + 7 A = 3 B + 7 2 Bunu yaşlar toplamı denkleminde yerine yazalım: 3 B + 7 2 + B = 26 Paydaları eşitleyelim: 3 B + 7 + 2 B 2 = 26 5 B + 7 2 = 26 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 5 B + 7 = 52 5 B = 45 B = 9 O hâlde Ayşe’nin yaşı: A = 26 - 9 A = 17 Öğretmenin bugünkü yaşı: T = 2 A + 5 T = 2 ⋅ 17 + 5 T = 39 Sonuç olarak doğru cevap A852 şıkkıdır.

1. Çözüm: Öğretmenin bugünkü yaşı T, Ayşe’nin bugünkü yaşı A, Buse’nin bugünkü yaşı B olsun. Verilen “Öğretmenin yaşı, Ayşe’nin yaşının 2 katının 5 fazlasıdır.” ifadesinden: T = 2 A + 5 “6 yıl sonra öğretmenin yaşı, Buse’nin yaşının 3 katı olacaktır.” ifadesinden: T + 6 = 3 ( B + 6 ) Bu eşitliği düzenleyelim: T + 6 = 3 B + 18 T = 3 B + 12 Ayrıca Ayşe ve Buse’nin bugünkü yaşları toplamı: A + B = 26 Öğretmenin yaşı için iki farklı ifade var, bunları eşitleyelim: 2 A + 5 = 3 B + 12 Buradan Ayşe’nin yaşını B cinsinden yazalım: 2 A = 3 B + 7 A = 3 B + 7 2 Bunu yaşlar toplamı denkleminde yerine yazalım: 3 B + 7 2 + B = 26 Paydaları eşitleyelim: 3 B + 7 + 2 B 2 = 26 5 B + 7 2 = 26 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 5 B + 7 = 52 5 B = 45 B = 9 O hâlde Ayşe’nin yaşı: A = 26 - 9 A = 17 Öğretmenin bugünkü yaşı: T = 2 A + 5 T = 2 ⋅ 17 + 5 T = 39 Sonuç olarak doğru cevap A852 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 < 5 Her iki tarafa 3 ekleyelim: 2 x < 8 Her iki tarafı 2 'ye bölelim (pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): x < 4 Çözüm kümesini aralık olarak yazalım: ( - ∞, 4 ) Bu aralık şıklardan seçeneğiD227dir. Yani doğru cevap: D247.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 < 5 Her iki tarafa 3 ekleyelim: 2 x < 8 Her iki tarafı 2 'ye bölelim (pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): x < 4 Çözüm kümesini aralık olarak yazalım: ( - ∞, 4 ) Bu aralık şıklardan seçeneğiD227dir. Yani doğru cevap: D247.

Doğru cevap: B

Koşullar: n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 2 ( mod 7 ) n ≡ 3 ( mod 9 ) 1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim: n = 1 + 5 k 2) Bunu ikinci koşula uyduralım: n ≡ 2 ( mod 7 ) 1 + 5 k ≡ 2 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) 3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden: 5 ⁢ 3 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) k ≡ 3 ( mod 7 ) k = 3 + 7 t 4) n’i t cinsinden yazalım: n = 1 + 5 ( 3 + 7 t ) n = 16 + 35 t 5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9): 16 + 35 t ≡ 3 ( mod 9 ) 16 ≡ 7 ( mod 9 ) 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 7 + 8 t ≡ 3 ( mod 9 ) 8 t ≡ - 4 ( mod 9 ) - 4 ≡ 5 ( mod 9 ) 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) 6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·8 = 64 ≡ 1 (mod 9)). O hâlde: 8 ⁢ 8 ≡ 64 ≡ 1 ( mod 9 ) t ≡ 5 ⁢ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) t = 4 + 9 s 7) Son olarak n’i bulalım: n = 16 + 35 ( 4 + 9 s ) n = 156 + 315 s En küçük pozitif değer için: s = 0 ⇒ n = 156 Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Koşullar: n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 2 ( mod 7 ) n ≡ 3 ( mod 9 ) 1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim: n = 1 + 5 k 2) Bunu ikinci koşula uyduralım: n ≡ 2 ( mod 7 ) 1 + 5 k ≡ 2 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) 3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden: 5 ⁢ 3 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) k ≡ 3 ( mod 7 ) k = 3 + 7 t 4) n’i t cinsinden yazalım: n = 1 + 5 ( 3 + 7 t ) n = 16 + 35 t 5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9): 16 + 35 t ≡ 3 ( mod 9 ) 16 ≡ 7 ( mod 9 ) 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 7 + 8 t ≡ 3 ( mod 9 ) 8 t ≡ - 4 ( mod 9 ) - 4 ≡ 5 ( mod 9 ) 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) 6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·8 = 64 ≡ 1 (mod 9)). O hâlde: 8 ⁢ 8 ≡ 64 ≡ 1 ( mod 9 ) t ≡ 5 ⁢ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) t = 4 + 9 s 7) Son olarak n’i bulalım: n = 16 + 35 ( 4 + 9 s ) n = 156 + 315 s En küçük pozitif değer için: s = 0 ⇒ n = 156 Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: A

