11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

Soru: Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi istenir. x 2 - 5 x + 6 > 0 1) İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım. x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 2) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 3) Kritik noktalar (çarpanların sıfır olduğu yerler): x = 2, x = 3 4) İşaret incelemesi: • 2 'den küçük sayılarda iki çarpan da negatiftir, çarpım pozitiftir. x < 2 ⇒ ( x - 2 ) < 0, ( x - 3 ) < 0 ⇒ ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 • 2 ile 3 arasında bir çarpan negatif, diğeri pozitiftir; çarpım negatiftir. 2 < x < 3 ⇒ ( x - 2 ) > 0, ( x - 3 ) < 0 ⇒ ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 • 3 'ten büyük sayılarda iki çarpan da pozitiftir, çarpım pozitiftir. x > 3 ⇒ ( x - 2 ) > 0, ( x - 3 ) > 0 ⇒ ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 5) Eşitsizlik > 0 olduğu için, köklerin bulunduğu noktalar çözümde yoktur. x ≠ 2, x ≠ 3 6) Çözüm kümesi: ( - ∞, 2 ) ∪ ( 3, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Soru: Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi istenir. x 2 - 5 x + 6 > 0 1) İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım. x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 2) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 3) Kritik noktalar (çarpanların sıfır olduğu yerler): x = 2, x = 3 4) İşaret incelemesi: • 2 'den küçük sayılarda iki çarpan da negatiftir, çarpım pozitiftir. x < 2 ⇒ ( x - 2 ) < 0, ( x - 3 ) < 0 ⇒ ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 • 2 ile 3 arasında bir çarpan negatif, diğeri pozitiftir; çarpım negatiftir. 2 < x < 3 ⇒ ( x - 2 ) > 0, ( x - 3 ) < 0 ⇒ ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 • 3 'ten büyük sayılarda iki çarpan da pozitiftir, çarpım pozitiftir. x > 3 ⇒ ( x - 2 ) > 0, ( x - 3 ) > 0 ⇒ ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 5) Eşitsizlik > 0 olduğu için, köklerin bulunduğu noktalar çözümde yoktur. x ≠ 2, x ≠ 3 6) Çözüm kümesi: ( - ∞, 2 ) ∪ ( 3, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Piramit hacmi taban alanı·yükşeklik/3 = 30·9/3=90dır.

1. Adım 1: Taban alanı ile yükşekliği çarp.
2. Adım 2: 3e böl.

Doğru cevap: C

1) Verilenler: z = 2 − 3 i z ¯ = 2 + 3 i 2) İstenen çarpım: z · z ¯ 3) Yerine yazalım: ( 2 − 3 i ) · ( 2 + 3 i ) 4) Özdeşlik kullanalım: ( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b 2 5) Burada: a = 2 b = 3 i 6) Uygulayalım: 2 2 − 3 i 2 7) Kareleri hesaplayalım: 4 − 9 i 2 8) Bilinen değer: i 2 = − 1 9) Sonuç: 4 − 9 ( − 1 ) = 4 + 9 = 13 10) Doğru cevap: C327 şıkkı (13). Verilen “A” kontrolü doğrudur.

1. Çözüm: 1) Verilenler: z = 2 − 3 i z ¯ = 2 + 3 i 2) İstenen çarpım: z · z ¯ 3) Yerine yazalım: ( 2 − 3 i ) · ( 2 + 3 i ) 4) Özdeşlik kullanalım: ( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b 2 5) Burada: a = 2 b = 3 i 6) Uygulayalım: 2 2 − 3 i 2 7) Kareleri hesaplayalım: 4 − 9 i 2 8) Bilinen değer: i 2 = − 1 9) Sonuç: 4 − 9 ( − 1 ) = 4 + 9 = 13 10) Doğru cevap: C327 şıkkı (13). Verilen “A” kontrolü doğrudur.

