9. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Önce istenen kümeyi daha kullanışlı bir biçimde yazalım: | ( A ∪ B ) ∖ C | Kümelerin eleman sayıları için fark kuralını kullanalım: | X ∖ Y | = | X | − | X ∩ Y | Burada X = A ∪ B, Y = C Şimdi önce | A ∪ B | değerini bulalım (iki kümenin birleşimi): | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | Verileri yerine koyalım: | A ∪ B | = 20 + 18 − 8 = 30 Şimdi | ( A ∪ B ) ∩ C | ifadesini bulalım. dağılım özelliği: ( A ∪ B ) ∩ C = A ∩ C ∪ B ∩ C Bu birleşimin eleman sayısı: | A ∩ C ∪ B ∩ C | = | A ∩ C | + | B ∩ C | − | A ∩ B ∩ C | Verileri yerine koyalım: | ( A ∪ B ) ∩ C | = 6 + 5 − 3 = 8 Son olarak fark kuralına dönelim: | ( A ∪ B ) ∖ C | = | A ∪ B | − | ( A ∪ B ) ∩ C | Değerleri yerleştirelim: | ( A ∪ B ) ∖ C | = 30 − 8 = 22 Bulunan sonuç 22 olduğundan doğru seçenek C 'dir.

1. Çözüm: Önce istenen kümeyi daha kullanışlı bir biçimde yazalım: | ( A ∪ B ) ∖ C | Kümelerin eleman sayıları için fark kuralını kullanalım: | X ∖ Y | = | X | − | X ∩ Y | Burada X = A ∪ B, Y = C Şimdi önce | A ∪ B | değerini bulalım (iki kümenin birleşimi): | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | Verileri yerine koyalım: | A ∪ B | = 20 + 18 − 8 = 30 Şimdi | ( A ∪ B ) ∩ C | ifadesini bulalım. dağılım özelliği: ( A ∪ B ) ∩ C = A ∩ C ∪ B ∩ C Bu birleşimin eleman sayısı: | A ∩ C ∪ B ∩ C | = | A ∩ C | + | B ∩ C | − | A ∩ B ∩ C | Verileri yerine koyalım: | ( A ∪ B ) ∩ C | = 6 + 5 − 3 = 8 Son olarak fark kuralına dönelim: | ( A ∪ B ) ∖ C | = | A ∪ B | − | ( A ∪ B ) ∩ C | Değerleri yerleştirelim: | ( A ∪ B ) ∖ C | = 30 − 8 = 22 Bulunan sonuç 22 olduğundan doğru seçenek C 'dir.