Önce istenen değeri belirleyelim: EKOK 24, 36 Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 ⋅ 3 36 = 2 2 ⋅ 3 2 EKOK için her asal çarpanın büyük üslüsünü alırız: EKOK 24, 36 = 2 3 ⋅ 3 2 Şimdi sonucu hesaplayalım: 2 3 ⋅ 3 2 = 8 ⋅ 9 = 72 Bulduğumuz değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Önce istenen değeri belirleyelim: EKOK 24, 36 Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 ⋅ 3 36 = 2 2 ⋅ 3 2 EKOK için her asal çarpanın büyük üslüsünü alırız: EKOK 24, 36 = 2 3 ⋅ 3 2 Şimdi sonucu hesaplayalım: 2 3 ⋅ 3 2 = 8 ⋅ 9 = 72 Bulduğumuz değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: C

1) Şık kontrolü: B işçisinin tek başına bitirme süresi C şıkkıdır. 2) İşi birim iş olarak alalım. İ ş = 1 3) Birlikte çalışma hızları: r ( A + B ) = 1 12 4) A işçisinin tek başına çalışma hızı: r ( A ) = 1 20 5) B işçisinin hızı, birlikte hızdan A’nın hızının çıkarılmasıyla bulunur: r ( B ) = r ( A + B ) - r ( A ) 6) Yerine yazıp hesaplayalım: r ( B ) = 1 12 - 1 20 r ( B ) = 5 - 3 60 = 2 60 = 1 30 7) Süre, hızın tersidir: t B = 1 r ( B ) = 1 1 30 = 30 Sonuç: B işçisi işi tek başına otuz günde bitirir. Doğru cevap C.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: B işçisinin tek başına bitirme süresi C şıkkıdır. 2) İşi birim iş olarak alalım. İ ş = 1 3) Birlikte çalışma hızları: r ( A + B ) = 1 12 4) A işçisinin tek başına çalışma hızı: r ( A ) = 1 20 5) B işçisinin hızı, birlikte hızdan A’nın hızının çıkarılmasıyla bulunur: r ( B ) = r ( A + B ) - r ( A ) 6) Yerine yazıp hesaplayalım: r ( B ) = 1 12 - 1 20 r ( B ) = 5 - 3 60 = 2 60 = 1 30 7) Süre, hızın tersidir: t B = 1 r ( B ) = 1 1 30 = 30 Sonuç: B işçisi işi tek başına otuz günde bitirir. Doğru cevap C.

Doğru cevap: B

Beş verinin ortasındaki üçüncü değer $7$’dir.

1. Veriyi düzenle: Veri grubunu, frekansları, toplamı, veri sayısını veya grafik ölçeğini belirle.
2. Uygun ölçüyü hesapla: Aritmetik ortalama, medyan, mod, açıklık veya grafik yorumuna göre işlem yap.

Doğru cevap: C

Verilenler: Maliyet = 240 Kâr  oranı = 20 100 Önce maliyet üzerinden kâr eklenerek etiket fiyatı bulunur: Etiket  fiyatı = 240 × ( 1 + 20 100 ) Etiket  fiyatı = 240 × 1.2 = 288 Sonra etiket fiyatı üzerinden indirim uygulanır: İndirim  oranı = 10 100 Son  satış  fiyatı = 288 × ( 1 - 10 100 ) Son  satış  fiyatı = 288 × 0.9 = 259.2 Sonuç: Bulunan son satış fiyatı şıklardan C ile aynıdır; yani doğru cevap C ’dir.

