11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

11. sınıf Matematik 2. dönem 1. yazılı için 10 soruluk online yazılı testleri, cevap anahtarlı sorular ve konu karması çalışma içerikleri.

11. Sınıf Matematik 2. dönem 1. yazılı soruları, ikinci dönemde soru dili daha seçici ve ilişki kurmaya dayalı hale gelir. Bu sınıf düzeyinde matematik, cebirsel düşünceyi grafik, geometri ve fonksiyon diliyle birlikte kullanmayı gerektirir. Bu sayfa, öğrencinin fonksiyon, trigonometri, analitik geometri, parabol, logaritma ve istatistiksel düşünmeyi düzenli işlem adımlarıyla çözme becerisini ölçmeye yardımcı olacak biçimde hazırlanmıştır. Konu dağılımı sınıflar bölümündeki güncel test havuzuyla uyumlu tutulduğu için yazılı öncesinde düzenli bir tekrar alanı sunar.

Bu yazılı kapsamında Matematik Parabol, Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler, Matematik Karmaşık Sayılar, Matematik Logaritma başlıklarıyla başlayan ve Matematik Karmaşık Sayılar, Matematik Logaritma, Matematik Geometri konularına kadar genişleyen bir içerik vardır. Konuların birlikte verilmesi, öğrencinin tek bir kazanıma sıkışmadan gerçek yazılı atmosferine yakın biçimde çalışmasını sağlar. Böylece hangi başlığın ek tekrar istediği daha hızlı fark edilir.

Matematikte çözüm yolunu yazmak, özellikle trigonometrik ifade, parabol ve eşitsizlik sorularında hatayı görmeyi kolaylaştırır. Yanlışlar yöntem, işlem ve okuma hatası olarak ayrılmalıdır. öğrenci önceki birikimini yeni başlıklarla birleştirdiğinde eksiklerini daha açık fark eder. Soruları çözerken süre tutmak, zorlanılan maddeleri işaretlemek ve çözüm sonunda yanlışları konu başlığına göre gruplamak verimli olur. Bu küçük analiz, tekrarın genel okumadan çıkıp doğrudan eksik kazanımlara yönelmesini sağlar.

Sayfanın altındaki ilgili konu testleri, yazılıdan sonra ayrıntılı pekiştirme yapmak için kullanılabilir. Matematik Parabol veya Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler gibi başlıklarda hata yapan öğrenciler doğrudan ilgili testlere geçerek aynı kazanımı farklı soru tipleriyle yeniden çalışabilir. Bu çalışma, konu testlerine dönerken eksiklerin formül mü grafik yorumu mu işlem mi olduğunu açıkça gösterir.

11. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, üniversite sınavı temelini de desteklediği için her çözümden sonra kısa not çıkarmak faydalıdır.

Doğru sayısı kadar yanlışın nedeni de izlenirse bir sonraki çalışmada zaman daha bilinçli kullanılır.

11. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, üniversite sınavı temelini de desteklediği için her çözümden sonra kısa not çıkarmak faydalıdır.

Doğru sayısı kadar yanlışın nedeni de izlenirse bir sonraki çalışmada zaman daha bilinçli kullanılır.

Test seç

23 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test 17. Test 18. Test 19. Test 20. Test 21. Test 22. Test 23. Test

23. Test

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Test 23 için 10 soruluk online yazılı testi.