Doğru cevap: A

Önce A şıkkındaki önermeyi inceleyelim. ( ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ) → ( p → r ) Bir önermenin totoloji olduğunu göstermek için, tüm durumlarda doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Burada dış yapı bir koşullu önerme olduğundan şu yöntemi kullanacağız: Önce öncül doğru kabul edilip sonuç kısmının her durumda doğru olduğu gösterilir. Durum 1: Önermenin sonuç kısmındaki koşullu önermenin ön kısmı yanlışsa, koşullu önerme zaten doğrudur. Yani ¬ p ⇒ p → r Durum 2: Şimdi sonuç kısmındaki koşullu önermenin ön kısmı doğru olsun. Yani p A şıkkının öncülünü de doğru kabul edelim: p → q ∧ q → r Bu durumda ilk parçadan ve Durum 2 'deki kabulden, zincirleme olarak şunu elde ederiz: p ∧ p → q ⇒ q Şimdi elde ettiğimiz bu sonuçla ikinci parçayı kullanırız: q ∧ q → r ⇒ r Yani öncül doğru ve ayrıca p doğru iken mutlaka r doğru oluyor. Bu da şu anlama gelir: ( p → q ∧ q → r ) ⇒ p → r Durum 1 ve Durum 2 birlikte, her durumda sonuç kısmının doğru olduğunu gösterir. Dolayısıyla A şıkkındaki önerme her zaman doğrudur; yani totolojidir. Demek ki cevap A’dır. Kontrol amaçlı: Diğer şıkların totoloji olmadığını tek bir karşı-örnekle gösterebiliriz. B şıkkı için şu değerleri seçelim: p = 0, q = 1, r = 1 Bu durumda öncül doğruyken sonuç yanlış olur: p → q = 1, q → r = 1, r → p = 0 C şıkkı için şu değerleri seçelim: p = 0, q = 0 Bu durumda öncül doğruyken sonuç yanlış olur: p → q = 1, q → p = 1, p ∨ q = 0 D şıkkı için şu değerleri seçelim: p = 1, q = 0 Bu durumda öncül doğruyken sonuç yanlış olur: p ∨ q = 1, p ∧ q = 0 Sonuç: Yalnız A şıkkı totolojidir; doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Önce A şıkkındaki önermeyi inceleyelim. ( ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ) → ( p → r ) Bir önermenin totoloji olduğunu göstermek için, tüm durumlarda doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Burada dış yapı bir koşullu önerme olduğundan şu yöntemi kullanacağız: Önce öncül doğru kabul edilip sonuç kısmının her durumda doğru olduğu gösterilir. Durum 1: Önermenin sonuç kısmındaki koşullu önermenin ön kısmı yanlışsa, koşullu önerme zaten doğrudur. Yani ¬ p ⇒ p → r Durum 2: Şimdi sonuç kısmındaki koşullu önermenin ön kısmı doğru olsun. Yani p A şıkkının öncülünü de doğru kabul edelim: p → q ∧ q → r Bu durumda ilk parçadan ve Durum 2 'deki kabulden, zincirleme olarak şunu elde ederiz: p ∧ p → q ⇒ q Şimdi elde ettiğimiz bu sonuçla ikinci parçayı kullanırız: q ∧ q → r ⇒ r Yani öncül doğru ve ayrıca p doğru iken mutlaka r doğru oluyor. Bu da şu anlama gelir: ( p → q ∧ q → r ) ⇒ p → r Durum 1 ve Durum 2 birlikte, her durumda sonuç kısmının doğru olduğunu gösterir. Dolayısıyla A şıkkındaki önerme her zaman doğrudur; yani totolojidir. Demek ki cevap A’dır. Kontrol amaçlı: Diğer şıkların totoloji olmadığını tek bir karşı-örnekle gösterebiliriz. B şıkkı için şu değerleri seçelim: p = 0, q = 1, r = 1 Bu durumda öncül doğruyken sonuç yanlış olur: p → q = 1, q → r = 1, r → p = 0 C şıkkı için şu değerleri seçelim: p = 0, q = 0 Bu durumda öncül doğruyken sonuç yanlış olur: p → q = 1, q → p = 1, p ∨ q = 0 D şıkkı için şu değerleri seçelim: p = 1, q = 0 Bu durumda öncül doğruyken sonuç yanlış olur: p ∨ q = 1, p ∧ q = 0 Sonuç: Yalnız A şıkkı totolojidir; doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: x - 1 = x + 3 Mutlak değer eşitliğinde sağ taraf negatif olamaz, bu yüzden: x + 3 ≥ 0 x ≥ - 3 1. Durum: İçerisi sıfır ya da pozitif olsun: x - 1 ≥ 0 x ≥ 1 Bu durumda mutlak değer açılımı: x - 1 = x + 3 Her iki taraftan x sadeleşirse: - 1 = 3 Bu imkânsız olduğundan bu durumdan çözüm çıkmaz. 2. Durum: İçerisi negatif olsun: x - 1 < 0 x < 1 Bu durumda mutlak değer açılımı: x - 1 = - ( x - 1 ) = - x + 1 Denkleme yazalım: - x + 1 = x + 3 Tarafları düzenleyelim: - 2 x = 2 x = - 1 Kontrol: - 1 - 1 = - 2 = 2 - 1 + 3 = 2 Eşitlik sağlanır. Sonuç: Doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 1 = x + 3 Mutlak değer eşitliğinde sağ taraf negatif olamaz, bu yüzden: x + 3 ≥ 0 x ≥ - 3 1. Durum: İçerisi sıfır ya da pozitif olsun: x - 1 ≥ 0 x ≥ 1 Bu durumda mutlak değer açılımı: x - 1 = x + 3 Her iki taraftan x sadeleşirse: - 1 = 3 Bu imkânsız olduğundan bu durumdan çözüm çıkmaz. 2. Durum: İçerisi negatif olsun: x - 1 < 0 x < 1 Bu durumda mutlak değer açılımı: x - 1 = - ( x - 1 ) = - x + 1 Denkleme yazalım: - x + 1 = x + 3 Tarafları düzenleyelim: - 2 x = 2 x = - 1 Kontrol: - 1 - 1 = - 2 = 2 - 1 + 3 = 2 Eşitlik sağlanır. Sonuç: Doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: D

