12. Sınıf Matematik İntegral Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim: d d x ( x 2 + 1 ) = 2 x Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım: u = x 2 + 1 d u = 2 x d x Sınırları da dönüştürelim: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali yeni değişkenle yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integral alınır: ∫ 1 2 1 u d u = ln ( u ) 1 2 Sınırları uygularsak: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) − ln ( 1 ) Son olarak: ln ( 1 ) = 0 ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ln ( 2 ) Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

Çözüm: İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim: d d x ( x 2 + 1 ) = 2 x Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım: u = x 2 + 1 d u = 2 x d x Sınırları da dönüştürelim: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali yeni değişkenle yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integral alınır: ∫ 1 2 1 u d u = ln ( u ) 1 2 Sınırları uygularsak: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) − ln ( 1 ) Son olarak: ln ( 1 ) = 0 ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ln ( 2 ) Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

İntegral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim:

\frac{d}{d} x (x^{2} + 1) = 2 x

Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

d u = 2 x d x

Sınırları da dönüştürelim:

x = 0 \Rightarrow u = 0^{2} + 1 = 1

x = 1 \Rightarrow u = 1^{2} + 1 = 2

İntegrali yeni değişkenle yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integral alınır:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln (u)}_{1}^{2}

Sınırları uygularsak:

{\ln (u)}_{1}^{2} = \ln (2) - \ln (1)

Son olarak:

\ln (1) = 0

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln (2)

Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İntegrali I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) 1 + x 2 d x Substitüsyon yapalım. x = tan t, d x = sec 2 t d t, 1 + x 2 = 1 + tan 2 t = sec 2 t Buna göre kesir sadeleşir ve sınırlar dönüşür. d x = sec 2 t d t sec 2 t = d t, x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = π 4 İntegral şu hale gelir. I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t Şimdi simetri kullanalım. Dönüşüm: t = π 4 - u, d t = - d u Bu dönüşümde trigonometrik ifade: tan ( π 4 - u ) = 1 - tan u 1 + tan u Dolayısıyla logaritmanın içi: 1 + tan ( π 4 - u ) = 1 + 1 - tan u 1 + tan u = 2 1 + tan u Bu yüzden integral: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 - u ) ) d u = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan u ) d u Logaritma ayrışımı: ln ( 2 1 + tan u ) = ln 2 - ln ( 1 + tan u ) Bunu integrale koyarsak: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d u - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan u ) d u = π 4 ln 2 - I Buradan 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C841 şıkkıdır.

Çözüm: İntegrali I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) 1 + x 2 d x Substitüsyon yapalım. x = tan t, d x = sec 2 t d t, 1 + x 2 = 1 + tan 2 t = sec 2 t Buna göre kesir sadeleşir ve sınırlar dönüşür. d x = sec 2 t d t sec 2 t = d t, x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = π 4 İntegral şu hale gelir. I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t Şimdi simetri kullanalım. Dönüşüm: t = π 4 - u, d t = - d u Bu dönüşümde trigonometrik ifade: tan ( π 4 - u ) = 1 - tan u 1 + tan u Dolayısıyla logaritmanın içi: 1 + tan ( π 4 - u ) = 1 + 1 - tan u 1 + tan u = 2 1 + tan u Bu yüzden integral: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 - u ) ) d u = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan u ) d u Logaritma ayrışımı: ln ( 2 1 + tan u ) = ln 2 - ln ( 1 + tan u ) Bunu integrale koyarsak: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d u - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan u ) d u = π 4 ln 2 - I Buradan 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C841 şıkkıdır.

İntegrali

I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x

Substitüsyon yapalım.

x = \tan t, d x = \sec^{2} t d t, 1 + x^{2} = 1 + \tan^{2} t = \sec^{2} t

Buna göre kesir sadeleşir ve sınırlar dönüşür.

\frac{d}{x} = \frac{\sec^{2}}{t} = d t, x = 0 \Rightarrow t = 0, x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{4}

İntegral şu hale gelir.

