11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kökler: x - $2 = 0$ $x = 2$x - $3 = 0$ $x = 3$Parabol yukarı doğru açıldığı için (baş katsayı pozitif), ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm: 2 < x < 3 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kökler: x - $2 = 0$ $x = 2$x - $3 = 0$ $x = 3$Parabol yukarı doğru açıldığı için (baş katsayı pozitif), ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm: 2 < x < 3 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: D

Yüzey alanı oranı uzunluk oranının karesidir; uzunluk oranı $4:5$.

1. Geometrik ilişkiyi seç: Üçgen, çember, çokgen veya katı cisimde verilen açı, uzunluk, alan ve hacim bilgilerini ayır.
2. Uygun bağıntıyı uygula: Sinüs alanı, kosinüs teoremi, benzerlik, çemberde kuvvet, alan-hacim veya yüzey alanı formülünü kullan.

Doğru cevap: D

Verilen koşullardan başlayalım: z 2 = − 3 + 4 i Im ( z ) > 0 Karekök adayını bulmak için şu denemeyi yapalım: ( 1 + 2 i ) 2 Açalım: 1 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 i + 2 i 2 1 + 4 i + 4 i 2 1 + 4 i − 4 − 3 + 4 i Demek ki koşulu sağlayan (sanal kısmı pozitif olan) kök: $z = 1 + 2$i İstenen ifadeyi yazalım: z 5 + z ¯ 5 Önce kuvvetleri daha hızlı hesaplamak için ara adımlar: z 2 = − 3 + 4 i z 4 = ( − 3 + 4 i ) 2 Açalım: − 3 2 + 2 ⋅ − 3 ⋅ 4 i + 4 i 2 9 − 24 i + 16 i 2 9 − 24 i − 16 − 7 − 24 i Şimdi z 5 = z 4 ⋅ z yerine koyup çarpalım: z 5 = ( − 7 − 24 i ) ⋅ ( 1 + 2 i ) ( − 7 − 24 i ) + 2 i ⋅ ( − 7 − 24 i ) ( − 7 − 24 i ) + ( − 14 i − 48 i 2 ) ( − 7 + 48 ) + ( − 24 − 14 ) i 41 − 38 i Eşlenik kuvveti, kuvvetin eşleniğine eşittir: z ¯ 5 = z 5 ¯ Dolayısıyla: z ¯ $5 = 41$ + 38 i Toplayalım: z 5 + z ¯ 5 = ( 41 − 38 i ) + ( 41 + 38 i ) 82 Sonuç 82 olur. Bu da şık olarak seçeneğiD1126dir; yani verilen öneri doğrudur.

1. Çözüm: Verilen koşullardan başlayalım: z 2 = − 3 + 4 i Im ( z ) > 0 Karekök adayını bulmak için şu denemeyi yapalım: ( 1 + 2 i ) 2 Açalım: 1 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 i + 2 i 2 1 + 4 i + 4 i 2 1 + 4 i − 4 − 3 + 4 i Demek ki koşulu sağlayan (sanal kısmı pozitif olan) kök: $z = 1 + 2$i İstenen ifadeyi yazalım: z 5 + z ¯ 5 Önce kuvvetleri daha hızlı hesaplamak için ara adımlar: z 2 = − 3 + 4 i z 4 = ( − 3 + 4 i ) 2 Açalım: − 3 2 + 2 ⋅ − 3 ⋅ 4 i + 4 i 2 9 − 24 i + 16 i 2 9 − 24 i − 16 − 7 − 24 i Şimdi z 5 = z 4 ⋅ z yerine koyup çarpalım: z 5 = ( − 7 − 24 i ) ⋅ ( 1 + 2 i ) ( − 7 − 24 i ) + 2 i ⋅ ( − 7 − 24 i ) ( − 7 − 24 i ) + ( − 14 i − 48 i 2 ) ( − 7 + 48 ) + ( − 24 − 14 ) i 41 − 38 i Eşlenik kuvveti, kuvvetin eşleniğine eşittir: z ¯ 5 = z 5 ¯ Dolayısıyla: z ¯ $5 = 41$ + 38 i Toplayalım: z 5 + z ¯ 5 = ( 41 − 38 i ) + ( 41 + 38 i ) 82 Sonuç 82 olur. Bu da şık olarak seçeneğiD1126dir; yani verilen öneri doğrudur.