Her soru için doğru seçeneği işaretleyin.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Verilen parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Düzgün dokuzgenin bir dış açısı kaç derecedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin $Im (z) > 0$ koşulunu sağlayan köklerinin çarpımı kaçtır?
$z^{4} = 16 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Bulacağımız çarpım değeri B şıkkındaki ifadeye eşit çıkarsa, doğru cevap B’dir. Verilen denklem: z 4 = 16 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) Sağ tarafın kutupsal (trigonometrik) biçimi hazırdır. Dördüncü dereceden kökleri alacağız. Modülün dördüncü dereceden kökü: 16 1 4 = 2 Açıların (argümanların) dördüncü dereceden kökleri için genel formül: z = 2 ( cos ⁡ π 3 + 2 k π 4 + i sin ⁡ π 3 + 2 k π 4 ) Buradan açı sadeleşir: π 3 4 = π 12 Dolayısıyla kökler (k değerlerine göre): z = 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 13 π 12 + i sin ⁡ 13 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 19 π 12 + i sin ⁡ 19 π 12 ) Koşul: İmajiner kısmı pozitif olan kökler seçilecek. Im ⁡ z > 0 İmajiner kısmın pozitif olması için açıların aralığı: 0 < θ < π Bu aralıkta kalan açılar: π 12, 7 π 12 İstenen çarpım (bu iki kökün çarpımı): 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ) ⋅ 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ) Trigonometrik biçimde çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır: 4 ( cos ⁡ π + 7 π 12 + i sin ⁡ π + 7 π 12 ) Açı sadeleşmesi: π + 7 π 12 = 8 π 12 = 2 π 3 Değeri bulalım: 4 ( cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 ) = 4 ( - 1 2 + i 3 2 ) = -2 + 2 i 3 Sonuç B şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap: B.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Bulacağımız çarpım değeri B şıkkındaki ifadeye eşit çıkarsa, doğru cevap B’dir. Verilen denklem: z 4 = 16 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) Sağ tarafın kutupsal (trigonometrik) biçimi hazırdır. Dördüncü dereceden kökleri alacağız. Modülün dördüncü dereceden kökü: 16 1 4 = 2 Açıların (argümanların) dördüncü dereceden kökleri için genel formül: z = 2 ( cos ⁡ π 3 + 2 k π 4 + i sin ⁡ π 3 + 2 k π 4 ) Buradan açı sadeleşir: π 3 4 = π 12 Dolayısıyla kökler (k değerlerine göre): z = 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 13 π 12 + i sin ⁡ 13 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 19 π 12 + i sin ⁡ 19 π 12 ) Koşul: İmajiner kısmı pozitif olan kökler seçilecek. Im ⁡ z > 0 İmajiner kısmın pozitif olması için açıların aralığı: 0 < θ < π Bu aralıkta kalan açılar: π 12, 7 π 12 İstenen çarpım (bu iki kökün çarpımı): 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ) ⋅ 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ) Trigonometrik biçimde çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır: 4 ( cos ⁡ π + 7 π 12 + i sin ⁡ π + 7 π 12 ) Açı sadeleşmesi: π + 7 π 12 = 8 π 12 = 2 π 3 Değeri bulalım: 4 ( cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 ) = 4 ( - 1 2 + i 3 2 ) = -2 + 2 i 3 Sonuç B şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap: B.

1) Şık kontrolü: Bulacağımız çarpım değeri B şıkkındaki ifadeye eşit çıkarsa, doğru cevap B’dir.

Verilen denklem:

z^{4} = 16 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))

Sağ tarafın kutupsal (trigonometrik) biçimi hazırdır. Dördüncü dereceden kökleri alacağız.

Modülün dördüncü dereceden kökü:

16^{\frac{1}{4}} = 2

Açıların (argümanların) dördüncü dereceden kökleri için genel formül:

z = 2 (\cos (\frac{\frac{π}{3}}{+}, 4) + i \sin (\frac{\frac{π}{3}}{+}, 4))

Buradan açı sadeleşir:

\frac{\frac{π}{3}}{4} = \frac{π}{12}

Dolayısıyla kökler (k değerlerine göre):

z = 2 (\cos (\frac{π}{12}) + i \sin (\frac{π}{12})), z = 2 (\cos (\frac{7}{π}) + i \sin (\frac{7}{π})), z = 2 (\cos (\frac{13}{π}) + i \sin (\frac{13}{π})), z = 2 (\cos (\frac{19}{π}) + i \sin (\frac{19}{π}))

Koşul: İmajiner kısmı pozitif olan kökler seçilecek.

