10. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Polinomun derecesi en fazla üçüncü derece olduğundan genel biçimini alalım: P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerlerden denklemler yazalım. Önce P ( 0 ) = 1 olduğuna göre $d = 1$Şimdi diğer koşulları kullanalım: $P ( 1 ) = a + b + c + d = 2 Buradan a + b + c = 1 elde edilir$. Diğer koşul: P ( - 1 ) = - a + b - c + $d = 2$Buradan - a + b - $c = 1$Son koşul: P ( 2 ) = 8 a + 4 b + 2 c + $d = 5$Buradan 8 a + 4 b + 2 $c = 4$ve ikiye bölerek 4 a + 2 b + $c = 2$Şimdi a + b + $c = 1$ve - a + b - $c = 1$denklemlerini toplayalım: 2 $b = 2$Buradan $b = 1$bulunur. Şimdi a + b + $c = 1$içinde $b = 1$yazalım: a + 1 + $c = 1$Buradan a + $c = 0$yani c = - a Şimdi 4 a + 2 b + $c = 2$denkleminde $b = 1$ve c = - a kullanalım: 4 a + 2 + - $a = 2$Buradan 3 $a = 0$ve dolayısıyla $a = 0$bulunur. O hâlde $c = 0$ve daha önce bulduğumuz $d = 1$ile polinom P ( x ) = x 2 + 1 olur. Şimdi istenen değeri hesaplayalım: P ( i ) = i 2 + 1 = - $1 + 1 = 0$ Sonuç: P ( i ) = 0 Doğru seçenek, verilen şıklara göre A seçeneğidir.

1. Çözüm: Polinomun derecesi en fazla üçüncü derece olduğundan genel biçimini alalım: P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerlerden denklemler yazalım. Önce P ( 0 ) = 1 olduğuna göre $d = 1$Şimdi diğer koşulları kullanalım: $P ( 1 ) = a + b + c + d = 2 Buradan a + b + c = 1 elde edilir$. Diğer koşul: P ( - 1 ) = - a + b - c + $d = 2$Buradan - a + b - $c = 1$Son koşul: P ( 2 ) = 8 a + 4 b + 2 c + $d = 5$Buradan 8 a + 4 b + 2 $c = 4$ve ikiye bölerek 4 a + 2 b + $c = 2$Şimdi a + b + $c = 1$ve - a + b - $c = 1$denklemlerini toplayalım: 2 $b = 2$Buradan $b = 1$bulunur. Şimdi a + b + $c = 1$içinde $b = 1$yazalım: a + 1 + $c = 1$Buradan a + $c = 0$yani c = - a Şimdi 4 a + 2 b + $c = 2$denkleminde $b = 1$ve c = - a kullanalım: 4 a + 2 + - $a = 2$Buradan 3 $a = 0$ve dolayısıyla $a = 0$bulunur. O hâlde $c = 0$ve daha önce bulduğumuz $d = 1$ile polinom P ( x ) = x 2 + 1 olur. Şimdi istenen değeri hesaplayalım: P ( i ) = i 2 + 1 = - $1 + 1 = 0$ Sonuç: P ( i ) = 0 Doğru seçenek, verilen şıklara göre A seçeneğidir.

Doğru cevap: C

$0,\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$tür.

1. Sayı türünü ve kuralı belirle: Sorunun bölünebilme, asal çarpan, EBOB-EKOK, rasyonel işlem, üslü-köklü ifade veya aralık bilgisiyle ilişkisini kur.
2. İşlem adımlarını uygula: Uygun formülü, işlem önceliğini, ortak payda, asal çarpan veya sayı doğrusu yorumunu kullan.

Doğru cevap: C

Açının karşı kenarı 6, komşu kenarı 8 olduğundan tan = 6/8 = 3/4 olur.

1. Adım 1: Yolculuğu dik üçgen olarak modelle.
2. Adım 2: Doğu doğrultusuna göre karşı 6, komşu 8dir.
3. Adım 3: tan = 6/8 = 3/4.