Doğru cevap: D

Önce logaritmaların tanım gereği tanım kümesini yazalım: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan tanım aralığı elde edilir: x > 1 Logaritma toplamı kuralını uygulayalım: log 3 ( x - 1 ) + log 3 ( x + 1 ) = log 3 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Denklem bu şekilde tek logaritmaya indirgenir: log 3 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 2 Çarpımı açalım: log 3 ( x 2 - 1 ) = 2 Logaritma tanımına göre üstel biçime geçelim: 3 2 = x 2 - 1 Buradan denklemi çözelim: 9 = x 2 - 1 x $2 = 10$ Kök alalım: x = ± 10 Tanım aralığına göre seçim yapalım: x > 1 Bu koşulu sağlayan tek değer: $x = 10$Sonuç: Doğru cevap D564 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce logaritmaların tanım gereği tanım kümesini yazalım: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan tanım aralığı elde edilir: x > 1 Logaritma toplamı kuralını uygulayalım: log 3 ( x - 1 ) + log 3 ( x + 1 ) = log 3 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Denklem bu şekilde tek logaritmaya indirgenir: log 3 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 2 Çarpımı açalım: log 3 ( x 2 - 1 ) = 2 Logaritma tanımına göre üstel biçime geçelim: 3 2 = x 2 - 1 Buradan denklemi çözelim: 9 = x 2 - 1 x $2 = 10$ Kök alalım: x = ± 10 Tanım aralığına göre seçim yapalım: x > 1 Bu koşulu sağlayan tek değer: $x = 10$Sonuç: Doğru cevap D564 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen parabol: $y = x$2 + p x + q Parabolün ( 1, 2 ) noktasından geçmesi: $2 = 1$ 2 + p · 1 + q p + $q = 1$Parabolün ( 3, 2 ) noktasından geçmesi: $2 = 3$ 2 + p · 3 + q 3 p + q = - 7 Bu iki denklemi çözelim: ( 3 p + q ) - ( p + q ) = - 7 - 1 2 p = - 8 p = - 4 p + $q = 1$⇒ - 4 + $q = 1$$q = 5$Yalnızca bu iki noktaya göre parabol: $y = x$2 - 4 x + 5 Şimdi odak koşulunu kullanalım. Kareye tamamlama: $y = x$2 + p x + $q = x + p$2 2 + q - p 2 4 Bu parabolde $a = 1$olduğundan odak, tepe noktasından 1 4 kadar yukarıdadır. Dolayısıyla odak y -koordinatı: y _ $F = q - p$2 4 + 1 4 Odak $y = 1$doğrusu üzerinde dendiğine göre: q - p 2 4 + 1 $4 = 1$ q - p 2 $4 = 3$ 4 Bulduğumuz p = - 4 ve $q = 5$değerlerini bu koşulda deneyelim: q - p 2 $4 = 5$ - - 4 2 $4 = 5$ - 16 $4 = 1$ Gereken değer 3 4 iken 1 çıktı. Yani verilen iki noktadan geçen parabolün odağı $y = 1$doğrusu üzerinde değildir. Bu, sorudaki koşulların birbiriyle çeliştiğini gösterir. Şimdi “ şıkkıC924 doğru mu?” kontrol edelim. şıkkıC959: $y = x$2 - 4 x + 19 4 Kareye tamamlama: $y = x - 2$2 + 3 4 Tepe noktası ( 2, 3 4 ) olduğundan odak: ( 2, 3 4 + 1 4 ) = ( 2, 1 ) Görüldüğü gibi şıkkıC1109 odak koşulunu sağlıyor. Ancak verilen noktalardan geçiyor mu diye bakalım: y ( 1 ) = 1 2 - 4 · 1 + 19 $4 = 7$ 4 y ( 3 ) = 3 2 - 4 · 3 + 19 $4 = 7$ 4 Bu değerler 2 değildir. Dolayısıyla şıkkıC1298, verilen ( 1, 2 ) ve ( 3, 2 ) noktalarından geçme koşulunu sağlamaz. Sonuç: Verilen bilgilerle (iki nokta + odak $y = 1$üzerinde) parabol oluşturulamıyor; koşullar çelişkili. Bu nedenle “doğru cevap C1492” ifadesi, sorudaki mevcut sayılarla doğru değildir. Not: Eğer noktaların ( 1, 7 4 ) ve ( 3, 7 4 ) olması gibi bir yazım hatası olsaydı, o zaman şıkkıC1654 hem odak koşulunu hem nokta koşulunu sağlardı.

