8. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: B

Verilen notları yazalım: 70 80 90 60 100 Aritmetik ortalama için önce notların toplamını bulalım: 70 + 80 + 90 + 60 + 100 = 400 Not sayısını bulalım: 5 Aritmetik ortalama = toplam ÷ not sayısı: 400 5 = 80 Sonuç: 80 Bu değer şıklarda B seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap B dir.

1. Çözüm: Verilen notları yazalım: 70 80 90 60 100 Aritmetik ortalama için önce notların toplamını bulalım: 70 + 80 + 90 + 60 + 100 = 400 Not sayısını bulalım: 5 Aritmetik ortalama = toplam ÷ not sayısı: 400 5 = 80 Sonuç: 80 Bu değer şıklarda B seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap B dir.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü: Koşullu olasılık isteniyor. Toplam bilye sayısını yazalım. $5 + 3 + 2 = 10$ 2) İki bilyenin de kırmızı gelme olasılığı: P ( R R ) = 5 10 ⋅ 4 $9 = 20$ $90 = 2$ 9 3) “En az bir kırmızı” olayının olasılığı için tamamlayıcı olayı kullanalım: “Hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan bilye sayısı: $3 + 2 = 5$ Hiç kırmızı gelmeme olasılığı (ikisi de kırmızı olmayanlardan): P ( R ¯ R ¯ ) = C ( 5, 2 ) C ( 10, 2 ) = 10 $45 = 2$ 9 Buna göre “en az bir kırmızı” olasılığı: P ( en   az   bir   k ı r m ı z ı ) = 1 - 2 $9 = 7$ 9 4) Koşullu olasılık: P ( R R | en   az   bir   k ı r m ı z ı ) = P ( R R ) P ( en   az   bir   k ı r m ı z ı ) = 2 9 7 $9 = 2$ 7 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Koşullu olasılık isteniyor. Toplam bilye sayısını yazalım. $5 + 3 + 2 = 10$ 2) İki bilyenin de kırmızı gelme olasılığı: P ( R R ) = 5 10 ⋅ 4 $9 = 20$ $90 = 2$ 9 3) “En az bir kırmızı” olayının olasılığı için tamamlayıcı olayı kullanalım: “Hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan bilye sayısı: $3 + 2 = 5$ Hiç kırmızı gelmeme olasılığı (ikisi de kırmızı olmayanlardan): P ( R ¯ R ¯ ) = C ( 5, 2 ) C ( 10, 2 ) = 10 $45 = 2$ 9 Buna göre “en az bir kırmızı” olasılığı: P ( en   az   bir   k ı r m ı z ı ) = 1 - 2 $9 = 7$ 9 4) Koşullu olasılık: P ( R R | en   az   bir   k ı r m ı z ı ) = P ( R R ) P ( en   az   bir   k ı r m ı z ı ) = 2 9 7 $9 = 2$ 7 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Toplam top sayısını bulalım: $3 + 2 + 1 = 6$ 2) Mavi top sayısı: 2 3) Olasılık = (istenen durum sayısı) / (tüm durum sayısı): P( mavi ) = 2 6 4) Kesri sadeleştirelim: 2 $6 = 1$ 3 5) Sonuç: Mavi gelme olasılığı şıklardan C ’dir, yani 1 3 Kontrol: Verilen doğru cevap C ise doğrudur.

1. Çözüm: 1) Toplam top sayısını bulalım: $3 + 2 + 1 = 6$ 2) Mavi top sayısı: 2 3) Olasılık = (istenen durum sayısı) / (tüm durum sayısı): P( mavi ) = 2 6 4) Kesri sadeleştirelim: 2 $6 = 1$ 3 5) Sonuç: Mavi gelme olasılığı şıklardan C ’dir, yani 1 3 Kontrol: Verilen doğru cevap C ise doğrudur.

