12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

12. sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı için 10 soruluk online yazılı testleri, cevap anahtarlı sorular ve konu karması çalışma içerikleri.

12. Sınıf Matematik 2. dönem 2. yazılı soruları, yıl sonu genel tekrar mantığıyla geniş bir kontrol alanı sağlar. Bu sınıf düzeyinde matematik, analiz konularını işlem disiplini ve grafik yorumu ile birlikte kullanmayı gerektirir. Bu sayfa, öğrencinin trigonometri, logaritma, diziler, limit, türev ve integral konularını düzenli işlem adımlarıyla çözme becerisini ölçmeye yardımcı olacak biçimde hazırlanmıştır. Konu dağılımı sınıflar bölümündeki güncel test havuzuyla uyumlu olduğu için yazılı öncesinde düzenli ve hedefli bir tekrar alanı sunar.

Bu yazılı kapsamında Matematik Trigonometri, Matematik Logaritma, Matematik Diziler, Matematik Limit başlıklarıyla başlayan ve Matematik Parabol, Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler, Matematik Karmaşık Sayılar konularına kadar genişleyen bir içerik vardır. Konuların birlikte verilmesi, öğrencinin tek bir soru tipine alışmasını engeller. Farklı kazanımlar aynı sınav atmosferinde çözüldüğünde hangi başlığın ek tekrar istediği daha hızlı fark edilir.

Matematikte çözüm yolunu yazmak, özellikle limit, türev ve integral sorularında hatayı görmeyi kolaylaştırır. Yanlışlar işlem, yöntem ve soruyu yorumlama başlıklarına ayrıldığında tekrar daha hedefli olur. bu çalışma son tekrar öncesinde hangi konu testlerine dönülmesi gerektiğini göstermek için kullanılabilir. Soruları çözerken süre tutmak, zorlanılan maddeleri işaretlemek ve çözüm sonunda yanlışları konu başlığına göre gruplamak verimli olur. Bu küçük analiz, tekrarın genel okumadan çıkıp doğrudan eksik kazanımlara yönelmesini sağlar.

Sayfanın altındaki ilgili konu testleri, yazılıdan sonra ayrıntılı pekiştirme yapmak için kullanılabilir. Matematik Trigonometri veya Matematik Logaritma gibi başlıklarda hata yapan öğrenciler doğrudan ilgili testlere geçerek aynı kazanımı farklı soru tipleriyle yeniden çalışabilir. Bu yaklaşım özellikle limit, türev ve integral gibi birikimli konularda eksikleri hızlıca görünür hale getirir.

12. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, mezuniyet yılı temposunda konu bütünlüğünü korumak için ayrıca önemlidir.

Doğru sayısı kadar yanlışın nedeni de izlenirse bir sonraki çalışmada zaman daha bilinçli kullanılır.

12. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, mezuniyet yılı temposunda konu bütünlüğünü korumak için ayrıca önemlidir.

Doğru sayısı kadar yanlışın nedeni de izlenirse bir sonraki çalışmada zaman daha bilinçli kullanılır.

12. sınıfta düzenli yazılı hazırlığı, mezuniyet yılı temposunda konu bütünlüğünü korumak için ayrıca önemlidir.

2. Test

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Test 2 için 10 soruluk online yazılı testi.

Her soru için doğru seçeneği işaretleyin.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şıkkı kontrol edelim. Aşağıdaki integralin değeri klasik bir sonuçtur ve ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x integrali - π 2 ln 2 çıkar. Bu da A şıkkıdır. Adım 1: İntegrale bir isim verelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 2 - t Bu durumda d x = - d t ve sınırlar x = 0 → t = π 2, x = π 2 → t = 0 olur. İntegral: I = ∫ π 2 0 ln ( sin ( π 2 - t ) ) ( - d t ) Buradan yön değiştirirsek: I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( π 2 - t ) ) d t ve sin ( π 2 - t ) = cos ( t ) olduğundan: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( t ) ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım (t yerine tekrar x yazabiliriz). I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( x ) ) d x Toplayınca: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( x ) ) + ln ( cos ( x ) ) ] d x Logaritma kuralı ile: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ⁢ cos ( x ) ) d x Adım 4: Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim. sin ( x ) ⁢ cos ( x ) = 1 2 sin ( 2 x ) O hâlde: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 sin ( 2 x ) ) d x Logaritmayı ayıralım: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) ] d x ve ln ( 1 2 ) = - ln 2 olduğundan: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - ∫ 0 π 2 ln 2 d x Adım 5: Sabit integralini ve ilk integrali dönüştürelim. Sabit integral: ∫ 0 π 2 ln 2 d x = ln 2 ( π 2 - 0 ) = π 2 ln 2 Diğer integral için u = 2 x alalım. O zaman d u = 2 d x ⇒ d x = 1 2 d u ve sınırlar x = 0 → u = 0, x = π 2 → u = π olur: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u Adım 6: Simetri ile ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u integralini I cinsinden yazalım. Dönüşüm: u → π - u ile sin ( π - u ) = sin ( u ) olduğundan integral ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 ∫ 0 π 2 ln ( sin ( u ) ) d u yani ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 I olur. Dolayısıyla: 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 1 2 ⋅ 2 I = I Adım 7: Hepsini yerine yazıp I’yi bulalım. Adım 4’te ulaştığımız ifade: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - π 2 ln 2 Burada ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = I bulmuştuk. O hâlde: 2 I = I - π 2 ln 2 Buradan I = - π 2 ln 2 sonucu çıkar. Sonuç: Doğru cevap - π 2 ln 2 olduğundan A şıkkı doğrudur.