Doğru cevap: D

Doğru şık A kontrolü: log 2 x - 1 = 3 Logaritma tanımına göre üstel forma çevir: x - 1 = 2 3 Üssü hesapla: x - 1 = 8 Her iki tarafa 1 ekle: x = 9 Sonuç: x = 9 Bu nedenle doğru cevap D170 şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru şık A kontrolü: log 2 x - 1 = 3 Logaritma tanımına göre üstel forma çevir: x - 1 = 2 3 Üssü hesapla: x - 1 = 8 Her iki tarafa 1 ekle: x = 9 Sonuç: x = 9 Bu nedenle doğru cevap D170 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Parabolün denklemi: y = a x 2 + b x + c Parabolün geçtiği noktalardan katsayıları bulalım. İlk olarak 0, 2 noktası için: 2 = a 0 2 + b · 0 + c c = 2 Şimdi 2, 0 noktası için: 0 = a 2 2 + b · 2 + c 0 = 4 a + 2 b + 2 0 = 2 a + b + 1 b = - 2 a - 1 Tepe noktasının apsisi: x = - b 2 a Bulduğumuz b = - 2 a - 1 değerini yerine yazalım: x = - - 2 a - 1 2 a = 2 a + 1 2 a Tepe noktasının ordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım: y = - Δ 4 a Δ = b 2 - 4 a c Burada c = 2 olduğundan: Δ = b 2 - 8 a Şimdi b = - 2 a - 1 için: b 2 = 2 a + 1 2 = 4 a 2 + 4 a + 1 Δ = 4 a 2 + 4 a + 1 - 8 a = 4 a 2 - 4 a + 1 Tepe ordinatı: y = - 4 a 2 - 4 a + 1 4 a = - a + 1 - 1 4 a Tepe noktası y = - x doğrusu üzerinde olduğuna göre tepe noktasında y = - x sağlanır. Tepe apsisi ve ordinatını eşleştirelim: - a + 1 - 1 4 a = - 2 a + 1 2 a Denklemi düzenleyelim: - a + 1 - 1 4 a = - 1 - 1 2 a - a + 2 + 1 2 a - 1 4 a = 0 - a + 2 + 1 4 a = 0 Paydaları yok edelim: 4 a ( - a + 2 ) + 1 = 0 - 4 a 2 + 8 a + 1 = 0 4 a 2 - 8 a - 1 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: a = 8 ± 8 2 - 4 · 4 · ( - 1 ) 2 · 4 a = 8 ± 64 + 16 8 = 8 ± 80 8 a = 8 ± 4 5 8 = 1 ± 5 2 Parabol yukarı doğru açıldığından a > 0 olmalıdır. Bu nedenle negatif olan kök elenir ve: a = 1 + 5 2 Sonuç: Doğru cevap seçeneği D’dır.