Doğru cevap: D

1) Torbadaki toplam bilye sayısını bulalım: 3 + 5 = 8 2) Kırmızı gelmesi isteniyor; uygun durum sayısı kırmızı bilye sayısıdır: 3 3) Olasılık = (uygun durum sayısı) / (tüm durum sayısı): 3 8 4) Şıklarla karşılaştıralım: Bulduğumuz değer 3 8 olduğu için doğru cevap D253 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Torbadaki toplam bilye sayısını bulalım: 3 + 5 = 8 2) Kırmızı gelmesi isteniyor; uygun durum sayısı kırmızı bilye sayısıdır: 3 3) Olasılık = (uygun durum sayısı) / (tüm durum sayısı): 3 8 4) Şıklarla karşılaştıralım: Bulduğumuz değer 3 8 olduğu için doğru cevap D253 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Kutuda 4 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top var ve 3 top geri konulmadan çekiliyor. Koşul: Çekilen 3 top tam olarak 2 farklı renkten oluşuyor. Yani olası renk çiftleri: (Kırmızı-Mavi), (Kırmızı-Yeşil), (Mavi-Yeşil). Her çift için, 3 top içinde iki rengin de bulunması gerekir. İstenen olay: Renk çiftinin kırmızı ve mavi olması (ve ikisinin de gelmesi). 1) Kırmızı-Mavi çiftinin (iki renk de var) gelme sayısı: C ( 4, 2 ) C ( 3, 1 ) + C ( 4, 1 ) C ( 3, 2 ) = 6 · 3 + 4 · $3 = 18$ + $12 = 30$ 2) Kırmızı-Yeşil çiftinin (iki renk de var) gelme sayısı: C ( 4, 2 ) C ( 2, 1 ) + C ( 4, 1 ) C ( 2, 2 ) = 6 · 2 + 4 · $1 = 12$ + $4 = 16$ 3) Mavi-Yeşil çiftinin (iki renk de var) gelme sayısı: C ( 3, 2 ) C ( 2, 1 ) + C ( 3, 1 ) C ( 2, 2 ) = 3 · 2 + 3 · $1 = 6$ + $3 = 9$ Koşul olayının (tam olarak 2 renk) toplam durumu: $55 = 30$ + 16 + 9 İstenen koşullu olasılık: 30 $55 = 6$ 11 Sonuç: Olasılık B şıkkı ile aynıdır.

1. Çözüm: Kutuda 4 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top var ve 3 top geri konulmadan çekiliyor. Koşul: Çekilen 3 top tam olarak 2 farklı renkten oluşuyor. Yani olası renk çiftleri: (Kırmızı-Mavi), (Kırmızı-Yeşil), (Mavi-Yeşil). Her çift için, 3 top içinde iki rengin de bulunması gerekir. İstenen olay: Renk çiftinin kırmızı ve mavi olması (ve ikisinin de gelmesi). 1) Kırmızı-Mavi çiftinin (iki renk de var) gelme sayısı: C ( 4, 2 ) C ( 3, 1 ) + C ( 4, 1 ) C ( 3, 2 ) = 6 · 3 + 4 · $3 = 18$ + $12 = 30$ 2) Kırmızı-Yeşil çiftinin (iki renk de var) gelme sayısı: C ( 4, 2 ) C ( 2, 1 ) + C ( 4, 1 ) C ( 2, 2 ) = 6 · 2 + 4 · $1 = 12$ + $4 = 16$ 3) Mavi-Yeşil çiftinin (iki renk de var) gelme sayısı: C ( 3, 2 ) C ( 2, 1 ) + C ( 3, 1 ) C ( 2, 2 ) = 3 · 2 + 3 · $1 = 6$ + $3 = 9$ Koşul olayının (tam olarak 2 renk) toplam durumu: $55 = 30$ + 16 + 9 İstenen koşullu olasılık: 30 $55 = 6$ 11 Sonuç: Olasılık B şıkkı ile aynıdır.