Im (z) > 0

İmajiner kısmın pozitif olması için açıların aralığı:

0 < θ < π

Bu aralıkta kalan açılar:

\frac{π}{12}, \frac{7}{π}

İstenen çarpım (bu iki kökün çarpımı):

2 (\cos (\frac{π}{12}) + i \sin (\frac{π}{12})) \cdot 2 (\cos (\frac{7}{π}) + i \sin (\frac{7}{π}))

Trigonometrik biçimde çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır:

4 (\cos (\frac{π + 7 π}{12}) + i \sin (\frac{π + 7 π}{12}))

Açı sadeleşmesi:

\frac{π + 7 π}{12} = \frac{8}{π} = \frac{2}{π}

Değeri bulalım:

4 (\cos (\frac{2}{π}) + i \sin (\frac{2}{π})) = 4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2 i \sqrt{3}

Sonuç B şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap: B.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
$y = 2 x^{2} - 4 x + 1$
Bu parabolün tepe noktasının apsisi kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolünün tepe noktası $x$ -ekseni üzerindedir.
$y = x + 1$ doğrusu, parabolün $x = 1$ noktasında teğetidir.
$a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Tepe noktasının x-ekseni üzerinde olması, tepe noktasının y-değerinin 0 olduğu anlamına gelir. Parabolün tepe noktasının ordinatı (y-değeri): y t = 4 a c - b 2 4 a Tepe noktası x - e k s e n i üzerinde olduğundan: y t = 0 Buradan: 4 a c - b 2 4 a = 0 Pay sıfır olmalıdır: 4 a c - b 2 = 0 Yani: b 2 = 4 a c Verilen doğru: y = x + 1 Bu doğru, parabolün x=1 noktasında teğeti olduğuna göre iki koşul vardır: 1) Noktadan geçme (x=1 için y değerleri eşit): a 1 2 + b · 1 + c = 1 + 1 Buradan: a + b + c = 2 2) Eğimlerin eşitliği (teğet eğimi doğrunun eğimi olan 1 olmalı): Parabolün türevi: d y d x = 2 a x + b x=1 için eğim: 2 a · 1 + b = 1 Yani: 2 a + b = 1 Bu iki denklemden önce b ve c ’yi a cinsinden yazalım. Eğim denkleminden: b = 1 - 2 a Noktadan geçme denkleminden: c = 2 - a - b b yerine yazalım: c = 2 - a - ( 1 - 2 a ) Düzenlersek: c = 1 + a Şimdi tepe noktası koşulu olan b 2 = 4 a c denkleminde yerine yazalım: ( 1 - 2 a ) 2 = 4 a ( 1 + a ) Açalım: 1 - 4 a + 4 a 2 = 4 a + 4 a 2 Her iki taraftan 4 a 2 terimleri gider: 1 - 4 a = 4 a Buradan: 1 = 8 a Sonuç: a = 1 8 Kontrol: Bulunan değer şıklarda seçeneğiC1119dir. Yani doğru cevap C1139.

Çözüm: Tepe noktasının x-ekseni üzerinde olması, tepe noktasının y-değerinin 0 olduğu anlamına gelir. Parabolün tepe noktasının ordinatı (y-değeri): y t = 4 a c - b 2 4 a Tepe noktası x - e k s e n i üzerinde olduğundan: y t = 0 Buradan: 4 a c - b 2 4 a = 0 Pay sıfır olmalıdır: 4 a c - b 2 = 0 Yani: b 2 = 4 a c Verilen doğru: y = x + 1 Bu doğru, parabolün x=1 noktasında teğeti olduğuna göre iki koşul vardır: 1) Noktadan geçme (x=1 için y değerleri eşit): a 1 2 + b · 1 + c = 1 + 1 Buradan: a + b + c = 2 2) Eğimlerin eşitliği (teğet eğimi doğrunun eğimi olan 1 olmalı): Parabolün türevi: d y d x = 2 a x + b x=1 için eğim: 2 a · 1 + b = 1 Yani: 2 a + b = 1 Bu iki denklemden önce b ve c ’yi a cinsinden yazalım. Eğim denkleminden: b = 1 - 2 a Noktadan geçme denkleminden: c = 2 - a - b b yerine yazalım: c = 2 - a - ( 1 - 2 a ) Düzenlersek: c = 1 + a Şimdi tepe noktası koşulu olan b 2 = 4 a c denkleminde yerine yazalım: ( 1 - 2 a ) 2 = 4 a ( 1 + a ) Açalım: 1 - 4 a + 4 a 2 = 4 a + 4 a 2 Her iki taraftan 4 a 2 terimleri gider: 1 - 4 a = 4 a Buradan: 1 = 8 a Sonuç: a = 1 8 Kontrol: Bulunan değer şıklarda seçeneğiC1119dir. Yani doğru cevap C1139.