1. Çözüm: Parabolün denklemi: y = a x 2 + b x + c Parabolün geçtiği noktalardan katsayıları bulalım. İlk olarak 0, 2 noktası için: 2 = a 0 2 + b · 0 + c c = 2 Şimdi 2, 0 noktası için: 0 = a 2 2 + b · 2 + c 0 = 4 a + 2 b + 2 0 = 2 a + b + 1 b = - 2 a - 1 Tepe noktasının apsisi: x = - b 2 a Bulduğumuz b = - 2 a - 1 değerini yerine yazalım: x = - - 2 a - 1 2 a = 2 a + 1 2 a Tepe noktasının ordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım: y = - Δ 4 a Δ = b 2 - 4 a c Burada c = 2 olduğundan: Δ = b 2 - 8 a Şimdi b = - 2 a - 1 için: b 2 = 2 a + 1 2 = 4 a 2 + 4 a + 1 Δ = 4 a 2 + 4 a + 1 - 8 a = 4 a 2 - 4 a + 1 Tepe ordinatı: y = - 4 a 2 - 4 a + 1 4 a = - a + 1 - 1 4 a Tepe noktası y = - x doğrusu üzerinde olduğuna göre tepe noktasında y = - x sağlanır. Tepe apsisi ve ordinatını eşleştirelim: - a + 1 - 1 4 a = - 2 a + 1 2 a Denklemi düzenleyelim: - a + 1 - 1 4 a = - 1 - 1 2 a - a + 2 + 1 2 a - 1 4 a = 0 - a + 2 + 1 4 a = 0 Paydaları yok edelim: 4 a ( - a + 2 ) + 1 = 0 - 4 a 2 + 8 a + 1 = 0 4 a 2 - 8 a - 1 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: a = 8 ± 8 2 - 4 · 4 · ( - 1 ) 2 · 4 a = 8 ± 64 + 16 8 = 8 ± 80 8 a = 8 ± 4 5 8 = 1 ± 5 2 Parabol yukarı doğru açıldığından a > 0 olmalıdır. Bu nedenle negatif olan kök elenir ve: a = 1 + 5 2 Sonuç: Doğru cevap seçeneği D’dır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x 2 - ( k + 2 ) x + 2 k < 0 Çözüm kümesinin ( 1, 2 ) olması, parabolün (baş katsayısı pozitif olduğundan) kökleri arasında negatif olması demektir. Yani denklemin kökleri x = 1 ve x = 2 Bu durumda ikinci dereceden ifade şu şekilde çarpanlarına ayrılmalıdır: x 2 - ( k + 2 ) x + 2 k = ( x - 1 ) ( x - 2 ) Sağ tarafı açalım: ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x 2 - 3 x + 2 Katsayıları eşitleyelim. Önce x 'li terimin katsayısı: - ( k + 2 ) = - 3 k + 2 = 3 k = 1 Kontrol (sabit terim): 2 k = 2 k = 1 Sonuç: k = 1 Doğru seçenek C518 'dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - ( k + 2 ) x + 2 k < 0 Çözüm kümesinin ( 1, 2 ) olması, parabolün (baş katsayısı pozitif olduğundan) kökleri arasında negatif olması demektir. Yani denklemin kökleri x = 1 ve x = 2 Bu durumda ikinci dereceden ifade şu şekilde çarpanlarına ayrılmalıdır: x 2 - ( k + 2 ) x + 2 k = ( x - 1 ) ( x - 2 ) Sağ tarafı açalım: ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x 2 - 3 x + 2 Katsayıları eşitleyelim. Önce x 'li terimin katsayısı: - ( k + 2 ) = - 3 k + 2 = 3 k = 1 Kontrol (sabit terim): 2 k = 2 k = 1 Sonuç: k = 1 Doğru seçenek C518 'dır.

Doğru cevap: A

Küpün cisim köşegeni $a\sqrt3$tür; $5\sqrt3$.

1. Geometrik ilişkiyi seç: Üçgen, çember, çokgen veya katı cisimde verilen açı, uzunluk, alan ve hacim bilgilerini ayır.
2. Uygun bağıntıyı uygula: Sinüs alanı, kosinüs teoremi, benzerlik, çemberde kuvvet, alan-hacim veya yüzey alanı formülünü kullan.

Doğru cevap: A

Verilen: z = ( 3 + i ) ( 1 - 2 i ) Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için eşleniği ile çarpalım: z = ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Paydayı çarpalım (farklı kareler): ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 - 4 ( - 1 ) = 5 Payı çarpalım: ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + i + 2 i 2 = 3 + 7 i + 2 ( - 1 ) = 1 + 7 i Sonucu yazalım: z = 1 + 7 i 5 z = 1 5 + 7 5 i Reel kısım: Re ( z ) = 1 5 Doğru seçenek kontrolü: Reel kısım 1 5 olduğundan cevap A seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen: z = ( 3 + i ) ( 1 - 2 i ) Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için eşleniği ile çarpalım: z = ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Paydayı çarpalım (farklı kareler): ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 - 4 ( - 1 ) = 5 Payı çarpalım: ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + i + 2 i 2 = 3 + 7 i + 2 ( - 1 ) = 1 + 7 i Sonucu yazalım: z = 1 + 7 i 5 z = 1 5 + 7 5 i Reel kısım: Re ( z ) = 1 5 Doğru seçenek kontrolü: Reel kısım 1 5 olduğundan cevap A seçeneğidir.