Doğru cevap: B

Verilen fonksiyon: f ( x ) = x − a x + a Fonksiyonun kendi tersi olması için aşağıdaki eşitlik her uygun x için sağlanmalıdır: f ( f ( x ) ) = x Önce $y = f$( x ) = x − a x + a tanımlayalım. O hâlde f ( f ( x ) ) = f ( y ) = y − a y + a Şimdi payı düzenleyelim: y − $a = x$− a x + a − $a = x$− a − a ( x + a ) x + a y − a = ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) x + a Paydayı düzenleyelim: y + $a = x$− a x + a + $a = x$− a + a ( x + a ) x + a y + a = ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) x + a Bunları oranlayınca ortak payda sadeleşir: f ( f ( x ) ) = ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) Kendi tersi olması için bu ifade x olmalı: ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) = x Payda ile çarpıp düzenleyelim: ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) = x ( ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) ) ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) = ( 1 + a ) x 2 + a ( a − 1 ) x Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: ( 1 + a ) x 2 + ( a 2 − 1 ) x + a ( 1 + a ) = 0 Bu eşitlik her x için doğru olacağına göre katsayıların her biri sıfır olmalıdır. Önce x 2 katsayısı: 1 + $a = 0$a = − 1 Kontrol: a = − 1 için a 2 − $1 = 0$ a ( 1 + a ) = 0 Hepsi sağlandığı için doğru değer: a = − 1 Dolayısıyla doğru seçenek B1353 ’dır.

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = x − a x + a Fonksiyonun kendi tersi olması için aşağıdaki eşitlik her uygun x için sağlanmalıdır: f ( f ( x ) ) = x Önce $y = f$( x ) = x − a x + a tanımlayalım. O hâlde f ( f ( x ) ) = f ( y ) = y − a y + a Şimdi payı düzenleyelim: y − $a = x$− a x + a − $a = x$− a − a ( x + a ) x + a y − a = ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) x + a Paydayı düzenleyelim: y + $a = x$− a x + a + $a = x$− a + a ( x + a ) x + a y + a = ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) x + a Bunları oranlayınca ortak payda sadeleşir: f ( f ( x ) ) = ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) Kendi tersi olması için bu ifade x olmalı: ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) = x Payda ile çarpıp düzenleyelim: ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) = x ( ( 1 + a ) x + a ( a − 1 ) ) ( 1 − a ) x − a ( 1 + a ) = ( 1 + a ) x 2 + a ( a − 1 ) x Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: ( 1 + a ) x 2 + ( a 2 − 1 ) x + a ( 1 + a ) = 0 Bu eşitlik her x için doğru olacağına göre katsayıların her biri sıfır olmalıdır. Önce x 2 katsayısı: 1 + $a = 0$a = − 1 Kontrol: a = − 1 için a 2 − $1 = 0$ a ( 1 + a ) = 0 Hepsi sağlandığı için doğru değer: a = − 1 Dolayısıyla doğru seçenek B1353 ’dır.

Doğru cevap: A

Üçgen eşitsizliğine göre |13 - 8| < x < 13 + 8, yani 5 < x < 21 olur.

1. Adım 1: Farkı bul: 13 - 8 = 5.
2. Adım 2: Toplamı bul: 13 + 8 = 21.
3. Adım 3: Üçüncü kenar 5 ile 21 arasında olmalıdır.

