12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Doğru cevap: B

İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim: d d x ( x 2 + 1 ) = 2 x Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım: $u = x$2 + 1 d $u = 2$x d x Sınırları da dönüştürelim: $x = 0$⇒ $u = 0$$2 + 1 = 1$ $x = 1$⇒ $u = 1$$2 + 1 = 2$ İntegrali yeni değişkenle yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integral alınır: ∫ 1 2 1 u d $u = ln$( u ) 1 2 Sınırları uygularsak: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) − ln ( 1 ) Son olarak: ln ( 1 ) = 0 ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d $x = ln$( 2 ) Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim: d d x ( x 2 + 1 ) = 2 x Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım: $u = x$2 + 1 d $u = 2$x d x Sınırları da dönüştürelim: $x = 0$⇒ $u = 0$$2 + 1 = 1$ $x = 1$⇒ $u = 1$$2 + 1 = 2$ İntegrali yeni değişkenle yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integral alınır: ∫ 1 2 1 u d $u = ln$( u ) 1 2 Sınırları uygularsak: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) − ln ( 1 ) Son olarak: ln ( 1 ) = 0 ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d $x = ln$( 2 ) Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: C

İntegrali I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) 1 + x 2 d x Substitüsyon yapalım. $x = tan$t, d $x = sec$2 t d t, 1 + x $2 = 1$ + tan 2 $t = sec$2 t Buna göre kesir sadeleşir ve sınırlar dönüşür. d $x = sec$2 t d t sec 2 $t = d$t, $x = 0$⇒ $t = 0$, $x = 1$⇒ t = π 4 İntegral şu hale gelir. I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t Şimdi simetri kullanalım. Dönüşüm: t = π 4 - u, d t = - d u Bu dönüşümde trigonometrik ifade: tan ( π 4 - u ) = 1 - tan u 1 + tan u Dolayısıyla logaritmanın içi: 1 + tan ( π 4 - u ) = 1 + 1 - tan u 1 + tan $u = 2$1 + tan u Bu yüzden integral: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 - u ) ) d u = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan u ) d u Logaritma ayrışımı: ln ( 2 1 + tan u ) = ln 2 - ln ( 1 + tan u ) Bunu integrale koyarsak: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d u - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan u ) d u = π 4 ln 2 - I Buradan 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C841 şıkkıdır.

1. Çözüm: İntegrali I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) 1 + x 2 d x Substitüsyon yapalım. $x = tan$t, d $x = sec$2 t d t, 1 + x $2 = 1$ + tan 2 $t = sec$2 t Buna göre kesir sadeleşir ve sınırlar dönüşür. d $x = sec$2 t d t sec 2 $t = d$t, $x = 0$⇒ $t = 0$, $x = 1$⇒ t = π 4 İntegral şu hale gelir. I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t Şimdi simetri kullanalım. Dönüşüm: t = π 4 - u, d t = - d u Bu dönüşümde trigonometrik ifade: tan ( π 4 - u ) = 1 - tan u 1 + tan u Dolayısıyla logaritmanın içi: 1 + tan ( π 4 - u ) = 1 + 1 - tan u 1 + tan $u = 2$1 + tan u Bu yüzden integral: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 - u ) ) d u = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan u ) d u Logaritma ayrışımı: ln ( 2 1 + tan u ) = ln 2 - ln ( 1 + tan u ) Bunu integrale koyarsak: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d u - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan u ) d u = π 4 ln 2 - I Buradan 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C841 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Kontrol: Sonuç şıkkıD15dır. Verilen integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadeye uygun değişken dönüşümü yapalım: u = x 2 + 1 Türev alalım: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: x = 0 ⇒ u = 1 x = 1 ⇒ u = 2 İntegrali u cinsinden yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln u 1 2 Sınırları uygulayalım: ln u 1 2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 Sonuç: ln 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır.

1. Çözüm: Kontrol: Sonuç şıkkıD15dır. Verilen integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadeye uygun değişken dönüşümü yapalım: u = x 2 + 1 Türev alalım: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: x = 0 ⇒ u = 1 x = 1 ⇒ u = 2 İntegrali u cinsinden yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln u 1 2 Sınırları uygulayalım: ln u 1 2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 Sonuç: ln 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır.