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan t) d t

Şimdi simetri kullanalım. Dönüşüm:

t = \frac{π}{4} - u, d t = - d u

Bu dönüşümde trigonometrik ifade:

\tan (\frac{π}{4} - u) = \frac{1}{-}

Dolayısıyla logaritmanın içi:

1 + \tan (\frac{π}{4} - u) = 1 + \frac{1}{-} = \frac{2}{1}

Bu yüzden integral:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - u)) d u = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\frac{2}{1}) d u

Logaritma ayrışımı:

\ln (\frac{2}{1}) = \ln 2 - \ln (1 + \tan u)

Bunu integrale koyarsak:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d u - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan u) d u = \frac{π}{4} \ln 2 - I

Buradan

2 I = \frac{π}{4} \ln 2 \Rightarrow I = \frac{π}{8} \ln 2

Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C5450 şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İntegrali tanımlayalım: I = ∫ 0 1 1 + x 2 1 + x 4 d x Paydayı çarpanlara ayıralım: 1 + x 4 = ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 1 ) Kısmi kesirlere ayıralım (sabit paylar yeterlidir): 1 + x 2 1 + x 4 = 1 2 ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) Bu durumda integral: I = 1 2 ∫ 0 1 1 x 2 + 2 x + 1 + 1 x 2 - 2 x + 1 d x Kareye tamamlama yapalım: x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2 2 + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2 2 + 1 2 Buna göre arktanjant formuna geçeriz: I = 1 2 ∫ 0 1 1 x + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 2 d x Standart sonuç: ∫ 1 u 2 + a 2 d u = 1 a arctan ( u a ) Burada a = 1 2 İntegrali hesaplayıp sınırları uygulayalım: I = 2 2 [ arctan ( 2 x + 1 ) + arctan ( 2 x - 1 ) ] 0 1 I = 2 2 ( arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) ) - ( arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) ) Alt sınır toplamı sıfırdır: arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) = π 4 - π 4 = 0 Üst sınırdaki iki arktanjantın toplamını bulalım. Çarpımları: ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) = 1 İki sayı da pozitif olduğundan açıların toplamı arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) = π 2 Sonuç: I = 2 2 · π 2 = π 2 2 Doğru şık kontrolü: Bulunan değer π 2 2 olduğu için doğru cevap B1091 ’dır.

Çözüm: İntegrali tanımlayalım: I = ∫ 0 1 1 + x 2 1 + x 4 d x Paydayı çarpanlara ayıralım: 1 + x 4 = ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 1 ) Kısmi kesirlere ayıralım (sabit paylar yeterlidir): 1 + x 2 1 + x 4 = 1 2 ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) Bu durumda integral: I = 1 2 ∫ 0 1 1 x 2 + 2 x + 1 + 1 x 2 - 2 x + 1 d x Kareye tamamlama yapalım: x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2 2 + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2 2 + 1 2 Buna göre arktanjant formuna geçeriz: I = 1 2 ∫ 0 1 1 x + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 2 d x Standart sonuç: ∫ 1 u 2 + a 2 d u = 1 a arctan ( u a ) Burada a = 1 2 İntegrali hesaplayıp sınırları uygulayalım: I = 2 2 [ arctan ( 2 x + 1 ) + arctan ( 2 x - 1 ) ] 0 1 I = 2 2 ( arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) ) - ( arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) ) Alt sınır toplamı sıfırdır: arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) = π 4 - π 4 = 0 Üst sınırdaki iki arktanjantın toplamını bulalım. Çarpımları: ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) = 1 İki sayı da pozitif olduğundan açıların toplamı arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) = π 2 Sonuç: I = 2 2 · π 2 = π 2 2 Doğru şık kontrolü: Bulunan değer π 2 2 olduğu için doğru cevap B1091 ’dır.

İntegrali tanımlayalım:

I = \int_{0}^{1} \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} d x

Paydayı çarpanlara ayıralım:

1 + x^{4} = (x^{2} + \sqrt{2} x + 1) (x^{2} - \sqrt{2} x + 1)

Kısmi kesirlere ayıralım (sabit paylar yeterlidir):

\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} = \frac{1}{2 (x^{2} + \sqrt{2} x + 1)} + \frac{1}{2 (x^{2} - \sqrt{2} x + 1)}

Bu durumda integral:

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + \sqrt{2} x + 1} + \frac{1}{x^{2} - \sqrt{2} x + 1} d x

Kareye tamamlama yapalım:

x^{2} + \sqrt{2} x + 1 = {x + \frac{1}{\sqrt{2}}}^{2} + \frac{1}{2}

x^{2} - \sqrt{2} x + 1 = {x - \frac{1}{\sqrt{2}}}^{2} + \frac{1}{2}

Buna göre arktanjant formuna geçeriz:

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{{x + \frac{1}{\sqrt{2}}}^{2} + {\frac{1}{\sqrt{2}}}^{2}} + \frac{1}{{x - \frac{1}{\sqrt{2}}}^{2} + {\frac{1}{\sqrt{2}}}^{2}} d x

Standart sonuç:

\int_{}^{} \frac{1}{u^{2} + a^{2}} d u = \frac{1}{a} \arctan (\frac{u}{a})

