10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Doğru cevap: C

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x - 2 Koşul: P ( 1 ) = 0 Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a × 1 - 2 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a - 2 Sabit terimleri toplayalım: P ( 1 ) = a - 3 Koşula göre sıfıra eşitleyelim: a - $3 = 0$ Buradan: $a = 3$Sonuç: Doğru cevap C310 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x - 2 Koşul: P ( 1 ) = 0 Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a × 1 - 2 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a - 2 Sabit terimleri toplayalım: P ( 1 ) = a - 3 Koşula göre sıfıra eşitleyelim: a - $3 = 0$ Buradan: $a = 3$Sonuç: Doğru cevap C310 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Verilen bilgi: (x−2) ifadesi polinomun çarpanıysa, kalan teoremine göre P(2)=0 olmalıdır. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 - 4 x + 4 Çarpan bilgisine göre: P ( 2 ) = 0 Şimdi $x=2$yazıp hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 3 + a 2 2 - 4 ⋅ 2 + 4 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 2 ) = 8 + 4 a - 8 + 4 Benzer terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 4 a + 4 Şimdi P(2)=0 koşulunu uygulayalım: 4 a + $4 = 0$ Çözelim: 4 a = - 4 a = - 1 Sonuç: a = −1. Bu da şıkkıD456 dır; yani verilen “doğru cevap D483” kontrolü doğrudur.

1. Çözüm: Verilen bilgi: (x−2) ifadesi polinomun çarpanıysa, kalan teoremine göre P(2)=0 olmalıdır. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 - 4 x + 4 Çarpan bilgisine göre: P ( 2 ) = 0 Şimdi $x=2$yazıp hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 3 + a 2 2 - 4 ⋅ 2 + 4 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 2 ) = 8 + 4 a - 8 + 4 Benzer terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 4 a + 4 Şimdi P(2)=0 koşulunu uygulayalım: 4 a + $4 = 0$ Çözelim: 4 a = - 4 a = - 1 Sonuç: a = −1. Bu da şıkkıD456 dır; yani verilen “doğru cevap D483” kontrolü doğrudur.

Doğru cevap: A

1) Verilen bilgiye göre, polinomun x - 2 ile bölümünden kalan 6 olduğundan, kalan teoremine göre polinomun $x = 2$değerindeki sonucu kalana eşittir: P ( 2 ) = 6 2) Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + a · 2 + 8 3) Sayısal işlemleri düzenleyelim: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 a + 8 4) Sabit terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 2 a 5) Kalan bilgisiyle eşitleyelim ve çözelim: 2 $a = 6$$a = 3$Sonuç: Doğru cevap A401 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Verilen bilgiye göre, polinomun x - 2 ile bölümünden kalan 6 olduğundan, kalan teoremine göre polinomun $x = 2$değerindeki sonucu kalana eşittir: P ( 2 ) = 6 2) Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + a · 2 + 8 3) Sayısal işlemleri düzenleyelim: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 a + 8 4) Sabit terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 2 a 5) Kalan bilgisiyle eşitleyelim ve çözelim: 2 $a = 6$$a = 3$Sonuç: Doğru cevap A401 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Bölme kalan teoremine göre bir polinom (x−a) ile bölünürse kalan, polinomun $x=a$değerindeki sonucudur. $Kalan = P$( 2 ) Önce polinomu yazalım. P ( x ) = x 3 - 2 ⁢ x 2 + 3 ⁢ x - 4 Şimdi $x=2$yazıp hesaplayalım. P ( 2 ) = 2 3 - 2 ⁢ 2 2 + 3 ⁢ 2 - 4 Terimleri tek tek hesaplayıp toplayalım. P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 4 P ( 2 ) = 2 Sonuç: Bölme işleminin kalanı B şıkkıdır.

1. Çözüm: Bölme kalan teoremine göre bir polinom (x−a) ile bölünürse kalan, polinomun $x=a$değerindeki sonucudur. $Kalan = P$( 2 ) Önce polinomu yazalım. P ( x ) = x 3 - 2 ⁢ x 2 + 3 ⁢ x - 4 Şimdi $x=2$yazıp hesaplayalım. P ( 2 ) = 2 3 - 2 ⁢ 2 2 + 3 ⁢ 2 - 4 Terimleri tek tek hesaplayıp toplayalım. P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 4 P ( 2 ) = 2 Sonuç: Bölme işleminin kalanı B şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Kontrol (Kalan Teoremi): Bir polinomun bölümünden kalan, paydanın kökünde polinomun değeridir. $Kalan = P$( 2 ) 2) Polinomu yazalım: P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 5 3) P(2) hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 2 3 - 3 2 2 + 2 - 5 4) Üsleri hesaplayıp yerine yazalım: P ( 2 ) = 2 × 8 - 3 × 4 + 2 - 5 5) Çarpmaları yapalım: P ( 2 ) = 16 - 12 + 2 - 5 6) Toplama-çıkarma: P ( 2 ) = 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 1 7) Sonuç: x−2 ile bölümünden kalan: $Kalan = 1$8) Şık kontrolü: Doğru cevap C464’dır.

