11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Doğru cevap: A

Verilen: z = 2 - i İstenen ifade: z 3 + z ¯ 3 Önce eşlenik sayıyı yazalım: z ¯ = 2 + i Şimdi z 3 hesaplayalım. Önce karesini alalım: ( 2 - i ) 2 = ( 2 - i ) ( 2 - i ) Çarpımı açalım: ( 2 - i ) ( 2 - i ) = 4 - 4 i + i 2 Bilinen: i 2 = - 1 Yerine yazınca: ( 2 - i ) 2 = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i Şimdi bir kez daha ( 2 - i ) ile çarpıp küpünü bulalım: ( 2 - i ) 3 = ( 3 - 4 i ) ( 2 - i ) Çarpımı açalım: ( 3 - 4 i ) ( 2 - i ) = 6 - 3 i - 8 i + 4 i 2 Tekrar i 2 = - 1 kullanırsak: ( 2 - i ) 3 = 6 - 11 i - 4 = 2 - 11 i Eşlenik alma özelliğinden: z ¯ 3 = z 3 ¯ Dolayısıyla: z ¯ 3 = 2 - 11 i ¯ = 2 + 11 i Şimdi toplamı bulalım: z 3 + z ¯ 3 = ( 2 - 11 i ) + ( 2 + 11 i ) = 4 Sonuç: z 3 + z ¯ 3 = 4 Dolayısıyla doğru şık A ’dır (A kontrolü: doğru ).

1. Çözüm: Verilen: z = 2 - i İstenen ifade: z 3 + z ¯ 3 Önce eşlenik sayıyı yazalım: z ¯ = 2 + i Şimdi z 3 hesaplayalım. Önce karesini alalım: ( 2 - i ) 2 = ( 2 - i ) ( 2 - i ) Çarpımı açalım: ( 2 - i ) ( 2 - i ) = 4 - 4 i + i 2 Bilinen: i 2 = - 1 Yerine yazınca: ( 2 - i ) 2 = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i Şimdi bir kez daha ( 2 - i ) ile çarpıp küpünü bulalım: ( 2 - i ) 3 = ( 3 - 4 i ) ( 2 - i ) Çarpımı açalım: ( 3 - 4 i ) ( 2 - i ) = 6 - 3 i - 8 i + 4 i 2 Tekrar i 2 = - 1 kullanırsak: ( 2 - i ) 3 = 6 - 11 i - 4 = 2 - 11 i Eşlenik alma özelliğinden: z ¯ 3 = z 3 ¯ Dolayısıyla: z ¯ 3 = 2 - 11 i ¯ = 2 + 11 i Şimdi toplamı bulalım: z 3 + z ¯ 3 = ( 2 - 11 i ) + ( 2 + 11 i ) = 4 Sonuç: z 3 + z ¯ 3 = 4 Dolayısıyla doğru şık A ’dır (A kontrolü: doğru ).

Doğru cevap: B

Önce verilen ifadeyi yazalım: z = 1 - i 1 + i Paydadaki karmaşık ifadeden kurtulmak için, payda eşleniği ile genişletelim. Eşlenik: 1 - i Pay ve paydayı bu eşlenik ile çarpalım: z = 1 - i 1 + i ⋅ 1 - i 1 - i Tek kesirde birleştirelim: z = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Payı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Paydayı açalım: ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Bunları yerine koyup sadeleştirelim: z = - 2 i 2 = - i Sonuç: z = - i Dolayısıyla doğru seçenek B517 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce verilen ifadeyi yazalım: z = 1 - i 1 + i Paydadaki karmaşık ifadeden kurtulmak için, payda eşleniği ile genişletelim. Eşlenik: 1 - i Pay ve paydayı bu eşlenik ile çarpalım: z = 1 - i 1 + i ⋅ 1 - i 1 - i Tek kesirde birleştirelim: z = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Payı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Paydayı açalım: ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Bunları yerine koyup sadeleştirelim: z = - 2 i 2 = - i Sonuç: z = - i Dolayısıyla doğru seçenek B517 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

İşlem: ( 3 + 4 i ) ( 1 - 2 i ) Paydayı gerçel yapmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Paydayı açalım: ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 - ( 2 i ) 2 Burada: ( 2 i ) 2 = 4 i 2 Dolayısıyla: 1 - 4 i 2 = 1 - 4 ( - 1 ) = 5 Şimdi payı açalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Benzer terimleri toplayalım ve i 2 = - 1 kullanalım: 3 + 10 i + 8 i 2 = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i Böylece kesir: - 5 + 10 i 5 Payı 5 ile sadeleştirelim: - 5 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Sonuç: - 1 + 2 i Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C579. - 1 + 2 i

