11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) 2 + ( x - 4 ) 2 < 10 Kareleri açalım: ( x 2 - 2 x + 1 ) + ( x 2 - 8 x + 16 ) < 10 Benzer terimleri toplayalım: 2 x 2 - 10 x + 17 < 10 Tüm terimleri bir tarafa alalım: 2 x 2 - 10 x + 7 < 0 Kökleri bulmak için eşitliğin köklerini hesaplayalım: 2 x 2 - 10 x + 7 = 0 İkinci dereceden denklem formülüyle kökler: x = 10 ± 10 2 - 4 · 2 · 7 2 · 2 Karekök içini sadeleştirelim: x = 10 ± 100 - 56 4 = 10 ± 44 4 Kökleri son hâline getirelim: x = 10 ± 2 11 4 = 5 ± 11 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, kökler arasında negatiftir. Eşitsizlik sıkı olduğu için uçlar alınmaz: 5 - 11 2 < x < 5 + 11 2 Çözüm kümesi: ( 5 - 11 2, 5 + 11 2 ) Dolayısıyla doğru seçenek C735 ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) 2 + ( x - 4 ) 2 < 10 Kareleri açalım: ( x 2 - 2 x + 1 ) + ( x 2 - 8 x + 16 ) < 10 Benzer terimleri toplayalım: 2 x 2 - 10 x + 17 < 10 Tüm terimleri bir tarafa alalım: 2 x 2 - 10 x + 7 < 0 Kökleri bulmak için eşitliğin köklerini hesaplayalım: 2 x 2 - 10 x + 7 = 0 İkinci dereceden denklem formülüyle kökler: x = 10 ± 10 2 - 4 · 2 · 7 2 · 2 Karekök içini sadeleştirelim: x = 10 ± 100 - 56 4 = 10 ± 44 4 Kökleri son hâline getirelim: x = 10 ± 2 11 4 = 5 ± 11 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, kökler arasında negatiftir. Eşitsizlik sıkı olduğu için uçlar alınmaz: 5 - 11 2 < x < 5 + 11 2 Çözüm kümesi: ( 5 - 11 2, 5 + 11 2 ) Dolayısıyla doğru seçenek C735 ’dır.

Doğru cevap: B

Silindir hacmi πr²h = π·9·10 = 90πdir.

1. Adım 1: r²yi hesapla.
2. Adım 2: Yükşeklikle çarp.

Doğru cevap: D

İfade: 3 + 4 i 1 - 2 i Paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarparız: 3 + 4 i 1 - 2 i = ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Payı açalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Burada i karesini kullanıp sadeleştirelim: 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( - 1 ) = - 5 + 10 i Paydayı açalım: ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Böylece kesir: - 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Sonuç, şıkkıD456 ile aynıdır. Doğru cevap: D477.

1. Çözüm: İfade: 3 + 4 i 1 - 2 i Paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarparız: 3 + 4 i 1 - 2 i = ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Payı açalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Burada i karesini kullanıp sadeleştirelim: 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( - 1 ) = - 5 + 10 i Paydayı açalım: ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Böylece kesir: - 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Sonuç, şıkkıD456 ile aynıdır. Doğru cevap: D477.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık A mı kontrolü (denklem ve tanım kümesi): log 2 x - 1 + log 2 x + 3 = 3 Logaritmanın tanımlı olması için: x - 1 > 0   ∧   x + 3 > 0 x > 1 2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 2 x - 1 ⋅ x + 3 = 3 3) Her iki tarafın taban-2 üstel karşılığını alalım: x - 1 ⋅ x + 3 = 2 3 x - 1 ⋅ x + 3 = 8 4) Çarpımı açıp ikinci dereceden denkleme geçelim: x - 1 x + 3 = 8 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 5) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 11 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 6) Tanım koşulunu sağlayanı seçelim: x > 1 x = - 1 + 2 3 Diğer kök tanım koşulunu sağlamaz. Sonuç: Doğru cevap B720 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık A mı kontrolü (denklem ve tanım kümesi): log 2 x - 1 + log 2 x + 3 = 3 Logaritmanın tanımlı olması için: x - 1 > 0   ∧   x + 3 > 0 x > 1 2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 2 x - 1 ⋅ x + 3 = 3 3) Her iki tarafın taban-2 üstel karşılığını alalım: x - 1 ⋅ x + 3 = 2 3 x - 1 ⋅ x + 3 = 8 4) Çarpımı açıp ikinci dereceden denkleme geçelim: x - 1 x + 3 = 8 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 5) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 11 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 6) Tanım koşulunu sağlayanı seçelim: x > 1 x = - 1 + 2 3 Diğer kök tanım koşulunu sağlamaz. Sonuç: Doğru cevap B720 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

