12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: B

Tepe noktası x=3’tür. En küçük değer 9 - 18 + m = m - 9 olur; 0 için m=9.

1. Kritik noktaları bul: İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayır, köklerini bul veya diskriminant ile kök durumunu belirle.
2. İşaret tablosunu yorumla: Baş katsayının işaretine ve eşitsizlikte sınır noktalarının dahil olup olmadığına göre çözüm aralığını seç.

Doğru cevap: B

1) Verilen bağıntıyı ters çevirerek daha kolay bir dizi elde edelim: a 1 = 1, a n + 1 = a n 1 + 2 a n Her iki tarafın tersini alalım: 1 a n + 1 = 1 + 2 a n a n Sağ tarafı parçalayalım: 1 + 2 a n a n = 1 a n + 2 2) Yeni dizi tanımlayalım: b n = 1 a n Bu tanımla bağıntı şu hale gelir: b n + 1 = b n + 2 Başlangıç değeri: b 1 = 1 a 1 = 1 3) Aritmetik dizi olduğundan genel terim: b n = b 1 + ( n - 1 ) ⋅ 2 = 1 + 2 n - 2 = 2 n - 1 Dolayısıyla: 1 a k = b k = 2 k - 1 4) İstenen toplam: ∑ k = 1 n 1 a k = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) Toplamı ayıralım: ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) = 2 ∑ k = 1 n k - ∑ k = 1 n 1 Bilinen toplamları kullanalım: 2 ∑ k = 1 n k - ∑ k = 1 n 1 = 2 ⋅ n n + 1 - n Sadeleştirelim: 2 ⋅ n n + 1 - n = n ( n + 1 ) - n = n 2 5) Sonuç: ∑ k = 1 n 1 a k = n 2 Bu değer şıklardan seçeneğiB853dir; yani doğru cevap B873.

1. Çözüm: 1) Verilen bağıntıyı ters çevirerek daha kolay bir dizi elde edelim: a 1 = 1, a n + 1 = a n 1 + 2 a n Her iki tarafın tersini alalım: 1 a n + 1 = 1 + 2 a n a n Sağ tarafı parçalayalım: 1 + 2 a n a n = 1 a n + 2 2) Yeni dizi tanımlayalım: b n = 1 a n Bu tanımla bağıntı şu hale gelir: b n + 1 = b n + 2 Başlangıç değeri: b 1 = 1 a 1 = 1 3) Aritmetik dizi olduğundan genel terim: b n = b 1 + ( n - 1 ) ⋅ 2 = 1 + 2 n - 2 = 2 n - 1 Dolayısıyla: 1 a k = b k = 2 k - 1 4) İstenen toplam: ∑ k = 1 n 1 a k = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) Toplamı ayıralım: ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) = 2 ∑ k = 1 n k - ∑ k = 1 n 1 Bilinen toplamları kullanalım: 2 ∑ k = 1 n k - ∑ k = 1 n 1 = 2 ⋅ n n + 1 - n Sadeleştirelim: 2 ⋅ n n + 1 - n = n ( n + 1 ) - n = n 2 5) Sonuç: ∑ k = 1 n 1 a k = n 2 Bu değer şıklardan seçeneğiB853dir; yani doğru cevap B873.

Doğru cevap: C

Önce verilen belirli integrali yazalım: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x İfadeyi terimlerine ayırarak integre edelim: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 2 2 x d x + ∫ 0 2 1 d x Şimdi belirsiz integral (asal integral) alalım: ∫ ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 1 d x = x 2 + x + C Belirli integral için sınırları uygularız: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = [ x 2 + x ] 0 2 Üst ve alt sınırda değerleri hesaplayalım: [ x 2 + x ] 0 2 = ( 2 2 + 2 ) - ( 0 2 + 0 ) = ( 4 + 2 ) - 0 = 6 Sonuç: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = 6 Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap C523’dir.

1. Çözüm: Önce verilen belirli integrali yazalım: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x İfadeyi terimlerine ayırarak integre edelim: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 2 2 x d x + ∫ 0 2 1 d x Şimdi belirsiz integral (asal integral) alalım: ∫ ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 1 d x = x 2 + x + C Belirli integral için sınırları uygularız: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = [ x 2 + x ] 0 2 Üst ve alt sınırda değerleri hesaplayalım: [ x 2 + x ] 0 2 = ( 2 2 + 2 ) - ( 0 2 + 0 ) = ( 4 + 2 ) - 0 = 6 Sonuç: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = 6 Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap C523’dir.

