TYT Matematik Rutin Olmayan Problemler Soru

İlk 6 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Tamamını çözmek, performansını takip etmek ve tekrar çalışmak için uygulamaya geçebilirsin.

Google PlayAndroid için indir App StoreiPhone ve iPad için indir

1. soru

TYT - Matematik - Orta Test - Rutin Olmayan Problemler 1 - 1

Doğru cevap: A

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı $11$ dir. Rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ artıyor. Bu sayı kaçtır?

47

56

65

74

Çözüm

Soru: İki basamaklı sayının rakamları toplamı ve yer değiştirince artma miktarı verilmiş. Seçenek A’nın doğru olup olmadığını denetleyelim ve sayıyı bulalım.

1) Sayıyı basamaklarına ayıralım.

Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı:

10 a + b

2) “Rakamları toplamı” bilgisini yazalım.

a + b = 11

3) Rakamlar yer değişince oluşan sayı:

10 b + a

4) “Yer değiştirince sayı artıyor” koşulunu denklemleştirelim.

10 b + a = 10 a + b + 27

5) Denklemi sadeleştirelim.

10 b + a = 10 a + b + 27

9 b - 9 a = 27

9 (b - a) = 27

b - a = 3

6) Sistemi çözelim.

a + b = 11

b = a + 3

a + (a + 3) = 11

2 a + 3 = 11

2 a = 8

a = 4

b = 7

7) Sayıyı yazalım ve seçeneği kontrol edelim.

10 a + b = 10 \cdot 4 + 7 = 47

Bulunan sayı seçeneklerde A şıkkıdır; yani A doğrudur.

2. soru

TYT - Matematik - Orta Test - Rutin Olmayan Problemler 1 - 2

Doğru cevap: C

Tahtada $1, 2, 3, \dots, 10$ sayıları yazılıdır.

Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine $x + y - 1$ yazılıyor.

Bu işlem tek sayı kalana kadar devam ettiğine göre, en son kalan sayı kaçtır?

44

45

46

47

Çözüm

İşlem: Tahtadan seçilen $x$ ve $y$ silinip yerlerine

x + y - 1

yazılıyor.

Adım 1 (Toplamın nasıl değiştiğini bulalım)

Tahtadaki sayıların toplamı $S$ olsun. Seçilen iki sayı silinince toplamdan

- x - y

kadar gider; yerine yazılan sayı eklenince

+ (x + y - 1)

kadar gelir.

Adım 2 (Her adımda toplamın bir azalması)

Yeni toplam:

S' = S - x - y + (x + y - 1)

Buradan:

S' = S - 1

Yani her adımda tahtadaki sayıların toplamı bir azalır.

Adım 3 (Başlangıç toplamı)

Başlangıçta tahtada

1 + 2 + 3 + \dots + 10

toplamı vardır:

1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

Adım 4 (Kaç adım yapılır?)

Her adımda sayı adedi bir azalır. Başta on sayı vardı, sonda bir sayı kalacak. Adım sayısı:

10 - 1 = 9

Adım 5 (Son sayı)

Toplam her adımda bir azaldığı için dokuz adım sonunda toplam:

55 - 9 = 46

Tek sayı kaldığında tahtadaki toplam, kalan sayının kendisine eşittir. Bu yüzden en son kalan sayı

46

olur.

Sonuç: Doğru seçenek C.

3. soru

TYT - Matematik - Orta Test - Rutin Olmayan Problemler 1 - 3

Doğru cevap: C

Bir öğrenci $1$ ’den $100$ ’e kadar olan tam sayıları yazıyor.

Yazdığı sayılardan kaç tanesinin içinde $7$ rakamı en az bir kez geçer?

17

18

19

20

Çözüm

İstenen: Birden yüze kadar yazılan tam sayılardan, içinde yedi rakamı en az bir kez geçenlerin sayısı. Seçenek C kontrol edilecek.

Kolay yol: “En az bir kez yedi geçsin” saymak yerine, tamamlayıcı olayı sayalım.

Yani: İçinde hiç yedi geçmeyen sayıların sayısını bulup toplamdan çıkaracağız.

Önce iki basamaklı yazımı standartlaştıralım: Baştaki sıfıra da izin vererek aşağıdaki aralığı düşünelim.

00 \dots 99

Bu listede toplam sayı adedi:

100

İçinde hiç yedi geçmemesi için:

• Onlar basamağı: yedi hariç on rakamdan biri seçilir → dokuz seçenek

• Birler basamağı: yine dokuz seçenek

Dolayısıyla hiç yedi içermeyen sayı sayısı:

9 \times 9 = 81

O hâlde en az bir kez yedi içeren sayı sayısı:

100 - 81 = 19

Asıl istenen aralık birden yüze kadardır.

• Baştaki sıfırla yazdığımız 00 sayısı yedi içermez, bu yüzden listeden çıkarılması sonucu değiştirmez.

• 100 sayısı da yedi içermez, bu yüzden sona eklenmesi de sonucu değiştirmez.