Çözüm: Doğru şıkkı kontrol edelim. Aşağıdaki integralin değeri klasik bir sonuçtur ve ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x integrali - π 2 ln 2 çıkar. Bu da A şıkkıdır. Adım 1: İntegrale bir isim verelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 2 - t Bu durumda d x = - d t ve sınırlar x = 0 → t = π 2, x = π 2 → t = 0 olur. İntegral: I = ∫ π 2 0 ln ( sin ( π 2 - t ) ) ( - d t ) Buradan yön değiştirirsek: I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( π 2 - t ) ) d t ve sin ( π 2 - t ) = cos ( t ) olduğundan: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( t ) ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım (t yerine tekrar x yazabiliriz). I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( x ) ) d x Toplayınca: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( x ) ) + ln ( cos ( x ) ) ] d x Logaritma kuralı ile: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ⁢ cos ( x ) ) d x Adım 4: Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim. sin ( x ) ⁢ cos ( x ) = 1 2 sin ( 2 x ) O hâlde: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 sin ( 2 x ) ) d x Logaritmayı ayıralım: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) ] d x ve ln ( 1 2 ) = - ln 2 olduğundan: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - ∫ 0 π 2 ln 2 d x Adım 5: Sabit integralini ve ilk integrali dönüştürelim. Sabit integral: ∫ 0 π 2 ln 2 d x = ln 2 ( π 2 - 0 ) = π 2 ln 2 Diğer integral için u = 2 x alalım. O zaman d u = 2 d x ⇒ d x = 1 2 d u ve sınırlar x = 0 → u = 0, x = π 2 → u = π olur: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u Adım 6: Simetri ile ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u integralini I cinsinden yazalım. Dönüşüm: u → π - u ile sin ( π - u ) = sin ( u ) olduğundan integral ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 ∫ 0 π 2 ln ( sin ( u ) ) d u yani ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 I olur. Dolayısıyla: 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 1 2 ⋅ 2 I = I Adım 7: Hepsini yerine yazıp I’yi bulalım. Adım 4’te ulaştığımız ifade: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - π 2 ln 2 Burada ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = I bulmuştuk. O hâlde: 2 I = I - π 2 ln 2 Buradan I = - π 2 ln 2 sonucu çıkar. Sonuç: Doğru cevap - π 2 ln 2 olduğundan A şıkkı doğrudur.

Doğru şıkkı kontrol edelim. Aşağıdaki integralin değeri klasik bir sonuçtur ve

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

integrali

- \frac{π}{2} \ln 2

çıkar. Bu da A şıkkıdır.

Adım 1: İntegrale bir isim verelim.

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım.

x = \frac{π}{2} - t

Bu durumda

d x = - d t

ve sınırlar

x = 0 \to t = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{2} \to t = 0

olur. İntegral:

I = \int_{\frac{π}{2}}^{0} \ln (\sin (\frac{π}{2} - t)) (- d t)

Buradan yön değiştirirsek:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (\frac{π}{2} - t)) d t

\sin (\frac{π}{2} - t) = \cos (t)

olduğundan:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos (t)) d t

Adım 3: İki ifadeyi toplayalım (t yerine tekrar x yazabiliriz).

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos (x)) d x

Toplayınca:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\ln (\sin (x)) + \ln (\cos (x))] d x

Logaritma kuralı ile:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x) \cos (x)) d x

Adım 4: Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim.