Doğru cevap: A

Argüman 0° pozitif gerçek ekseni gösterir; sayı 5’tir.

1. Gerçek ve sanal kısımları ayır: Karmaşık sayıyı a + bi biçiminde yaz, i^2 = -1 bilgisini ve eşlenik/modül ilişkilerini kullan.
2. İşlemi uygun biçimde tamamla: Toplama, çarpma, bölme, eşlenikle genişletme, modül, argüman, kutupsal biçim veya denklem çözme adımını uygula.

Doğru cevap: A

3⁻²=1/9 olduğundan logaritma -2’dir.

1. Çözüm: 3⁻²=1/9 olduğundan logaritma -2’dir.

Doğru cevap: C

x²-12x+36=(x-6)² olduğundan çift kök x=6.

1. Parabolün biçimini belirle: Fonksiyonu genel form, tepe formu veya çarpanlı formda yorumla.
2. Grafik bilgisini hesapla: Tepe noktası, simetri ekseni, kökler, kesişimler, maksimum-minimum ya da işaret aralığını kullan.

Doğru cevap: A

Özel açı değerlerinden cos60°=1/2’dir.

1. Çözüm: Özel açı değerlerinden cos60°=1/2’dir.

Doğru cevap: A

Gerçek kök olmaması için Δ < 0: (m - 1)² - 16 < 0, |m - 1| < 4, -3 < m < 5.

1. Kritik noktaları bul: İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayır, köklerini bul veya diskriminant ile kök durumunu belirle.
2. İşaret tablosunu yorumla: Baş katsayının işaretine ve eşitsizlikte sınır noktalarının dahil olup olmadığına göre çözüm aralığını seç.

Doğru cevap: A

Verilenler: Aritmetik dizi, a 1 = 2 a 4 = 11 Aritmetik dizide genel terim: a n = a 1 + ( n - 1 ) d Bu formülü 4. terim için yazalım: a 4 = a 1 + ( 4 - 1 ) d Verilen değerleri yerine koyalım: 11 = 2 + 3 d Buradan ortak farkı bulalım: 9 = 3 d d = 3 Şimdi 7. terimi bulalım: a 7 = a 1 + ( 7 - 1 ) d Yerine koyup hesaplayalım: a 7 = 2 + 6 ⋅ 3 a 7 = 20 Sonuç: Doğru seçenek A362 'dir.

1. Çözüm: Verilenler: Aritmetik dizi, a 1 = 2 a 4 = 11 Aritmetik dizide genel terim: a n = a 1 + ( n - 1 ) d Bu formülü 4. terim için yazalım: a 4 = a 1 + ( 4 - 1 ) d Verilen değerleri yerine koyalım: 11 = 2 + 3 d Buradan ortak farkı bulalım: 9 = 3 d d = 3 Şimdi 7. terimi bulalım: a 7 = a 1 + ( 7 - 1 ) d Yerine koyup hesaplayalım: a 7 = 2 + 6 ⋅ 3 a 7 = 20 Sonuç: Doğru seçenek A362 'dir.

Doğru cevap: D

Kontrol: Sonuç şıkkıD15dır. Verilen integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadeye uygun değişken dönüşümü yapalım: u = x 2 + 1 Türev alalım: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: x = 0 ⇒ u = 1 x = 1 ⇒ u = 2 İntegrali u cinsinden yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln u 1 2 Sınırları uygulayalım: ln u 1 2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 Sonuç: ln 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır.

1. Çözüm: Kontrol: Sonuç şıkkıD15dır. Verilen integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydadaki ifadeye uygun değişken dönüşümü yapalım: u = x 2 + 1 Türev alalım: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: x = 0 ⇒ u = 1 x = 1 ⇒ u = 2 İntegrali u cinsinden yazalım: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln u 1 2 Sınırları uygulayalım: ln u 1 2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 Sonuç: ln 2 Bu değer şıklardan A ile aynıdır.