Tepe noktasının x-ekseni üzerinde olması, tepe noktasının y-değerinin 0 olduğu anlamına gelir.

Parabolün tepe noktasının ordinatı (y-değeri):

$y_{t} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$

Tepe noktası $x - e k s e n i$ üzerinde olduğundan:

$y_{t} = 0$

Buradan:

$\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = 0$

Pay sıfır olmalıdır:

$4 a c - b^{2} = 0$

Yani:

$b^{2} = 4 a c$

Verilen doğru:

$y = x + 1$

Bu doğru, parabolün x=1 noktasında teğeti olduğuna göre iki koşul vardır:

1) Noktadan geçme (x=1 için y değerleri eşit):

$a 1^{2} + b \cdot 1 + c = 1 + 1$

Buradan:

$a + b + c = 2$

2) Eğimlerin eşitliği (teğet eğimi doğrunun eğimi olan 1 olmalı):

Parabolün türevi:

$\frac{d y}{d x} = 2 a x + b$

x=1 için eğim:

$2 a \cdot 1 + b = 1$

Yani:

$2 a + b = 1$

Bu iki denklemden önce b ve c’yi a cinsinden yazalım.

Eğim denkleminden:

$b = 1 - 2 a$

Noktadan geçme denkleminden:

$c = 2 - a - b$

b yerine yazalım:

$c = 2 - a - (1 - 2 a)$

Düzenlersek:

$c = 1 + a$

Şimdi tepe noktası koşulu olan

$b^{2} = 4 a c$

denkleminde yerine yazalım:

${(1 - 2 a)}^{2} = 4 a (1 + a)$

Açalım:

$1 - 4 a + 4 a^{2} = 4 a + 4 a^{2}$

Her iki taraftan $4 a^{2}$ terimleri gider:

$1 - 4 a = 4 a$

Buradan:

$1 = 8 a$

Sonuç:

$a = \frac{1}{8}$

Kontrol: Bulunan değer şıklarda A seçeneğidir. Yani doğru cevap A.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda
$f (x) = x^{2} + a x + b$
parabolü ile
$y = 2 x + 3$
doğrusu teğettir ve teğet noktasının apsisi $x > 0$ koşulunu sağlar. Ayrıca parabol $(1, 6)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktasının ordinatı $k$ ise $k$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen parabol ve doğru: f ( x ) = x 2 + a x + b y = 2 x + 3 Teğetlik için, parabol ile doğruyu eşitleyip tek (çift katlı) kök elde etmeliyiz. x 2 + a x + b = 2 x + 3 x 2 + ( a - 2 ) x + ( b - 3 ) = 0 Teğetlik koşulu: diskriminant sıfır olmalı. a - 2 2 - 4 ( b - 3 ) = 0 Parabolün (1,6) noktasından geçmesi: f ( 1 ) = 6 1 2 + a + b = 6 a + b = 5 b = 5 - a Bunu diskriminant denkleminde yerine yazalım: a - 2 2 - 4 ( ( 5 - a ) - 3 ) = 0 a - 2 2 - 4 ( 2 - a ) = 0 Düzenlemek için t = a - 2 olacak şekilde yazalım. Bu durumda 2 - a = - ( a - 2 ) = - t Diskriminant denklemi: t 2 - 4 ( - t ) = 0 t 2 + 4 t = 0 t ( t + 4 ) = 0 t = 0 veya t = - 4 a - 2 = 0 veya a - 2 = - 4 a = 2 veya a = - 2 Teğet noktasının apsisi pozitif olmalı. Teğetlikte çift katlı kök: x = - a - 2 2 Seçenekleri kontrol edelim: a = 2 ⇒ x = 0 a = - 2 ⇒ x = 2 Koşul x > 0 olduğundan a = - 2 Buradan b = 5 - ( - 2 ) = 7 Tepe noktasının apsisi: x = - a 2 x = - - 2 2 = 1 Tepe noktasının ordinatı k = f ( 1 ) Zaten parabolün ( 1, 6 ) noktasından geçtiği verilmişti, dolayısıyla: k = 6 Sonuç: Doğru cevap B1070 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen parabol ve doğru: f ( x ) = x 2 + a x + b y = 2 x + 3 Teğetlik için, parabol ile doğruyu eşitleyip tek (çift katlı) kök elde etmeliyiz. x 2 + a x + b = 2 x + 3 x 2 + ( a - 2 ) x + ( b - 3 ) = 0 Teğetlik koşulu: diskriminant sıfır olmalı. a - 2 2 - 4 ( b - 3 ) = 0 Parabolün (1,6) noktasından geçmesi: f ( 1 ) = 6 1 2 + a + b = 6 a + b = 5 b = 5 - a Bunu diskriminant denkleminde yerine yazalım: a - 2 2 - 4 ( ( 5 - a ) - 3 ) = 0 a - 2 2 - 4 ( 2 - a ) = 0 Düzenlemek için t = a - 2 olacak şekilde yazalım. Bu durumda 2 - a = - ( a - 2 ) = - t Diskriminant denklemi: t 2 - 4 ( - t ) = 0 t 2 + 4 t = 0 t ( t + 4 ) = 0 t = 0 veya t = - 4 a - 2 = 0 veya a - 2 = - 4 a = 2 veya a = - 2 Teğet noktasının apsisi pozitif olmalı. Teğetlikte çift katlı kök: x = - a - 2 2 Seçenekleri kontrol edelim: a = 2 ⇒ x = 0 a = - 2 ⇒ x = 2 Koşul x > 0 olduğundan a = - 2 Buradan b = 5 - ( - 2 ) = 7 Tepe noktasının apsisi: x = - a 2 x = - - 2 2 = 1 Tepe noktasının ordinatı k = f ( 1 ) Zaten parabolün ( 1, 6 ) noktasından geçtiği verilmişti, dolayısıyla: k = 6 Sonuç: Doğru cevap B1070 şıkkıdır.