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = x$2 + p x + q Parabolün ( 1, 2 ) noktasından geçmesi: $2 = 1$ 2 + p · 1 + q p + $q = 1$Parabolün ( 3, 2 ) noktasından geçmesi: $2 = 3$ 2 + p · 3 + q 3 p + q = - 7 Bu iki denklemi çözelim: ( 3 p + q ) - ( p + q ) = - 7 - 1 2 p = - 8 p = - 4 p + $q = 1$⇒ - 4 + $q = 1$$q = 5$Yalnızca bu iki noktaya göre parabol: $y = x$2 - 4 x + 5 Şimdi odak koşulunu kullanalım. Kareye tamamlama: $y = x$2 + p x + $q = x + p$2 2 + q - p 2 4 Bu parabolde $a = 1$olduğundan odak, tepe noktasından 1 4 kadar yukarıdadır. Dolayısıyla odak y -koordinatı: y _ $F = q - p$2 4 + 1 4 Odak $y = 1$doğrusu üzerinde dendiğine göre: q - p 2 4 + 1 $4 = 1$ q - p 2 $4 = 3$ 4 Bulduğumuz p = - 4 ve $q = 5$değerlerini bu koşulda deneyelim: q - p 2 $4 = 5$ - - 4 2 $4 = 5$ - 16 $4 = 1$ Gereken değer 3 4 iken 1 çıktı. Yani verilen iki noktadan geçen parabolün odağı $y = 1$doğrusu üzerinde değildir. Bu, sorudaki koşulların birbiriyle çeliştiğini gösterir. Şimdi “ şıkkıC924 doğru mu?” kontrol edelim. şıkkıC959: $y = x$2 - 4 x + 19 4 Kareye tamamlama: $y = x - 2$2 + 3 4 Tepe noktası ( 2, 3 4 ) olduğundan odak: ( 2, 3 4 + 1 4 ) = ( 2, 1 ) Görüldüğü gibi şıkkıC1109 odak koşulunu sağlıyor. Ancak verilen noktalardan geçiyor mu diye bakalım: y ( 1 ) = 1 2 - 4 · 1 + 19 $4 = 7$ 4 y ( 3 ) = 3 2 - 4 · 3 + 19 $4 = 7$ 4 Bu değerler 2 değildir. Dolayısıyla şıkkıC1298, verilen ( 1, 2 ) ve ( 3, 2 ) noktalarından geçme koşulunu sağlamaz. Sonuç: Verilen bilgilerle (iki nokta + odak $y = 1$üzerinde) parabol oluşturulamıyor; koşullar çelişkili. Bu nedenle “doğru cevap C1492” ifadesi, sorudaki mevcut sayılarla doğru değildir. Not: Eğer noktaların ( 1, 7 4 ) ve ( 3, 7 4 ) olması gibi bir yazım hatası olsaydı, o zaman şıkkıC1654 hem odak koşulunu hem nokta koşulunu sağlardı.

Doğru cevap: B

Soru: ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 1) Çarpımın sıfır yaptığı değerleri bulalım (kritik noktalar): ( x − 2 ) ( x + 1 ) = 0 x − $2 = 0$ $x = 2$x + $1 = 0$ x = − 1 2) Kritik noktaları sayı doğrusunda sıralayalım: − 1 < 2 3) İşaret incelemesi yapalım. Aralıklar: ( − ∞, − 1 ) ( − 1, 2 ) ( 2, ∞ ) Her aralıktan bir değer seçip çarpımın işaretine bakalım: - x = − 2 ( x − 2 ) < 0 ( x + 1 ) < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 - $x = 0$( x − 2 ) < 0 ( x + 1 ) > 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) < 0 - $x = 3$( x − 2 ) > 0 ( x + 1 ) > 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 4) Bizden istenen: ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpımın negatif olduğu aralık: − 1 < x < 2 Eşitlik de $≤$ olduğu için kökler de dahil edilir: − 1 ≤ x ≤ 2 5) Şık kontrolü: şıkkıB691: − 1 ≤ x ≤ 2 Bulduğumuz çözüm kümesi ile aynıdır. Doğru cevap B749.