İşlem: - 3 4 + 5 6 Paydaları eşitlemek için ortak payda seçelim: OKP ( 4, 6 ) = 12 Kesirleri ortak paydaya dönüştürelim: - 3 4 = - 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 = - 9 12 5 6 = 5 ⋅ 2 6 ⋅ 2 = 10 12 Şimdi toplayalım: - 9 12 + 10 12 = - 9 + 10 12 = 1 12 Sonuç şıklardan seçeneğiD276 ile aynıdır.

1. Çözüm: İşlem: - 3 4 + 5 6 Paydaları eşitlemek için ortak payda seçelim: OKP ( 4, 6 ) = 12 Kesirleri ortak paydaya dönüştürelim: - 3 4 = - 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 = - 9 12 5 6 = 5 ⋅ 2 6 ⋅ 2 = 10 12 Şimdi toplayalım: - 9 12 + 10 12 = - 9 + 10 12 = 1 12 Sonuç şıklardan seçeneğiD276 ile aynıdır.

Doğru cevap: A

Denklem: | 2 x - 5 | + | x + 1 | = 13 Mutlak değerleri parçalamak için kritik noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 x = 5 2 x + 1 = 0 x = - 1 1) Durum: x ≥ 5 2 Bu aralıkta: | 2 x - 5 | = 2 x - 5 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: 2 x - 5 + x + 1 = 13 3 x - 4 = 13 3 x = 17 x = 17 3 Bulunan değer aralığı sağlıyor. 2) Durum: - 1 ≤ x < 5 2 Bu aralıkta: | 2 x - 5 | = 5 - 2 x | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: 5 - 2 x + x + 1 = 13 6 - x = 13 x = - 7 Bu değer verilen aralıkta olmadığı için kabul edilmez. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: | 2 x - 5 | = 5 - 2 x | x + 1 | = - x + 1 Denkleme yazalım: 5 - 2 x + - x + 1 = 13 4 - 3 x = 13 - 3 x = 9 x = - 3 Bulunan değer aralığı sağlıyor. Kabul edilen çözümler: x = 17 3 x = - 3 Kökler toplamı: 17 3 + - 3 17 3 - 9 3 8 3 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Denklem: | 2 x - 5 | + | x + 1 | = 13 Mutlak değerleri parçalamak için kritik noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 x = 5 2 x + 1 = 0 x = - 1 1) Durum: x ≥ 5 2 Bu aralıkta: | 2 x - 5 | = 2 x - 5 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: 2 x - 5 + x + 1 = 13 3 x - 4 = 13 3 x = 17 x = 17 3 Bulunan değer aralığı sağlıyor. 2) Durum: - 1 ≤ x < 5 2 Bu aralıkta: | 2 x - 5 | = 5 - 2 x | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: 5 - 2 x + x + 1 = 13 6 - x = 13 x = - 7 Bu değer verilen aralıkta olmadığı için kabul edilmez. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: | 2 x - 5 | = 5 - 2 x | x + 1 | = - x + 1 Denkleme yazalım: 5 - 2 x + - x + 1 = 13 4 - 3 x = 13 - 3 x = 9 x = - 3 Bulunan değer aralığı sağlıyor. Kabul edilen çözümler: x = 17 3 x = - 3 Kökler toplamı: 17 3 + - 3 17 3 - 9 3 8 3 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: A