Verilen parabol ve doğru:

f (x) = x^{2} + a x + b

y = 2 x + 3

Teğetlik için, parabol ile doğruyu eşitleyip tek (çift katlı) kök elde etmeliyiz.

x^{2} + a x + b = 2 x + 3

x^{2} + (a - 2) x + (b - 3) = 0

Teğetlik koşulu: diskriminant sıfır olmalı.

{a - 2}^{2} - 4 (b - 3) = 0

Parabolün (1,6) noktasından geçmesi:

f (1) = 6

1^{2} + a + b = 6

a + b = 5

b = 5 - a

Bunu diskriminant denkleminde yerine yazalım:

{a - 2}^{2} - 4 ((5 - a) - 3) = 0

{a - 2}^{2} - 4 (2 - a) = 0

Düzenlemek için

t = a - 2

olacak şekilde yazalım. Bu durumda

2 - a = - (a - 2) = - t

Diskriminant denklemi:

t^{2} - 4 (- t) = 0

t^{2} + 4 t = 0

t (t + 4) = 0

t = 0 veya t = - 4

a - 2 = 0 veya a - 2 = - 4

a = 2 veya a = - 2

Teğet noktasının apsisi pozitif olmalı. Teğetlikte çift katlı kök:

x = - \frac{a - 2}{2}

Seçenekleri kontrol edelim:

a = 2 \Rightarrow x = 0

a = - 2 \Rightarrow x = 2

Koşul

x > 0

olduğundan

a = - 2

Buradan

b = 5 - (- 2) = 7

Tepe noktasının apsisi:

x = - \frac{a}{2}

x = - \frac{- 2}{2} = 1

Tepe noktasının ordinatı

k = f (1)

Zaten parabolün

(1, 6)

noktasından geçtiği verilmişti, dolayısıyla:

k = 6

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek sayılar $p$ ve $q$ için
$y = x^{2} + p x + q$
parabolünün $x = 1$ noktasındaki teğeti $(0, 3)$ noktasından geçiyor ve parabol $(2, 1)$ noktasından geçiyorsa, tepe noktasının $y$ koordinatı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Türev (eğim fonksiyonu): d y d x = 2 x + p Teğet, x = 1 noktasında alındığı için eğim: m = 2 + p Parabolün x = 1 noktasındaki değeri: f ( 1 ) = 1 2 + p + q = 1 + p + q Teğet denklemi: y - f ( 1 ) = m ( x - 1 ) yerine yazalım: y - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( x - 1 ) Teğet doğrusu ( 0, 3 ) noktasından geçtiğine göre x = 0, y = 3 yazalım: 3 - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( 0 - 1 ) Düzenleyelim: 3 - 1 - p - q = - ( 2 + p ) 2 - p - q = - 2 - p 2 - q = - 2 q = 4 Parabol ( 2, 1 ) noktasından geçtiği için: f ( 2 ) = 1 yerine yazalım: 2 2 + p ( 2 ) + q = 1 4 + 2 p + 4 = 1 8 + 2 p = 1 2 p = - 7 p = - 7 2 Tepe noktasının x koordinatı ( a = 1, b = p ): x _ t = - b 2 a = - p 2 x _ t = - - 7 2 2 = 7 4 Tepe noktasının y koordinatı: y _ t = f ( 7 4 ) y _ t = 7 4 2 + ( - 7 2 ) 7 4 + 4 y _ t = 49 16 - 49 8 + 4 y _ t = 49 16 - 98 16 + 64 16 y _ t = 15 16 Sonuç: Doğru seçenek B ve tepe noktasının y -koordinatı yukarıdaki değerdir.

Çözüm: Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Türev (eğim fonksiyonu): d y d x = 2 x + p Teğet, x = 1 noktasında alındığı için eğim: m = 2 + p Parabolün x = 1 noktasındaki değeri: f ( 1 ) = 1 2 + p + q = 1 + p + q Teğet denklemi: y - f ( 1 ) = m ( x - 1 ) yerine yazalım: y - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( x - 1 ) Teğet doğrusu ( 0, 3 ) noktasından geçtiğine göre x = 0, y = 3 yazalım: 3 - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( 0 - 1 ) Düzenleyelim: 3 - 1 - p - q = - ( 2 + p ) 2 - p - q = - 2 - p 2 - q = - 2 q = 4 Parabol ( 2, 1 ) noktasından geçtiği için: f ( 2 ) = 1 yerine yazalım: 2 2 + p ( 2 ) + q = 1 4 + 2 p + 4 = 1 8 + 2 p = 1 2 p = - 7 p = - 7 2 Tepe noktasının x koordinatı ( a = 1, b = p ): x _ t = - b 2 a = - p 2 x _ t = - - 7 2 2 = 7 4 Tepe noktasının y koordinatı: y _ t = f ( 7 4 ) y _ t = 7 4 2 + ( - 7 2 ) 7 4 + 4 y _ t = 49 16 - 49 8 + 4 y _ t = 49 16 - 98 16 + 64 16 y _ t = 15 16 Sonuç: Doğru seçenek B ve tepe noktasının y -koordinatı yukarıdaki değerdir.

Verilen parabol:

y = x^{2} + p x + q

Türev (eğim fonksiyonu):

\frac{d y}{d x} = 2 x + p

Teğet,

x = 1

noktasında alındığı için eğim:

m = 2 + p

Parabolün

x = 1

noktasındaki değeri:

f (1) = 1^{2} + p + q = 1 + p + q

Teğet denklemi:

y - f (1) = m (x - 1)

yerine yazalım:

y - (1 + p + q) = (2 + p) (x - 1)

Teğet doğrusu

(0, 3)

noktasından geçtiğine göre

x = 0, y = 3

yazalım:

3 - (1 + p + q) = (2 + p) (0 - 1)

Düzenleyelim:

3 - 1 - p - q = - (2 + p)

2 - p - q = - 2 - p

2 - q = - 2

q = 4

Parabol

(2, 1)

noktasından geçtiği için:

f (2) = 1

yerine yazalım:

2^{2} + p (2) + q = 1

4 + 2 p + 4 = 1

8 + 2 p = 1

2 p = - 7

p = - \frac{7}{2}

Tepe noktasının

x

koordinatı (

a = 1, b = p

x_t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{p}{2}

x_t = - \frac{- \frac{7}{2}}{2} = \frac{7}{4}

Tepe noktasının

y

koordinatı:

y_t = f (\frac{7}{4})