1. Çözüm: 1) Kontrol (Kalan Teoremi): Bir polinomun bölümünden kalan, paydanın kökünde polinomun değeridir. $Kalan = P$( 2 ) 2) Polinomu yazalım: P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 5 3) P(2) hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 2 3 - 3 2 2 + 2 - 5 4) Üsleri hesaplayıp yerine yazalım: P ( 2 ) = 2 × 8 - 3 × 4 + 2 - 5 5) Çarpmaları yapalım: P ( 2 ) = 16 - 12 + 2 - 5 6) Toplama-çıkarma: P ( 2 ) = 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 1 7) Sonuç: x−2 ile bölümünden kalan: $Kalan = 1$8) Şık kontrolü: Doğru cevap C464’dır.

Doğru cevap: D

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Önce P ’de $x=1$yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + b Sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + b -1 + a + $b = 3$a + $b = 4$Şimdi $x=-1$yazalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ⋅ - 1 + b Kuvvetleri hesaplayıp sadeleştirelim: P ( - 1 ) = -1 - 2 - a + b -3 - a + $b = 1$b - $a = 4$İstenen ifade zaten birinci denklemden bulunuyor: a + $b = 4$Dolayısıyla doğru seçenek D440 ’dir; kontrol sonucu şıkkıD480 doğru.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Önce P ’de $x=1$yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + b Sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + b -1 + a + $b = 3$a + $b = 4$Şimdi $x=-1$yazalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ⋅ - 1 + b Kuvvetleri hesaplayıp sadeleştirelim: P ( - 1 ) = -1 - 2 - a + b -3 - a + $b = 1$b - $a = 4$İstenen ifade zaten birinci denklemden bulunuyor: a + $b = 4$Dolayısıyla doğru seçenek D440 ’dir; kontrol sonucu şıkkıD480 doğru.

Doğru cevap: A

Bölme-Kalan Teoremi'ne göre, bir polinomun x - 2 ile bölümünden kalan, polinomda $x = 2$yazılarak bulunur. Bu nedenle kalan P ( 2 ) değeridir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x - 5 Şimdi $x = 2$yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 2 2 2 + 3 × 2 - 5 Üsleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 2 × 4 + 6 - 5 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 5 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 1 Sonuç olarak kalan 1 olur. Bu da şıklardan A seçeneğidir; yani doğru cevap A dır.

1. Çözüm: Bölme-Kalan Teoremi'ne göre, bir polinomun x - 2 ile bölümünden kalan, polinomda $x = 2$yazılarak bulunur. Bu nedenle kalan P ( 2 ) değeridir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x - 5 Şimdi $x = 2$yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 2 2 2 + 3 × 2 - 5 Üsleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 2 × 4 + 6 - 5 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 5 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 1 Sonuç olarak kalan 1 olur. Bu da şıklardan A seçeneğidir; yani doğru cevap A dır.

Doğru cevap: B

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Kalan teoremine göre: - Bölme x - 1 ise kalan P ( 1 ) olur. - Bölme x + 1 ise kalan P ( - 1 ) olur. Verilen bilgiye göre ilk şart: P ( 1 ) = 2 Hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a · 1 + b P ( 1 ) = 1 - 2 + a + $b = a + b - 1$Dolayısıyla: a + b - $1 = 2$ a + $b = 3$İkinci şart: P ( - 1 ) = 0 Hesaplayalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ( - 1 ) + b P ( - 1 ) = - 1 - 2 - a + $b = b - a - 3$Dolayısıyla: b - a - $3 = 0$ b - $a = 3$Şimdi iki denklemi çözelim: Sistem: a + $b = 3 - a + b$= 3 Taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( - a + b ) = 3 + 3 2 $b = 6$$b = 3$Bunu a + $b = 3$denkleminde yerine yazalım: a + $3 = 3$ $a = 0$İstenen: a + b Bulduğumuz değerlere göre: a + $b = 3$Bu nedenle doğru seçenek B726 'dır.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Kalan teoremine göre: - Bölme x - 1 ise kalan P ( 1 ) olur. - Bölme x + 1 ise kalan P ( - 1 ) olur. Verilen bilgiye göre ilk şart: P ( 1 ) = 2 Hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a · 1 + b P ( 1 ) = 1 - 2 + a + $b = a + b - 1$Dolayısıyla: a + b - $1 = 2$ a + $b = 3$İkinci şart: P ( - 1 ) = 0 Hesaplayalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ( - 1 ) + b P ( - 1 ) = - 1 - 2 - a + $b = b - a - 3$Dolayısıyla: b - a - $3 = 0$ b - $a = 3$Şimdi iki denklemi çözelim: Sistem: a + $b = 3 - a + b$= 3 Taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( - a + b ) = 3 + 3 2 $b = 6$$b = 3$Bunu a + $b = 3$denkleminde yerine yazalım: a + $3 = 3$ $a = 0$İstenen: a + b Bulduğumuz değerlere göre: a + $b = 3$Bu nedenle doğru seçenek B726 'dır.