Doğru cevap: A

1) Şık kontrolü: Bulunan değer, seçeneğiA32 ile aynıdır. 2) Toplam veri sayısını (anakütle büyüklüğünü) frekansların toplamı ile bulalım. $N = 1 + a + 3 + a$+ $1 = 5$ + 2 a 3) Aritmetik ortalamayı (anakütle ortalaması) hesaplayalım. $\mu$ = 1 · 1 + 2 · a + 3 · 3 + 4 · a + 5 · 1 N 4) Payı sadeleştirip ortalamayı bulalım. $\mu$ = 1 + 2 a + 9 + 4 a + 5 5 + 2 $a = 15 + 6$a 5 + 2 $a = 3$5) Anakütle varyansı formülünü kullanıp sapmaların karelerini frekanslarla toplayalım. $\sigma$ 2 = ∑ f ( x − $\mu$ ) 2 N 6) Ortalama 3 olduğundan, her değer için katkıları yazalım. ( 1 − 3 ) $2 = 4$ ( 2 − 3 ) $2 = 1$ ( 3 − 3 ) $2 = 0$ ( 4 − 3 ) $2 = 1$ ( 5 − 3 ) $2 = 4$ 7) Frekanslarla çarpıp toplam sapma-karelerini bulalım. ∑ f ( x − $\mu$ ) $2 = 1$ · 4 + a · 1 + 3 · 0 + a · 1 + 1 · $4 = 8$ + 2 a 8) Varyansı verilen değere eşitleyip çözüm yapalım. $\sigma$ $2 = 8$ + 2 a 5 + 2 $a = 4$3 9) İçler-dışlar çarpımı ile denklemi çözelim. 3 ( 8 + 2 a ) = 4 ( 5 + 2 a ) 24 + 6 $a = 20 + 8$a $4 = 2$ a $a = 2$Sonuç: Doğru cevap A959 seçeneğidir.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: Bulunan değer, seçeneğiA32 ile aynıdır. 2) Toplam veri sayısını (anakütle büyüklüğünü) frekansların toplamı ile bulalım. $N = 1 + a + 3 + a$+ $1 = 5$ + 2 a 3) Aritmetik ortalamayı (anakütle ortalaması) hesaplayalım. $\mu$ = 1 · 1 + 2 · a + 3 · 3 + 4 · a + 5 · 1 N 4) Payı sadeleştirip ortalamayı bulalım. $\mu$ = 1 + 2 a + 9 + 4 a + 5 5 + 2 $a = 15 + 6$a 5 + 2 $a = 3$5) Anakütle varyansı formülünü kullanıp sapmaların karelerini frekanslarla toplayalım. $\sigma$ 2 = ∑ f ( x − $\mu$ ) 2 N 6) Ortalama 3 olduğundan, her değer için katkıları yazalım. ( 1 − 3 ) $2 = 4$ ( 2 − 3 ) $2 = 1$ ( 3 − 3 ) $2 = 0$ ( 4 − 3 ) $2 = 1$ ( 5 − 3 ) $2 = 4$ 7) Frekanslarla çarpıp toplam sapma-karelerini bulalım. ∑ f ( x − $\mu$ ) $2 = 1$ · 4 + a · 1 + 3 · 0 + a · 1 + 1 · $4 = 8$ + 2 a 8) Varyansı verilen değere eşitleyip çözüm yapalım. $\sigma$ $2 = 8$ + 2 a 5 + 2 $a = 4$3 9) İçler-dışlar çarpımı ile denklemi çözelim. 3 ( 8 + 2 a ) = 4 ( 5 + 2 a ) 24 + 6 $a = 20 + 8$a $4 = 2$ a $a = 2$Sonuç: Doğru cevap A959 seçeneğidir.

