11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

11. sınıf Matematik 2. dönem 1. yazılı için 10 soruluk online yazılı testleri, cevap anahtarlı sorular ve konu karması çalışma içerikleri.

11. Sınıf Matematik 2. dönem 1. yazılı soruları, ikinci dönemde soru dili daha seçici ve ilişki kurmaya dayalı hale gelir. Bu sınıf düzeyinde matematik, cebirsel düşünceyi grafik, geometri ve fonksiyon diliyle birlikte kullanmayı gerektirir. Bu sayfa, öğrencinin fonksiyon, trigonometri, analitik geometri, parabol, logaritma ve istatistiksel düşünmeyi düzenli işlem adımlarıyla çözme becerisini ölçmeye yardımcı olacak biçimde hazırlanmıştır. Konu dağılımı sınıflar bölümündeki güncel test havuzuyla uyumlu tutulduğu için yazılı öncesinde düzenli bir tekrar alanı sunar.

Bu yazılı kapsamında Matematik Parabol, Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler, Matematik Karmaşık Sayılar, Matematik Logaritma başlıklarıyla başlayan ve Matematik Karmaşık Sayılar, Matematik Logaritma, Matematik Geometri konularına kadar genişleyen bir içerik vardır. Konuların birlikte verilmesi, öğrencinin tek bir kazanıma sıkışmadan gerçek yazılı atmosferine yakın biçimde çalışmasını sağlar. Böylece hangi başlığın ek tekrar istediği daha hızlı fark edilir.

Matematikte çözüm yolunu yazmak, özellikle trigonometrik ifade, parabol ve eşitsizlik sorularında hatayı görmeyi kolaylaştırır. Yanlışlar yöntem, işlem ve okuma hatası olarak ayrılmalıdır. öğrenci önceki birikimini yeni başlıklarla birleştirdiğinde eksiklerini daha açık fark eder. Soruları çözerken süre tutmak, zorlanılan maddeleri işaretlemek ve çözüm sonunda yanlışları konu başlığına göre gruplamak verimli olur. Bu küçük analiz, tekrarın genel okumadan çıkıp doğrudan eksik kazanımlara yönelmesini sağlar.

Sayfanın altındaki ilgili konu testleri, yazılıdan sonra ayrıntılı pekiştirme yapmak için kullanılabilir. Matematik Parabol veya Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler gibi başlıklarda hata yapan öğrenciler doğrudan ilgili testlere geçerek aynı kazanımı farklı soru tipleriyle yeniden çalışabilir. Bu çalışma, konu testlerine dönerken eksiklerin formül mü grafik yorumu mu işlem mi olduğunu açıkça gösterir.

11. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, üniversite sınavı temelini de desteklediği için her çözümden sonra kısa not çıkarmak faydalıdır.

Doğru sayısı kadar yanlışın nedeni de izlenirse bir sonraki çalışmada zaman daha bilinçli kullanılır.

11. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, üniversite sınavı temelini de desteklediği için her çözümden sonra kısa not çıkarmak faydalıdır.

Doğru sayısı kadar yanlışın nedeni de izlenirse bir sonraki çalışmada zaman daha bilinçli kullanılır.

Test seç

23 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test 17. Test 18. Test 19. Test 20. Test 21. Test 22. Test 23. Test

6. Test

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Test 6 için 10 soruluk online yazılı testi.

