Konu Anlatımı - EBOB-EKOK - 1.Sayfa
EBOB ve EKOK’a Giriş: Temel Kavramlar
Bu sayfada EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarının ne ifade ettiğini, neden önemli olduklarını ve en sık karşılaşılan temel kuralları öğreneceksin.
Neden EBOB–EKOK?
- EBOB, ortak “bölme” sorularında (parça sayısı, eşit paylaştırma, paketleme) sık çıkar.
- EKOK, ortak “zaman/tekrar” sorularında (aynı anda olma, periyot, düzenli çalışma) ana araçtır.
- sınav’de kısa işlem + mantık; sınav’de daha çok “asal çarpanlar ve üsler” ile hızlı sonuç beklenir.
1) Tanımlar
EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki (veya daha fazla) sayıyı tam bölen ortak bölenler arasında en büyük olan sayıdır.
Gösterim: EBOB(a, b)
EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki (veya daha fazla) sayının ortak katları arasında en küçük pozitif olan sayıdır.
Gösterim: EKOK(a, b)
2) Hızlı Sezgi: “Bölen” mi “Kat” mı?
EBOB Paylaştırma / paketleme gibi “en büyük eşit parça” soruları → ortak bölen aranır.
EKOK Birlikte tekrar / aynı anda gibi “ilk ortak zaman” soruları → ortak kat aranır.
İpucu: “En büyük eşit bölme” zihniyeti → EBOB. “İlk ortak buluşma” zihniyeti → EKOK.
3) Temel Özellikler
- EBOB(a, b) her zaman a ve b’yi böler.
- EKOK(a, b) her zaman a ve b’nin katıdır.
- Eğer a sayısı b’yi bölüyorsa: EBOB(a, b) = b ve EKOK(a, b) = a.
- Ardışık iki sayının EBOB’u 1’dir.
Önemli ilişki (iki sayı için): EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b
Bu eşitliği özellikle hızlı EKOK bulmada sık kullanacaksın.
4) Mini Örnek (Temel Seviye)
Sayılar: 12 ve 18
Ortak bölenleri düşün: 12’nin bölenleri arasında 1, 2, 3, 6, 12… 18’in bölenleri arasında 1, 2, 3, 6, 9, 18…
En büyük ortak bölen: EBOB(12, 18) = 6
En küçük ortak kat: EKOK(12, 18) = 36
Kontrol: 36, 12’nin katıdır (12·3) ve 18’in katıdır (18·2).
5) Asal Çarpan Mantığına Hazırlık (Bir Sonraki Sayfa İçin)
EBOB–EKOK’un en hızlı yolu çoğu zaman asal çarpanlara ayırmadır. Bir sonraki sayfada “üs mantığı” ile EBOB ve EKOK’u tek bakışta çıkaracağız.
Örnek fikir: 36 sayısı asal çarpanlarla şöyle yazılır:
Burada üsler (2 ve 2) sonraki sayfalarda EBOB/EKOK seçiminde kritik rol oynayacak.
Konu Anlatımı - EBOB-EKOK - 2.Sayfa
Asal Çarpanlara Ayırma ile EBOB ve EKOK
EBOB ve EKOK hesaplamanın en güçlü ve sistematik yöntemi asal çarpanlara ayırmadır. Bu yöntem Genel Sınav’de en sık kullanılan tekniktir.
1) Asal Çarpan Nedir?
Bir sayının yalnızca asal sayılar kullanılarak çarpım şeklinde yazılmasına asal çarpanlarına ayırma denir.
Örnek:
Burada 2 ve 3 asal çarpanlardır.
2) İki Sayıyı Asal Çarpanlara Ayıralım
Sayılar: 36 ve 48
3) EBOB Bulma Mantığı
EBOB bulunurken ortak asal çarpanların küçük üslü olanı alınır.
Ortak asal çarpanlar:
- 2 → üsler: 2 ve 4 → küçük olan 2 alınır
- 3 → üsler: 2 ve 1 → küçük olan 1 alınır
4) EKOK Bulma Mantığı
EKOK bulunurken tüm asal çarpanların büyük üslü olanı alınır.
