11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

İstenen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizliği çarpım biçiminde yazalım: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 Kritik noktalar (çarpanı sıfır yapan değerler): x = 2, x = 3 İşaret incelemesi (aralıklar): x < 2, 2 < x < 3, x > 3 Orta aralıkta çarpımın işaretini örnekle kontrol edelim: Örnek x = 5 2 için ( x − 2 ) > 0 ve ( x − 3 ) < 0 ⇒ ( x − 2 ) ( x − 3 ) < 0 Dolayısıyla çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olduğu çözüm aralığı, kökler arasındadır (uçlar dahil): 2 ≤ x ≤ 3 Çözüm kümesi: { x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 3 } Seçeneklerle karşılaştırınca doğru cevap A583 ’dir.

1. Çözüm: İstenen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizliği çarpım biçiminde yazalım: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 Kritik noktalar (çarpanı sıfır yapan değerler): x = 2, x = 3 İşaret incelemesi (aralıklar): x < 2, 2 < x < 3, x > 3 Orta aralıkta çarpımın işaretini örnekle kontrol edelim: Örnek x = 5 2 için ( x − 2 ) > 0 ve ( x − 3 ) < 0 ⇒ ( x − 2 ) ( x − 3 ) < 0 Dolayısıyla çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olduğu çözüm aralığı, kökler arasındadır (uçlar dahil): 2 ≤ x ≤ 3 Çözüm kümesi: { x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 3 } Seçeneklerle karşılaştırınca doğru cevap A583 ’dir.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: ( x - 2 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım: ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0 x - 2 = 0 x = 2 x + 3 = 0 x = - 3 Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 2 ), ( 2, ∞ ) İşaret incelemesi: Parantezlerin işaretleri köklerde değişir. Çarpım, iki kökün arasında negatif (veya sıfır), köklerin dışında pozitiftir. Eşitsizlik “ küçük eşit ” olduğundan kökler de çözüm kümesine dahil edilir. Çözüm kümesi: [ - 3, 2 ] Şıklarda bu aralık seçeneğiB512dir. Dolayısıyla doğru cevap B539 ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 2 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım: ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0 x - 2 = 0 x = 2 x + 3 = 0 x = - 3 Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 2 ), ( 2, ∞ ) İşaret incelemesi: Parantezlerin işaretleri köklerde değişir. Çarpım, iki kökün arasında negatif (veya sıfır), köklerin dışında pozitiftir. Eşitsizlik “ küçük eşit ” olduğundan kökler de çözüm kümesine dahil edilir. Çözüm kümesi: [ - 3, 2 ] Şıklarda bu aralık seçeneğiB512dir. Dolayısıyla doğru cevap B539 ’dır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 4 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 4 = ( x - 1 ) ( x - 4 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 1 ) ( x - 4 ) ≤ 0 Kritik noktalar (kökler): x = 1 x = 4 Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için kollar yukarıdır: 1 > 0 Bu nedenle ifade, kökler arasında (uçlar dahil) sıfır veya negatiftir. Çözüm kümesi: 1 ≤ x ≤ 4 Doğru seçenek: C385

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 4 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 4 = ( x - 1 ) ( x - 4 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 1 ) ( x - 4 ) ≤ 0 Kritik noktalar (kökler): x = 1 x = 4 Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için kollar yukarıdır: 1 > 0 Bu nedenle ifade, kökler arasında (uçlar dahil) sıfır veya negatiftir. Çözüm kümesi: 1 ≤ x ≤ 4 Doğru seçenek: C385

Doğru cevap: D

Eşitsizlik: x 2 + 2 x - 3 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 + 2 x - 3 = ( x + 3 ) ( x - 1 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x + 3 ) ( x - 1 ) ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kritik değerler (kökler): x + 3 = 0 x = - 3 x - 1 = 0 x = 1 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Bu nedenle eşitsizlik, kökler arasında ve kökler dahil sağlanır: [ - 3, 1 ] Sonuç: Çözüm kümesi yukarıdaki aralıktır ve bu da şıkkıD493 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap D526 şıkkıdır.