Her soru için doğru seçeneği işaretleyin.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Sorudaki eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 ≥ 0 Önce çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) Tanım gereği payda sıfır olamaz (tanımsız değerler): x 2 - 9 ≠ 0 ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ - 3 Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 Ortak çarpanı sadeleştirirsek (ama tanımsızlık unutulmaz: x ≠ 3 ): x - 2 x + 3 ≥ 0 Koşullar: x ≠ - 3, x ≠ 3 Şimdi işaret incelemesi yapalım. Kritik noktalar: x = - 3, x = 2 Ayrıca çözüm aralığında x = 3 mutlaka çıkarılacaktır (orijinal ifade tanımsız). Aralıklar için işaret: 1) x ∈ ( - ∞, - 3 ) x - 2 < 0 x + 3 < 0 x - 2 x + 3 > 0 2) x ∈ ( - 3, 2 ) x - 2 < 0 x + 3 > 0 x - 2 x + 3 < 0 3) x ∈ ( 2, ∞ ) x - 2 > 0 x + 3 > 0 x - 2 x + 3 > 0 Eşitsizlik x - 2 x + 3 ≥ 0 olduğundan, pozitif olduğu aralıkları ve sıfır olduğu noktayı alırız: x ∈ ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, ∞ ) Ancak başlangıçtaki ifadede x = 3 tanımsız olduğu için çıkarılır: x ∈ ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Sonuç: Doğru seçenek D1175’dır.

Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 ≥ 0 Önce çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) Tanım gereği payda sıfır olamaz (tanımsız değerler): x 2 - 9 ≠ 0 ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ - 3 Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 Ortak çarpanı sadeleştirirsek (ama tanımsızlık unutulmaz: x ≠ 3 ): x - 2 x + 3 ≥ 0 Koşullar: x ≠ - 3, x ≠ 3 Şimdi işaret incelemesi yapalım. Kritik noktalar: x = - 3, x = 2 Ayrıca çözüm aralığında x = 3 mutlaka çıkarılacaktır (orijinal ifade tanımsız). Aralıklar için işaret: 1) x ∈ ( - ∞, - 3 ) x - 2 < 0 x + 3 < 0 x - 2 x + 3 > 0 2) x ∈ ( - 3, 2 ) x - 2 < 0 x + 3 > 0 x - 2 x + 3 < 0 3) x ∈ ( 2, ∞ ) x - 2 > 0 x + 3 > 0 x - 2 x + 3 > 0 Eşitsizlik x - 2 x + 3 ≥ 0 olduğundan, pozitif olduğu aralıkları ve sıfır olduğu noktayı alırız: x ∈ ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, ∞ ) Ancak başlangıçtaki ifadede x = 3 tanımsız olduğu için çıkarılır: x ∈ ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Sonuç: Doğru seçenek D1175’dır.

Sorudaki eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0

Önce çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Tanım gereği payda sıfır olamaz (tanımsız değerler):

x^{2} - 9 \neq 0

(x - 3) (x + 3) \neq 0

x \neq 3, x \neq - 3

Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım:

\frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} \geq 0

Ortak çarpanı sadeleştirirsek (ama tanımsızlık unutulmaz: $x \neq 3$ ):

\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0

Koşullar:

x \neq - 3, x \neq 3

Şimdi işaret incelemesi yapalım. Kritik noktalar:

x = - 3, x = 2

Ayrıca çözüm aralığında $x = 3$ mutlaka çıkarılacaktır (orijinal ifade tanımsız).

Aralıklar için işaret:

1) $x \in (- \infty, - 3)$

x - 2 < 0 x + 3 < 0 \frac{x - 2}{x + 3} > 0

2) $x \in (- 3, 2)$

x - 2 < 0 x + 3 > 0 \frac{x - 2}{x + 3} < 0

3) $x \in (2, \infty)$

x - 2 > 0 x + 3 > 0 \frac{x - 2}{x + 3} > 0

Eşitsizlik $\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0$ olduğundan, pozitif olduğu aralıkları ve sıfır olduğu noktayı alırız:

x \in (- \infty, - 3) \cup [2, \infty)

Ancak başlangıçtaki ifadede $x = 3$ tanımsız olduğu için çıkarılır:

x \in (- \infty, - 3) \cup [2, 3) \cup (3, \infty)