1) Parabol denklemi: y = x 2 - 4 x + 1 2) Tepe noktasının x koordinatı için formül: x t = - b 2 a 3) Katsayıları belirleyip yerine yazalım: a = 1, b = - 4 x t = - ( - 4 ) 2 · 1 = 4 2 = 2 4) Tepe noktasının y koordinatı için x = 2 yerine yazalım: y t = 2 2 - 4 · 2 + 1 y t = 4 - 8 + 1 = - 3 5) Tepe noktası: ( x t, y t ) = ( 2, - 3 ) Buna göre doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Parabol denklemi: y = x 2 - 4 x + 1 2) Tepe noktasının x koordinatı için formül: x t = - b 2 a 3) Katsayıları belirleyip yerine yazalım: a = 1, b = - 4 x t = - ( - 4 ) 2 · 1 = 4 2 = 2 4) Tepe noktasının y koordinatı için x = 2 yerine yazalım: y t = 2 2 - 4 · 2 + 1 y t = 4 - 8 + 1 = - 3 5) Tepe noktası: ( x t, y t ) = ( 2, - 3 ) Buna göre doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

İfadeyi inceleyelim: x 2 − 5 x + 6 x − 4 ≤ 0 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ 4 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) x − 4 ≤ 0 Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek noktalar): x = 2, x = 3, x = 4 Aralıkları belirleyelim: ( − ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) Her aralıktan bir değer seçip işareti bulalım: x = 0 ⇒ ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) 0 − 4 < 0 x = 5 2 ⇒ ( 5 2 − 2 ) ( 5 2 − 3 ) 5 2 − 4 > 0 x = 7 2 ⇒ ( 7 2 − 2 ) ( 7 2 − 3 ) 7 2 − 4 < 0 x = 5 ⇒ ( 5 − 2 ) ( 5 − 3 ) 5 − 4 > 0 Buna göre ifadenin işareti aralıklara göre: ( − ∞, 2 ): −,   ( 2, 3 ): +,   ( 3, 4 ): −,   ( 4, ∞ ): + Eşitsizlik “küçük eşit sıfır” istediği için negatif olduğu aralıklar ve sıfır yaptığı noktalar alınır. Payı sıfır yapan noktalar dahil, paydayı sıfır yapan nokta hariçtir: x = 2   (dahil),   x = 3   (dahil),   x = 4   (hariç) Çözüm kümesi: ( − ∞, 2 ] ∪ [ 3, 4 ) Bu da şıklarda seçeneğiB1258dir. Dolayısıyla doğru cevap B1285 ’dır.

1. Çözüm: İfadeyi inceleyelim: x 2 − 5 x + 6 x − 4 ≤ 0 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ 4 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) x − 4 ≤ 0 Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek noktalar): x = 2, x = 3, x = 4 Aralıkları belirleyelim: ( − ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) Her aralıktan bir değer seçip işareti bulalım: x = 0 ⇒ ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) 0 − 4 < 0 x = 5 2 ⇒ ( 5 2 − 2 ) ( 5 2 − 3 ) 5 2 − 4 > 0 x = 7 2 ⇒ ( 7 2 − 2 ) ( 7 2 − 3 ) 7 2 − 4 < 0 x = 5 ⇒ ( 5 − 2 ) ( 5 − 3 ) 5 − 4 > 0 Buna göre ifadenin işareti aralıklara göre: ( − ∞, 2 ): −,   ( 2, 3 ): +,   ( 3, 4 ): −,   ( 4, ∞ ): + Eşitsizlik “küçük eşit sıfır” istediği için negatif olduğu aralıklar ve sıfır yaptığı noktalar alınır. Payı sıfır yapan noktalar dahil, paydayı sıfır yapan nokta hariçtir: x = 2   (dahil),   x = 3   (dahil),   x = 4   (hariç) Çözüm kümesi: ( − ∞, 2 ] ∪ [ 3, 4 ) Bu da şıklarda seçeneğiB1258dir. Dolayısıyla doğru cevap B1285 ’dır.

Doğru cevap: B

Üçgende en büyük açı en uzun kenarın karşısındadır; en uzun kenar $6$dır.