Doğru cevap: B

1) Kontrol: İstenen koşullu olasılık P ( B | A ) olup, doğru şıkkın B olup olmadığını bulacağız. 2) Temel gözlem: Olaylar A: en az bir kırmızı B: tam iki kırmızı şeklinde. Tam iki kırmızı çekmek, en az bir kırmızı çekmeyi zaten sağlar. B ⊆ A Bu yüzden P ( B | A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) = P ( B ) P ( A ) 3) Örnek uzay: Toplam bilye sayısı $3 + 4 + 5 = 12$ Geri koymadan 4 bilye seçme sayısı C ( 12, 4 ) = 495 4) P (B) hesabı (tam iki kırmızı): 2 kırmızı seçme: C ( 3, 2 ) = 3 Kalan 2 bilye kırmızı olmayanlardan seçilir. Kırmızı olmayan sayısı $12 - 3 = 9$ Bu 9 bilyeden 2 seçme: C ( 9, 2 ) = 36 Uygun durum sayısı: C ( 3, 2 ) · C ( 9, 2 ) = 3 · $36 = 108$ Dolayısıyla P ( B ) = 108 $495 = 12$ 55 5) P (A) hesabı (en az bir kırmızı): Önce tamamlayıcı olay: hiç kırmızı gelmemesi. Hiç kırmızı yoksa 4 bilye, 9 kırmızı olmayan bilyeden seçilir: C ( 9, 4 ) = 126 Bu yüzden P ( hiç kırmızı ) = 126 $495 = 14$ 55 Dolayısıyla P ( A ) = 1 - 14 $55 = 41$ 55 6) Koşullu olasılık: P ( B | A ) = 12 55 41 $55 = 12$ 41 7) Sonuç ve şık kontrolü: P ( B | A ) = 12 41 Bu değer B şıkkıdır. Şık B doğru.

1. Çözüm: 1) Kontrol: İstenen koşullu olasılık P ( B | A ) olup, doğru şıkkın B olup olmadığını bulacağız. 2) Temel gözlem: Olaylar A: en az bir kırmızı B: tam iki kırmızı şeklinde. Tam iki kırmızı çekmek, en az bir kırmızı çekmeyi zaten sağlar. B ⊆ A Bu yüzden P ( B | A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) = P ( B ) P ( A ) 3) Örnek uzay: Toplam bilye sayısı $3 + 4 + 5 = 12$ Geri koymadan 4 bilye seçme sayısı C ( 12, 4 ) = 495 4) P (B) hesabı (tam iki kırmızı): 2 kırmızı seçme: C ( 3, 2 ) = 3 Kalan 2 bilye kırmızı olmayanlardan seçilir. Kırmızı olmayan sayısı $12 - 3 = 9$ Bu 9 bilyeden 2 seçme: C ( 9, 2 ) = 36 Uygun durum sayısı: C ( 3, 2 ) · C ( 9, 2 ) = 3 · $36 = 108$ Dolayısıyla P ( B ) = 108 $495 = 12$ 55 5) P (A) hesabı (en az bir kırmızı): Önce tamamlayıcı olay: hiç kırmızı gelmemesi. Hiç kırmızı yoksa 4 bilye, 9 kırmızı olmayan bilyeden seçilir: C ( 9, 4 ) = 126 Bu yüzden P ( hiç kırmızı ) = 126 $495 = 14$ 55 Dolayısıyla P ( A ) = 1 - 14 $55 = 41$ 55 6) Koşullu olasılık: P ( B | A ) = 12 55 41 $55 = 12$ 41 7) Sonuç ve şık kontrolü: P ( B | A ) = 12 41 Bu değer B şıkkıdır. Şık B doğru.

Doğru cevap: A

Önce kısıt olmadan tüm takımların sayısını bulalım: C 8, 4 = 70 Ali ve Ayşe’nin aynı takımda olduğu (yasak) durumları sayalım. Ali ve Ayşe’yi takıma sabitleyince geriye seçilecek kişi sayısı: 4 − 2 = 2 Ali ve Ayşe dışında kalan öğrenci sayısı: 8 − 2 = 6 Yasak takım sayısı (Ali ve Ayşe ile birlikte kalanlardan iki kişi seçilir): C 6, 2 = 15 İstenen (geçerli) takım sayısı, toplamdan yasak durumların çıkarılmasıyla bulunur: 70 − 15 = 55 Sonuç: 55 Doğru seçenek A’dır.