Doğru cevap: C

Önce toplam top sayısını yazalım. Toplam = $4 + 3 + 2 = 9$ İstenen koşullu olasılık: P ( WW | en az bir W ) Önce iki topun da beyaz gelme olasılığı: P ( WW ) = 4 9 × 3 $8 = 12$ $72 = 1$ 6 “En az birinin beyaz olması” olasılığını, tümleyeniyle bulalım: hiç beyaz gelmemesi. P ( hi ç beyaz yok ) = 5 9 × 4 $8 = 20$ 72 Buradan “en az bir beyaz” olasılığı: P ( en az bir W ) = 1 - 20 $72 = 52$ $72 = 13$ 18 Koşullu olasılık formülü: P ( WW | en az bir W ) = P ( WW ) P ( en az bir W ) Yerine yazıp sonucu bulalım: 1 6 13 $18 = 1$ 6 × 18 $13 = 3$ 13 Sonuç: P ( WW | en az bir W ) = 3 13 Bu değer şık C ile aynıdır; doğru cevap C’dir.

1. Çözüm: Önce toplam top sayısını yazalım. Toplam = $4 + 3 + 2 = 9$ İstenen koşullu olasılık: P ( WW | en az bir W ) Önce iki topun da beyaz gelme olasılığı: P ( WW ) = 4 9 × 3 $8 = 12$ $72 = 1$ 6 “En az birinin beyaz olması” olasılığını, tümleyeniyle bulalım: hiç beyaz gelmemesi. P ( hi ç beyaz yok ) = 5 9 × 4 $8 = 20$ 72 Buradan “en az bir beyaz” olasılığı: P ( en az bir W ) = 1 - 20 $72 = 52$ $72 = 13$ 18 Koşullu olasılık formülü: P ( WW | en az bir W ) = P ( WW ) P ( en az bir W ) Yerine yazıp sonucu bulalım: 1 6 13 $18 = 1$ 6 × 18 $13 = 3$ 13 Sonuç: P ( WW | en az bir W ) = 3 13 Bu değer şık C ile aynıdır; doğru cevap C’dir.

Doğru cevap: D

Doğru cevabı kontrol: İkisinin de kırmızı gelme olasılığı 3 28 olur. Bu nedenle doğru seçenek D80 ’dır. Birinci adım (toplam bilye sayısı): 3 + 5 = 8 İkinci adım (birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı): 3 8 Üçüncü adım (geri koymadan ikinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı): Bir kırmızı çıktıktan sonra torbada 2 kırmızı ve 7 toplam bilye kalır. Bu durumda olasılık: 2 7 Dördüncü adım (çarpma kuralı): 3 8 × 2 7 Beşinci adım (sonuç): 3 × 2 8 × 7 = 6 56 = 3 28

1. Çözüm: Doğru cevabı kontrol: İkisinin de kırmızı gelme olasılığı 3 28 olur. Bu nedenle doğru seçenek D80 ’dır. Birinci adım (toplam bilye sayısı): 3 + 5 = 8 İkinci adım (birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı): 3 8 Üçüncü adım (geri koymadan ikinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı): Bir kırmızı çıktıktan sonra torbada 2 kırmızı ve 7 toplam bilye kalır. Bu durumda olasılık: 2 7 Dördüncü adım (çarpma kuralı): 3 8 × 2 7 Beşinci adım (sonuç): 3 × 2 8 × 7 = 6 56 = 3 28

Doğru cevap: C

Önce toplam bilye sayısını yazalım. $5 + 4 + 3 = 12$ Yeşil olmayan (kırmızı+mavi) bilye sayısı: $5 + 4 = 9$ İstenen olasılık koşullu olasılıktır: P ( tam olarak 1 yeşil | en az 1 yeşil ) = P ( tam olarak 1 yeşil ) P ( en az 1 yeşil ) Toplam durum sayısı (12 bilyeden 3 seçme): C ( 12, 3 ) = 12 · 11 · 10 3 · 2 · $1 = 220$ “Tam olarak 1 yeşil” seçimi: 3 yeşilden 1 tane ve 9 yeşil-olmayan bilyeden 2 tane seçilir. C ( 3, 1 ) · C ( 9, 2 ) = 3 · 9 · 8 2 · $1 = 3$ · $36 = 108$ Bu durumda olasılık: P ( tam olarak 1 yeşil ) = 108 $220 = 27$ 55 “En az 1 yeşil” olasılığı için önce “0 yeşil”i bulup 1’den çıkaralım. P ( 0 yeşil ) = C ( 9, 3 ) C ( 12, 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 $220 = 84$ 220 Buradan: P ( en az 1 yeşil ) = 1 - 84 $220 = 136$ $220 = 34$ 55 Şimdi koşullu olasılığı hesaplayalım: P ( tam olarak 1 yeşil ) P ( en az 1 yeşil ) = 27 55 34 $55 = 27$ 34 Sonuç: 27 34 Bu değer şıklarda seçeneğiC868dir. Yani doğru cevap C888.

