Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

10. Sınıf Matematik

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Polinomları derece, katsayı ve işlemlerle öğren

Polinomlar konusu, değişkenlerin doğal sayı kuvvetleriyle oluşturulan cebirsel ifadeleri incelemeyi öğretir.

Bu çalışma; polinomun derecesini, katsayılarını, sabit terimini, polinomlarda işlemleri, değer bulmayı ve bölme ilişkilerini pekiştirir.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

  • Polinomun derece ve katsayılarını belirler.
  • Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma yapar.
  • Bir polinomun belirli bir değerdeki sonucunu hesaplar.
  • Polinom bölmesi ve kalan ilişkisini yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Polinomda değişkenin kuvvetleri negatif veya kesirli olamaz. Sıfır katsayılı terimler dereceyi belirlemez.

Verimli çalışma yolu

Önce terimleri büyük kuvvetten küçüğe sırala, sonra benzer terimleri birleştir ve dereceyi kontrol et.

Test seç

6 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test

1. Test

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomlar konusu 1. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

P(x)=x3-2x2+ax-2 polinomunda P(1)=0 olduğuna göre a değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x - 2 Koşul: P ( 1 ) = 0 Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a × 1 - 2 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a - 2 Sabit terimleri toplayalım: P ( 1 ) = a - 3 Koşula göre sıfıra eşitleyelim: a - 3 = 0 Buradan: a = 3 Sonuç: Doğru cevap C310 şıkkıdır.

  1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x - 2 Koşul: P ( 1 ) = 0 Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a × 1 - 2 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a - 2 Sabit terimleri toplayalım: P ( 1 ) = a - 3 Koşula göre sıfıra eşitleyelim: a - 3 = 0 Buradan: a = 3 Sonuç: Doğru cevap C310 şıkkıdır.

Verilen polinom:

P(x)=x3-2x2+ax-2

Koşul:

P(1)=0

Polinomda yerine koyma yapalım:

P(1)=13-212+a×1-2

Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim:

P(1)=1-2+a-2

Sabit terimleri toplayalım:

P(1)=a-3

Koşula göre sıfıra eşitleyelim:

a-3=0

Buradan:

a=3

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinom için x-2 ifadesi bir çarpandır.

P(x)=x3+ax2-4x+4

Buna göre a kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen bilgi: (x−2) ifadesi polinomun çarpanıysa, kalan teoremine göre P(2)=0 olmalıdır. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 - 4 x + 4 Çarpan bilgisine göre: P ( 2 ) = 0 Şimdi x=2 yazıp hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 3 + a 2 2 - 4 ⋅ 2 + 4 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 2 ) = 8 + 4 a - 8 + 4 Benzer terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 4 a + 4 Şimdi P(2)=0 koşulunu uygulayalım: 4 a + 4 = 0 Çözelim: 4 a = - 4 a = - 1 Sonuç: a = −1. Bu da şıkkıD456 dır; yani verilen “doğru cevap D483” kontrolü doğrudur.

  1. Çözüm: Verilen bilgi: (x−2) ifadesi polinomun çarpanıysa, kalan teoremine göre P(2)=0 olmalıdır. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 - 4 x + 4 Çarpan bilgisine göre: P ( 2 ) = 0 Şimdi x=2 yazıp hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 3 + a 2 2 - 4 ⋅ 2 + 4 Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 2 ) = 8 + 4 a - 8 + 4 Benzer terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 4 a + 4 Şimdi P(2)=0 koşulunu uygulayalım: 4 a + 4 = 0 Çözelim: 4 a = - 4 a = - 1 Sonuç: a = −1. Bu da şıkkıD456 dır; yani verilen “doğru cevap D483” kontrolü doğrudur.

Verilen bilgi: (x−2) ifadesi polinomun çarpanıysa, kalan teoremine göre P(2)=0 olmalıdır.

