11. Sınıf Matematik Logaritma Testleri

Doğru cevap: C

Önce şıkları kontrol edelim: Verilen denklemden tek uygun çözüm şıkkıC64 çıkacaktır. 1) Tanım koşulu (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 Bu iki koşul birlikte: x > 1 2) Logaritma toplama kuralını uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Dolayısıyla denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 3) Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 4) Sağ tarafı ve sol tarafı düzenleyelim: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 8 x 2 - 1 = 8 5) Çözümü bulalım: x 2 = 9 x = ± 3 6) Tanım koşuluna göre yalnızca x > 1 olmalı, bu yüzden: x = 3 Sonuç: Doğru cevap C595 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce şıkları kontrol edelim: Verilen denklemden tek uygun çözüm şıkkıC64 çıkacaktır. 1) Tanım koşulu (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 Bu iki koşul birlikte: x > 1 2) Logaritma toplama kuralını uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Dolayısıyla denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 3) Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 4) Sağ tarafı ve sol tarafı düzenleyelim: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 8 x 2 - 1 = 8 5) Çözümü bulalım: x 2 = 9 x = ± 3 6) Tanım koşuluna göre yalnızca x > 1 olmalı, bu yüzden: x = 3 Sonuç: Doğru cevap C595 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Tanım koşulu için logaritmaların içi pozitif olmalı: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Logaritma kuralı: log 2 a + log 2 b = log 2 a b Uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 3 Çarpımı açalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Denklem: log 2 x 2 - 1 = 3 Logaritmanın tanımı ile üsse geçelim: 2 3 = x 2 - 1 Hesaplayalım: 8 = x 2 - 1 x 2 = 9 Kök alalım: x = ± 3 Tanım koşulu: x > 1 Bu nedenle: x = 3 Sonuç: Doğru cevap D457 şıkkıdır. x = 3

1. Çözüm: Denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Tanım koşulu için logaritmaların içi pozitif olmalı: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Logaritma kuralı: log 2 a + log 2 b = log 2 a b Uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 3 Çarpımı açalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Denklem: log 2 x 2 - 1 = 3 Logaritmanın tanımı ile üsse geçelim: 2 3 = x 2 - 1 Hesaplayalım: 8 = x 2 - 1 x 2 = 9 Kök alalım: x = ± 3 Tanım koşulu: x > 1 Bu nedenle: x = 3 Sonuç: Doğru cevap D457 şıkkıdır. x = 3

Doğru cevap: A

1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 Bu iki koşul birlikte: x > 1 2) Logaritma kuralı: Aynı tabanlı logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasına eşittir. log 2 x - 1 + log 2 x + 1 = log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) 3) Bu kuralı denkleme uygularsak: log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 3 4) Logaritma tanımı gereği: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 8 5) Çarpımı açalım: x - 1 x + 1 = 8 x 2 - 1 = 8 6) Çözüm: x 2 = 9 x = ± 3 Tanım gereği: x > 1 Bu yüzden: x = 3 Sonuç: Doğru cevap şıkkı A 'dır.

1. Çözüm: 1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 Bu iki koşul birlikte: x > 1 2) Logaritma kuralı: Aynı tabanlı logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasına eşittir. log 2 x - 1 + log 2 x + 1 = log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) 3) Bu kuralı denkleme uygularsak: log 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 3 4) Logaritma tanımı gereği: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 8 5) Çarpımı açalım: x - 1 x + 1 = 8 x 2 - 1 = 8 6) Çözüm: x 2 = 9 x = ± 3 Tanım gereği: x > 1 Bu yüzden: x = 3 Sonuç: Doğru cevap şıkkı A 'dır.

