12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Testleri

Doğru cevap: A

İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydada x 2 bulunduğu için uygun bir değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Türevi alalım: d u d x = 2 x Buradan diferansiyel ilişki: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: 1) Alt sınır: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 2) Üst sınır: x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 d u u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 d u u = ln ( u ) 1 2 Sınırları yerine koyup sonucu bulalım: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) - ln ( 1 ) = ln ( 2 ) Sonuç: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ln ( 2 ) Doğru seçenek: A

1. Çözüm: İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydada x 2 bulunduğu için uygun bir değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Türevi alalım: d u d x = 2 x Buradan diferansiyel ilişki: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: 1) Alt sınır: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 2) Üst sınır: x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 d u u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 d u u = ln ( u ) 1 2 Sınırları yerine koyup sonucu bulalım: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) - ln ( 1 ) = ln ( 2 ) Sonuç: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ln ( 2 ) Doğru seçenek: A

Doğru cevap: A

1/i ifadesi i ile genişletilirse i/i²=i/(-1)=-i olur.

1. Çözüm: 1/i ifadesi i ile genişletilirse i/i²=i/(-1)=-i olur.

Doğru cevap: B

9x = 3^4 = 81 olduğundan x = 9.

1. Tanım ve koşulu kontrol et: Logaritmada tabanın pozitif ve 1’den farklı, iç ifadenin pozitif olması gerektiğini kullan.
2. Uygun özelliği uygula: Çarpım, bölüm, kuvvet, taban değiştirme, denklem veya grafik özelliğini seçerek işlemi tamamla.

Doğru cevap: B

Simetri ekseni -b/(2a)=3 olduğundan -b/2=3 ve b=-6.

1. Parabolün biçimini belirle: Fonksiyonu genel form, tepe formu veya çarpanlı formda yorumla.
2. Grafik bilgisini hesapla: Tepe noktası, simetri ekseni, kökler, kesişimler, maksimum-minimum ya da işaret aralığını kullan.

Doğru cevap: B

Referans açı 30°’dir; ikinci bölgede kosinüs negatif olduğundan cos x=-√3/2.

1. Açı ve bölgeyi belirle: Özel açı, birim çember, işaret veya indirgeme ilişkisini tanı.
2. Trigonometrik özelliği uygula: Özdeşlik, denklem, periyot, grafik ya da üçgen bağlantısını kullanarak sonucu bul.

Doğru cevap: A

-x²+4x-3=-(x-1)(x-3). Parabol aşağı açıldığı için kökler arasında pozitiftir.

1. Çözüm: -x²+4x-3=-(x-1)(x-3). Parabol aşağı açıldığı için kökler arasında pozitiftir.

Doğru cevap: C

1) Doğru cevabı kontrol: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x 2) Dönüşüm: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 4 − t d x = − d t Sınırlar: x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 3) İntegrali yeni değişkene göre yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) d t 4) Toplam formülü: Aşağıdaki özdeşliği kullanalım. tan ( π 4 − t ) = 1 − tan t 1 + tan t Bundan dolayı integrand şu şekilde sadeleşir: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma özelliği ile: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) 5) İntegralde yerine yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) d t Sağ tarafı iki integrale ayıralım. İkinci integral, tanım gereği yine aynı değerdeki integraldir. I = ln ( 2 ) ∫ 0 π 4 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t I = ln ( 2 ) [ t ] 0 π 4 − I 6) Sınırları uygulayalım ve çözelim: I = ln ( 2 ) ( π 4 − 0 ) − I 2 I = π 4 ln ( 2 ) I = π 8 ln ( 2 ) Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: C915.

1. Çözüm: 1) Doğru cevabı kontrol: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x 2) Dönüşüm: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 4 − t d x = − d t Sınırlar: x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 3) İntegrali yeni değişkene göre yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) d t 4) Toplam formülü: Aşağıdaki özdeşliği kullanalım. tan ( π 4 − t ) = 1 − tan t 1 + tan t Bundan dolayı integrand şu şekilde sadeleşir: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma özelliği ile: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) 5) İntegralde yerine yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) d t Sağ tarafı iki integrale ayıralım. İkinci integral, tanım gereği yine aynı değerdeki integraldir. I = ln ( 2 ) ∫ 0 π 4 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t I = ln ( 2 ) [ t ] 0 π 4 − I 6) Sınırları uygulayalım ve çözelim: I = ln ( 2 ) ( π 4 − 0 ) − I 2 I = π 4 ln ( 2 ) I = π 8 ln ( 2 ) Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: C915.

Doğru cevap: B

101 mod 4 = 1 olduğundan i^101 = i.

1. Gerçek ve sanal kısımları ayır: Karmaşık sayıyı a + bi biçiminde yaz, i^2 = -1 bilgisini ve eşlenik/modül ilişkilerini kullan.
2. İşlemi uygun biçimde tamamla: Toplama, çarpma, bölme, eşlenikle genişletme, modül, argüman, kutupsal biçim veya denklem çözme adımını uygula.

Doğru cevap: A

log₅25=2 ve log₅5=1 olduğundan toplam 3’tür.

1. Çözüm: log₅25=2 ve log₅5=1 olduğundan toplam 3’tür.

Doğru cevap: B

Kökler toplamı -b/a = -4/(-1)=4.

1. Parabolün biçimini belirle: Fonksiyonu genel form, tepe formu veya çarpanlı formda yorumla.
2. Grafik bilgisini hesapla: Tepe noktası, simetri ekseni, kökler, kesişimler, maksimum-minimum ya da işaret aralığını kullan.