Doğru cevap: D

Verilen eşitlik: log 2 ⁡ x + log x ⁡ 2 = 5 2 Dönüşüm için aşağıdaki tanımı yapalım: a = log 2 ⁡ x Logaritmanın terslik özelliğinden: log x ⁡ 2 = 1 log 2 ⁡ x = 1 a Yerine yazalım: a + 1 a = 5 2 Paydadan kurtarmak için her iki tarafı uygun şekilde çarpalım: 2 a ⁢ a + 1 a = 2 a ⁢ 5 2 Düzenleyelim: 2 a 2 + 2 = 5 a Tüm terimleri bir tarafa alalım: 2 a 2 - 5 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: 2 a - 1 a - 2 = 0 Buradan olası değerler: a = 1 2 a = 2 Şimdi a yerine geri dönelim. Tanımdan: a = log 2 ⁡ x Bu da şu anlama gelir: x = 2 a Birinci kök için: x = 2 1 2 = 2 Bu değer doğal sayı değildir. İkinci kök için: x = 2 2 = 4 Doğal sayı koşulunu sağlayan çözüm budur; dolayısıyla doğru seçenek D727 ’dir.

1. Çözüm: Verilen eşitlik: log 2 ⁡ x + log x ⁡ 2 = 5 2 Dönüşüm için aşağıdaki tanımı yapalım: a = log 2 ⁡ x Logaritmanın terslik özelliğinden: log x ⁡ 2 = 1 log 2 ⁡ x = 1 a Yerine yazalım: a + 1 a = 5 2 Paydadan kurtarmak için her iki tarafı uygun şekilde çarpalım: 2 a ⁢ a + 1 a = 2 a ⁢ 5 2 Düzenleyelim: 2 a 2 + 2 = 5 a Tüm terimleri bir tarafa alalım: 2 a 2 - 5 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: 2 a - 1 a - 2 = 0 Buradan olası değerler: a = 1 2 a = 2 Şimdi a yerine geri dönelim. Tanımdan: a = log 2 ⁡ x Bu da şu anlama gelir: x = 2 a Birinci kök için: x = 2 1 2 = 2 Bu değer doğal sayı değildir. İkinci kök için: x = 2 2 = 4 Doğal sayı koşulunu sağlayan çözüm budur; dolayısıyla doğru seçenek D727 ’dir.

Doğru cevap: D

Verilen parabol: y = 2 x 2 - 8 x + 3 Parabolde tepe noktasının x koordinatı formülle bulunur: x t = - b 2 a Burada katsayılar: a = 2, b = - 8, c = 3 Tepe noktasının x koordinatını hesaplayalım: x t = - ( - 8 ) 2 ⋅ 2 = 8 4 = 2 Şimdi x=2 için y değerini bulalım: y t = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 Hesaplayalım: y t = 2 ⋅ 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 Tepe noktası: ( x t, y t ) = ( 2, - 5 ) Şıklara göre bu sonuç şıkkıD422dır. Dolayısıyla “doğru cevap D447 mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap D482’dır.

1. Çözüm: Verilen parabol: y = 2 x 2 - 8 x + 3 Parabolde tepe noktasının x koordinatı formülle bulunur: x t = - b 2 a Burada katsayılar: a = 2, b = - 8, c = 3 Tepe noktasının x koordinatını hesaplayalım: x t = - ( - 8 ) 2 ⋅ 2 = 8 4 = 2 Şimdi x=2 için y değerini bulalım: y t = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 Hesaplayalım: y t = 2 ⋅ 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 Tepe noktası: ( x t, y t ) = ( 2, - 5 ) Şıklara göre bu sonuç şıkkıD422dır. Dolayısıyla “doğru cevap D447 mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap D482’dır.