11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizliği tek tarafa toplayalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) > ( x − 2 ) 2 Sol tarafı açalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) = 2 x 2 + 2 x − 3 x − 3 = 2 x 2 − x − 3 Sağ tarafı açalım. ( x − 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x 2 − x − 3 > x 2 − 4 x + 4 2 x 2 − x − 3 − x 2 + 4 x − 4 > 0 x 2 + 3 x − 7 > 0 Kökleri bulalım. a = 1, b = 3, c = − 7 Δ = b 2 − 4 a c = 3 2 − 4 · 1 · ( − 7 ) = 9 + 28 = 37 x = − b ± Δ 2 a = − 3 ± 37 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, köklerin dışında pozitiftir. x 2 + 3 x − 7 > 0 ⇔ x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 Çözüm kümesi: { x ∈ ℝ | x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 } Bu da şıkkıB930dır; yani doğru cevap B947.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği tek tarafa toplayalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) > ( x − 2 ) 2 Sol tarafı açalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) = 2 x 2 + 2 x − 3 x − 3 = 2 x 2 − x − 3 Sağ tarafı açalım. ( x − 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x 2 − x − 3 > x 2 − 4 x + 4 2 x 2 − x − 3 − x 2 + 4 x − 4 > 0 x 2 + 3 x − 7 > 0 Kökleri bulalım. a = 1, b = 3, c = − 7 Δ = b 2 − 4 a c = 3 2 − 4 · 1 · ( − 7 ) = 9 + 28 = 37 x = − b ± Δ 2 a = − 3 ± 37 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, köklerin dışında pozitiftir. x 2 + 3 x − 7 > 0 ⇔ x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 Çözüm kümesi: { x ∈ ℝ | x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 } Bu da şıkkıB930dır; yani doğru cevap B947.

Doğru cevap: B

Karede çevre 4a olduğundan a=36/4=9dur.

1. Adım 1: Çevre formülünü yaz.
2. Adım 2: 36yı 4e böl.

Doğru cevap: B

Verilen koşullar: z = 3 z 2 + z ¯ 2 = 0 Karmaşık sayıyı trigonometrik biçimde yazalım: z = r ( cos θ + i sin θ ) Birinci koşuldan: r = 3 Karelerini alalım: z 2 = r 2 ( cos 2 θ + i sin 2 θ ) z ¯ 2 = r 2 ( cos 2 θ - i sin 2 θ ) İkinci koşulu kullanıp toplayalım: z 2 + z ¯ 2 = r 2 ( cos 2 θ + i sin 2 θ ) + r 2 ( cos 2 θ - i sin 2 θ ) z 2 + z ¯ 2 = 2 r 2 cos 2 θ Bu toplamın sıfır olması için: 2 r 2 cos 2 θ = 0 cos 2 θ = 0 Buradan açı değerleri: 2 θ = π 2 + k π θ = π 4 + k π 2 k ∈ ℤ İstenen ifadeyi hesaplayalım: z 4 = r 4 ( cos 4 θ + i sin 4 θ ) Burada: r 4 = 3 4 = 81 Ayrıca: θ = π 4 + k π 2 ⇒ 4 θ = π + 2 k π cos ( π + 2 k π ) = - 1 sin ( π + 2 k π ) = 0 Sonuç: z 4 = 81 ( - 1 + i · 0 ) = - 81 Bulunan değer seçeneklerle karşılaştırıldığında doğru cevap B745 ’dır.

1. Çözüm: Verilen koşullar: z = 3 z 2 + z ¯ 2 = 0 Karmaşık sayıyı trigonometrik biçimde yazalım: z = r ( cos θ + i sin θ ) Birinci koşuldan: r = 3 Karelerini alalım: z 2 = r 2 ( cos 2 θ + i sin 2 θ ) z ¯ 2 = r 2 ( cos 2 θ - i sin 2 θ ) İkinci koşulu kullanıp toplayalım: z 2 + z ¯ 2 = r 2 ( cos 2 θ + i sin 2 θ ) + r 2 ( cos 2 θ - i sin 2 θ ) z 2 + z ¯ 2 = 2 r 2 cos 2 θ Bu toplamın sıfır olması için: 2 r 2 cos 2 θ = 0 cos 2 θ = 0 Buradan açı değerleri: 2 θ = π 2 + k π θ = π 4 + k π 2 k ∈ ℤ İstenen ifadeyi hesaplayalım: z 4 = r 4 ( cos 4 θ + i sin 4 θ ) Burada: r 4 = 3 4 = 81 Ayrıca: θ = π 4 + k π 2 ⇒ 4 θ = π + 2 k π cos ( π + 2 k π ) = - 1 sin ( π + 2 k π ) = 0 Sonuç: z 4 = 81 ( - 1 + i · 0 ) = - 81 Bulunan değer seçeneklerle karşılaştırıldığında doğru cevap B745 ’dır.