Sonuç: Doğru seçenek D6303’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Tabanı 10 cm, yükşekliği 6 cm olan üçgenin alanı kaç cm²dir?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$z^{4} = 16 {(1 - i)}^{2}$
$Re (z) > 0, Im (z) > 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce sağ tarafı sadeleştirelim. ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Bunu denklemde yerine yazalım. z 4 = 16 ( - 2 i ) = - 32 i Sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçime çevirelim. - 32 i = 32 ( cos - π 2 + i sin - π 2 ) Dördüncü dereceden kökleri alalım: modülün dördüncü kökü ve argümanın dörde bölünmüş halleri gelir. r = 32 1 4 = 2 5 1 4 = 2 5 4 = 2 × 2 1 4 = 2 × 2 4 Açıları yazalım. θ k = - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 ( k = 0, 1, 2, 3 ) Koşula göre gerçek ve sanal kısımlar pozitif olmalı; bu da açının birinci bölgede olmasını gerektirir. Listeden birinci bölgedeki açıyı seçelim. θ 0 = - π 8, θ 1 = 3 π 8, θ 2 = 7 π 8, θ 3 = 11 π 8 Birinci bölgede olan açı seçimi ile istenen kök: z = 2 × 2 4 ( cos 3 π 8 + i sin 3 π 8 ) Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

Çözüm: Önce sağ tarafı sadeleştirelim. ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Bunu denklemde yerine yazalım. z 4 = 16 ( - 2 i ) = - 32 i Sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçime çevirelim. - 32 i = 32 ( cos - π 2 + i sin - π 2 ) Dördüncü dereceden kökleri alalım: modülün dördüncü kökü ve argümanın dörde bölünmüş halleri gelir. r = 32 1 4 = 2 5 1 4 = 2 5 4 = 2 × 2 1 4 = 2 × 2 4 Açıları yazalım. θ k = - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 ( k = 0, 1, 2, 3 ) Koşula göre gerçek ve sanal kısımlar pozitif olmalı; bu da açının birinci bölgede olmasını gerektirir. Listeden birinci bölgedeki açıyı seçelim. θ 0 = - π 8, θ 1 = 3 π 8, θ 2 = 7 π 8, θ 3 = 11 π 8 Birinci bölgede olan açı seçimi ile istenen kök: z = 2 × 2 4 ( cos 3 π 8 + i sin 3 π 8 ) Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

Önce sağ tarafı sadeleştirelim.

{(1 - i)}^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

Bunu denklemde yerine yazalım.

z^{4} = 16 (- 2 i) = - 32 i

Sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçime çevirelim.

- 32 i = 32 (\cos - \frac{π}{2} + i \sin - \frac{π}{2})

Dördüncü dereceden kökleri alalım: modülün dördüncü kökü ve argümanın dörde bölünmüş halleri gelir.

r = 32^{\frac{1}{4}} = {2^{5}}^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}} = 2 \times 2^{\frac{1}{4}} = 2 \times \sqrt[4]{2}

Açıları yazalım.

θ_{k} = \frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4} = - \frac{π}{8} + k \frac{π}{2} (k = 0, 1, 2, 3)

Koşula göre gerçek ve sanal kısımlar pozitif olmalı; bu da açının birinci bölgede olmasını gerektirir. Listeden birinci bölgedeki açıyı seçelim.

θ_{0} = - \frac{π}{8}, θ_{1} = \frac{3}{π}, θ_{2} = \frac{7}{π}, θ_{3} = \frac{11}{π}

Birinci bölgede olan açı seçimi ile istenen kök:

z = 2 \times \sqrt[4]{2} (\cos \frac{3 π}{8} + i \sin \frac{3 π}{8})