Önce polinomu yazalım:

P(x)=x3+ax2-4x+4

Çarpan bilgisine göre:

P(2)=0

Şimdi x=2 yazıp hesaplayalım:

P(2)=23+a22-4⋅2+4

Üsleri ve çarpmaları sadeleştirelim:

P(2)=8+4a-8+4

Benzer terimleri toplayalım:

P(2)=4a+4

Şimdi P(2)=0 koşulunu uygulayalım:

4a+4=0

Çözelim:

4a=-4a=-1

Sonuç: a = −1. Bu da şıkkıD1994dır; yani verilen “doğru cevap D2027” kontrolü doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinom için x-2 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre a kaçtır?

P(x)=x3-4x2+ax+8

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Verilen bilgiye göre, polinomun x - 2 ile bölümünden kalan 6 olduğundan, kalan teoremine göre polinomun x = 2 değerindeki sonucu kalana eşittir: P ( 2 ) = 6 2) Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + a · 2 + 8 3) Sayısal işlemleri düzenleyelim: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 a + 8 4) Sabit terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 2 a 5) Kalan bilgisiyle eşitleyelim ve çözelim: 2 a = 6 a = 3 Sonuç: Doğru cevap A401 şıkkıdır.

  1. Çözüm: 1) Verilen bilgiye göre, polinomun x - 2 ile bölümünden kalan 6 olduğundan, kalan teoremine göre polinomun x = 2 değerindeki sonucu kalana eşittir: P ( 2 ) = 6 2) Polinomda yerine koyma yapalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + a · 2 + 8 3) Sayısal işlemleri düzenleyelim: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 a + 8 4) Sabit terimleri toplayalım: P ( 2 ) = 2 a 5) Kalan bilgisiyle eşitleyelim ve çözelim: 2 a = 6 a = 3 Sonuç: Doğru cevap A401 şıkkıdır.

1) Verilen bilgiye göre, polinomun

x-2

ile bölümünden kalan

6

olduğundan, kalan teoremine göre polinomun

x=2

değerindeki sonucu kalana eşittir:

P(2)=6

2) Polinomda yerine koyma yapalım:

P(2)=23-422+a·2+8

3) Sayısal işlemleri düzenleyelim:

P(2)=8-16+2a+8

4) Sabit terimleri toplayalım:

P(2)=2a

5) Kalan bilgisiyle eşitleyelim ve çözelim:

2a=6
a=3

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki P(x) polinomu (x-2) ile bölündüğünde kalan kaçtır?
P(x)=x3-2⁢x2+3⁢x-4

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Bölme kalan teoremine göre bir polinom (x−a) ile bölünürse kalan, polinomun x=a değerindeki sonucudur. Kalan = P ( 2 ) Önce polinomu yazalım. P ( x ) = x 3 - 2 ⁢ x 2 + 3 ⁢ x - 4 Şimdi x=2 yazıp hesaplayalım. P ( 2 ) = 2 3 - 2 ⁢ 2 2 + 3 ⁢ 2 - 4 Terimleri tek tek hesaplayıp toplayalım. P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 4 P ( 2 ) = 2 Sonuç: Bölme işleminin kalanı B şıkkıdır.

  1. Çözüm: Bölme kalan teoremine göre bir polinom (x−a) ile bölünürse kalan, polinomun x=a değerindeki sonucudur. Kalan = P ( 2 ) Önce polinomu yazalım. P ( x ) = x 3 - 2 ⁢ x 2 + 3 ⁢ x - 4 Şimdi x=2 yazıp hesaplayalım. P ( 2 ) = 2 3 - 2 ⁢ 2 2 + 3 ⁢ 2 - 4 Terimleri tek tek hesaplayıp toplayalım. P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 4 P ( 2 ) = 2 Sonuç: Bölme işleminin kalanı B şıkkıdır.

Bölme kalan teoremine göre bir polinom (x−a) ile bölünürse kalan, polinomun x=a değerindeki sonucudur.

Kalan=P(2)

Önce polinomu yazalım.

P(x)=x3-2⁢x2+3⁢x-4

Şimdi x=2 yazıp hesaplayalım.