1. Çözüm: Önce toplam bilye sayısını yazalım. $5 + 4 + 3 = 12$ Yeşil olmayan (kırmızı+mavi) bilye sayısı: $5 + 4 = 9$ İstenen olasılık koşullu olasılıktır: P ( tam olarak 1 yeşil | en az 1 yeşil ) = P ( tam olarak 1 yeşil ) P ( en az 1 yeşil ) Toplam durum sayısı (12 bilyeden 3 seçme): C ( 12, 3 ) = 12 · 11 · 10 3 · 2 · $1 = 220$ “Tam olarak 1 yeşil” seçimi: 3 yeşilden 1 tane ve 9 yeşil-olmayan bilyeden 2 tane seçilir. C ( 3, 1 ) · C ( 9, 2 ) = 3 · 9 · 8 2 · $1 = 3$ · $36 = 108$ Bu durumda olasılık: P ( tam olarak 1 yeşil ) = 108 $220 = 27$ 55 “En az 1 yeşil” olasılığı için önce “0 yeşil”i bulup 1’den çıkaralım. P ( 0 yeşil ) = C ( 9, 3 ) C ( 12, 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 $220 = 84$ 220 Buradan: P ( en az 1 yeşil ) = 1 - 84 $220 = 136$ $220 = 34$ 55 Şimdi koşullu olasılığı hesaplayalım: P ( tam olarak 1 yeşil ) P ( en az 1 yeşil ) = 27 55 34 $55 = 27$ 34 Sonuç: 27 34 Bu değer şıklarda seçeneğiC868dir. Yani doğru cevap C888.

Doğru cevap: D

Birinci veya ikinci kutunun seçilme olasılıkları eşittir: P ( K u t u   1 ) = 1 2 P ( K u t u   2 ) = 1 2 Birinci kutudan geri koymadan iki topun da kırmızı gelme olasılığı: P ( K K   |   K u t u   1 ) = 2 5 × 1 4 = 2 20 = 1 10 İkinci kutudan geri koymadan iki topun da kırmızı gelme olasılığı: P ( K K   |   K u t u   2 ) = 4 5 × 3 4 = 12 20 = 3 5 Bayes kuralı ile ikinci kutunun seçilmiş olma olasılığını bulalım: P ( K u t u   2   |   K K ) = P ( K u t u   2 ) × P ( K K   |   K u t u   2 ) P ( K u t u   1 ) × P ( K K   |   K u t u   1 ) + P ( K u t u   2 ) × P ( K K   |   K u t u   2 ) Değerleri yerine yazıp sadeleştirelim: P ( K u t u   2   |   K K ) = 1 2 × 3 5 1 2 × 1 10 + 1 2 × 3 5 = 3 10 1 20 + 3 10 = 6 20 1 20 + 6 20 = 6 20 7 20 = 6 7 Sonuç şıklarda 6 7 olduğundan doğru cevap D950 seçeneğidir.