Doğru cevap: C

Verilen koşullara göre doğru şıkkın A olup olmadığını bulmak için polinomu köklerinden yazalım. Polinom monik ve dördüncü dereceden olduğundan baş katsayısı 1 ’dir. Ayrıca P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan 1,2,3 köklerdir. Dördüncü köke r diyelim. Bu durumda polinom P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − r ) şeklindedir. Şimdi P(0)=1 koşulunu kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) ( 0 − r ) Çarpımı düzenleyelim: P ( 0 ) = ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) ( − r ) Önce sayıların çarpımı: ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) = − 6 Bunu (-r) ile çarpalım: P ( 0 ) = ( − 6 ) ( − r ) = 6 r Verilen P(0)=1 olduğuna göre: 6 $r = 1$Buradan $r = 1$6 Artık P(4) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) ( 4 − 1 6 ) İlk üç çarpan: ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) = 6 Son çarpan: 4 − 1 $6 = 24$ 6 − 1 $6 = 23$ 6 Çarpalım: P ( 4 ) = 6 ⋅ 23 $6 = 23$ Sonuç: P(4)=23 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap C1056 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşullara göre doğru şıkkın A olup olmadığını bulmak için polinomu köklerinden yazalım. Polinom monik ve dördüncü dereceden olduğundan baş katsayısı 1 ’dir. Ayrıca P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan 1,2,3 köklerdir. Dördüncü köke r diyelim. Bu durumda polinom P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − r ) şeklindedir. Şimdi P(0)=1 koşulunu kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) ( 0 − r ) Çarpımı düzenleyelim: P ( 0 ) = ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) ( − r ) Önce sayıların çarpımı: ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) = − 6 Bunu (-r) ile çarpalım: P ( 0 ) = ( − 6 ) ( − r ) = 6 r Verilen P(0)=1 olduğuna göre: 6 $r = 1$Buradan $r = 1$6 Artık P(4) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) ( 4 − 1 6 ) İlk üç çarpan: ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) = 6 Son çarpan: 4 − 1 $6 = 24$ 6 − 1 $6 = 23$ 6 Çarpalım: P ( 4 ) = 6 ⋅ 23 $6 = 23$ Sonuç: P(4)=23 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap C1056 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Verilen koşullara göre seçenek C kontrol edilecektir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 2 + a x + b Şimdi birinci koşulu kullanalım: P ( 1 ) = 1 2 + a ⋅ 1 + b = 3 Buradan düzenleyelim: 1 + a + b = 3 a + b = 2 Şimdi ikinci koşulu kullanalım: P ( − 1 ) = − 1 2 + a ⋅ ( − 1 ) + b = 1 Burada kare nedeniyle ilk terim 1 olur: 1 − a + b = 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım: − a + b = 0 b = a Bunu ilk denklemde yerine yazalım: a + b = 2 a + a = 2 2 a = 2 a = 1 Sonuç: doğru cevap D474 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşullara göre seçenek C kontrol edilecektir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 2 + a x + b Şimdi birinci koşulu kullanalım: P ( 1 ) = 1 2 + a ⋅ 1 + b = 3 Buradan düzenleyelim: 1 + a + b = 3 a + b = 2 Şimdi ikinci koşulu kullanalım: P ( − 1 ) = − 1 2 + a ⋅ ( − 1 ) + b = 1 Burada kare nedeniyle ilk terim 1 olur: 1 − a + b = 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım: − a + b = 0 b = a Bunu ilk denklemde yerine yazalım: a + b = 2 a + a = 2 2 a = 2 a = 1 Sonuç: doğru cevap D474 şıkkıdır.