Doğru cevap: D

Denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Tanım koşulu için logaritmaların içi pozitif olmalı: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Logaritma kuralı: log 2 a + log 2 b = log 2 a b Uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 3 Çarpımı açalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Denklem: log 2 x 2 - 1 = 3 Logaritmanın tanımı ile üsse geçelim: 2 3 = x 2 - 1 Hesaplayalım: 8 = x 2 - 1 x 2 = 9 Kök alalım: x = ± 3 Tanım koşulu: x > 1 Bu nedenle: x = 3 Sonuç: Doğru cevap D457 şıkkıdır. x = 3

1. Çözüm: Denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Tanım koşulu için logaritmaların içi pozitif olmalı: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Logaritma kuralı: log 2 a + log 2 b = log 2 a b Uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 3 Çarpımı açalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Denklem: log 2 x 2 - 1 = 3 Logaritmanın tanımı ile üsse geçelim: 2 3 = x 2 - 1 Hesaplayalım: 8 = x 2 - 1 x 2 = 9 Kök alalım: x = ± 3 Tanım koşulu: x > 1 Bu nedenle: x = 3 Sonuç: Doğru cevap D457 şıkkıdır. x = 3

Doğru cevap: B

Verilen tepe noktası ve bir noktadan geçme bilgisiyle parabolü tepe formunda yazarız. Tepe noktası: 2, - 1 Parabolün geçtiği nokta: 0, 3 Tepe formunu kullanırız. y = a ( x - 2 ) 2 - 1 Parabolün geçtiği noktayı yerine yazarak katsayıyı buluruz. 3 = a ( 0 - 2 ) 2 - 1 Düzenleyelim. 3 = a · 4 - 1 3 + 1 = 4 a 4 = 4 a a = 1 Bulduğumuz değeri tepe formunda yerine yazalım. y = ( x - 2 ) 2 - 1 Bu denklem şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir. Doğru seçenek: B

1. Çözüm: Verilen tepe noktası ve bir noktadan geçme bilgisiyle parabolü tepe formunda yazarız. Tepe noktası: 2, - 1 Parabolün geçtiği nokta: 0, 3 Tepe formunu kullanırız. y = a ( x - 2 ) 2 - 1 Parabolün geçtiği noktayı yerine yazarak katsayıyı buluruz. 3 = a ( 0 - 2 ) 2 - 1 Düzenleyelim. 3 = a · 4 - 1 3 + 1 = 4 a 4 = 4 a a = 1 Bulduğumuz değeri tepe formunda yerine yazalım. y = ( x - 2 ) 2 - 1 Bu denklem şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir. Doğru seçenek: B

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x 2 - 2 ( a + 1 ) x + a 2 ≤ 0 Kareye tamamlama yapalım: x 2 - 2 ( a + 1 ) x + a 2 = ( x - ( a + 1 ) ) 2 - ( ( a + 1 ) 2 - a 2 ) Parantez içini sadeleştirelim: ( a + 1 ) 2 - a 2 = ( a 2 + 2 a + 1 ) - a 2 = 2 a + 1 Böylece eşitsizlik şu hale gelir: ( x - ( a + 1 ) ) 2 - ( 2 a + 1 ) ≤ 0 Düzenleyelim: ( x - ( a + 1 ) ) 2 ≤ 2 a + 1 Bu eşitsizliğin çözümü, merkez x = a + 1 olan ve yarıçapı 2 a + 1 olan bir aralıktır. Dolayısıyla çözüm kümesinin uzunluğu: 2 2 a + 1 Soruya göre bu uzunluk 4 olduğundan: 2 2 a + 1 = 4 Her iki tarafı 2 ye bölelim: 2 a + 1 = 2 Karesini alalım: 2 a + 1 = 4 Buradan: 2 a = 3 a = 3 2 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 2 ( a + 1 ) x + a 2 ≤ 0 Kareye tamamlama yapalım: x 2 - 2 ( a + 1 ) x + a 2 = ( x - ( a + 1 ) ) 2 - ( ( a + 1 ) 2 - a 2 ) Parantez içini sadeleştirelim: ( a + 1 ) 2 - a 2 = ( a 2 + 2 a + 1 ) - a 2 = 2 a + 1 Böylece eşitsizlik şu hale gelir: ( x - ( a + 1 ) ) 2 - ( 2 a + 1 ) ≤ 0 Düzenleyelim: ( x - ( a + 1 ) ) 2 ≤ 2 a + 1 Bu eşitsizliğin çözümü, merkez x = a + 1 olan ve yarıçapı 2 a + 1 olan bir aralıktır. Dolayısıyla çözüm kümesinin uzunluğu: 2 2 a + 1 Soruya göre bu uzunluk 4 olduğundan: 2 2 a + 1 = 4 Her iki tarafı 2 ye bölelim: 2 a + 1 = 2 Karesini alalım: 2 a + 1 = 4 Buradan: 2 a = 3 a = 3 2 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: D

Üçgen eşitsizliğine göre |7-4|3; en küçük tam sayı 4tür.