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitliği sağlayan değer kaçtır?
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir parabolün denklemi $y = x^{2} + a x + b$ biçimindedir.
Odağının ordinatı $0$ dır, grafik $(0, 1)$ noktasından geçmektedir ve tepe noktasının apsisi $0$ dan büyüktür.
Buna göre $a + b$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce verilen parabol denklemini yazalım: y = x 2 + a x + b Kareye tamamlama yapalım: y = ( x + a 2 ) 2 + ( b - a 2 4 ) Buradan tepe noktası (tepe) parametrelerini okuyalım: h = - a 2 k = b - a 2 4 Katsayı 1 olduğundan, tepe formundaki y - k = ( x - h ) 2 ifadesini, standart parabol formu ile karşılaştıralım: ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) Buradan 4 p = 1 olur ve dolayısıyla p = 1 4 Odak noktası ( h, k + p ) olduğundan, odak ordinatı koşulu: k + p = 0 Yerine yazalım: ( b - a 2 4 ) + 1 4 = 0 Buradan b = a 2 - 1 4 Grafik verilen noktadan geçtiği için: ( 0, 1 ) noktasını denklemde kullanalım: 1 = 0 2 + a · 0 + b Dolayısıyla b = 1 Bunu odak koşulundan bulduğumuz ifadeye eşitleyelim: 1 = a 2 - 1 4 Çözelim: 4 = a 2 - 1 a 2 = 5 a = ± 5 Tepe noktasının apsisi koşulu: h > 0 ve h = - a 2 olduğuna göre: - a 2 > 0 buradan a < 0 olur, yani a = - 5 Son olarak a + b = - 5 + 1 yani a + b = 1 - 5 Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

Çözüm: Önce verilen parabol denklemini yazalım: y = x 2 + a x + b Kareye tamamlama yapalım: y = ( x + a 2 ) 2 + ( b - a 2 4 ) Buradan tepe noktası (tepe) parametrelerini okuyalım: h = - a 2 k = b - a 2 4 Katsayı 1 olduğundan, tepe formundaki y - k = ( x - h ) 2 ifadesini, standart parabol formu ile karşılaştıralım: ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) Buradan 4 p = 1 olur ve dolayısıyla p = 1 4 Odak noktası ( h, k + p ) olduğundan, odak ordinatı koşulu: k + p = 0 Yerine yazalım: ( b - a 2 4 ) + 1 4 = 0 Buradan b = a 2 - 1 4 Grafik verilen noktadan geçtiği için: ( 0, 1 ) noktasını denklemde kullanalım: 1 = 0 2 + a · 0 + b Dolayısıyla b = 1 Bunu odak koşulundan bulduğumuz ifadeye eşitleyelim: 1 = a 2 - 1 4 Çözelim: 4 = a 2 - 1 a 2 = 5 a = ± 5 Tepe noktasının apsisi koşulu: h > 0 ve h = - a 2 olduğuna göre: - a 2 > 0 buradan a < 0 olur, yani a = - 5 Son olarak a + b = - 5 + 1 yani a + b = 1 - 5 Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

Önce verilen parabol denklemini yazalım:

y = x^{2} + a x + b

Kareye tamamlama yapalım:

y = {(x + \frac{a}{2})}^{2} + (b - \frac{a^{2}}{4})

Buradan tepe noktası (tepe) parametrelerini okuyalım:

h = - \frac{a}{2}

k = b - \frac{a^{2}}{4}

Katsayı $1$ olduğundan, tepe formundaki

y - k = {(x - h)}^{2}

ifadesini, standart parabol formu ile karşılaştıralım:

{(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)

Buradan

4 p = 1

olur ve dolayısıyla

p = \frac{1}{4}

Odak noktası

(h, k + p)

olduğundan, odak ordinatı koşulu:

k + p = 0

Yerine yazalım:

(b - \frac{a^{2}}{4}) + \frac{1}{4} = 0

Buradan

b = \frac{a^{2}}{-} 4

Grafik verilen noktadan geçtiği için:

(0, 1)

noktasını denklemde kullanalım:

1 = 0^{2} + a \cdot 0 + b

Dolayısıyla

b = 1

Bunu odak koşulundan bulduğumuz ifadeye eşitleyelim:

1 = \frac{a^{2}}{-} 4

Çözelim:

4 = a^{2} - 1

a^{2} = 5

a = \pm \sqrt{5}

Tepe noktasının apsisi koşulu:

h > 0

h = - \frac{a}{2}

olduğuna göre:

- \frac{a}{2} > 0

buradan

a < 0

olur, yani

a = - \sqrt{5}

Son olarak

a + b = - \sqrt{5} + 1

yani

a + b = 1 - \sqrt{5}

Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$(x - 1) (x + 3) \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir eşkenar üçgenin bir açısı kaç derecedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitliği sağlayan ve
$Re (z) > 0$ , $Im (z) > 0$ olan $z$ karmaşık sayısı nedir?
$z^{4} = \frac{1 - i}{1 + i}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce sağ tarafı sadeleştirelim: 1 - i 1 + i = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Pay ve paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Böylece: 1 - i 1 + i = - 2 i 2 = - i Dolayısıyla denklem: z 4 = - i Şimdi - i sayısını kutupsal biçimde yazalım. Mutlak değeri 1 ve argümanı: - i = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) Dördüncü dereceden kökler için genel formül: z = cos ( - π 2 + 2 k π 4 ) + i sin ( - π 2 + 2 k π 4 ), k ∈ { 0, 1, 2, 3 } Açıyı sadeleştirelim: - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 Şimdi Re ( z ) > 0 ve Im ( z ) > 0 şartı için açının birinci bölgede olması gerekir. Seçenekler: k = 0 ⇒ θ = - π 8 k = 1 ⇒ θ = - π 8 + π 2 = 3 π 8 k = 2 ⇒ θ = 7 π 8 k = 3 ⇒ θ = 11 π 8 Birinci bölgede olan tek açı θ = 3 π 8 olduğundan istenen kök: z = cos ( 3 π 8 ) + i sin ( 3 π 8 ) Şıklardaki köklü ifadeye çevirelim. Yarım açı formülleriyle: cos ( 3 π 8 ) = 1 + cos ( 3 π 4 ) 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 - cos ( 3 π 4 ) 2 Ayrıca: cos ( 3 π 4 ) = - 2 2 Yerine yazınca: cos ( 3 π 8 ) = 1 - 2 2 2 = 2 - 2 4 = 1 2 2 - 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 + 2 2 2 = 2 + 2 4 = 1 2 2 + 2 Sonuç: z = 1 2 ( 2 - 2 + i 2 + 2 ) Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B1470 ’dır.

Çözüm: Önce sağ tarafı sadeleştirelim: 1 - i 1 + i = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Pay ve paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Böylece: 1 - i 1 + i = - 2 i 2 = - i Dolayısıyla denklem: z 4 = - i Şimdi - i sayısını kutupsal biçimde yazalım. Mutlak değeri 1 ve argümanı: - i = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) Dördüncü dereceden kökler için genel formül: z = cos ( - π 2 + 2 k π 4 ) + i sin ( - π 2 + 2 k π 4 ), k ∈ { 0, 1, 2, 3 } Açıyı sadeleştirelim: - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 Şimdi Re ( z ) > 0 ve Im ( z ) > 0 şartı için açının birinci bölgede olması gerekir. Seçenekler: k = 0 ⇒ θ = - π 8 k = 1 ⇒ θ = - π 8 + π 2 = 3 π 8 k = 2 ⇒ θ = 7 π 8 k = 3 ⇒ θ = 11 π 8 Birinci bölgede olan tek açı θ = 3 π 8 olduğundan istenen kök: z = cos ( 3 π 8 ) + i sin ( 3 π 8 ) Şıklardaki köklü ifadeye çevirelim. Yarım açı formülleriyle: cos ( 3 π 8 ) = 1 + cos ( 3 π 4 ) 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 - cos ( 3 π 4 ) 2 Ayrıca: cos ( 3 π 4 ) = - 2 2 Yerine yazınca: cos ( 3 π 8 ) = 1 - 2 2 2 = 2 - 2 4 = 1 2 2 - 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 + 2 2 2 = 2 + 2 4 = 1 2 2 + 2 Sonuç: z = 1 2 ( 2 - 2 + i 2 + 2 ) Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B1470 ’dır.