1. Çözüm: İşlem: ( 3 + 4 i ) ( 1 - 2 i ) Paydayı gerçel yapmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Paydayı açalım: ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 - ( 2 i ) 2 Burada: ( 2 i ) 2 = 4 i 2 Dolayısıyla: 1 - 4 i 2 = 1 - 4 ( - 1 ) = 5 Şimdi payı açalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Benzer terimleri toplayalım ve i 2 = - 1 kullanalım: 3 + 10 i + 8 i 2 = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i Böylece kesir: - 5 + 10 i 5 Payı 5 ile sadeleştirelim: - 5 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Sonuç: - 1 + 2 i Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C579. - 1 + 2 i

Doğru cevap: D

Verilen: z = ( 3 − 4 i ) ( 1 + 2 i ) Mutlak değer özelliğini kullanalım: | z | = | 3 − 4 i | | 1 + 2 i | Payın mutlak değeri: | 3 − 4 i | = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 Oranı hesaplayalım: | z | = 5 5 Paydası kökten kurtaralım: 5 5 = 5 ⋅ 5 5 ⋅ 5 = 5 5 5 = 5 Sonuç: | z | = 5 Doğru seçenek D369’dır.

1. Çözüm: Verilen: z = ( 3 − 4 i ) ( 1 + 2 i ) Mutlak değer özelliğini kullanalım: | z | = | 3 − 4 i | | 1 + 2 i | Payın mutlak değeri: | 3 − 4 i | = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 Oranı hesaplayalım: | z | = 5 5 Paydası kökten kurtaralım: 5 5 = 5 ⋅ 5 5 ⋅ 5 = 5 5 5 = 5 Sonuç: | z | = 5 Doğru seçenek D369’dır.

Doğru cevap: A

Kontrol edilecek ifade: ( 1 + i ) 6 Önce karmaşık sayının kutupsal biçimini yazarız. Modül: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Argüman (açı): z = 1 + i ⇒ θ = π 4 Buna göre kutupsal (trigonometrik) gösterim: 1 + i = 2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) Şimdi De Moivre uygulanır: ( 1 + i ) 6 = ( 2 ) 6 ( cos 6 × π 4 + i sin 6 × π 4 ) Üs ve açı sadeleştirme: ( 2 ) 6 = 2 3 = 8 6 × π 4 = 6 π 4 = 3 π 2 Yerine koyup trigonometrik değerleri kullanırız: ( 1 + i ) 6 = 8 ( cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 ) cos 3 π 2 = 0, sin 3 π 2 = - 1 Sonuç: ( 1 + i ) 6 = 8 ( 0 + i ( - 1 ) ) = - 8 i Bu değer şıklarda A seçeneğidir.

1. Çözüm: Kontrol edilecek ifade: ( 1 + i ) 6 Önce karmaşık sayının kutupsal biçimini yazarız. Modül: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Argüman (açı): z = 1 + i ⇒ θ = π 4 Buna göre kutupsal (trigonometrik) gösterim: 1 + i = 2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) Şimdi De Moivre uygulanır: ( 1 + i ) 6 = ( 2 ) 6 ( cos 6 × π 4 + i sin 6 × π 4 ) Üs ve açı sadeleştirme: ( 2 ) 6 = 2 3 = 8 6 × π 4 = 6 π 4 = 3 π 2 Yerine koyup trigonometrik değerleri kullanırız: ( 1 + i ) 6 = 8 ( cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 ) cos 3 π 2 = 0, sin 3 π 2 = - 1 Sonuç: ( 1 + i ) 6 = 8 ( 0 + i ( - 1 ) ) = - 8 i Bu değer şıklarda A seçeneğidir.

Doğru cevap: B

Verilen sayı: z = 1 − i 1 + i Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız: z = 1 − i 1 + i ⋅ 1 − i 1 − i Pay kısmını açalım: ( 1 − i ) ( 1 − i ) = ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 Bilinen değer: i 2 = − 1 Buna göre pay: 1 − 2 i + i 2 = 1 − 2 i − 1 = − 2 i Payda kısmını açalım (çarpanlara ayırma özdeşliği): ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 2 − i 2 = 1 − ( − 1 ) = 2 Sonuç: z = − 2 i 2 = − i Dolayısıyla şıklardan doğru olan: − i Bu da şıkkıB607dır (A doğru). a ve b reel sayıları için değerler: a = 0, b = − 1

1. Çözüm: Verilen sayı: z = 1 − i 1 + i Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız: z = 1 − i 1 + i ⋅ 1 − i 1 − i Pay kısmını açalım: ( 1 − i ) ( 1 − i ) = ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 Bilinen değer: i 2 = − 1 Buna göre pay: 1 − 2 i + i 2 = 1 − 2 i − 1 = − 2 i Payda kısmını açalım (çarpanlara ayırma özdeşliği): ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 2 − i 2 = 1 − ( − 1 ) = 2 Sonuç: z = − 2 i 2 = − i Dolayısıyla şıklardan doğru olan: − i Bu da şıkkıB607dır (A doğru). a ve b reel sayıları için değerler: a = 0, b = − 1

Doğru cevap: C

İfade: ( 2 + 2 i ) ( 1 - i ) Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım: ( 2 + 2 i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) Paydayı sadeleştirelim: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Payı açalım: ( 2 + 2 i ) ( 1 + i ) = 2 + 2 i + 2 i + 2 i 2 2 + 2 i + 2 i + 2 ( - 1 ) = 4 i Şimdi bölmeyi yapalım: 4 i 2 = 2 i Sonuç 2 i olur; bu da şıkkıC365dır. Dolayısıyla “doğru cevap C390” ifadesi doğrudur.