Doğru cevap: B

İfade: log 2 8 + log 2 1 4 1. adım: 8 sayısını 2 tabanında yazalım. 8 = 2 3 Buna göre ilk logaritma: log 2 8 = log 2 2 3 = 3 2. adım: 1/4 ifadesini 2 tabanında yazalım. 1 4 = 1 2 2 = 2 - 2 Buna göre ikinci logaritma: log 2 1 4 = log 2 2 - 2 = - 2 3. adım: Toplayalım. log 2 8 + log 2 1 4 = 3 + - 2 = 1 Sonuç B şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: log 2 8 + log 2 1 4 1. adım: 8 sayısını 2 tabanında yazalım. 8 = 2 3 Buna göre ilk logaritma: log 2 8 = log 2 2 3 = 3 2. adım: 1/4 ifadesini 2 tabanında yazalım. 1 4 = 1 2 2 = 2 - 2 Buna göre ikinci logaritma: log 2 1 4 = log 2 2 - 2 = - 2 3. adım: Toplayalım. log 2 8 + log 2 1 4 = 3 + - 2 = 1 Sonuç B şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 3 ) = 3 Tanım koşulu: x - 1 > 0 x + 3 > 0 x > 1 Logaritma kuralı ile birleştirelim: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) = 3 Üs formuna çevirelim: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 Çarpımı açıp denklemi düzenleyelim: x ( x + 3 ) - 1 ( x + 3 ) = 8 x 2 + 3 x - x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 11 ) 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşuluna göre uygun kökü seçelim: x > 1 - 1 - 2 3 < 1 - 1 + 2 3 > 1 Sonuç (doğru seçenek kontrolü): x = - 1 + 2 3 Bu değer şıklarda seçeneğiC650 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C686’dır.

1. Çözüm: Verilen denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 3 ) = 3 Tanım koşulu: x - 1 > 0 x + 3 > 0 x > 1 Logaritma kuralı ile birleştirelim: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) = 3 Üs formuna çevirelim: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 Çarpımı açıp denklemi düzenleyelim: x ( x + 3 ) - 1 ( x + 3 ) = 8 x 2 + 3 x - x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 11 ) 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşuluna göre uygun kökü seçelim: x > 1 - 1 - 2 3 < 1 - 1 + 2 3 > 1 Sonuç (doğru seçenek kontrolü): x = - 1 + 2 3 Bu değer şıklarda seçeneğiC650 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C686’dır.

Doğru cevap: D

Önce tanım koşulunu yazalım. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Verilen eşitlikte logaritma toplama kuralını kullanalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Toplamı tek logaritma olarak yazalım: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Çarpımı açalım: log 2 ( x 2 - 1 ) = 3 Logaritmanın tanımına göre her iki tarafı üstel forma çevirelim: 2 3 = x 2 - 1 Düzenleyelim: 8 = x 2 - 1 x 2 = 9 Karekök alalım: x = 3   veya   x = - 3 Tanım koşulu x > 1 olduğu için negatif değer elenir. Sonuç: x = 3 Bulunan değer şıkkıD547 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap D580’dır.

1. Çözüm: Önce tanım koşulunu yazalım. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Verilen eşitlikte logaritma toplama kuralını kullanalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Toplamı tek logaritma olarak yazalım: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Çarpımı açalım: log 2 ( x 2 - 1 ) = 3 Logaritmanın tanımına göre her iki tarafı üstel forma çevirelim: 2 3 = x 2 - 1 Düzenleyelim: 8 = x 2 - 1 x 2 = 9 Karekök alalım: x = 3   veya   x = - 3 Tanım koşulu x > 1 olduğu için negatif değer elenir. Sonuç: x = 3 Bulunan değer şıkkıD547 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap D580’dır.

Doğru cevap: A

Önce tanım koşulunu yazalım: x - 1 > 0 ve x + 3 > 0 x > 1 Logaritma toplamını çarpıma çeviriyoruz: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 3 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) = 3 Her iki tarafın taban 2 üssünü alalım: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 Çarpımı açıp ikinci dereceden denklemi çözelim: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = x · x + 3 x - x - 3 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 Kökleri bulalım: x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşulu x > 1 olduğundan uygun kökü seçelim: - 1 - 2 3 < 1 (uygun değil) - 1 + 2 3 > 1 (uygun) Sonuç: x = - 1 + 2 3 Bu değer A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