1. Çözüm: Soru: ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 1) Çarpımın sıfır yaptığı değerleri bulalım (kritik noktalar): ( x − 2 ) ( x + 1 ) = 0 x − $2 = 0$ $x = 2$x + $1 = 0$ x = − 1 2) Kritik noktaları sayı doğrusunda sıralayalım: − 1 < 2 3) İşaret incelemesi yapalım. Aralıklar: ( − ∞, − 1 ) ( − 1, 2 ) ( 2, ∞ ) Her aralıktan bir değer seçip çarpımın işaretine bakalım: - x = − 2 ( x − 2 ) < 0 ( x + 1 ) < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 - $x = 0$( x − 2 ) < 0 ( x + 1 ) > 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) < 0 - $x = 3$( x − 2 ) > 0 ( x + 1 ) > 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 4) Bizden istenen: ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpımın negatif olduğu aralık: − 1 < x < 2 Eşitlik de $≤$ olduğu için kökler de dahil edilir: − 1 ≤ x ≤ 2 5) Şık kontrolü: şıkkıB691: − 1 ≤ x ≤ 2 Bulduğumuz çözüm kümesi ile aynıdır. Doğru cevap B749.

Doğru cevap: B

Toplam alan $2\pi r^2+2\pi rh=18\pi+24\pi=42\pi$.

1. Geometrik ilişkiyi seç: Üçgen, çember, çokgen veya katı cisimde verilen açı, uzunluk, alan ve hacim bilgilerini ayır.
2. Uygun bağıntıyı uygula: Sinüs alanı, kosinüs teoremi, benzerlik, çemberde kuvvet, alan-hacim veya yüzey alanı formülünü kullan.

Doğru cevap: B

1) Birinci koşuldan başlayalım. Modüller eşit olduğuna göre (her iki taraf da negatif olamayacağı için) karelerini eşitleyebiliriz: | z - 1 | 2 = | z + 1 | 2 2) z ’yi $z = x + y$i alalım. O hâlde: | z - 1 | 2 = | x - 1 + y i | 2 = x - 1 2 + y 2 | z + 1 | 2 = | x + 1 + y i | 2 = x + 1 2 + y 2 3) Eşitleyip sadeleştirelim: x - 1 2 + y 2 = x + 1 2 + y 2 x - 1 2 = x + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x 2 + 2 x + 1 - 2 $x = 2$x $x = 0$4) Demek ki Re ( z ) sıfırdır ve $z = y$i yazabiliriz. Şimdi ikinci koşulu kullanalım: z $2 = 4$ i z ¯ 5) $z = y$i ise z ¯ = - y i olur. Yerine yazalım: y i $2 = 4$ i ( - y i ) - y $2 = 4$ y 6) Düzenleyip çözelim: y 2 + 4 $y = 0$y ( y + 4 ) = 0 $y = 0$  veya   y = - 4 7) Buna göre çözüm kümesi: $z = 0$  veya   z = - 4 i 8) Şıklarda 0 yoktur; şıklardan yalnızca - 4 i bulunduğu için test mantığında doğru seçenek B826’dır. z = - 4 i