Verilen ifade: 2 3 ⋅ 2 5 2 4 1) Aynı tabanlı üslü ifadeler çarpılırken üstler toplanır: 2 3 ⋅ 2 5 = 2 3 + 5 Bu durumda ifade: 2 3 + 5 2 4 2) Aynı tabanlı üslü ifadeler bölünürken üstler çıkarılır: 2 3 + 5 2 4 = 2 ( 3 + 5 ) − 4 3) Üstteki işlemi hesaplayalım: 2 ( 3 + 5 ) − 4 = 2 8 − 4 = 2 4 Sonuç: 2 4 Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: Verilen ifade: 2 3 ⋅ 2 5 2 4 1) Aynı tabanlı üslü ifadeler çarpılırken üstler toplanır: 2 3 ⋅ 2 5 = 2 3 + 5 Bu durumda ifade: 2 3 + 5 2 4 2) Aynı tabanlı üslü ifadeler bölünürken üstler çıkarılır: 2 3 + 5 2 4 = 2 ( 3 + 5 ) − 4 3) Üstteki işlemi hesaplayalım: 2 ( 3 + 5 ) − 4 = 2 8 − 4 = 2 4 Sonuç: 2 4 Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: C

İfade: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 4 ≥ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) Tanım gereği payda sıfır olamaz; bu yüzden: x ≠ 2, x ≠ - 2 Ortak çarpanı sadeleştirebiliriz; ancak x = 2 yine de çözüm kümesine dahil edilemez: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≥ 0 x - 3 x + 2 ≥ 0 ve x ≠ - 2, x ≠ 2 Kritik noktalar: payı sıfır yapan x = 3 ve paydayı sıfır yapan x = -2. İşaret incelemesi aralıklarında yapılır: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaret kontrolü: 1) x = -3 seçelim: - 3 - 3 - 3 + 2 = - 6 - 1 > 0 Bu aralık uygundur: (−∞, −2). 2) x = 0 seçelim: 0 - 3 0 + 2 = - 3 2 < 0 Bu aralık uygun değildir: (−2, 3). 3) x = 4 seçelim: 4 - 3 4 + 2 = 1 6 > 0 Bu aralık uygundur: (3, ∞). Eşitlik de kabul edildiği için x = 3 dahil edilir; x = −2 (payda sıfır) dahil edilmez. ( - ∞, - 2 ) ∪ [ 3, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C952 şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 4 ≥ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) Tanım gereği payda sıfır olamaz; bu yüzden: x ≠ 2, x ≠ - 2 Ortak çarpanı sadeleştirebiliriz; ancak x = 2 yine de çözüm kümesine dahil edilemez: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≥ 0 x - 3 x + 2 ≥ 0 ve x ≠ - 2, x ≠ 2 Kritik noktalar: payı sıfır yapan x = 3 ve paydayı sıfır yapan x = -2. İşaret incelemesi aralıklarında yapılır: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaret kontrolü: 1) x = -3 seçelim: - 3 - 3 - 3 + 2 = - 6 - 1 > 0 Bu aralık uygundur: (−∞, −2). 2) x = 0 seçelim: 0 - 3 0 + 2 = - 3 2 < 0 Bu aralık uygun değildir: (−2, 3). 3) x = 4 seçelim: 4 - 3 4 + 2 = 1 6 > 0 Bu aralık uygundur: (3, ∞). Eşitlik de kabul edildiği için x = 3 dahil edilir; x = −2 (payda sıfır) dahil edilmez. ( - ∞, - 2 ) ∪ [ 3, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C952 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