Burada

a = \frac{1}{\sqrt{2}}

İntegrali hesaplayıp sınırları uygulayalım:

I = \frac{\sqrt{2}}{2} {[\arctan (\sqrt{2} x + 1) + \arctan (\sqrt{2} x - 1)]}_{0}^{1}

I = \frac{\sqrt{2}}{2} (\arctan (\sqrt{2} + 1) + \arctan (\sqrt{2} - 1)) - (\arctan (1) + \arctan (- 1))

Alt sınır toplamı sıfırdır:

\arctan (1) + \arctan (- 1) = \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

Üst sınırdaki iki arktanjantın toplamını bulalım. Çarpımları:

(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1

İki sayı da pozitif olduğundan açıların toplamı

\arctan (\sqrt{2} + 1) + \arctan (\sqrt{2} - 1) = \frac{π}{2}

Sonuç:

I = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{2 \sqrt{2}}

Doğru şık kontrolü: Bulunan değer

\frac{π}{2 \sqrt{2}}

olduğu için doğru cevap A’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce verilen integrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x olarak adlandıralım. Dönüşüm yapalım: x = π 4 - t Bu durumda sınırlar x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 ve d x = - d t Tanjant bağıntısını kullanalım: tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t Buna göre 1 + tan ( π 4 - t ) = 1 + 1 - tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Şimdi integrali dönüşümle yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan x ) d x (Değişken adını tekrar x olarak yazdık.) Bu integrali logaritma özelliğiyle açalım: ln ( 2 1 + tan x ) = ln 2 - ln ( 1 + tan x ) Dolayısıyla I = ∫ 0 π 4 ( ln 2 - ln ( 1 + tan x ) ) d x Sağ tarafı iki integrale ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x İkinci integral zaten I olduğundan I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - I Buradan 2 I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x Sabit integrali alınır: ∫ 0 π 4 ln 2 d x = ln 2 ⋅ π 4 Sonuç: 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Dolayısıyla doğru seçenek D1046 ’dir.

Çözüm: Önce verilen integrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x olarak adlandıralım. Dönüşüm yapalım: x = π 4 - t Bu durumda sınırlar x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 ve d x = - d t Tanjant bağıntısını kullanalım: tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t Buna göre 1 + tan ( π 4 - t ) = 1 + 1 - tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Şimdi integrali dönüşümle yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan x ) d x (Değişken adını tekrar x olarak yazdık.) Bu integrali logaritma özelliğiyle açalım: ln ( 2 1 + tan x ) = ln 2 - ln ( 1 + tan x ) Dolayısıyla I = ∫ 0 π 4 ( ln 2 - ln ( 1 + tan x ) ) d x Sağ tarafı iki integrale ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x İkinci integral zaten I olduğundan I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - I Buradan 2 I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x Sabit integrali alınır: ∫ 0 π 4 ln 2 d x = ln 2 ⋅ π 4 Sonuç: 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Dolayısıyla doğru seçenek D1046 ’dir.

Önce verilen integrali

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x

olarak adlandıralım.

Dönüşüm yapalım:

x = \frac{π}{4} - t

Bu durumda sınırlar

x = 0 \Rightarrow t = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 0

ve

d x = - d t

Tanjant bağıntısını kullanalım:

\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1}{-}

Buna göre

1 + \tan (\frac{π}{4} - t) = 1 + \frac{1}{-} = \frac{2}{1}

Şimdi integrali dönüşümle yazalım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\frac{2}{1}) d x

(Değişken adını tekrar

x

olarak yazdık.)

Bu integrali logaritma özelliğiyle açalım:

\ln (\frac{2}{1}) = \ln 2 - \ln (1 + \tan x)

Dolayısıyla

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\ln 2 - \ln (1 + \tan x)) d x

Sağ tarafı iki integrale ayıralım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d x - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x

İkinci integral zaten

I

olduğundan

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d x - I

Buradan

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d x

Sabit integrali alınır:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d x = \ln 2 \cdot \frac{π}{4}

Sonuç:

2 I = \frac{π}{4} \ln 2 \Rightarrow I = \frac{π}{8} \ln 2

Dolayısıyla doğru seçenek

B

’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

İntegral Sık Sorulan Sorular

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?∫012xx2+1dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫01ln(1+x)1+x2dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫012xx2+1dx

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?∫012xx2+1dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.I=∫011+x21+x4dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫012xx2+1dx

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.∫0π4ln(1+tanx)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫01(2x+1)dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.∫2xx2+1dx

Aşağıdaki integralin değerini bulun.∫01x2(1+x2)2dx

İntegral Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$