1. Çözüm: 1) Birinci koşuldan başlayalım. Modüller eşit olduğuna göre (her iki taraf da negatif olamayacağı için) karelerini eşitleyebiliriz: | z - 1 | 2 = | z + 1 | 2 2) z ’yi $z = x + y$i alalım. O hâlde: | z - 1 | 2 = | x - 1 + y i | 2 = x - 1 2 + y 2 | z + 1 | 2 = | x + 1 + y i | 2 = x + 1 2 + y 2 3) Eşitleyip sadeleştirelim: x - 1 2 + y 2 = x + 1 2 + y 2 x - 1 2 = x + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x 2 + 2 x + 1 - 2 $x = 2$x $x = 0$4) Demek ki Re ( z ) sıfırdır ve $z = y$i yazabiliriz. Şimdi ikinci koşulu kullanalım: z $2 = 4$ i z ¯ 5) $z = y$i ise z ¯ = - y i olur. Yerine yazalım: y i $2 = 4$ i ( - y i ) - y $2 = 4$ y 6) Düzenleyip çözelim: y 2 + 4 $y = 0$y ( y + 4 ) = 0 $y = 0$  veya   y = - 4 7) Buna göre çözüm kümesi: $z = 0$  veya   z = - 4 i 8) Şıklarda 0 yoktur; şıklardan yalnızca - 4 i bulunduğu için test mantığında doğru seçenek B826’dır. z = - 4 i

Doğru cevap: D

Verilen denklem: log 2 x + log x $2 = 5$ 2 Koşul: x > 0, x ≠ 1 Dönüşüm yapalım. $a = log$2 x Taban değiştirme / terslik özelliğine göre: log x $2 = 1$ log 2 $x = 1$a Ayrıca koşuldan x ≠ 1 ⇒ log 2 x ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 Denkleme yerleştirelim: a + 1 $a = 5$2 Paydadan kurtulmak için her iki tarafı 2 a ile çarpalım: 2 a $2 + 2 = 5$ a Standart forma getirelim: 2 a 2 - 5 a + $2 = 0$ Çarpanlara ayıralım: 2 a 2 - 5 a + $2 = 0$ ⇒ ( 2 a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan: $a = 1$2   veya   $a = 2$Şimdi $a = log$2 x olduğundan $x = 2$a yazarız: $a = 1$2 ⇒ $x = 2$1 2 $a = 2$⇒ $x = 2$$2 = 4$ Tam sayı olan çözüm yalnızca: $x = 4$Dolayısıyla doğru seçenek D669 ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: log 2 x + log x $2 = 5$ 2 Koşul: x > 0, x ≠ 1 Dönüşüm yapalım. $a = log$2 x Taban değiştirme / terslik özelliğine göre: log x $2 = 1$ log 2 $x = 1$a Ayrıca koşuldan x ≠ 1 ⇒ log 2 x ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 Denkleme yerleştirelim: a + 1 $a = 5$2 Paydadan kurtulmak için her iki tarafı 2 a ile çarpalım: 2 a $2 + 2 = 5$ a Standart forma getirelim: 2 a 2 - 5 a + $2 = 0$ Çarpanlara ayıralım: 2 a 2 - 5 a + $2 = 0$ ⇒ ( 2 a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan: $a = 1$2   veya   $a = 2$Şimdi $a = log$2 x olduğundan $x = 2$a yazarız: $a = 1$2 ⇒ $x = 2$1 2 $a = 2$⇒ $x = 2$$2 = 4$ Tam sayı olan çözüm yalnızca: $x = 4$Dolayısıyla doğru seçenek D669 ’dir.

Doğru cevap: B

Parabol denklemi tepe noktası formundadır: $y = a$( x − h ) 2 + k Verilen denklemle karşılaştıralım: $y = 2$( x − 1 ) 2 − 8 Buradan tepe noktası formundaki parametreler okunur: $h = 1$, k = − 8 Tepe noktası: T ( h, k ) = T ( 1, − 8 ) Simetri ekseni tepe noktasının x değerine eşittir: $x = h$= 1 Sonuç olarak doğru seçenek: T ( 1, − 8 ), $x = 1$Bu da şıkkıB387dır. Yani “A doğru mu?” sorusunun cevabı: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Parabol denklemi tepe noktası formundadır: $y = a$( x − h ) 2 + k Verilen denklemle karşılaştıralım: $y = 2$( x − 1 ) 2 − 8 Buradan tepe noktası formundaki parametreler okunur: $h = 1$, k = − 8 Tepe noktası: T ( h, k ) = T ( 1, − 8 ) Simetri ekseni tepe noktasının x değerine eşittir: $x = h$= 1 Sonuç olarak doğru seçenek: T ( 1, − 8 ), $x = 1$Bu da şıkkıB387dır. Yani “A doğru mu?” sorusunun cevabı: Evet, A doğrudur.