Doğru cevap: A

Verilen integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadeyi türevine benzetmek için değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Bu dönüşümün diferansiyelini alalım: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene çevirelim: x = 0 ⇒ u = 1 x = 1 ⇒ u = 2 İntegrali yeni değişkene göre yazalım: ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integralin sonucunu bulalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln | u | 1 2 Sınırları yerine yazıp sadeleştirelim: ln 2 − ln 1 = ln 2 Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: ln 2 Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Verilen integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadeyi türevine benzetmek için değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Bu dönüşümün diferansiyelini alalım: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene çevirelim: x = 0 ⇒ u = 1 x = 1 ⇒ u = 2 İntegrali yeni değişkene göre yazalım: ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integralin sonucunu bulalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln | u | 1 2 Sınırları yerine yazıp sadeleştirelim: ln 2 − ln 1 = ln 2 Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: ln 2 Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: B

İntegrali tanımlayalım: I = ∫ 0 1 1 + x 2 1 + x 4 d x Paydayı çarpanlara ayıralım: 1 + x 4 = ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 1 ) Kısmi kesirlere ayıralım (sabit paylar yeterlidir): 1 + x 2 1 + x $4 = 1$ 2 ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) Bu durumda integral: $I = 1$2 ∫ 0 1 1 x 2 + 2 x + 1 + 1 x 2 - 2 x + 1 d x Kareye tamamlama yapalım: x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2 2 + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2 2 + 1 2 Buna göre arktanjant formuna geçeriz: $I = 1$2 ∫ 0 1 1 x + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 2 d x Standart sonuç: ∫ 1 u 2 + a 2 d $u = 1$a arctan ( u a ) Burada $a = 1$2 İntegrali hesaplayıp sınırları uygulayalım: $I = 2$2 [ arctan ( 2 x + 1 ) + arctan ( 2 x - 1 ) ] 0 1 $I = 2$2 ( arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) ) - ( arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) ) Alt sınır toplamı sıfırdır: arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) = π 4 - π $4 = 0$ Üst sınırdaki iki arktanjantın toplamını bulalım. Çarpımları: ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) = 1 İki sayı da pozitif olduğundan açıların toplamı arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) = π 2 Sonuç: $I = 2$2 · π 2 = π 2 2 Doğru şık kontrolü: Bulunan değer π 2 2 olduğu için doğru cevap B1091 ’dır.

1. Çözüm: İntegrali tanımlayalım: I = ∫ 0 1 1 + x 2 1 + x 4 d x Paydayı çarpanlara ayıralım: 1 + x 4 = ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 1 ) Kısmi kesirlere ayıralım (sabit paylar yeterlidir): 1 + x 2 1 + x $4 = 1$ 2 ( x 2 + 2 x + 1 ) + 1 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) Bu durumda integral: $I = 1$2 ∫ 0 1 1 x 2 + 2 x + 1 + 1 x 2 - 2 x + 1 d x Kareye tamamlama yapalım: x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2 2 + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2 2 + 1 2 Buna göre arktanjant formuna geçeriz: $I = 1$2 ∫ 0 1 1 x + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 x - 1 2 2 + 1 2 2 d x Standart sonuç: ∫ 1 u 2 + a 2 d $u = 1$a arctan ( u a ) Burada $a = 1$2 İntegrali hesaplayıp sınırları uygulayalım: $I = 2$2 [ arctan ( 2 x + 1 ) + arctan ( 2 x - 1 ) ] 0 1 $I = 2$2 ( arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) ) - ( arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) ) Alt sınır toplamı sıfırdır: arctan ( 1 ) + arctan ( - 1 ) = π 4 - π $4 = 0$ Üst sınırdaki iki arktanjantın toplamını bulalım. Çarpımları: ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) = 1 İki sayı da pozitif olduğundan açıların toplamı arctan ( 2 + 1 ) + arctan ( 2 - 1 ) = π 2 Sonuç: $I = 2$2 · π 2 = π 2 2 Doğru şık kontrolü: Bulunan değer π 2 2 olduğu için doğru cevap B1091 ’dır.