1. Çözüm: Önce tanım koşulunu yazalım: x - 1 > 0 ve x + 3 > 0 x > 1 Logaritma toplamını çarpıma çeviriyoruz: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 3 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) = 3 Her iki tarafın taban 2 üssünü alalım: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 Çarpımı açıp ikinci dereceden denklemi çözelim: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = x · x + 3 x - x - 3 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 Kökleri bulalım: x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşulu x > 1 olduğundan uygun kökü seçelim: - 1 - 2 3 < 1 (uygun değil) - 1 + 2 3 > 1 (uygun) Sonuç: x = - 1 + 2 3 Bu değer A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık A mı kontrolü (denklem ve tanım kümesi): log 2 x - 1 + log 2 x + 3 = 3 Logaritmanın tanımlı olması için: x - 1 > 0   ∧   x + 3 > 0 x > 1 2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 2 x - 1 ⋅ x + 3 = 3 3) Her iki tarafın taban-2 üstel karşılığını alalım: x - 1 ⋅ x + 3 = 2 3 x - 1 ⋅ x + 3 = 8 4) Çarpımı açıp ikinci dereceden denkleme geçelim: x - 1 x + 3 = 8 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 5) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 11 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 6) Tanım koşulunu sağlayanı seçelim: x > 1 x = - 1 + 2 3 Diğer kök tanım koşulunu sağlamaz. Sonuç: Doğru cevap B720 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık A mı kontrolü (denklem ve tanım kümesi): log 2 x - 1 + log 2 x + 3 = 3 Logaritmanın tanımlı olması için: x - 1 > 0   ∧   x + 3 > 0 x > 1 2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 2 x - 1 ⋅ x + 3 = 3 3) Her iki tarafın taban-2 üstel karşılığını alalım: x - 1 ⋅ x + 3 = 2 3 x - 1 ⋅ x + 3 = 8 4) Çarpımı açıp ikinci dereceden denkleme geçelim: x - 1 x + 3 = 8 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 5) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 11 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 6) Tanım koşulunu sağlayanı seçelim: x > 1 x = - 1 + 2 3 Diğer kök tanım koşulunu sağlamaz. Sonuç: Doğru cevap B720 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Önce tanım kümesini belirleyelim (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 x > 1 Logaritma toplama kuralını kullanalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Verilen eşitliğe göre: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Logaritmanın tanımını kullanarak üsse çevirelim: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 Çarpımı açalım ve sadeleştirelim: x 2 - 1 = 8 Denklemi çözelim: x 2 = 9 x = ± 3 Tanım kümesi koşulu ( logaritma içleri pozitif ) gereği: x > 1 Bu yüzden yalnızca şu değer geçerlidir: x = 3 Sonuç: Doğru cevap C534 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce tanım kümesini belirleyelim (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 x > 1 Logaritma toplama kuralını kullanalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Verilen eşitliğe göre: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Logaritmanın tanımını kullanarak üsse çevirelim: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 Çarpımı açalım ve sadeleştirelim: x 2 - 1 = 8 Denklemi çözelim: x 2 = 9 x = ± 3 Tanım kümesi koşulu ( logaritma içleri pozitif ) gereği: x > 1 Bu yüzden yalnızca şu değer geçerlidir: x = 3 Sonuç: Doğru cevap C534 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Soru ifadesini blok olarak yazalım: log 2 ( 32 ) − log 4 ( 8 ) Önce ilk logaritmayı hesaplayalım. Sayıyı uygun bir kuvvet şeklinde yazalım: 32 = 2 5 Bu durumda ilk logaritmanın değeri: log 2 ( 32 ) = log 2 ( 2 5 ) = 5 Şimdi ikinci logaritmayı taban değiştirme ile hesaplayalım: log 4 ( 8 ) = log 2 ( 8 ) log 2 ( 4 ) Gerekli değerleri kuvvet olarak yazalım: 8 = 2 3 4 = 2 2 Buna göre: log 2 ( 8 ) = 3 log 2 ( 4 ) = 2 İkinci logaritma: log 4 ( 8 ) = 3 2 Şimdi çıkarma işlemini yapalım: 5 − 3 2 = 10 2 − 3 2 = 7 2 Sonuç: 7 2 Doğru seçenek D522 ’dır.

1. Çözüm: Soru ifadesini blok olarak yazalım: log 2 ( 32 ) − log 4 ( 8 ) Önce ilk logaritmayı hesaplayalım. Sayıyı uygun bir kuvvet şeklinde yazalım: 32 = 2 5 Bu durumda ilk logaritmanın değeri: log 2 ( 32 ) = log 2 ( 2 5 ) = 5 Şimdi ikinci logaritmayı taban değiştirme ile hesaplayalım: log 4 ( 8 ) = log 2 ( 8 ) log 2 ( 4 ) Gerekli değerleri kuvvet olarak yazalım: 8 = 2 3 4 = 2 2 Buna göre: log 2 ( 8 ) = 3 log 2 ( 4 ) = 2 İkinci logaritma: log 4 ( 8 ) = 3 2 Şimdi çıkarma işlemini yapalım: 5 − 3 2 = 10 2 − 3 2 = 7 2 Sonuç: 7 2 Doğru seçenek D522 ’dır.