P(2)=23-2⁢22+3⁢2-4

Terimleri tek tek hesaplayıp toplayalım.

P(2)=8-8+6-4
P(2)=2

Sonuç: Bölme işleminin kalanı B şıkkıdır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Polinomlar konusunda aşağıdaki soruyu cevaplayınız:
P(x)=2x3-3x2+x-5
P(x) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Kontrol (Kalan Teoremi): Bir polinomun bölümünden kalan, paydanın kökünde polinomun değeridir. Kalan = P ( 2 ) 2) Polinomu yazalım: P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 5 3) P(2) hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 2 3 - 3 2 2 + 2 - 5 4) Üsleri hesaplayıp yerine yazalım: P ( 2 ) = 2 × 8 - 3 × 4 + 2 - 5 5) Çarpmaları yapalım: P ( 2 ) = 16 - 12 + 2 - 5 6) Toplama-çıkarma: P ( 2 ) = 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 1 7) Sonuç: x−2 ile bölümünden kalan: Kalan = 1 8) Şık kontrolü: Doğru cevap C464’dır.

  1. Çözüm: 1) Kontrol (Kalan Teoremi): Bir polinomun bölümünden kalan, paydanın kökünde polinomun değeridir. Kalan = P ( 2 ) 2) Polinomu yazalım: P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 5 3) P(2) hesaplayalım: P ( 2 ) = 2 2 3 - 3 2 2 + 2 - 5 4) Üsleri hesaplayıp yerine yazalım: P ( 2 ) = 2 × 8 - 3 × 4 + 2 - 5 5) Çarpmaları yapalım: P ( 2 ) = 16 - 12 + 2 - 5 6) Toplama-çıkarma: P ( 2 ) = 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 1 7) Sonuç: x−2 ile bölümünden kalan: Kalan = 1 8) Şık kontrolü: Doğru cevap C464’dır.

1) Kontrol (Kalan Teoremi):Bir polinomunbölümünden kalan,paydanın kökünde polinomun değeridir.

Kalan =P(2)

2) Polinomu yazalım:

P(x)=2x3-3x2+x-5

3) P(2) hesaplayalım:

P(2)=223-322+2-5

4) Üsleri hesaplayıp yerine yazalım:

P(2)=2×8-3×4+2-5

5) Çarpmaları yapalım:

P(2)=16-12+2-5

6) Toplama-çıkarma:

P(2)=4+2-5
P(2)=1

7) Sonuç:x−2 ile bölümünden kalan:

Kalan =1

8) Şık kontrolü:Doğru cevap C3526’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinom için kalanı bulun.

P(x)=x3-2x2+ax+b

P(1)=3veP(-1)=1isea+bkaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Önce P ’de x=1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + b Sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + b -1 + a + b = 3 a + b = 4 Şimdi x=-1 yazalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ⋅ - 1 + b Kuvvetleri hesaplayıp sadeleştirelim: P ( - 1 ) = -1 - 2 - a + b -3 - a + b = 1 b - a = 4 İstenen ifade zaten birinci denklemden bulunuyor: a + b = 4 Dolayısıyla doğru seçenek D440 ’dir; kontrol sonucu şıkkıD480 doğru.

  1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Önce P ’de x=1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + b Sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + b -1 + a + b = 3 a + b = 4 Şimdi x=-1 yazalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ⋅ - 1 + b Kuvvetleri hesaplayıp sadeleştirelim: P ( - 1 ) = -1 - 2 - a + b -3 - a + b = 1 b - a = 4 İstenen ifade zaten birinci denklemden bulunuyor: a + b = 4 Dolayısıyla doğru seçenek D440 ’dir; kontrol sonucu şıkkıD480 doğru.