İfadeyi yeniden yazalım: 12 - 27 3 Köklü sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 27 = 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 Bu ifadeleri kesirde yerine yazalım: 2 ⋅ 3 - 3 ⋅ 3 3 Payda ve payda ortak kökü paranteze alalım: 3 ⋅ ( 2 - 3 ) 3 Sadeleştirelim: 3 ⋅ ( 2 - 3 ) 3 = 2 - 3 = - 1 Sonuç şıkkıC332yla aynıdır; doğru cevap C352’dır.

1. Çözüm: İfadeyi yeniden yazalım: 12 - 27 3 Köklü sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 27 = 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 Bu ifadeleri kesirde yerine yazalım: 2 ⋅ 3 - 3 ⋅ 3 3 Payda ve payda ortak kökü paranteze alalım: 3 ⋅ ( 2 - 3 ) 3 Sadeleştirelim: 3 ⋅ ( 2 - 3 ) 3 = 2 - 3 = - 1 Sonuç şıkkıC332yla aynıdır; doğru cevap C352’dır.

Doğru cevap: A

Doğru seçenek A 'dır. Verilenler: | U | = 20 | A | = 12 | B | = 9 | A ∩ B | = 5 Önce birleşimin eleman sayısını bulalım (kapsama-dışlama): | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | Yerine yazalım: | A ∪ B | = 12 + 9 - 5 Sonucu hesaplayalım: | A ∪ B | = 16 İstenen, birleşimin tümleyeni olduğuna göre: | ( A ∪ B ) c | = | U | - | A ∪ B | Yerine yazıp bulalım: | ( A ∪ B ) c | = 20 - 16 = 4 Sonuç: | ( A ∪ B ) c | = 4

1. Çözüm: Doğru seçenek A 'dır. Verilenler: | U | = 20 | A | = 12 | B | = 9 | A ∩ B | = 5 Önce birleşimin eleman sayısını bulalım (kapsama-dışlama): | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | Yerine yazalım: | A ∪ B | = 12 + 9 - 5 Sonucu hesaplayalım: | A ∪ B | = 16 İstenen, birleşimin tümleyeni olduğuna göre: | ( A ∪ B ) c | = | U | - | A ∪ B | Yerine yazıp bulalım: | ( A ∪ B ) c | = 20 - 16 = 4 Sonuç: | ( A ∪ B ) c | = 4

Doğru cevap: B

Verilen önerme: p → q 1) Önce koşullu önermeyi eşdeğer bir biçime çeviririz: ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) 2) Şimdi verilen önermenin değerini (olumsuzunu) alırız: ¬ ( p → q ) 3) 1. adımdaki eşdeğerliği kullanarak yerine yazarız: ¬ ( ¬ p ∨ q ) 4) De Morgan kuralını uygularız: ¬ ( ¬ p ∨ q ) ≡ ( ¬ ( ¬ p ) ∧ ¬ q ) 5) Çift değili sadeleştiririz: ¬ ( ¬ p ) ≡ p 6) Sonuç: ¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q Bu ifade şıklardan B seçeneği ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: Verilen önerme: p → q 1) Önce koşullu önermeyi eşdeğer bir biçime çeviririz: ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) 2) Şimdi verilen önermenin değerini (olumsuzunu) alırız: ¬ ( p → q ) 3) 1. adımdaki eşdeğerliği kullanarak yerine yazarız: ¬ ( ¬ p ∨ q ) 4) De Morgan kuralını uygularız: ¬ ( ¬ p ∨ q ) ≡ ( ¬ ( ¬ p ) ∧ ¬ q ) 5) Çift değili sadeleştiririz: ¬ ( ¬ p ) ≡ p 6) Sonuç: ¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q Bu ifade şıklardan B seçeneği ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.