TYT Mutlak Değer Konu Anlatımı, Test ve Soru

Bu sayfada ne öğreneceksin?

Mutlak değer, bir sayının işaretini yok sayıp büyüklüğünü (0’a olan uzaklığını) veren işlemdir. Bu yüzden sonuç asla negatif olmaz.

Tanım:

| x | = {\begin{matrix} x & eğer x \geq 0 \\ - x & eğer x < 0 \end{matrix}

Yani x negatifse işaret değiştirir; x sıfır veya pozitifse olduğu gibi kalır.

Hızlı örnekler:

| 7 | = 7 | - 7 | = 7 | 0 | = 0

Dikkat: mutlak değer sonucu daima 0 veya pozitiftir.

|x|, x’in sayı doğrusunda 0’a uzaklığıdır. Bu yüzden iki nokta arasındaki uzaklık da mutlak değerle ifade edilir.

İki sayı arasındaki uzaklık:

d (a, b) = | a - b |

Uzaklık her zaman pozitiftir; bu yüzden çıkarma sonucu negatif çıkarsa mutlak değer onu pozitife çevirir.

Örnek:

d (- 2, 5) = | - 2 - 5 | = | - 7 | = 7

−2 ile 5 arası uzaklık 7 birimtir.

| x | \geq 0 | x | = 0 ancak ve ancak x = 0

| - x | = | x | | x y | = | x | | y |

| \frac{3}{2} | = \frac{3}{2} | - \frac{3}{2} | = \frac{3}{2}

Son satırdaki kesir örneğinde, negatiflik kesrin dışında gösterilmiştir.

Çok önemli bir fikir:

Mutlak değerli ifadelerde çoğu soru, içerinin işaretine göre iki durum inceleyerek çözülür: içerisi ≥ 0 ve içerisi < 0.

a ≥ 0 olmak üzere:

| x | = a

Bu denklem iki farklı değere karşılık gelir:

x = a x = - a

Çünkü sayı doğrusunda 0’a uzaklığı a olan iki nokta vardır: biri sağda a, diğeri solda −a.

Örnek 1:

| x | = 5

x = 5 x = - 5

Örnek 2:

| x - 3 | = 4

İçeriyi ayrı bir ifade gibi düşünürüz.

x - 3 = 4 x - 3 = - 4

x = 7 x = - 1

| x | = - 3

Böyle bir denklem çözümsüzdür.

Çünkü mutlak değer sonucu asla negatif olamaz.

Genel kural:
Eğer

| ifade | = negatif

ise denklem daima çözümsüzdür.

| x | < 3

Bu ifade, x’in 0’a uzaklığının 3’ten küçük olduğunu söyler.

Yani x, −3 ile 3 arasında olmalıdır.

- 3 < x < 3