1. Çözüm: İfade: ( 2 + 2 i ) ( 1 - i ) Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım: ( 2 + 2 i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) Paydayı sadeleştirelim: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Payı açalım: ( 2 + 2 i ) ( 1 + i ) = 2 + 2 i + 2 i + 2 i 2 2 + 2 i + 2 i + 2 ( - 1 ) = 4 i Şimdi bölmeyi yapalım: 4 i 2 = 2 i Sonuç 2 i olur; bu da şıkkıC365dır. Dolayısıyla “doğru cevap C390” ifadesi doğrudur.

Doğru cevap: D

Verilen sayı: z = 3 - 4 i 1 + i Modül özelliğini kullanalım: | z | = | 3 - 4 i | | 1 + i | Payın modülünü hesaplayalım: | 3 - 4 i | = 3 2 + ( - 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın modülünü hesaplayalım: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Oranı yazalım: | z | = 5 2 Seçeneklerle karşılaştırmak için paydayı rasyonelleştirelim: 5 2 = 5 2 2 Sonuç: | z | = 5 2 2 Bu değer şıkkıD356 ile aynıdır. Doğru cevap D377’dır.

1. Çözüm: Verilen sayı: z = 3 - 4 i 1 + i Modül özelliğini kullanalım: | z | = | 3 - 4 i | | 1 + i | Payın modülünü hesaplayalım: | 3 - 4 i | = 3 2 + ( - 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın modülünü hesaplayalım: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Oranı yazalım: | z | = 5 2 Seçeneklerle karşılaştırmak için paydayı rasyonelleştirelim: 5 2 = 5 2 2 Sonuç: | z | = 5 2 2 Bu değer şıkkıD356 ile aynıdır. Doğru cevap D377’dır.

Doğru cevap: A

Önce verilen ifade: z = ( 1 - i ) 5 Modülün kuvvet özelliğini kullanalım: | ( 1 - i ) 5 | = | 1 - i | 5 | 1 - i | değerini bulalım (karmaşık düzlemde uzaklık): | 1 - i | = 1 2 + ( - 1 ) 2 Karekök içini sadeleştirelim: | 1 - i | = 1 + 1 = 2 Şimdi modülü kuvvete uygulayalım: | z | = ( 2 ) 5 Sonucu sadeleştirelim: ( 2 ) 5 = 2 5 2 = 2 2 · 2 = 4 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

1. Çözüm: Önce verilen ifade: z = ( 1 - i ) 5 Modülün kuvvet özelliğini kullanalım: | ( 1 - i ) 5 | = | 1 - i | 5 | 1 - i | değerini bulalım (karmaşık düzlemde uzaklık): | 1 - i | = 1 2 + ( - 1 ) 2 Karekök içini sadeleştirelim: | 1 - i | = 1 + 1 = 2 Şimdi modülü kuvvete uygulayalım: | z | = ( 2 ) 5 Sonucu sadeleştirelim: ( 2 ) 5 = 2 5 2 = 2 2 · 2 = 4 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

Doğru cevap: B

1) Verilen ifade: z = 3 − 4 i 1 + 2 i 2) Paydayı gerçel yapmak için payda ile eşleniğini çarparız: z = 3 − 4 i 1 + 2 i ⋅ 1 − 2 i 1 − 2 i 3) Payı açalım: ( 3 − 4 i ) ( 1 − 2 i ) = 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 4) Bilinir ki: i 2 = − 1 5) Bu yüzden pay: 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 = 3 − 10 i − 8 = − 5 − 10 i 6) Paydayı açalım: ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 7) O hâlde: z = − 5 − 10 i 5 = − 1 − 2 i 8) Sanal kısım (i’nin katsayısı): − 2 Sonuç: Doğru cevap B608 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Verilen ifade: z = 3 − 4 i 1 + 2 i 2) Paydayı gerçel yapmak için payda ile eşleniğini çarparız: z = 3 − 4 i 1 + 2 i ⋅ 1 − 2 i 1 − 2 i 3) Payı açalım: ( 3 − 4 i ) ( 1 − 2 i ) = 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 4) Bilinir ki: i 2 = − 1 5) Bu yüzden pay: 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 = 3 − 10 i − 8 = − 5 − 10 i 6) Paydayı açalım: ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 7) O hâlde: z = − 5 − 10 i 5 = − 1 − 2 i 8) Sanal kısım (i’nin katsayısı): − 2 Sonuç: Doğru cevap B608 şıkkıdır.