Dolayısıyla birden yüze kadar aralıkta da sonuç aynıdır:

19

Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

19

4. soru

TYT - Matematik - Orta Test - Rutin Olmayan Problemler 1 - 4

Doğru cevap: B

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ azalıyor.

Rakamları toplamı $11$ olduğuna göre sayı kaçtır?

47

74

83

65

Çözüm

İki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun.

(10 a + b)

Rakamlar yer değiştirince oluşan sayı:

(10 b + a)

“Yer değiştirince sayı 27 azalıyor” ifadesini denklemleştirelim:

10 b + a = 10 a + b - 27

Taraf tarafa sadeleştirelim:

10 b - b = 10 a - a - 27

9 b = 9 a - 27

Her iki tarafı 9’a bölelim:

b = a - 3

Rakamların toplamı 11 verilmişti:

a + b = 11

Yerine koyma yapalım:

a + (a - 3) = 11

2 a - 3 = 11

2 a = 14

a = 7

Buna göre:

b = a - 3 = 7 - 3 = 4

Sayı:

10 a + b = 10 \times 7 + 4 = 74

Kontrol: Şık B doğru mu?

74 \to 47

74 - 47 = 27

Evet, sayı 74 çıkar ve doğru cevap B’dir.

5. soru

TYT - Matematik - Orta Test - Rutin Olmayan Problemler 1 - 5

Doğru cevap: B

Bir kutuda $17$ beyaz ve $15$ siyah bilye vardır.

Her adımda kutudan rastgele $2$ bilye çekilip şu kurala göre geri bırakılıyor:

İki bilye aynı renkteyse kutuya $beyaz$ bilye bırakılır.
İki bilye farklı renkteyse kutuya $siyah$ bilye bırakılır.

Bu işlem kutuda tek bilye kalana kadar sürdürülürse, en son kalan bilyenin rengi ne olur?

Beyaz

Siyah

Rastgele seçime göre değişir

İşlem mutlaka tek bilye kalmadan biter

Çözüm

Doğru seçenek B (Siyah). Bunu bir değişmez (invariant) ile kontrol edelim.

1) Renkleri sayısal olarak kodlayalım:

Beyaz = 0 Siyah = 1

2) Verilen kurala göre iki bilyeden tek bilye üretme işlemi şu mantığa karşılık gelir: Aynıysa beyaz, farklıysa siyah. Bu da XOR (mod 2 toplamı) işlemidir.

Sonuç = a \oplus b

Bunu küçük bir tabloyla görebiliriz:

\begin{matrix} a & b & a \oplus b \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}

3) Değişmezi tanımlayalım: Kutudaki tüm bilyelerin XOR’u (yani siyahların parity’si, tek/çiftliği) değişmez.

I = x 1 \oplus x 2 \oplus \dots \oplus x n

4) Neden değişmez? Bir adımda iki bilye $a$ ve $b$ çıkarılıp yerine $a \oplus b$ konuyor. Toplam XOR şöyle değişir:

(a \oplus b \oplus R) \to ((a \oplus b) \oplus R)

Burada $R$ diğer bilyelerin XOR’udur. XOR birleşmeli olduğundan iki ifade eşittir; yani $I$ değişmez.

5) Başlangıçta siyah bilye sayısı tek/çift bakımından önemlidir. Siyahlar $1$ , beyazlar $0$ olduğundan toplam XOR, siyah sayısının $2$ ile bölümünden kalanına eşittir.

I = 15 mod 2 = 1

6) İşlem en sonunda tek bilye bırakır. Tek bilye kalınca XOR değeri o bilyenin değerine eşittir. Yani son bilye $1$ olmalıdır; bu da siyahtır.

Son bilye = Siyah

Sonuç: B seçeneği doğrudur.

6. soru

TYT - Matematik - Orta Test - Rutin Olmayan Problemler 2 - 1

Doğru cevap: A

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ artıyor. Bu sayının rakamları toplamı $11$ olduğuna göre sayı kaçtır?

47

74

38

65

Çözüm

Verilen iki basamaklı sayının onlar basamağı a, birler basamağı b olsun.

n = 10 a + b

Rakamlar yer değiştirince oluşan sayı:

n' = 10 b + a

Sayı, rakamları yer değiştirildiğinde yirmi yedi artıyormuş:

10 b + a = 10 a + b + 27

Düzenleyelim:

10 b - b = 10 a - a + 27

9 b = 9 a + 27

9 (b - a) = 27

b - a = 3

Rakamlar toplamı on bir olduğuna göre:

a + b = 11

Şimdi iki denklemi birlikte çözelim. b yerine a cinsinden yazalım:

b = a + 3

Bunu a + b = 11 denkleminde kullanalım:

a + (a + 3) = 11

2 a + 3 = 11

2 a = 8

a = 4

O hâlde:

b = 4 + 3 = 7

Sayı:

10 a + b = 10 \times 4 + 7 = 47

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Numicorn uygulaması

Rutin Olmayan Problemler çalışmasını uygulamada sürdür.

Sorularını çözdür, tekrarlarını takip et ve eksiklerini daha düzenli gör.

Soru çözümüKonu tekrarıGelişim takibi

Google PlayAndroid için indir App StoreiPhone ve iPad için indir