Önce sağ tarafı sadeleştirelim:

\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)}

Pay ve paydayı açalım:

(1 - i) (1 - i) = {(1 - i)}^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

(1 + i) (1 - i) = 1^{2} - i^{2} = 1 - (- 1) = 2

Böylece:

\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{- 2 i}{2} = - i

Dolayısıyla denklem:

z^{4} = - i

Şimdi $- i$ sayısını kutupsal biçimde yazalım. Mutlak değeri $1$ ve argümanı:

- i = cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2})

Dördüncü dereceden kökler için genel formül:

z = cos (\frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4}) + i sin (\frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4}), k \in {0, 1, 2, 3}

Açıyı sadeleştirelim:

\frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4} = - \frac{π}{8} + k \frac{π}{2}

Şimdi $Re (z) > 0$ ve $Im (z) > 0$ şartı için açının birinci bölgede olması gerekir. Seçenekler:

k = 0 \Rightarrow θ = - \frac{π}{8}

k = 1 \Rightarrow θ = - \frac{π}{8} + \frac{π}{2} = \frac{3}{π}

k = 2 \Rightarrow θ = \frac{7}{π}

k = 3 \Rightarrow θ = \frac{11}{π}

Birinci bölgede olan tek açı $θ = \frac{3}{π}$ olduğundan istenen kök:

z = cos (\frac{3}{π}) + i sin (\frac{3}{π})

Şıklardaki köklü ifadeye çevirelim. Yarım açı formülleriyle:

cos (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 + cos (\frac{3}{π})}{2}}

sin (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{3}{π})}{2}}

Ayrıca:

cos (\frac{3}{π}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

Yerine yazınca:

cos (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}

sin (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}

Sonuç:

z = \frac{1}{2} (\sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})

Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B7560’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulun:
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$y = x^{2} - 2 m x + (m^{2} - 1)$
$y = 2 x + 3$
Yukarıdaki parabol ile doğru tek bir ortak noktaya sahiptir. $m$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Önceki test Sonraki test

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

İlgili 11. sınıf Matematik konu testleri

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.x2-5x+6x2-9≥0

Tabanı 10 cm, yükşekliği 6 cm olan üçgenin alanı kaç cm²dir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.z4=16(1-i)2Re(z)>0,Im(z)>0

Aşağıdaki eşitliği sağlayan değer kaçtır?log2x-1+log2x+3=3

Bir parabolün denklemi y=x2+ax+b biçimindedir.Odağının ordinatı 0 dır, grafik (0,1) noktasından geçmektedir ve tepe noktasının apsisi 0 dan büyüktür.Buna göre a+b kaçtır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.(x-1)(x+3)≤0

Bir eşkenar üçgenin bir açısı kaç derecedir?

Aşağıdaki eşitliği sağlayan veRe(z)>0, Im(z)>0 olan z karmaşık sayısı nedir?z4=1-i1+i

Aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulun:log2(x-1)+log2(x+3)=3

y=x2-2mx+(m2-1)y=2x+3Yukarıdaki parabol ile doğru tek bir ortak noktaya sahiptir. m kaçtır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0$

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$z^{4} = 16 {(1 - i)}^{2}$
$Re (z) > 0, Im (z) > 0$

Aşağıdaki eşitliği sağlayan değer kaçtır?
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3$

Bir parabolün denklemi $y = x^{2} + a x + b$ biçimindedir.
Odağının ordinatı $0$ dır, grafik $(0, 1)$ noktasından geçmektedir ve tepe noktasının apsisi $0$ dan büyüktür.
Buna göre $a + b$ kaçtır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$(x - 1) (x + 3) \leq 0$

Aşağıdaki eşitliği sağlayan ve
$Re (z) > 0$ , $Im (z) > 0$ olan $z$ karmaşık sayısı nedir?
$z^{4} = \frac{1 - i}{1 + i}$

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulun:
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3$

$y = x^{2} - 2 m x + (m^{2} - 1)$
$y = 2 x + 3$
Yukarıdaki parabol ile doğru tek bir ortak noktaya sahiptir. $m$ kaçtır?