1. Adım 1: Üçgen eşitsizliğini yaz.
2. Adım 2: x>3 koşulundan en küçük tam sayıyı seç.

Doğru cevap: B

İşlem: ( 2 − 3 i ) ( 1 + i ) Paydayı rasyonelleştirmek için eşleniği ile çarpalım: ( 2 − 3 i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) Payı açalım: ( 2 − 3 i ) ( 1 − i ) = 2 − 2 i − 3 i + 3 i 2 Payda açılımı: ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 − i 2 Bilinen değer: i 2 = − 1 Buna göre paydayı sadeleştirelim: 1 − i 2 = 1 − ( − 1 ) = 2 Payı sadeleştirelim: 2 − 2 i − 3 i + 3 i 2 = 2 − 5 i + 3 ( − 1 ) = − 1 − 5 i Sonuç: − 1 − 5 i 2 = − 1 2 − 5 2 i Bulunan ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B.

1. Çözüm: İşlem: ( 2 − 3 i ) ( 1 + i ) Paydayı rasyonelleştirmek için eşleniği ile çarpalım: ( 2 − 3 i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) Payı açalım: ( 2 − 3 i ) ( 1 − i ) = 2 − 2 i − 3 i + 3 i 2 Payda açılımı: ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 − i 2 Bilinen değer: i 2 = − 1 Buna göre paydayı sadeleştirelim: 1 − i 2 = 1 − ( − 1 ) = 2 Payı sadeleştirelim: 2 − 2 i − 3 i + 3 i 2 = 2 − 5 i + 3 ( − 1 ) = − 1 − 5 i Sonuç: − 1 − 5 i 2 = − 1 2 − 5 2 i Bulunan ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B.

Doğru cevap: C

Sorudaki denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x - 3 ) = 3 Tanım gereği logaritmaların içi pozitif olmalıdır: x - 1 > 0 x - 3 > 0 Buradan: x > 3 Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 2 ( ( x - 1 ) ( x - 3 ) ) = 3 Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 2 3 Sağ tarafı hesaplayalım: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 Çarpımı açalım: x 2 - 4 x + 3 = 8 Denklemi sıfıra eşitleyelim: x 2 - 4 x - 5 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0 Kökler: x = 5 x = - 1 Ancak tanım koşulu: x > 3 Bu nedenle yalnızca: x = 5 Çözüm kümesindeki elemanların toplamı: 5 Dolayısıyla doğru seçenek: C577

1. Çözüm: Sorudaki denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x - 3 ) = 3 Tanım gereği logaritmaların içi pozitif olmalıdır: x - 1 > 0 x - 3 > 0 Buradan: x > 3 Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 2 ( ( x - 1 ) ( x - 3 ) ) = 3 Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 2 3 Sağ tarafı hesaplayalım: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 Çarpımı açalım: x 2 - 4 x + 3 = 8 Denklemi sıfıra eşitleyelim: x 2 - 4 x - 5 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0 Kökler: x = 5 x = - 1 Ancak tanım koşulu: x > 3 Bu nedenle yalnızca: x = 5 Çözüm kümesindeki elemanların toplamı: 5 Dolayısıyla doğru seçenek: C577

Doğru cevap: C

Verilen fonksiyon: f ( x ) = x 2 + p x Teğet eğimi türevle bulunur: f ′ ( x ) = d d x ( x 2 + p x ) = 2 x + p x = 1 noktasındaki teğetin eğimi: f ′ ( 1 ) = 2 ⋅ 1 + p = p + 2 x = 3 noktasındaki teğetin eğimi: f ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 + p = p + 6 Teğetler birbirine dik olduğundan, eğimlerin çarpımı: ( p + 2 ) ( p + 6 ) = - 1 Denklemi açalım: p 2 + 8 p + 12 = - 1 p 2 + 8 p + 13 = 0 İkinci dereceden denklemin kökleri: p = - 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 13 2 p = - 8 ± 12 2 = - 8 ± 2 3 2 p = - 4 ± 3 Verilen koşul: p > - 4 Bu koşulu sağlayan kök: p = - 4 + 3 Sonuç: Doğru cevap C624 seçeneğidir. p = - 4 + 3

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = x 2 + p x Teğet eğimi türevle bulunur: f ′ ( x ) = d d x ( x 2 + p x ) = 2 x + p x = 1 noktasındaki teğetin eğimi: f ′ ( 1 ) = 2 ⋅ 1 + p = p + 2 x = 3 noktasındaki teğetin eğimi: f ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 + p = p + 6 Teğetler birbirine dik olduğundan, eğimlerin çarpımı: ( p + 2 ) ( p + 6 ) = - 1 Denklemi açalım: p 2 + 8 p + 12 = - 1 p 2 + 8 p + 13 = 0 İkinci dereceden denklemin kökleri: p = - 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 13 2 p = - 8 ± 12 2 = - 8 ± 2 3 2 p = - 4 ± 3 Verilen koşul: p > - 4 Bu koşulu sağlayan kök: p = - 4 + 3 Sonuç: Doğru cevap C624 seçeneğidir. p = - 4 + 3