y_t = {\frac{7}{4}}^{2} + (- \frac{7}{2}) \frac{7}{4} + 4

y_t = \frac{49}{16} - \frac{49}{8} + 4

y_t = \frac{49}{16} - \frac{98}{16} + \frac{64}{16}

y_t = \frac{15}{16}

Sonuç: Doğru seçenek

B

ve tepe noktasının y-koordinatı yukarıdaki değerdir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $f (x) = a x^{2} + b x + c$ parabolü için $f (2)$ değerini bulunuz.
$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusu $(0, 0)$ noktasından geçmektedir.
Parabol $(0, 1)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçmesi: f ( 0 ) = 1 c = 1 x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun ( 0, 0 ) noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım: y = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x - 1 ) Bu doğru ( 0, 0 ) noktasından geçtiği için x = 0 yazalım: 0 = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 - 1 ) f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) ve f ′ ( 1 ) değerlerini bulalım: f ( 1 ) = a + b + c f ′ ( x ) = 2 a x + b f ′ ( 1 ) = 2 a + b c = 1 olduğundan eşitliği yazalım: a + b + 1 = 2 a + b a = 1 Böylece parabol: f ( x ) = x 2 + b x + 1 Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a x t = - b 2 Tepe noktasının y koordinatı: y t = f ( - b 2 ) y t = - b 2 2 + b - b 2 + 1 y t = b 2 4 - b 2 2 + 1 y t = 1 - b 2 4 Tepe noktası y = x doğrusu üzerinde olduğundan: y t = x t 1 - b 2 4 = - b 2 Her iki tarafı 4 ile çarpalım: 4 - b 2 = - 2 b b 2 - 2 b - 4 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: b = 2 ± 2 2 + 16 2 b = 2 ± 20 2 b = 2 ± 2 5 2 b = 1 ± 5 Tepe noktası birinci bölgede olduğundan x t > 0 olmalı: x t = - b 2 > 0 b < 0 Bu yüzden negatif olan kök seçilir: b = 1 - 5 Şimdi f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 + b · 2 + 1 f ( 2 ) = 4 + 2 b + 1 f ( 2 ) = 5 + 2 ( 1 - 5 ) f ( 2 ) = 7 - 2 5 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1342 seçeneğidir: 7 - 2 5

Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçmesi: f ( 0 ) = 1 c = 1 x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun ( 0, 0 ) noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım: y = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x - 1 ) Bu doğru ( 0, 0 ) noktasından geçtiği için x = 0 yazalım: 0 = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 - 1 ) f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) ve f ′ ( 1 ) değerlerini bulalım: f ( 1 ) = a + b + c f ′ ( x ) = 2 a x + b f ′ ( 1 ) = 2 a + b c = 1 olduğundan eşitliği yazalım: a + b + 1 = 2 a + b a = 1 Böylece parabol: f ( x ) = x 2 + b x + 1 Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a x t = - b 2 Tepe noktasının y koordinatı: y t = f ( - b 2 ) y t = - b 2 2 + b - b 2 + 1 y t = b 2 4 - b 2 2 + 1 y t = 1 - b 2 4 Tepe noktası y = x doğrusu üzerinde olduğundan: y t = x t 1 - b 2 4 = - b 2 Her iki tarafı 4 ile çarpalım: 4 - b 2 = - 2 b b 2 - 2 b - 4 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: b = 2 ± 2 2 + 16 2 b = 2 ± 20 2 b = 2 ± 2 5 2 b = 1 ± 5 Tepe noktası birinci bölgede olduğundan x t > 0 olmalı: x t = - b 2 > 0 b < 0 Bu yüzden negatif olan kök seçilir: b = 1 - 5 Şimdi f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 + b · 2 + 1 f ( 2 ) = 4 + 2 b + 1 f ( 2 ) = 5 + 2 ( 1 - 5 ) f ( 2 ) = 7 - 2 5 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1342 seçeneğidir: 7 - 2 5

Verilen parabol:

f (x) = a x^{2} + b x + c

Parabolün $(0, 1)$ noktasından geçmesi:

f (0) = 1

c = 1

$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusunun $(0, 0)$ noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım:

y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1)

Bu doğru $(0, 0)$ noktasından geçtiği için $x = 0$ yazalım:

0 = f (1) + f^{'} (1) (0 - 1)

f (1) = f^{'} (1)