Doğru cevap: C

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin sonucu aşağıdaki değere eşit olduğundan doğru cevap C74 ’dır. ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d $x = ln$2 2) Uygun değişken dönüşümünü seçelim: $u = x$2 + 1 3) Türev alıp diferansiyeli yazalım: d u d $x = 2$x d $u = 2$x d x 4) İntegrali dönüşümle yeniden yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) d u u 5) Yeni sınırları bulalım: u ( 0 ) = 0 $2 + 1 = 1$ u ( 1 ) = 1 $2 + 1 = 2$ 6) İntegrali hesaplayalım: ∫ 1 2 d u $u = ln$u 1 2 7) Sınırları uygulayıp sonucu yazalım: ln u 1 2 = ln 2 - ln 1 = ln 2

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: İntegralin sonucu aşağıdaki değere eşit olduğundan doğru cevap C74 ’dır. ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d $x = ln$2 2) Uygun değişken dönüşümünü seçelim: $u = x$2 + 1 3) Türev alıp diferansiyeli yazalım: d u d $x = 2$x d $u = 2$x d x 4) İntegrali dönüşümle yeniden yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) d u u 5) Yeni sınırları bulalım: u ( 0 ) = 0 $2 + 1 = 1$ u ( 1 ) = 1 $2 + 1 = 2$ 6) İntegrali hesaplayalım: ∫ 1 2 d u $u = ln$u 1 2 7) Sınırları uygulayıp sonucu yazalım: ln u 1 2 = ln 2 - ln 1 = ln 2

Doğru cevap: D

Önce verilen integrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x olarak adlandıralım. Dönüşüm yapalım: x = π 4 - t Bu durumda sınırlar $x = 0$⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ $t = 0$ve d x = - d t Tanjant bağıntısını kullanalım: tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t Buna göre 1 + tan ( π 4 - t ) = 1 + 1 - tan t 1 + tan $t = 2$1 + tan t Şimdi integrali dönüşümle yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan x ) d x (Değişken adını tekrar x olarak yazdık.) Bu integrali logaritma özelliğiyle açalım: ln ( 2 1 + tan x ) = ln 2 - ln ( 1 + tan x ) Dolayısıyla I = ∫ 0 π 4 ( ln 2 - ln ( 1 + tan x ) ) d x Sağ tarafı iki integrale ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x İkinci integral zaten I olduğundan I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - I Buradan 2 I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x Sabit integrali alınır: ∫ 0 π 4 ln 2 d $x = ln$2 ⋅ π 4 Sonuç: 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Dolayısıyla doğru seçenek D1046 ’dir.

1. Çözüm: Önce verilen integrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x olarak adlandıralım. Dönüşüm yapalım: x = π 4 - t Bu durumda sınırlar $x = 0$⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ $t = 0$ve d x = - d t Tanjant bağıntısını kullanalım: tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t Buna göre 1 + tan ( π 4 - t ) = 1 + 1 - tan t 1 + tan $t = 2$1 + tan t Şimdi integrali dönüşümle yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 1 + tan x ) d x (Değişken adını tekrar x olarak yazdık.) Bu integrali logaritma özelliğiyle açalım: ln ( 2 1 + tan x ) = ln 2 - ln ( 1 + tan x ) Dolayısıyla I = ∫ 0 π 4 ( ln 2 - ln ( 1 + tan x ) ) d x Sağ tarafı iki integrale ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x İkinci integral zaten I olduğundan I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x - I Buradan 2 I = ∫ 0 π 4 ln 2 d x Sabit integrali alınır: ∫ 0 π 4 ln 2 d $x = ln$2 ⋅ π 4 Sonuç: 2 I = π 4 ln 2 ⇒ I = π 8 ln 2 Dolayısıyla doğru seçenek D1046 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen integral: ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x Önce integrali parçalayalım: ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 1 d x Şimdi her birinin belirsiz integralini alalım (ilkel fonksiyon): ∫ 2 x d $x = x$2 ∫ 1 d $x = x$Buna göre belirli integral, ilkel fonksiyonun sınırlar arasında hesaplanmasıdır: ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x = ( x 2 + x ) 0 1 Üst sınır ve alt sınır değerlerini yerine koyalım: ( x 2 + x ) 0 1 = ( 1 2 + 1 ) - ( 0 2 + 0 ) Sonucu sadeleştirelim: ( 1 + 1 ) - ( 0 + 0 ) = 2 Kontrol: Sonuç şıkkıA543dır.

1. Çözüm: Verilen integral: ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x Önce integrali parçalayalım: ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 1 d x Şimdi her birinin belirsiz integralini alalım (ilkel fonksiyon): ∫ 2 x d $x = x$2 ∫ 1 d $x = x$Buna göre belirli integral, ilkel fonksiyonun sınırlar arasında hesaplanmasıdır: ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x = ( x 2 + x ) 0 1 Üst sınır ve alt sınır değerlerini yerine koyalım: ( x 2 + x ) 0 1 = ( 1 2 + 1 ) - ( 0 2 + 0 ) Sonucu sadeleştirelim: ( 1 + 1 ) - ( 0 + 0 ) = 2 Kontrol: Sonuç şıkkıA543dır.

