Lise • TYT • AYT

İşçi – Emek Problemleri

1. Sayfa • Temel kavramlar, “iş” ve “hız” düşüncesi, en sık kullanılan kurallar

1) İş – Zaman – İş Hızı (Verim) Kavramı

İşçi–emek problemlerinde temel fikir şudur: Bir işin tamamını 1 (birim iş) kabul ederiz. Her işçinin (veya makinenin) birim zamanda yaptığı iş miktarına iş hızı (verim) deriz.

Altın Formül

İş = Hız × Zaman

Bir işi tek başına T günde bitiren bir işçinin iş hızı: $\frac{1}{T}$

Burada T “işin tamamını bitirme süresi”dir. İş hızı ise bir günde işin ne kadarının yapıldığıdır. Bu yaklaşım sayesinde, farklı işçileri aynı denklemde kolayca toplarız.

2) Birlikte Çalışma Mantığı

İki işçi birlikte çalışıyorsa hızları toplanır. Çünkü aynı zaman diliminde yaptıkları iş miktarları birikerek ilerler.

Kural

A işi a günde, B işi b günde bitirsin. Birlikte hız: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Birlikte bitirme süresi t ise: $\frac{1}{t} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Bu eşitlikleri kurarken “iş”i 1 aldığımız için, hızlar doğrudan günde yapılan iş payı olarak ifade edilir.

3) En Pratik Yöntem: “Günlük İş Payı” Tablosu

Özellikle TYT’de hızlı çözüm için şu bakış çok işe yarar: “Her işçi bir günde işin kaçta kaçını yapar?”

Mini Özet

A tek başına

Süre: a gün
Günlük pay:

\frac{1}{a}

B tek başına

Süre: b gün
Günlük pay:

\frac{1}{b}

A + B birlikte

Günlük toplam pay:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

Bitiş süresi: t gün

Not: “İşin tamamı = 1” yaklaşımı, iş bölme–birleştirme problemlerinde en temiz modeldir.

4) Klasik Tip: Birlikte Kaç Günde Biter?

A işi 12 günde, B işi 18 günde bitiriyor olsun. Birlikte bitirme süresini bulmanın yolu: hızları toplayıp tersini almak.

Örnek

A’nın hızı $\frac{1}{12}$ , B’nin hızı $\frac{1}{18}$ olur. Toplam hız: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$

Buradan $\frac{1}{t} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$ yazılır ve t bulunur.

Dikkat: Ara adımlarda “kesri yazalım” gibi belirsiz ifadelerle MathML’de eksik kesir yazılmaz; kesir tam olarak biliniyorsa kullanılır.

İlerleyen sayfalarda; işçi ayrılma–katılma, farklı verim oranları, işin bir kısmı yapıldı ve havuz/boru benzeri ters işler gibi daha zor tipleri de aynı temel mantıkla işleyeceğiz.

5) Sık Yapılan Hatalar

Hata 1: Süreleri toplamak

“A 12 günde, B 18 günde bitiriyor; birlikte 30 günde biter” yanlıştır. Birlikte çalışmada süreler değil hızlar toplanır.

Hata 2: İşin tamamını 1 almamak

İşin büyüklüğü verilmedikçe en güvenlisi “iş = 1” kabul etmektir. Böylece karmaşık sayılar yerine iş paylarıyla ilerlersin.

Hata 3: Kısmi çalışma durumunu atlamak

“A 3 gün çalıştı, sonra B geldi” gibi sorularda, önce yapılan işi pay olarak hesaplayıp kalan iş üzerinden devam etmek gerekir.

Temel Seviye • Oran Mantığı

İşçi Hızlarının Oranla İfade Edilmesi

2. Sayfa • Verim oranı, hız karşılaştırması ve süre ilişkisi

1) İşçi Hızı ile Süre Arasındaki Ters Orantı

İşçi problemlerinde en kritik gerçek şudur: Hız arttıkça süre azalır. Bu ilişki ters orantıdır.

Matematiksel İfade

İş hızı: $\frac{1}{T}$

Süre: $\frac{1}{Hız}$

Yani daha hızlı çalışan işçi aynı işi daha kısa sürede bitirir.

2) Oran Verilen İşçi Problemleri

Bazen soruda doğrudan süre verilmez. Bunun yerine işçilerin hız oranı verilir.

Örnek Durum

A işçisi, B işçisinin hızının 2 katı olsun.

Hız oranı: $A : B = 2 : 1$

Süre oranı ters olur: $A : B = 1 : 2$

Çünkü hızlı olan işçi daha kısa sürede bitirir.

3) Sayısal Örnek

Örnek

A işçisi bir işi 6 günde bitiriyor. B işçisi A'nın yarısı hızla çalışıyor.

A'nın hızı: $\frac{1}{6}$

B'nin hızı bunun yarısıdır.

B'nin süresi 12 gün olur.

4) En Önemli Pratik Kural

TYT Pratik Kuralı

Hız oranı verilirse, süre oranı ters alınır.

5) Özet Tablo

İlişki Tablosu

Hız artarsa → Süre azalır
Hız azalır → Süre artar
Hız oranı → Süre oranının tersidir

İşçi ve Havuz Problemleri Konu Anlatımı

TYT & AYT - İşçi Emek Problemleri - 1.Sayfa