Verilen polinom:

P(x)=x3-2x2+ax+b

Önce P’de x=1 yazalım:

P(1)=13-212+a⋅1+b

Sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim:

P(1)=1-2+a+b

-1+a+b=3

a+b=4

Şimdi x=-1 yazalım:

P(-1)=-13-2-12+a⋅-1+b

Kuvvetleri hesaplayıp sadeleştirelim:

P(-1)=-1-2-a+b

-3-a+b=1

b-a=4

İstenen ifade zaten birinci denklemden bulunuyor:

a+b=4

Dolayısıyla doğru seçenek B’dir; kontrol sonucu şıkkıD2829 doğru.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinom P(x), x-2 ile bölündüğünde kalan kaçtır?

P(x)=x3-2x2+3x-5

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Bölme-Kalan Teoremi'ne göre, bir polinomun x - 2 ile bölümünden kalan, polinomda x = 2 yazılarak bulunur. Bu nedenle kalan P ( 2 ) değeridir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x - 5 Şimdi x = 2 yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 2 2 2 + 3 × 2 - 5 Üsleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 2 × 4 + 6 - 5 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 5 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 1 Sonuç olarak kalan 1 olur. Bu da şıklardan A seçeneğidir; yani doğru cevap A dır.

  1. Çözüm: Bölme-Kalan Teoremi'ne göre, bir polinomun x - 2 ile bölümünden kalan, polinomda x = 2 yazılarak bulunur. Bu nedenle kalan P ( 2 ) değeridir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x - 5 Şimdi x = 2 yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 2 2 2 + 3 × 2 - 5 Üsleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 2 × 4 + 6 - 5 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 8 + 6 - 5 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 1 Sonuç olarak kalan 1 olur. Bu da şıklardan A seçeneğidir; yani doğru cevap A dır.

Bölme-Kalan Teoremi'ne göre, bir polinomun x-2 ile bölümünden kalan, polinomda x=2 yazılarak bulunur.

Bu nedenle kalan P(2) değeridir.

Önce polinomu yazalım:

P(x)=x3-2x2+3x-5

Şimdi x=2 yazalım:

P(2)=23-222+3×2-5

Üsleri hesaplayalım:

P(2)=8-2×4+6-5

Çarpma işlemini yapalım:

P(2)=8-8+6-5

Toplayıp çıkaralım:

P(2)=1

Sonuç olarak kalan 1 olur. Bu da şıklardan A seçeneğidir; yani doğru cevap Adır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

P(x)=x3-2x2+ax+b polinomu, x-1 ile bölündüğünde kalan 2, x+1 ile bölündüğünde kalan 0 ise a+b kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Kalan teoremine göre: - Bölme x - 1 ise kalan P ( 1 ) olur. - Bölme x + 1 ise kalan P ( - 1 ) olur. Verilen bilgiye göre ilk şart: P ( 1 ) = 2 Hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a · 1 + b P ( 1 ) = 1 - 2 + a + b = a + b - 1 Dolayısıyla: a + b - 1 = 2 a + b = 3 İkinci şart: P ( - 1 ) = 0 Hesaplayalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ( - 1 ) + b P ( - 1 ) = - 1 - 2 - a + b = b - a - 3 Dolayısıyla: b - a - 3 = 0 b - a = 3 Şimdi iki denklemi çözelim: Sistem: a + b = 3 - a + b = 3 Taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( - a + b ) = 3 + 3 2 b = 6 b = 3 Bunu a + b = 3 denkleminde yerine yazalım: a + 3 = 3 a = 0 İstenen: a + b Bulduğumuz değerlere göre: a + b = 3 Bu nedenle doğru seçenek B726 'dır.

  1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Kalan teoremine göre: - Bölme x - 1 ise kalan P ( 1 ) olur. - Bölme x + 1 ise kalan P ( - 1 ) olur. Verilen bilgiye göre ilk şart: P ( 1 ) = 2 Hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a · 1 + b P ( 1 ) = 1 - 2 + a + b = a + b - 1 Dolayısıyla: a + b - 1 = 2 a + b = 3 İkinci şart: P ( - 1 ) = 0 Hesaplayalım: P ( - 1 ) = - 1 3 - 2 - 1 2 + a ( - 1 ) + b P ( - 1 ) = - 1 - 2 - a + b = b - a - 3 Dolayısıyla: b - a - 3 = 0 b - a = 3 Şimdi iki denklemi çözelim: Sistem: a + b = 3 - a + b = 3 Taraf tarafa toplayalım: ( a + b ) + ( - a + b ) = 3 + 3 2 b = 6 b = 3 Bunu a + b = 3 denkleminde yerine yazalım: a + 3 = 3 a = 0 İstenen: a + b Bulduğumuz değerlere göre: a + b = 3 Bu nedenle doğru seçenek B726 'dır.