\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x)

O hâlde:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{1}{2} \sin (2 x)) d x

Logaritmayı ayıralım:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\ln (\sin (2 x)) + \ln (\frac{1}{2})] d x

\ln (\frac{1}{2}) = - \ln 2

olduğundan:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln 2 d x

Adım 5: Sabit integralini ve ilk integrali dönüştürelim.

Sabit integral:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln 2 d x = \ln 2 (\frac{π}{2} - 0) = \frac{π}{2} \ln 2

Diğer integral için

u = 2 x

alalım. O zaman

d u = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d u

ve sınırlar

x = 0 \to u = 0, x = \frac{π}{2} \to u = π

olur:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u

Adım 6: Simetri ile

\int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u

integralini

I

cinsinden yazalım.

Dönüşüm:

u \to π - u

ile

\sin (π - u) = \sin (u)

olduğundan integral

\int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (u)) d u

yani

\int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u = 2 I

olur. Dolayısıyla:

\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u = \frac{1}{2} \cdot 2 I = I

Adım 7: Hepsini yerine yazıp I’yi bulalım.

Adım 4’te ulaştığımız ifade:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x - \frac{π}{2} \ln 2

Burada

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x = I

bulmuştuk. O hâlde:

2 I = I - \frac{π}{2} \ln 2

Buradan

I = - \frac{π}{2} \ln 2

sonucu çıkar.

Sonuç: Doğru cevap

- \frac{π}{2} \ln 2

olduğundan A şıkkı doğrudur.

2. SoruÇoktan Seçmeli

(1 + 3i)/(1 - i) işleminin sonucu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

log₂12 + log₂8 - log₂3 ifadesinin değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

y = x² parabolü 2 birim sağa ve 4 birim aşağı ötelenirse denklem ne olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bilginizi kullanarak aşağıdaki soruyu yanıtlayınız: sin²x+cos²x ifadesi neye eşittir?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyon için istenen türev değerini bulunuz.
$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$
$f' (1)$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

x² + 2x + 10 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$ dizisi veriliyor.
$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce şıkkı kontrol edelim: limit varsa, limiti denge (sabit) nokta denklemiyle bulacağız. Dizinin tanımı: a 1 = 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 İlk birkaç terimi hesaplayıp limitin hangi köke gideceğini sezebiliriz: a 2 = 1 + 3 1 + 1 = 2 a 3 = 2 + 3 2 + 1 = 5 3 Terimler pozitif görünüyor. Gerçekten de pozitiflik korunur: a n > 0 ⇒ a n + 1 = a n + 3 a n + 1 > 0 Ayrıca değerler bir aralıkta kalır (sınırlılık): a n > 0 ⇒ a n + 1 = 1 + 2 a n + 1 a n + 1 > 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 < a n + 3 1 < 3 + a n Yakınsaklığı netleştirmek için fonksiyonu yazalım ve türevle büzülme (contraction) gösterelim: f ( x ) = x + 3 x + 1 f ′ ( x ) = - 2 x + 1 2 Örneğin kapalı aralık olarak [1,3] seçersek: 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ | f ′ ( x ) | = 2 x + 1 2 ≤ 2 2 2 = 1 2 Bu, ardışık terimler arasındaki farkın en az yarıya indiğini gösterir (Ortalama Değer Teoremi ile): | a n + 1 - a n | = | f ( a n ) - f ( a n - 1 ) | ≤ 1 2 | a n - a n - 1 | Böylece farklar sıfıra gider ve dizi yakınsaktır. Yakınsaksa limiti L diyelim ve denklemi kuralım: lim n → ∞ a n = L L = L + 3 L + 1 Çözelim: L ( L + 1 ) = L + 3 L 2 + L = L + 3 L 2 = 3 L = ± 3 Hangi kök? Tüm terimler pozitif olduğundan limit de pozitif olmalı: a n > 0 ⇒ L > 0 ⇒ L = 3 Sonuç: Doğru cevap D1305 şıkkıdır.