1. Çözüm: Verilenler: Maliyet = 240 Kâr  oranı = 20 100 Önce maliyet üzerinden kâr eklenerek etiket fiyatı bulunur: Etiket  fiyatı = 240 × ( 1 + 20 100 ) Etiket  fiyatı = 240 × 1.2 = 288 Sonra etiket fiyatı üzerinden indirim uygulanır: İndirim  oranı = 10 100 Son  satış  fiyatı = 288 × ( 1 - 10 100 ) Son  satış  fiyatı = 288 × 0.9 = 259.2 Sonuç: Bulunan son satış fiyatı şıklardan C ile aynıdır; yani doğru cevap C ’dir.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü Kurulacak denklem çözüldüğünde x = − 13 + 409 bulunur. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır. 2) Başlangıçtaki asit miktarı Başlangıç hacmi ve derişimi: 40 L 30 100 Başlangıçtaki saf asit miktarı: 40 × 30 100 = 12 3) Derişimi yarım olan çözeltiden Kaba eklenen: x L 50 100 Eklenen saf asit miktarı: x × 50 100 = x 2 Karıştırma sonrası toplam hacim ve asit: 40 + x 12 + x 2 4) Karışımdan Karımdan atılan hacim: 10 L Bu sıradaki karışım derişimi: 12 + x 2 40 + x Atılan saf asit miktarı: 10 × 12 + x 2 40 + x Atma işleminden sonra kalan hacim: 40 + x − 10 = 30 + x Kalan saf asit miktarı: 12 + x 2 − 10 × 12 + x 2 40 + x Ortak çarpanla sadeleştirerek: 12 + x 2 × 1 − 10 40 + x Parantez içi: 1 − 10 40 + x = 40 + x − 10 40 + x = 30 + x 40 + x Dolayısıyla kalan saf asit: 12 + x 2 × 30 + x 40 + x 5) Derişimi onda bir olan çözeltiden Eklenen hacim: 20 L 10 100 Eklenen saf asit miktarı: 20 × 10 100 = 2 Son hacim: 30 + x + 20 = 50 + x Son saf asit miktarı: 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 6) Son derişim koşulunu yazalım Son derişim: 25 100 Denklem: 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 = 25 100 × 50 + x Sağ tarafı sadeleştirelim: 25 100 = 1 4 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 = 50 + x 4 7) Denklemi düzenleyip Her iki tarafı 4 × 40 + x ile çarpalım: 4 × 40 + x × 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 = 4 × 40 + x × 50 + x 4 Solda ilk terimde 40 + x sadeleşir: 4 × 12 + x 2 × 30 + x + 8 × 40 + x = 40 + x × 50 + x Ayrıca 12 + x 2 = 24 + x 2 olduğundan: 4 × 24 + x 2 × 30 + x + 8 × 40 + x = 40 + x × 50 + x İlk çarpanı sadeleştirelim: 2 × 24 + x × 30 + x + 8 × 40 + x = 40 + x × 50 + x dağıtalım: 2 × 24 + x × 30 + x + 320 + 8 x = 40 + x × 50 + x Çarpımları açalım: 24 + x × 30 + x = x 2 + 54 x + 720 40 + x × 50 + x = x 2 + 90 x + 2000 Yerine yazalım: 2 × x 2 + 54 x + 720 + 320 + 8 x = x 2 + 90 x + 2000 Sadeleştirelim: 2 x 2 + 108 x + 1440 + 320 + 8 x = x 2 + 90 x + 2000 2 x 2 + 116 x + 1760 = x 2 + 90 x + 2000 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 + 26 x − 240 = 0 8) İkinci dereceden denklemi çözme Diskriminant: Δ = 26 2 − 4 × 1 × − 240 = 676 + 960 = 1636 Kökler: x = − 26 ± 1636 2 Burada 1636 = 4 × 409 = 2 409 olduğundan: x = − 13 ± 409 Hacim negatif olamayacağı için pozitif kök seçilir: x = − 13 + 409 Bu da A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü Kurulacak denklem çözüldüğünde x = − 13 + 409 bulunur. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır. 2) Başlangıçtaki asit miktarı Başlangıç hacmi ve derişimi: 40 L 30 100 Başlangıçtaki saf asit miktarı: 40 × 30 100 = 12 3) Derişimi yarım olan çözeltiden Kaba eklenen: x L 50 100 Eklenen saf asit miktarı: x × 50 100 = x 2 Karıştırma sonrası toplam hacim ve asit: 40 + x 12 + x 2 4) Karışımdan Karımdan atılan hacim: 10 L Bu sıradaki karışım derişimi: 12 + x 2 40 + x Atılan saf asit miktarı: 10 × 12 + x 2 40 + x Atma işleminden sonra kalan hacim: 40 + x − 10 = 30 + x Kalan saf asit miktarı: 12 + x 2 − 10 × 12 + x 2 40 + x Ortak çarpanla sadeleştirerek: 12 + x 2 × 1 − 10 40 + x Parantez içi: 1 − 10 40 + x = 40 + x − 10 40 + x = 30 + x 40 + x Dolayısıyla kalan saf asit: 12 + x 2 × 30 + x 40 + x 5) Derişimi onda bir olan çözeltiden Eklenen hacim: 20 L 10 100 Eklenen saf asit miktarı: 20 × 10 100 = 2 Son hacim: 30 + x + 20 = 50 + x Son saf asit miktarı: 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 6) Son derişim koşulunu yazalım Son derişim: 25 100 Denklem: 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 = 25 100 × 50 + x Sağ tarafı sadeleştirelim: 25 100 = 1 4 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 = 50 + x 4 7) Denklemi düzenleyip Her iki tarafı 4 × 40 + x ile çarpalım: 4 × 40 + x × 12 + x 2 × 30 + x 40 + x + 2 = 4 × 40 + x × 50 + x 4 Solda ilk terimde 40 + x sadeleşir: 4 × 12 + x 2 × 30 + x + 8 × 40 + x = 40 + x × 50 + x Ayrıca 12 + x 2 = 24 + x 2 olduğundan: 4 × 24 + x 2 × 30 + x + 8 × 40 + x = 40 + x × 50 + x İlk çarpanı sadeleştirelim: 2 × 24 + x × 30 + x + 8 × 40 + x = 40 + x × 50 + x dağıtalım: 2 × 24 + x × 30 + x + 320 + 8 x = 40 + x × 50 + x Çarpımları açalım: 24 + x × 30 + x = x 2 + 54 x + 720 40 + x × 50 + x = x 2 + 90 x + 2000 Yerine yazalım: 2 × x 2 + 54 x + 720 + 320 + 8 x = x 2 + 90 x + 2000 Sadeleştirelim: 2 x 2 + 108 x + 1440 + 320 + 8 x = x 2 + 90 x + 2000 2 x 2 + 116 x + 1760 = x 2 + 90 x + 2000 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 + 26 x − 240 = 0 8) İkinci dereceden denklemi çözme Diskriminant: Δ = 26 2 − 4 × 1 × − 240 = 676 + 960 = 1636 Kökler: x = − 26 ± 1636 2 Burada 1636 = 4 × 409 = 2 409 olduğundan: x = − 13 ± 409 Hacim negatif olamayacağı için pozitif kök seçilir: x = − 13 + 409 Bu da A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Denklem: | 2 x - 3 | + | x + 1 | = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 2, x = - 1 1) Durum: x >= 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 3 x - 2 = 7 3 x = 9 x = 3 Kontrol: 3 >= 3 2 sağlar, çözüm geçerli. 2) Durum: - 1 <= x < 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = x + 1 Denklem: 3 - 2 x + x + 1 = 7 4 - x = 7 x = - 3 Kontrol: - 3 <= x olduğu için x = - 3 bu aralıkta değildir, geçersiz. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = - x + 1 Denklem: 3 - 2 x + - x + 1 = 7 2 - 3 x = 7 - 3 x = 5 x = - 5 3 Kontrol: - 5 3 < - 1 sağlar, çözüm geçerli. Geçerli çözümler: x = 3, x = - 5 3 Gerçel çözüm sayısı: 2 Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Denklem: | 2 x - 3 | + | x + 1 | = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 2, x = - 1 1) Durum: x >= 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 3 x - 2 = 7 3 x = 9 x = 3 Kontrol: 3 >= 3 2 sağlar, çözüm geçerli. 2) Durum: - 1 <= x < 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = x + 1 Denklem: 3 - 2 x + x + 1 = 7 4 - x = 7 x = - 3 Kontrol: - 3 <= x olduğu için x = - 3 bu aralıkta değildir, geçersiz. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = - x + 1 Denklem: 3 - 2 x + - x + 1 = 7 2 - 3 x = 7 - 3 x = 5 x = - 5 3 Kontrol: - 5 3 < - 1 sağlar, çözüm geçerli. Geçerli çözümler: x = 3, x = - 5 3 Gerçel çözüm sayısı: 2 Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.