1. Çözüm: Önce kısıt olmadan tüm takımların sayısını bulalım: C 8, 4 = 70 Ali ve Ayşe’nin aynı takımda olduğu (yasak) durumları sayalım. Ali ve Ayşe’yi takıma sabitleyince geriye seçilecek kişi sayısı: 4 − 2 = 2 Ali ve Ayşe dışında kalan öğrenci sayısı: 8 − 2 = 6 Yasak takım sayısı (Ali ve Ayşe ile birlikte kalanlardan iki kişi seçilir): C 6, 2 = 15 İstenen (geçerli) takım sayısı, toplamdan yasak durumların çıkarılmasıyla bulunur: 70 − 15 = 55 Sonuç: 55 Doğru seçenek A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( m x + n ) Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + ( 3 x + 1 ) Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz: P ( i ) = 3 i + 1 Şimdi çarpanlı biçimde i yazalım: P ( i ) = ( i - 1 ) ( i + 1 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) İlk iki çarpanı birleştirelim: ( i - 1 ) ( i + 1 ) = i 2 - 1 = - 1 - 1 = - 2 Dolayısıyla: P ( i ) = ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır: ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) = 3 i + 1 Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim: ( - 2 ) ( i - 2 ) = - 2 i + $4 = 4$ - 2 i Böylece denklem: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 1 + 3 i Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i $2 = 4$ n + 4 m i - 2 n i + 2 m = ( 4 n + 2 m ) + ( 4 m - 2 n ) i Bu ifade 1+3i olduğuna göre katsayıları eşitleriz: 4 n + 2 $m = 1$4 m - 2 $n = 3$Sistemi çözelim: 2 $m = 1 - 4$n $m = 1 - 4$n 2 4 × 1 - 4 n 2 - 2 $n = 3$2 ( 1 - 4 n ) - 2 $n = 3$2 - 8 n - 2 $n = 3 - 10$$n = 1$n = - 1 10 $m = 1 - 4$( - 1 10 ) $2 = 1$ + 4 10 $2 = 14$ 10 $2 = 7$ 10 Şimdi P(0) hesaplayalım: P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ( m × 0 + n ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 2 ) ( n ) = 2 n P ( 0 ) = 2 × ( - 1 10 ) = - 1 5 Sonuç: P ( 0 ) = - 1 5 Doğru seçenek, verilen şıklara göre B ’dir.

1. Çözüm: Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( m x + n ) Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + ( 3 x + 1 ) Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz: P ( i ) = 3 i + 1 Şimdi çarpanlı biçimde i yazalım: P ( i ) = ( i - 1 ) ( i + 1 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) İlk iki çarpanı birleştirelim: ( i - 1 ) ( i + 1 ) = i 2 - 1 = - 1 - 1 = - 2 Dolayısıyla: P ( i ) = ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır: ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) = 3 i + 1 Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim: ( - 2 ) ( i - 2 ) = - 2 i + $4 = 4$ - 2 i Böylece denklem: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 1 + 3 i Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i $2 = 4$ n + 4 m i - 2 n i + 2 m = ( 4 n + 2 m ) + ( 4 m - 2 n ) i Bu ifade 1+3i olduğuna göre katsayıları eşitleriz: 4 n + 2 $m = 1$4 m - 2 $n = 3$Sistemi çözelim: 2 $m = 1 - 4$n $m = 1 - 4$n 2 4 × 1 - 4 n 2 - 2 $n = 3$2 ( 1 - 4 n ) - 2 $n = 3$2 - 8 n - 2 $n = 3 - 10$$n = 1$n = - 1 10 $m = 1 - 4$( - 1 10 ) $2 = 1$ + 4 10 $2 = 14$ 10 $2 = 7$ 10 Şimdi P(0) hesaplayalım: P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ( m × 0 + n ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 2 ) ( n ) = 2 n P ( 0 ) = 2 × ( - 1 10 ) = - 1 5 Sonuç: P ( 0 ) = - 1 5 Doğru seçenek, verilen şıklara göre B ’dir.