Çözüm: Önce şıkkı kontrol edelim: limit varsa, limiti denge (sabit) nokta denklemiyle bulacağız. Dizinin tanımı: a 1 = 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 İlk birkaç terimi hesaplayıp limitin hangi köke gideceğini sezebiliriz: a 2 = 1 + 3 1 + 1 = 2 a 3 = 2 + 3 2 + 1 = 5 3 Terimler pozitif görünüyor. Gerçekten de pozitiflik korunur: a n > 0 ⇒ a n + 1 = a n + 3 a n + 1 > 0 Ayrıca değerler bir aralıkta kalır (sınırlılık): a n > 0 ⇒ a n + 1 = 1 + 2 a n + 1 a n + 1 > 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 < a n + 3 1 < 3 + a n Yakınsaklığı netleştirmek için fonksiyonu yazalım ve türevle büzülme (contraction) gösterelim: f ( x ) = x + 3 x + 1 f ′ ( x ) = - 2 x + 1 2 Örneğin kapalı aralık olarak [1,3] seçersek: 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ | f ′ ( x ) | = 2 x + 1 2 ≤ 2 2 2 = 1 2 Bu, ardışık terimler arasındaki farkın en az yarıya indiğini gösterir (Ortalama Değer Teoremi ile): | a n + 1 - a n | = | f ( a n ) - f ( a n - 1 ) | ≤ 1 2 | a n - a n - 1 | Böylece farklar sıfıra gider ve dizi yakınsaktır. Yakınsaksa limiti L diyelim ve denklemi kuralım: lim n → ∞ a n = L L = L + 3 L + 1 Çözelim: L ( L + 1 ) = L + 3 L 2 + L = L + 3 L 2 = 3 L = ± 3 Hangi kök? Tüm terimler pozitif olduğundan limit de pozitif olmalı: a n > 0 ⇒ L > 0 ⇒ L = 3 Sonuç: Doğru cevap D1305 şıkkıdır.

Önce şıkkı kontrol edelim: limit varsa, limiti denge (sabit) nokta denklemiyle bulacağız.

Dizinin tanımı:

a_{1} = 1

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}

İlk birkaç terimi hesaplayıp limitin hangi köke gideceğini sezebiliriz:

a_{2} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = 2

a_{3} = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

Terimler pozitif görünüyor. Gerçekten de pozitiflik korunur:

a_{n} > 0 \Rightarrow a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} > 0

Ayrıca değerler bir aralıkta kalır (sınırlılık):

a_{n} > 0 \Rightarrow a_{n + 1} = 1 + \frac{2}{a_{n} + 1}

a_{n + 1} > 1

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} < \frac{a_{n} + 3}{1} < 3 + a_{n}

Yakınsaklığı netleştirmek için fonksiyonu yazalım ve türevle büzülme (contraction) gösterelim:

f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}

f^{'} (x) = \frac{- 2}{{x + 1}^{2}}

Örneğin kapalı aralık olarak [1,3] seçersek:

1 \leq x \leq 3 \Rightarrow | f^{'} (x) | = \frac{2}{{x + 1}^{2}} \leq \frac{2}{2^{2}} = \frac{1}{2}

Bu, ardışık terimler arasındaki farkın en az yarıya indiğini gösterir (Ortalama Değer Teoremi ile):

| a_{n + 1} - a_{n} | = | f (a_{n}) - f (a_{n - 1}) | \leq \frac{1}{2} | a_{n} - a_{n - 1} |

Böylece farklar sıfıra gider ve dizi yakınsaktır. Yakınsaksa limiti L diyelim ve denklemi kuralım:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = L

L = \frac{L + 3}{L + 1}

Çözelim:

L (L + 1) = L + 3

L^{2} + L = L + 3

L^{2} = 3

L = \pm \sqrt{3}

Hangi kök? Tüm terimler pozitif olduğundan limit de pozitif olmalı:

a_{n} > 0 \Rightarrow L > 0 \Rightarrow L = \sqrt{3}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

|z| = 10 ve z·z̄ = k ise k kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Önceki test Sonraki test

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

İlgili 12. sınıf Matematik konu testleri

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Aşağıdaki belirli integralin değerini bulun.∫0π2ln(sin(x))dx

(1 + 3i)/(1 - i) işleminin sonucu nedir?

log₂12 + log₂8 - log₂3 ifadesinin değeri kaçtır?

y = x² parabolü 2 birim sağa ve 4 birim aşağı ötelenirse denklem ne olur?

Bilginizi kullanarak aşağıdaki soruyu yanıtlayınız: sin²x+cos²x ifadesi neye eşittir?

Aşağıdaki fonksiyon için istenen türev değerini bulunuz.f(x)=x2+1xf′(1)

x² + 2x + 10 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

a1=1 ve an+1=an+3an+1 dizisi veriliyor. limn→∞an değeri kaçtır?

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫02(x2-1)dx

|z| = 10 ve z·z̄ = k ise k kaçtır?

Aşağıdaki belirli integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x$

Aşağıdaki fonksiyon için istenen türev değerini bulunuz.
$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$
$f' (1)$

$a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$ dizisi veriliyor.
$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$