Verilen polinom:

P(x)=x3-2x2+ax+b

Kalan teoremine göre:

- Bölme

x-1

ise kalan

P(1)

olur.

- Bölme

x+1

ise kalan

P(-1)

olur.

Verilen bilgiye göre ilk şart:

P(1)=2

Hesaplayalım:

P(1)=13-212+a·1+bP(1)=1-2+a+b=a+b-1

Dolayısıyla:

a+b-1=2a+b=3

İkinci şart:

P(-1)=0

Hesaplayalım:

P(-1)=-13-2-12+a(-1)+bP(-1)=-1-2-a+b=b-a-3

Dolayısıyla:

b-a-3=0b-a=3

Şimdi iki denklemi çözelim:

Sistem:a+b=3-a+b=3

Taraf tarafa toplayalım:

(a+b)+(-a+b)=3+32b=6b=3

Bunu

a+b=3

denkleminde yerine yazalım:

a+3=3a=0

İstenen:

a+b

Bulduğumuz değerlere göre:

a+b=3

Bu nedenle doğru seçenek A'dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Monik dördüncü dereceden

P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d

polinomu için

P(1)=0,P(2)=0,P(3)=0,P(0)=1

ise

P(4)

kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşullara göre doğru şıkkın A olup olmadığını bulmak için polinomu köklerinden yazalım. Polinom monik ve dördüncü dereceden olduğundan baş katsayısı 1 ’dir. Ayrıca P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan 1,2,3 köklerdir. Dördüncü köke r diyelim. Bu durumda polinom P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − r ) şeklindedir. Şimdi P(0)=1 koşulunu kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) ( 0 − r ) Çarpımı düzenleyelim: P ( 0 ) = ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) ( − r ) Önce sayıların çarpımı: ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) = − 6 Bunu (-r) ile çarpalım: P ( 0 ) = ( − 6 ) ( − r ) = 6 r Verilen P(0)=1 olduğuna göre: 6 r = 1 Buradan r = 1 6 Artık P(4) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) ( 4 − 1 6 ) İlk üç çarpan: ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) = 6 Son çarpan: 4 − 1 6 = 24 6 − 1 6 = 23 6 Çarpalım: P ( 4 ) = 6 ⋅ 23 6 = 23 Sonuç: P(4)=23 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap C1056 şıkkıdır.

  1. Çözüm: Verilen koşullara göre doğru şıkkın A olup olmadığını bulmak için polinomu köklerinden yazalım. Polinom monik ve dördüncü dereceden olduğundan baş katsayısı 1 ’dir. Ayrıca P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan 1,2,3 köklerdir. Dördüncü köke r diyelim. Bu durumda polinom P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − r ) şeklindedir. Şimdi P(0)=1 koşulunu kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) ( 0 − r ) Çarpımı düzenleyelim: P ( 0 ) = ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) ( − r ) Önce sayıların çarpımı: ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 3 ) = − 6 Bunu (-r) ile çarpalım: P ( 0 ) = ( − 6 ) ( − r ) = 6 r Verilen P(0)=1 olduğuna göre: 6 r = 1 Buradan r = 1 6 Artık P(4) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) ( 4 − 1 6 ) İlk üç çarpan: ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) = 6 Son çarpan: 4 − 1 6 = 24 6 − 1 6 = 23 6 Çarpalım: P ( 4 ) = 6 ⋅ 23 6 = 23 Sonuç: P(4)=23 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap C1056 şıkkıdır.