1. Geometrik ilişkiyi seç: Üçgen, çember, çokgen veya katı cisimde verilen açı, uzunluk, alan ve hacim bilgilerini ayır.
2. Uygun bağıntıyı uygula: Sinüs alanı, kosinüs teoremi, benzerlik, çemberde kuvvet, alan-hacim veya yüzey alanı formülünü kullan.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: z + 1 z = 1 İstenen ifade: z 6 + 1 z 6 Aşağıdaki diziyi tanımlayalım: t n = z n + z - n Bu tanıma göre başlangıç değerleri: t 0 = 2 t 1 = z + 1 z = 1 Çarpım ile bağıntı elde edelim: t 1 · t n = ( z + z - 1 ) ( z n + z - n ) t 1 · t n = z n + 1 + z n - 1 + z - n + 1 + z - n - 1 Bu ifade şu şekilde gruplanır: t 1 · t n = ( z n + 1 + z - n - 1 ) + ( z n - 1 + z - n + 1 ) t 1 · t n = t n + 1 + t n - 1 Dolayısıyla bağıntı: t n + 1 = t 1 · t n - t n - 1 Şimdi sırayla hesaplayalım: t 2 = t 1 · t 1 - t 0 = 1 · 1 - 2 = - 1 t 3 = t 1 · t 2 - t 1 = 1 · - 1 - 1 = - 2 t 4 = t 1 · t 3 - t 2 = 1 · - 2 - - 1 = - 1 t 5 = t 1 · t 4 - t 3 = 1 · - 1 - - 2 = 1 t 6 = t 1 · t 5 - t 4 = 1 · 1 - - 1 = 2 İstenen değer, tanıma göre: z 6 + 1 z 6 = t 6 = 2 Sonuç: Doğru cevap B760 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşul: z + 1 z = 1 İstenen ifade: z 6 + 1 z 6 Aşağıdaki diziyi tanımlayalım: t n = z n + z - n Bu tanıma göre başlangıç değerleri: t 0 = 2 t 1 = z + 1 z = 1 Çarpım ile bağıntı elde edelim: t 1 · t n = ( z + z - 1 ) ( z n + z - n ) t 1 · t n = z n + 1 + z n - 1 + z - n + 1 + z - n - 1 Bu ifade şu şekilde gruplanır: t 1 · t n = ( z n + 1 + z - n - 1 ) + ( z n - 1 + z - n + 1 ) t 1 · t n = t n + 1 + t n - 1 Dolayısıyla bağıntı: t n + 1 = t 1 · t n - t n - 1 Şimdi sırayla hesaplayalım: t 2 = t 1 · t 1 - t 0 = 1 · 1 - 2 = - 1 t 3 = t 1 · t 2 - t 1 = 1 · - 1 - 1 = - 2 t 4 = t 1 · t 3 - t 2 = 1 · - 2 - - 1 = - 1 t 5 = t 1 · t 4 - t 3 = 1 · - 1 - - 2 = 1 t 6 = t 1 · t 5 - t 4 = 1 · 1 - - 1 = 2 İstenen değer, tanıma göre: z 6 + 1 z 6 = t 6 = 2 Sonuç: Doğru cevap B760 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen denklem ve koşul: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 x > 4 Değişken dönüşümü yapalım: a = log 2 ( x ) Logaritmanın terslik özelliğinden: log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklem şu hale gelir: a + 1 a = 5 Paydadan kurtulmak için ( a ≠ 0 ) her iki tarafı a ile çarpalım: a 2 + 1 = 5 a İkinci dereceden denklem: a 2 - 5 a + 1 = 0 Kökleri bulalım: a = 5 ± 5 2 - 4 · 1 · 1 2 a = 5 ± 21 2 Koşulu x > 4 kullanarak doğru kökü seçelim. x > 4 ise log 2 ( x ) > log 2 ( 4 ) = 2 yani a > 2 olmalıdır. Bu yüzden: a = 5 + 21 2 Şimdi a = log 2 ( x ) olduğuna göre: log 2 ( x ) = 5 + 21 2 x = 2 5 + 21 2 Sonuç: Doğru seçenek A çünkü bulunan değer: x = 2 5 + 21 2

1. Çözüm: Verilen denklem ve koşul: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 x > 4 Değişken dönüşümü yapalım: a = log 2 ( x ) Logaritmanın terslik özelliğinden: log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklem şu hale gelir: a + 1 a = 5 Paydadan kurtulmak için ( a ≠ 0 ) her iki tarafı a ile çarpalım: a 2 + 1 = 5 a İkinci dereceden denklem: a 2 - 5 a + 1 = 0 Kökleri bulalım: a = 5 ± 5 2 - 4 · 1 · 1 2 a = 5 ± 21 2 Koşulu x > 4 kullanarak doğru kökü seçelim. x > 4 ise log 2 ( x ) > log 2 ( 4 ) = 2 yani a > 2 olmalıdır. Bu yüzden: a = 5 + 21 2 Şimdi a = log 2 ( x ) olduğuna göre: log 2 ( x ) = 5 + 21 2 x = 2 5 + 21 2 Sonuç: Doğru seçenek A çünkü bulunan değer: x = 2 5 + 21 2

Doğru cevap: C

1) Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 x 2 - 8 x + 3 2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı: x = - b 2 a 3) Burada: a = 2, b = - 8 4) Tepe noktasının x değeri: x = - ( - 8 ) 2 ⋅ 2 = 8 4 = 2 5) Tepe noktasının y değeri için x=2 yazalım: f ( 2 ) = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 6) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 ⋅ 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 7) Tepe noktası: 2, - 5 Sonuç: Doğru cevap C377 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 x 2 - 8 x + 3 2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı: x = - b 2 a 3) Burada: a = 2, b = - 8 4) Tepe noktasının x değeri: x = - ( - 8 ) 2 ⋅ 2 = 8 4 = 2 5) Tepe noktasının y değeri için x=2 yazalım: f ( 2 ) = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 6) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 ⋅ 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 7) Tepe noktası: 2, - 5 Sonuç: Doğru cevap C377 şıkkıdır.