1. Çözüm: Eşitsizlik: x 2 + 2 x - 3 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 + 2 x - 3 = ( x + 3 ) ( x - 1 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x + 3 ) ( x - 1 ) ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kritik değerler (kökler): x + 3 = 0 x = - 3 x - 1 = 0 x = 1 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Bu nedenle eşitsizlik, kökler arasında ve kökler dahil sağlanır: [ - 3, 1 ] Sonuç: Çözüm kümesi yukarıdaki aralıktır ve bu da şıkkıD493 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap D526 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kökler: x - 2 = 0 x = 2 x - 3 = 0 x = 3 Parabol yukarı doğru açıldığı için (baş katsayı pozitif), ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm: 2 < x < 3 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kökler: x - 2 = 0 x = 2 x - 3 = 0 x = 3 Parabol yukarı doğru açıldığı için (baş katsayı pozitif), ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm: 2 < x < 3 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Kökler: ( x - 2 ) = 0 ⇒ x = 2 ( x - 3 ) = 0 ⇒ x = 3 Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir; bu da kökler arasında olur: 2 < x < 3 Çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Şık kontrolü: Bu ifade B şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Kökler: ( x - 2 ) = 0 ⇒ x = 2 ( x - 3 ) = 0 ⇒ x = 3 Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir; bu da kökler arasında olur: 2 < x < 3 Çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Şık kontrolü: Bu ifade B şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 < 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler): x = 2  ,   x = 3 Çarpımın negatif olması için çarpanların zıt işaretli olması gerekir; bu da köklerin arasında gerçekleşir: 2 < x < 3 Çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Bu nedenle doğru seçenek: C391.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 < 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler): x = 2  ,   x = 3 Çarpımın negatif olması için çarpanların zıt işaretli olması gerekir; bu da köklerin arasında gerçekleşir: 2 < x < 3 Çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Bu nedenle doğru seçenek: C391.

Doğru cevap: D

1) Doğru cevabı kontrol edelim: Verilen eşitsizlik, kökler arasında negatif olacağı için doğru seçenek D89’dır. 2) Eşitsizliği çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 < 0 x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 4) Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir. Kritik noktalar köklerdir: x = 2, x = 3 5) Aralık testi: • Eğer x, 2’den küçükse (ör. x=0): ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) = ( - 2 ) ( - 3 ) > 0 Bu aralık uygun değildir. • Eğer x, 2 ile 3 arasındaysa (ör. x=2.5): ( 2.5 - 2 ) ( 2.5 - 3 ) = ( 0.5 ) ( - 0.5 ) < 0 Bu aralık uygundur. • Eğer x, 3’ten büyükse (ör. x=4): ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) = ( 2 ) ( 1 ) > 0 Bu aralık uygun değildir. 6) Sıkı eşitsizlik olduğu için kökler dahil edilmez. Çözüm aralığı: ( 2, 3 ) Sonuç: Doğru cevap D781’dır.

1. Çözüm: 1) Doğru cevabı kontrol edelim: Verilen eşitsizlik, kökler arasında negatif olacağı için doğru seçenek D89’dır. 2) Eşitsizliği çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 < 0 x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 4) Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir. Kritik noktalar köklerdir: x = 2, x = 3 5) Aralık testi: • Eğer x, 2’den küçükse (ör. x=0): ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) = ( - 2 ) ( - 3 ) > 0 Bu aralık uygun değildir. • Eğer x, 2 ile 3 arasındaysa (ör. x=2.5): ( 2.5 - 2 ) ( 2.5 - 3 ) = ( 0.5 ) ( - 0.5 ) < 0 Bu aralık uygundur. • Eğer x, 3’ten büyükse (ör. x=4): ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) = ( 2 ) ( 1 ) > 0 Bu aralık uygun değildir. 6) Sıkı eşitsizlik olduğu için kökler dahil edilmez. Çözüm aralığı: ( 2, 3 ) Sonuç: Doğru cevap D781’dır.

Doğru cevap: A

Doğru seçenek A ’dir. Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler): x = 2, x = 3 Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir. Kökler arasında: 2 < x < 3 Aralık olarak çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Bu da şıkkıA414dır.

1. Çözüm: Doğru seçenek A ’dir. Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler): x = 2, x = 3 Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir. Kökler arasında: 2 < x < 3 Aralık olarak çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Bu da şıkkıA414dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirebileceği kritik noktalar için çarpanları sıfıra eşitleyelim: x - 3 = 0 ⇒ x = 3 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır: ( - ∞, - 1 ), ( - 1, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaret incelemesi (her aralıkta çarpanların işaretleri): Aralık x + 1 x - 3 ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( - ∞, - 1 ): - - + ( - 1, 3 ): + - - ( 3, ∞ ): + + + İstenen durum: ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpımın negatif olduğu aralık orta aralıktır ve eşitlik de istenildiği için kökler de dahildir: - 1 ≤ x ≤ 3 Sonuç: Doğru seçenek B619’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirebileceği kritik noktalar için çarpanları sıfıra eşitleyelim: x - 3 = 0 ⇒ x = 3 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır: ( - ∞, - 1 ), ( - 1, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaret incelemesi (her aralıkta çarpanların işaretleri): Aralık x + 1 x - 3 ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( - ∞, - 1 ): - - + ( - 1, 3 ): + - - ( 3, ∞ ): + + + İstenen durum: ( x - 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpımın negatif olduğu aralık orta aralıktır ve eşitlik de istenildiği için kökler de dahildir: - 1 ≤ x ≤ 3 Sonuç: Doğru seçenek B619’dır.