Verilen koşullara göre doğru şıkkın A olup olmadığını bulmak için polinomu köklerinden yazalım.

Polinom monik ve dördüncü dereceden olduğundan baş katsayısı 1’dir. Ayrıca

P(1)=0,P(2)=0,P(3)=0

olduğundan 1,2,3 köklerdir. Dördüncü köke r diyelim.

Bu durumda polinom

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−r)

şeklindedir.

Şimdi P(0)=1 koşulunu kullanalım:

P(0)=(0−1)(0−2)(0−3)(0−r)

Çarpımı düzenleyelim:

P(0)=(−1)(−2)(−3)(−r)

Önce sayıların çarpımı:

(−1)(−2)(−3)=−6

Bunu (-r) ile çarpalım:

P(0)=(−6)(−r)=6r

Verilen P(0)=1 olduğuna göre:

6r=1

Buradan

r=16

Artık P(4) hesaplayalım:

P(4)=(4−1)(4−2)(4−3)(4−16)

İlk üç çarpan:

(3)(2)(1)=6

Son çarpan:

4−16=246−16=236

Çarpalım:

P(4)=6⋅236=23

Sonuç: P(4)=23 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

P(x)=x2+ax+b polinomu için;

  • P(1)=3
  • P(−1)=1

olduğuna göre a kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen koşullara göre seçenek C kontrol edilecektir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 2 + a x + b Şimdi birinci koşulu kullanalım: P ( 1 ) = 1 2 + a ⋅ 1 + b = 3 Buradan düzenleyelim: 1 + a + b = 3 a + b = 2 Şimdi ikinci koşulu kullanalım: P ( − 1 ) = − 1 2 + a ⋅ ( − 1 ) + b = 1 Burada kare nedeniyle ilk terim 1 olur: 1 − a + b = 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım: − a + b = 0 b = a Bunu ilk denklemde yerine yazalım: a + b = 2 a + a = 2 2 a = 2 a = 1 Sonuç: doğru cevap D474 şıkkıdır.

  1. Çözüm: Verilen koşullara göre seçenek C kontrol edilecektir. Önce polinomu yazalım: P ( x ) = x 2 + a x + b Şimdi birinci koşulu kullanalım: P ( 1 ) = 1 2 + a ⋅ 1 + b = 3 Buradan düzenleyelim: 1 + a + b = 3 a + b = 2 Şimdi ikinci koşulu kullanalım: P ( − 1 ) = − 1 2 + a ⋅ ( − 1 ) + b = 1 Burada kare nedeniyle ilk terim 1 olur: 1 − a + b = 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım: − a + b = 0 b = a Bunu ilk denklemde yerine yazalım: a + b = 2 a + a = 2 2 a = 2 a = 1 Sonuç: doğru cevap D474 şıkkıdır.

Verilen koşullara göre seçenek C kontrol edilecektir.

Önce polinomu yazalım:

P(x)=x2+ax+b

Şimdi birinci koşulu kullanalım:

P(1)=12+a⋅1+b=3

Buradan düzenleyelim:

1+a+b=3
a+b=2

Şimdi ikinci koşulu kullanalım:

P(−1)=−12+a⋅(−1)+b=1

Burada kare nedeniyle ilk terim 1 olur:

1−a+b=1

Her iki taraftan 1 çıkaralım:

−a+b=0
b=a

Bunu ilk denklemde yerine yazalım:

a+b=2
a+a=2
2a=2
a=1

Sonuç: doğru cevap D3147 şıkkıdır.

Polinomlar Sık Sorulan Sorular

Polinomun derecesi nedir?

Sıfır olmayan katsayılı terimler arasındaki en büyük kuvvettir.

Sabit terim nedir?

Değişken içermeyen, polinomun x yerine 0 yazıldığında kalan terimidir.

Kalan teoremi ne işe yarar?

Bir polinomun x-a ile bölümünden kalanını P(a) değerini hesaplayarak bulmayı sağlar.