1. Çözüm: Birinci veya ikinci kutunun seçilme olasılıkları eşittir: P ( K u t u   1 ) = 1 2 P ( K u t u   2 ) = 1 2 Birinci kutudan geri koymadan iki topun da kırmızı gelme olasılığı: P ( K K   |   K u t u   1 ) = 2 5 × 1 4 = 2 20 = 1 10 İkinci kutudan geri koymadan iki topun da kırmızı gelme olasılığı: P ( K K   |   K u t u   2 ) = 4 5 × 3 4 = 12 20 = 3 5 Bayes kuralı ile ikinci kutunun seçilmiş olma olasılığını bulalım: P ( K u t u   2   |   K K ) = P ( K u t u   2 ) × P ( K K   |   K u t u   2 ) P ( K u t u   1 ) × P ( K K   |   K u t u   1 ) + P ( K u t u   2 ) × P ( K K   |   K u t u   2 ) Değerleri yerine yazıp sadeleştirelim: P ( K u t u   2   |   K K ) = 1 2 × 3 5 1 2 × 1 10 + 1 2 × 3 5 = 3 10 1 20 + 3 10 = 6 20 1 20 + 6 20 = 6 20 7 20 = 6 7 Sonuç şıklarda 6 7 olduğundan doğru cevap D950 seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Verilen bilgi “çekilen toplar arasında en az bir kırmızı top vardır” şeklinde yorumlanır. Bu durumda istenen olasılık koşullu olasılıktır: P $X = 1 | X ≥ 1$ Toplam top sayısını bulalım: $3 + 4 + 5 = 12$ Kırmızı olmayan (mavi ve yeşil) top sayısı: $12 - 3 = 9$ Önce tam olarak bir kırmızı gelme olasılığını (hipergeometrik) hesaplayalım: P $X = 1$ = C ( 3, 1 ) · C ( 9, 2 ) C ( 12, 3 ) Kombinasyon değerleri: C ( 3, 1 ) = 3 C ( 9, 2 ) = 36 C ( 12, 3 ) = 220 Yerine yazalım: P $X = 1$ = 3 · 36 $220 = 108$ $220 = 27$ 55 Şimdi hiç kırmızı gelmeme olasılığı: P $X = 0$ = C ( 3, 0 ) · C ( 9, 3 ) C ( 12, 3 ) Kombinasyon değerleri: C ( 3, 0 ) = 1 C ( 9, 3 ) = 84 Dolayısıyla: P $X = 0$ = 84 $220 = 21$ 55 En az bir kırmızı gelme olasılığı: P $X ≥ 1$ = 1 - P $X = 0$ = 1 - 21 $55 = 34$ 55 Koşullu olasılığı hesaplayalım: P $X = 1 | X ≥ 1$ = P $X = 1$ P $X ≥ 1$ = 27 55 34 $55 = 27$ 34 Sonuç seçeneklerde A şıkkıdır; yani doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Verilen bilgi “çekilen toplar arasında en az bir kırmızı top vardır” şeklinde yorumlanır. Bu durumda istenen olasılık koşullu olasılıktır: P $X = 1 | X ≥ 1$ Toplam top sayısını bulalım: $3 + 4 + 5 = 12$ Kırmızı olmayan (mavi ve yeşil) top sayısı: $12 - 3 = 9$ Önce tam olarak bir kırmızı gelme olasılığını (hipergeometrik) hesaplayalım: P $X = 1$ = C ( 3, 1 ) · C ( 9, 2 ) C ( 12, 3 ) Kombinasyon değerleri: C ( 3, 1 ) = 3 C ( 9, 2 ) = 36 C ( 12, 3 ) = 220 Yerine yazalım: P $X = 1$ = 3 · 36 $220 = 108$ $220 = 27$ 55 Şimdi hiç kırmızı gelmeme olasılığı: P $X = 0$ = C ( 3, 0 ) · C ( 9, 3 ) C ( 12, 3 ) Kombinasyon değerleri: C ( 3, 0 ) = 1 C ( 9, 3 ) = 84 Dolayısıyla: P $X = 0$ = 84 $220 = 21$ 55 En az bir kırmızı gelme olasılığı: P $X ≥ 1$ = 1 - P $X = 0$ = 1 - 21 $55 = 34$ 55 Koşullu olasılığı hesaplayalım: P $X = 1 | X ≥ 1$ = P $X = 1$ P $X ≥ 1$ = 27 55 34 $55 = 27$ 34 Sonuç seçeneklerde A şıkkıdır; yani doğru cevap A ’dır.