$f (1)$ ve $f^{'} (1)$ değerlerini bulalım:

f (1) = a + b + c

f^{'} (x) = 2 a x + b

f^{'} (1) = 2 a + b

$c = 1$ olduğundan eşitliği yazalım:

a + b + 1 = 2 a + b

a = 1

Böylece parabol:

f (x) = x^{2} + b x + 1

Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının $x$ koordinatı:

x_{t} = \frac{- b}{2 a}

x_{t} = \frac{- b}{2}

Tepe noktasının $y$ koordinatı:

y_{t} = f (\frac{- b}{2})

y_{t} = {\frac{- b}{2}}^{2} + b \frac{- b}{2} + 1

y_{t} = \frac{b^{2}}{4} - \frac{b^{2}}{2} + 1

y_{t} = 1 - \frac{b^{2}}{4}

Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerinde olduğundan:

y_{t} = x_{t}

1 - \frac{b^{2}}{4} = \frac{- b}{2}

Her iki tarafı $4$ ile çarpalım:

4 - b^{2} = - 2 b

b^{2} - 2 b - 4 = 0

İkinci dereceden denklemi çözelim:

b = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} + 16}}{2}

b = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}

b = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

b = 1 \pm \sqrt{5}

Tepe noktası birinci bölgede olduğundan $x_{t} > 0$ olmalı:

x_{t} = \frac{- b}{2} > 0

b < 0

Bu yüzden negatif olan kök seçilir:

b = 1 - \sqrt{5}

Şimdi $f (2)$ hesaplayalım:

f (2) = 2^{2} + b \cdot 2 + 1

f (2) = 4 + 2 b + 1

f (2) = 5 + 2 (1 - \sqrt{5})

f (2) = 7 - 2 \sqrt{5}

Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A seçeneğidir:

7 - 2 \sqrt{5}

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

Önceki testSonraki test

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

İlgili 11. sınıf Matematik konu testleri

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

Verilen parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?f(x)=x2−4x+1

Düzgün dokuzgenin bir dış açısı kaç derecedir?

Aşağıdaki denklemin Im⁡z>0 koşulunu sağlayan köklerinin çarpımı kaçtır?z4=16(cos⁡π3+isin⁡π3)

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:y=2x2-4x+1Bu parabolün tepe noktasının apsisi kaçtır?

y=ax2+bx+c parabolünün tepe noktası x-ekseni üzerindedir.y=x+1 doğrusu, parabolün x=1 noktasında teğetidir.a kaçtır?

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?y=2(x-1)2-8

Aşağıdaf(x)=x2+ax+bparabolü iley=2x+3doğrusu teğettir ve teğet noktasının apsisi x>0 koşulunu sağlar. Ayrıca parabol (1,6) noktasından geçmektedir.Tepe noktasının ordinatı k ise k kaçtır?

Gerçek sayılar p ve q içiny=x2+px+qparabolünün x=1 noktasındaki teğeti 0,3 noktasından geçiyor ve parabol 2,1 noktasından geçiyorsa, tepe noktasının y koordinatı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan f(x)=ax2+bx+c parabolü için f(2) değerini bulunuz.x=1 noktasındaki teğet doğrusu (0,0) noktasından geçmektedir.Parabol (0,1) noktasından geçmektedir.Tepe noktası y=x doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?f(x)=2x2−8x+3

Verilen parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

Aşağıdaki denklemin $Im (z) > 0$ koşulunu sağlayan köklerinin çarpımı kaçtır?
$z^{4} = 16 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
$y = 2 x^{2} - 4 x + 1$
Bu parabolün tepe noktasının apsisi kaçtır?

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolünün tepe noktası $x$ -ekseni üzerindedir.
$y = x + 1$ doğrusu, parabolün $x = 1$ noktasında teğetidir.
$a$ kaçtır?

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Aşağıda
$f (x) = x^{2} + a x + b$
parabolü ile
$y = 2 x + 3$
doğrusu teğettir ve teğet noktasının apsisi $x > 0$ koşulunu sağlar. Ayrıca parabol $(1, 6)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktasının ordinatı $k$ ise $k$ kaçtır?

Gerçek sayılar $p$ ve $q$ için
$y = x^{2} + p x + q$
parabolünün $x = 1$ noktasındaki teğeti $(0, 3)$ noktasından geçiyor ve parabol $(2, 1)$ noktasından geçiyorsa, tepe noktasının $y$ koordinatı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $f (x) = a x^{2} + b x + c$ parabolü için $f (2)$ değerini bulunuz.
$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusu $(0, 0)$ noktasından geçmektedir.
Parabol $(0, 1)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$