- 2 → büyük üs: 4
- 3 → büyük üs: 2
5) Altın Kural (Çok Önemli)
- EBOB → küçük üs alınır
- EKOK → büyük üs alınır
Konu Anlatımı - EBOB-EKOK - 3.Sayfa
Üç ve Daha Fazla Sayı için EBOB ve EKOK
EBOB ve EKOK yalnızca iki sayı için değil, üç veya daha fazla sayı için de hesaplanabilir. Mantık aynıdır: asal çarpanlar bulunur ve üs seçimi yapılır.
1) Genel Kural
- EBOB → ortak asal çarpanların en küçük üssü alınır.
- EKOK → tüm asal çarpanların en büyük üssü alınır.
- Tüm sayılarda bulunmayan asal çarpanlar EBOB’a girmez.
2) Örnek: 24, 36 ve 60 Sayıları
Asal çarpanlara ayıralım:
3) EBOB Hesaplama
Ortak asal çarpanlar:
- 2 → üsler: 3, 2, 2 → küçük olan: 2
- 3 → üsler: 1, 2, 1 → küçük olan: 1
5 ortak değildir, bu nedenle alınmaz.
4) EKOK Hesaplama
Tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır:
- 2 → en büyük üs: 3
- 3 → en büyük üs: 2
- 5 → en büyük üs: 1
5) Kritik Gözlem
Sayı arttıkça mantık değişmez. Sadece tüm sayılar birlikte incelenir.
EBOB → tüm sayılarda ortak olan asal çarpanlar
EKOK → tüm asal çarpanların birleşimi
Konu Anlatımı - EBOB-EKOK - 4.Sayfa
EBOB–EKOK Çarpım İlişkisi ve Hızlı Hesap
İki sayı için en güçlü kestirme: EBOB · EKOK = a · b. Bu sayfada ilişkiyi doğru kullanmayı ve hangi durumda işe yaradığını öğreneceksin.
1) İlişki Ne Söyler?
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere:
Bu eşitlik yalnızca iki sayı için “doğrudan” kullanılır. (Üç ve daha fazla sayı için böyle basit bir çarpım formülü genelde yoktur.)
2) Hızlı EKOK Bulma (EBOB Biliniyorsa)
Eğer EBOB(a,b) biliniyorsa:
Burada bölme işlemini MathML kesirle yazmıyoruz; işlem mantığını metin + sembol ile gösteriyoruz.
Örnek: a=18, b=30 için EBOB(18,30)=6 olsun.
EKOK(18,30) = (18 · 30) / 6
18 · 30 = 540, 540 / 6 = 90
3) Hızlı EBOB Bulma (EKOK Biliniyorsa)
Aynı eşitlik tersten de çalışır:
Bu tür sorular bazen “bilinmeyen EBOB/EKOK” içeren sınav problemlerinde gelir.
4) Sık Yapılan Hata: EBOB ile EKOK’u Karıştırmak
- EBOB her zaman sayıların her birinden küçük veya eşit olur.
- EKOK her zaman sayıların her birinden büyük veya eşit olur.
- Eğer bulunan sonuç bu sezgiye uymuyorsa hesaplama tekrar kontrol edilmelidir.
Kontrol sorusu: Bulduğun EBOB, sayılardan birinden büyük çıktıysa kesin hata vardır.
Konu Anlatımı - EBOB-EKOK - 5.Sayfa
Öklid Algoritması ile EBOB Bulma
Büyük sayılar için asal çarpanlara ayırmak zor olabilir. Bu durumda en hızlı ve güçlü yöntem Öklid algoritmasıdır.
1) Algoritmanın Temel Mantığı
Temel fikir:
İki sayı için:
Yani büyük sayı küçük sayıya bölünür. Sonra küçük sayı ile kalan kullanılır. Bu işlem kalan sıfır olana kadar devam eder.
2) Örnek: EBOB(84, 30)
Adım 1:
84 ÷ 30 = 2, kalan 24
Adım 2:
30 ÷ 24 = 1, kalan 6
Adım 3:
24 ÷ 6 = 4, kalan 0
3) Sonuç
Son sıfır olmayan kalan EBOB’tur.
4) Neden Çok Önemli?
- Büyük sayılar için çok hızlıdır
- Asal çarpanlara ayırma gerektirmez
- sınav ve sınav’de sık kullanılır
- Bilgisayarlar da bu yöntemi kullanır
5) EKOK ile Birlikte Kullanımı
Önce EBOB bulunur, sonra EKOK hesaplanır.
Örnek:
EKOK(84,30) = (84 · 30) / 6
EKOK = 420
1 / 4 sayfa yüklendi