Doğru cevap: B

İntegral: ∫ 2 x x 2 + 1 d x Paydada bulunan ifadenin türevi payda (çarpan olarak) göründüğü için değişken dönüşümü yapalım: $u = x$2 + 1 Türev alalım: d $u = 2$x d x Bu dönüşümle integral: ∫ 2 x d x x 2 + 1 = ∫ d u u Logaritma integrali kuralı: ∫ d u $u = ln$( u ) + C Geri dönüş yapalım: ln ( u ) + $C = ln$( x 2 + 1 ) + C Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap B379.

1. Çözüm: İntegral: ∫ 2 x x 2 + 1 d x Paydada bulunan ifadenin türevi payda (çarpan olarak) göründüğü için değişken dönüşümü yapalım: $u = x$2 + 1 Türev alalım: d $u = 2$x d x Bu dönüşümle integral: ∫ 2 x d x x 2 + 1 = ∫ d u u Logaritma integrali kuralı: ∫ d u $u = ln$( u ) + C Geri dönüş yapalım: ln ( u ) + $C = ln$( x 2 + 1 ) + C Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap B379.

Doğru cevap: C

İntegrali I = ∫ 0 1 x 2 ( 1 + x 2 ) 2 d x şeklinde adlandıralım. Trigonometrik dönüşüm seçelim: $x = tan$⁡ t Bu durumda d $x = sec$⁡ t 2 d t ve 1 + x $2 = 1$ + tan ⁡ t 2 = sec ⁡ t 2 İfadeyi yerine yazalım: x 2 ( 1 + x 2 ) 2 d $x = tan$⁡ t 2 sec ⁡ t 2 2 sec ⁡ t 2 d t Sadeleştirelim: tan ⁡ t 2 sec ⁡ t 2 d $t = tan$⁡ t 2 cos ⁡ t 2 d $t = sin$⁡ t 2 d t Sınırları dönüştürelim: $x = 0$⇒ $t = 0$$x = 1$⇒ t = π 4 Böylece integral I = ∫ 0 π 4 sin ⁡ t 2 d t olur. Özdeşlik kullanalım: sin ⁡ t $2 = 1$ 2 ( 1 - cos ⁡ 2 t ) İntegrali hesaplayalım: I = ∫ 0 π 4 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 t ) d t $I = t$2 - sin ⁡ 2 t 4 0 π 4 Sınırları uygulayalım: I = ( π 4 2 - sin ⁡ 2 × π 4 4 ) - ( 0 - 0 ) I = π 8 - sin ⁡ π 2 4 = π 8 - 1 4 Sonuç şık A ile aynıdır.

1. Çözüm: İntegrali I = ∫ 0 1 x 2 ( 1 + x 2 ) 2 d x şeklinde adlandıralım. Trigonometrik dönüşüm seçelim: $x = tan$⁡ t Bu durumda d $x = sec$⁡ t 2 d t ve 1 + x $2 = 1$ + tan ⁡ t 2 = sec ⁡ t 2 İfadeyi yerine yazalım: x 2 ( 1 + x 2 ) 2 d $x = tan$⁡ t 2 sec ⁡ t 2 2 sec ⁡ t 2 d t Sadeleştirelim: tan ⁡ t 2 sec ⁡ t 2 d $t = tan$⁡ t 2 cos ⁡ t 2 d $t = sin$⁡ t 2 d t Sınırları dönüştürelim: $x = 0$⇒ $t = 0$$x = 1$⇒ t = π 4 Böylece integral I = ∫ 0 π 4 sin ⁡ t 2 d t olur. Özdeşlik kullanalım: sin ⁡ t $2 = 1$ 2 ( 1 - cos ⁡ 2 t ) İntegrali hesaplayalım: I = ∫ 0 π 4 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 t ) d t $I = t$2 - sin ⁡ 2 t 4 0 π 4 Sınırları uygulayalım: I = ( π 4 2 - sin ⁡ 2 × π 4 4 ) - ( 0 - 0 ) I = π 8 - sin ⁡ π 2 4 = π 8 - 1 4 Sonuç şık A ile aynıdır.