Rasyonel kök teoreminin özü

Olası rasyonel kökler belirli sayıların oranları şeklindedir.

Eğer bir polinom şu şekilde verilmişse:

$$a_n{x}^n+\cdots +a_0$$

Olası rasyonel kökler şu biçimdedir:

$$\pm \frac{p}{q}$$

Örnek uygulama

Verilen polinom:

$$2x^3+3x^2-11x-6$$

Sabit terim → 6
Baş katsayı → 2

Sabit terimin bölenleri:

±1, ±2, ±3, ±6

Baş katsayının bölenleri:

±1, ±2

Olası rasyonel kökler

$$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{3}{2}$$

Sentetik bölmenin amacı

(x − a) şeklindeki bölenlerle bölmeyi hızlı yapmak için kullanılır.

Uzun bölme yerine daha kısa ve hızlı bir yöntem sağlar.

Örnek

Verilen polinom:

$$P\left(x\right)=2x^3+3x^2-11x-6$$

(x − 2) ile bölmek için a = 2 alınır.

Yöntemin temel adımları

Kritik bilgi

Baş terim ve baş katsayı

Polinomun “en hızlı büyüyen” kısmı baş terimdir.

Bir polinomda en büyük kuvvetli terime baş terim, onun katsayısına baş katsayı denir.

$$P\left(x\right)=\mathrm{-}2x^5+3x^2-x+7$$

Uç davranış (x çok büyürken ne olur?)

x çok büyük pozitif/negatif değerlere giderken polinomun işareti ve büyümesi baş terim tarafından belirlenir.

Büyük |x| değerlerinde, düşük dereceli terimler önemsizleşir. Yani:

$$P\left(x\right)\approx a_n{x}^n$$

Hızlı çıkarım örneği

Aşağıdaki baş terime sahip bir polinom düşün:

$$a_n{x}^n=3x^4$$

Derece çift (4) ve baş katsayı pozitif (3) olduğundan:

“Kök biliniyorsa polinom da kurulur”

Bir polinomun kökleri biliniyorsa, polinom çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılabilir.

Eğer a polinomun kökü ise:

$$P\left(a\right)=0\Rightarrow (x-a)\mathrm{çarpandır}$$

Birden fazla kök varsa, çarpanlar çarpım halinde yazılır:

$$P\left(x\right)=k(x-a)(x-b)\cdots$$

Örnek: İki kökten polinom kurma

Kökleri 2 ve −3 olan, baş katsayısı 1 olan polinomu kur:

$$P\left(x\right)=(x-2)(x-(-3\left)\right)$$

İkinci çarpan dikkat: x − (−3) aslında x + 3 demektir.

$$P\left(x\right)=(x-2)(x+3)$$

Açalım:

$$x^2+x-6$$

Baş katsayı farklıysa: k çarpanı

Eğer baş katsayı 1 değilse, polinom şu şekilde kurulur:

$$P\left(x\right)=k(x-a)(x-b)$$

k’yı bulmak için genellikle bir x değeri seçilir (mesela x=0 yazmak pratik olur).

İkinci derece polinomun genel hali

Genel form:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Kökler:

$$x=r1,x=r2$$

Köklerin toplamı

$$r1+r2=-\frac{b}{a}$$

Köklerin çarpımı

$$r1r2=\frac{c}{a}$$

Örnek

Verilen polinom:

$$x^2-5x+6=0$$

Katsayılar:

a=1, b=−5, c=6

Köklerin toplamı = 5
Köklerin çarpımı = 6

Üçüncü derece polinomun genel hali

$$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$

Kökler:

r₁, r₂, r₃

Köklerin toplamı

$$r1+r2+r3=-\frac{b}{a}$$

İkili kök çarpımlarının toplamı

$$r1r2+r1r3+r2r3=\frac{c}{a}$$

Üç kökün çarpımı

$$r1r2r3=-\frac{d}{a}$$

Köklerin grafikteki karşılığı

P(a)=0 ise grafikte x=a noktasında y=0 olur.

Polinom grafiği y=P(x) eğrisidir. Kökler, grafiğin x-ekseniyle kesiştiği (veya teğet olduğu) noktalardır.

$$P\left(a\right)=0\Rightarrow y=0(x=a)$$

Katlı kök (çokluk) ne demektir?

Aynı kökün çarpanlarda birden fazla kez görünmesi.

Örnek:

$$P\left(x\right)=(x-2)(x-2)(x+1)$$

Burada x=2 kökü 2 kez geçtiği için katlı köktür (çokluğu 2).

Hızlı yorum örneği

Aşağıdaki çarpanlı biçim verilsin:

$$P\left(x\right)=(x-1)(x+2)(x-3)$$

Temel strateji

Kalan teoremi, bilinmeyen katsayıları bulmak için güçlü bir araçtır.

Eğer bir polinom (x − a) ile bölündüğünde kalan r ise:

$$P\left(a\right)=r$$

Örnek problem

Verilen polinom:

$$P\left(x\right)=a{x}^2+bx+3$$

(x − 1) ile bölündüğünde kalan 6 ise:

$$P\left(1\right)=6$$

Yerine yazalım

$$a+b+3=6$$

$$a+b=3$$

Kritik çıkarım

Simetri ne demektir?

Fonksiyonun grafiğinin belirli bir eksene göre aynalı olmasıdır.

Bir polinomun simetrik olup olmadığı şu şekilde kontrol edilir:

$$P(-x)$$

Çift polinom

Eğer:

$$P(-x)=P\left(x\right)$$

Örnek:

$$x^4+3x^2$$

Tek polinom

Eğer:

$$P(-x)=-P\left(x\right)$$

Örnek:

$$x^3+x$$

Simetrinin avantajı

Polinomlar: Büyük resim

Bu sayfa, önceki sayfalardaki tüm araçları tek bir stratejiye bağlar.

En çok çıkan soru tipleri için şablon

Çoğu polinom sorusu aslında şu üç hedefin etrafında döner:

İleri seviye yorum: “Mod” bakışı

Bölme-kalan konularını bir araya getiren zihinsel model.

Bir polinomu (x−a) ile bölmek, “x yerine a yazdığında geriye ne kalır?” sorusudur. Bu yüzden kalan teoremi, polinomların mod düşüncesine çok benzer.

Son kontrol listesi